不等式への招待 第３章

1 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/13(日) 05:00:00 ] ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める… 　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 ----- 　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　 　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　 　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ… 　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ 　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ 過去スレ ・不等式スレッド （Part1）　 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/ ・不等式への招待 第２章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/ 過去スレのミラー置き場：briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/ まとめWiki　wiki.livedoor.jp/loveinequality/ 姉妹サイト（？） Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000 833 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/17(火) 00:00:13 ] >>830 (1) 　H = 3/(1/x + 1/y + 1/z),　G = (xyz)^(1/3),　A = (x+y+z)/3,　Q = √{(x^2 + y^2 + z^2)/3}, 　 　Q^2 - A^2 = (x^2 +y^2 +z^2)/3 - (1/9)(x+y+z)^2 = (1/9){(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2} ≧ 0, 　A^3 - G^3 = {(x+y+z)/3}^3 -xyz = {(x+y+7z)/2}(x-y)^2 + {(7x+y+z)/2}(y-z)^2 + {(x+7y+z)/2}(z-x)^2 ≧ 0, 　(1/H)^3 - (1/G)^3 = {[(1/x)+(1/y)+(1/z)]/3}^3 - 1/(xyz) = {(x'+y'+z')/3}^3 - x'y'z' ≧ 0, ∴　H ≦ G ≦ A ≦ Q, (2) y=z=1 の場合を考えると 　H = 3x/(1+2x),　G = x^(1/3),　A = (2+x)/3,　Q = √{(2+x^2)/3}, 　x<1 のとき　G-H > A-G > Q-A, 　x>1 のとき　G-H < A-G < Q-A, 834 名前：830 mailto:sage [2009/03/17(火) 00:05:05 ] >>833 GJ!! されど、3変数のときはQよりも 　T = {(x^3+y^3+z^3)/3}^(1/3), 使った方が良くね？ 835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/17(火) 23:05:37 ] >>830, 833 (2) y=z=1 の場合は････ 　0 < x < 0.00415949095310635… のとき、　　　　　　G-H < Q-A < A-G, 　0.00415949095310635… < x < 0.15064425… のとき,　Q-A < G-H < A-G, 　0.15064425… < x < 1 のとき,　　　　　　　　　　　Q-A < A-G < G-H, 　1 < x < 9.33372455･･･ のとき、　　　　　　　　　　G-H < Q-A < A-G, 　9.33372455･･･ < x のとき、　　　　　　　　　　　　G-H < A-G < Q-A, と成増とんねるず。 但し、区間の端点は 0.15064425142615432931841204604911････ = 1/{2cos(π/9)}^3,　x + 3･x^(2/3) -1 =0 の根。 9.3337245536744706772511885807731････ = {(2√3)cos([π-arccos(25/27)]/6) - 1}^3,　x + 3･x^(2/3) -6･x^(1/3) -10 =0 の根。 836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/17(火) 23:15:33 ] a≧b≧0，c≧d≧0のとき √（a^2+ab+b^2）+√（c^2+cd+d^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2） 837 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/18(水) 03:27:30 ] a,b,cを実数とする a+b+c=0のとき （|a|+|b|+|c|)^2≧2（a^2+b^2+c^2) 838 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/18(水) 16:53:54 ] 2(a^2+b^2+c^2) = (a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) =(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca) ≦(a^2+b^2+c^2)+2(|ab|+|bc|+|ca|) = (|a|+|b|+|c|)^2 839 名前：835 mailto:sage [2009/03/18(水) 22:01:22 ] >>830, >>833, 　0.00415949095310635… は x^3 +3x^(8/3) +3x^(7/3) +(9/2)x^2 +3x^(5/3) +3x^(4/3) +(39/8)x +(33/8)x^(2/3) + (3/4)x^(1/3) -(1/4) =0　の根。 840 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/19(木) 16:04:37 ] >>836 チェビシェフの不等式 841 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/19(木) 22:36:19 ] >>836 三角不等式 842 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/19(木) 23:37:37 ] >>749>>799>>829>>836 a=1,b=1,c=0,d=0. √（3）≧2. 843 名前：１３２人目の素数さん [2009/03/20(金) 00:22:31 ] a≧b≧0，c≧d≧0のとき √（a^2+ad+d^2）+√（b^2+bc+c^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2） じゃね？ 