- 321 名前：296 mailto:sage [2007/12/11(火) 01:14:52 ]
- >>300 念のため…
【加法公式】
a[n]の隣接する4項の間に斉一次な漸化式が成立つとき、適当な対称行列C[i,j]があって
a[m+n+1] = Σ[i,j=1〜3] a[m+i-1]･C[i,j]･a[n+j-1],
(略証)
m=-1,0,1 のとき右辺は
Σ[j=1,3] {Σ[i=1,3] a[i-2]･C[i,j]} a[n+j-1],
Σ[j=1,3] {Σ[i=1,3] a[i-1]･C[i,j]} a[n+j-1],
Σ[j=1,3] {Σ[i=1,3] a[i ]･C[i,j]} a[n+j-1],
これが a[n], a[n+1], a[n+2] と一致することを示そう。
対称行列Aを A[m+2,i] = a[m+i-1] とおく。(i=1〜3, m=-1〜1)
また、C = A^(-1) とおくと
Σ[i=1,3] a[m+i-1]･C[i,j] = Σ[i=1,3] A[m+2,i]･C[i,j] = δ_(m+2,j), (j=1〜3, m=-1〜1)
だから 上の3式は a[n], a[n+1], a[n+2] に一致する。
さらに、a[n]の隣接する4項の間には斉一次な漸化式が成立つから、すべての整数mについて成立つ。(終)
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