- 280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/07(金) 14:47:26 ]
- 漸化式を変形すると a[n+3]=5a[n+1]-6a[n-1]+a[n-3] となる。
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 とすると、
f(2x+y+z,x+2y,x+z)=5f(x+y,x+z,z)-6f(x,y,z)+f(x-z,z,y-x+z) という恒等式が成立する。
従ってa[n+1]、a[n-1]、a[n-3]が３つの平方数の和で表せるのなら、a[n+3]も３つの平方数の和で
表せることが示される。
a[1]=1=1+0+0、a[3]=2=1+1+0、a[5]=6=4+1+1、a[7]=19=9+9+1、a[9]=61=36+16+9、a[11]=197=100+81+16
のように、初期の方で成立していることが確かめられるので、数学的帰納法によりに題意は示された