844 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/20(金) 01:39:13 ] >>843 bingo! 845 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/22(日) 07:14:22 ] >>843 ∠UOV = 120ﾟ なる半直線 OU,OV を考える。 >>792 OU上に OA=a, OB=b なる点A,B をとる。 OV上に OC=c, OD=d なる点C,D をとる。 題意により、2つの線分AD, BC は交わるから、交点を X とする。2つの線分AC, BD は交わらない。 　(左辺) = AD + BC = (AX + XD) + （BX +XC) = (AX + XC) + (BX + XD) ≧ AC + BD = (右辺). [初代スレ.068, 071] の類題ぢゃね？ 846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/25(水) 01:42:40 ] (；´д｀) ﾊｧﾊｧできそうなネタ満載 www.math.ust.hk/excalibur/v13_n4.pdf www.math.ust.hk/excalibur/v13_n5.pdf 847 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/28(土) 00:40:44 ] >>846 Problem 1. a,b,c は正の実数で、a+b+c=1 を満たすとき 　a^(1-a) * b^(1-b) * c^(1-c) ≦ 1/9, 　Austrian M.O. 2008, Final round (part 2) Problem 312. 　a,b,c を正の実数とするき (a+1)^4 /(b^2) + (b+1)^4 /(c^2) + (c+1)^4 /(a^2) ≧ 48, Problem 316. 　n>6 のとき, 凸ｎ角形Ａ0Ａ1……Ａn に対して適当な i≠j が存在して 　　|cos(∠Ａi) −cos(∠Ａj)| < 1/{2(n-6)}, 848 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/28(土) 00:59:42 ] >>847 Solution 1. 　f(x) = (1-x)log(x),　とおくと 　f "(x) = -(1+x)/(x^2) < 0, ∴ y=f(x) は上に凸。 ∴　log(左辺) = f(a) + f(b) + f(c) ≦ 3f((a+b+c)/3) = 3f(1/3) = 2log(1/3) = log(1/9) = log(右辺), Solution 312. 相加相乗平均２回 　(a+1)^2 = (a-1)^2 + 4a ≧ 4a, etc. 　(左辺) ≧ 16{(a/b)^2 + (b/c)^2 + (c/a)^2} 　　= 16{(aac)^2 + (bba)^2 + (ccb)^2}/(abc)^2 　　= 48 + {(aac)^2 + (bba)^2 + (ccb)^2 -3(abc)^2}/(abc)^2 　　= 48 + (X^3 + Y^3 + Z^3 -3XYZ)/(abc)^2 　　≧ 48 = (右辺). ここに X=(AAC)^(2/3), Y=(BBA)^(2/3), Z=(CCB)^(2/3), 　X^3 +Y^3 +Z^3 -3XYZ = (1/2)(X+Y+Z){(X-Y)^2 +(Y-Z)^2 +(Z-X)^2} ≧ 0, 849 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/03/29(日) 01:26:28 ] >>847 Solution 316. 外角 π-A_i の和は2πである: 　(π-A_1) + (π-A_2) + …… + (π-A_n) = 2π, n>k とする。 π-A_i > 2π/k となる A_i は k-1 個以下。 残りの n-k+1 個以上については　0 <π-A_i ≦ 2π/k, 　-1 < cos(A_i) ≦ - cos(2π/k), ディリクレの引き出し論法（鳩ノ巣原理）により、 　| cos(A_i) - cos(A_j) | < {1 - cos(2π/k)}/(n-k), 本問では k=6. 〔蛇足〕 nを固定すると、k ≒ 2n/3 の辺りで最小になると･･･ 　(右辺) < (2π^2)/{(n-k)k^2} < (27/2)π^2 / n^3, 850 名前：849 mailto:sage [2009/04/05(日) 19:45:07 ] ↑は www.math.ust.hk/excalibur/v14_n1.pdf のp.3に出てた。orz しかたないので一題･･･ Problem 2. Let a_1 〜 a_5 be real numbers satisfying the following equations: 　a_1/(1+k^2) + a_2/(2+k^2) + a_3/(3+k^2) + a_4/(4+k^2) + a_5/(5+k^2), for k=1〜5.　Find the value of 　a_1/37 + a_2/38 + a_3/39 + a_4/40 + a_5/41, 　(Express the value in a single fraction.) 851 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/05(日) 19:51:15 ] >>850 結果だけ並べると･･･ 　a_1 =　1105/72, 　a_2 = -2673/40, 　a_3 =　1862/15, 　a_4 = -1885/18, 　a_5 =　1323/40, より 　b_6 =　187465/(3*37*38*39*41)　　　　≒ 1.00061649483987･･･ / 36, 　b_7 =　　1197/(5*13*17*53) 　　　　　≒ 1.00150260394436･･･ / 49, 　b_8 =　 85345/(16*13*17*23*67) 　　　≒ 1.00240485551780･･･ / 64, 　b_9 =　277289/(9*17*41*43*83)　　　　≒ 1.00321917612728･･･ / 81, 　b_10=12117378/(3*25*7*13*17*101*103) ≒ 1.00391855290609･･･ / 100, 　b_0 = 13489 / 3600 ≒ 3.74694444444444･･･ ここに b_k =　a_1/(1+k^2) + a_2/(2+k^2) + a_3/(3+k^2) + a_4/84+k^2) + a_5/(5+k^2), 852 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/05(日) 23:12:36 ] 不等式ﾊﾞﾝｼﾞｬｲ！ 853 名前：850 mailto:sage [2009/04/07(火) 21:04:51 ] スレ違いだったか･････　　---> 線形代数/線型代数スレ ぢゃあ もう一題 〔問題322'〕 Let a,b,c be positive real numbers satisfying the condition a+b+c=s.　 Prove that 　(a^2)(3b+s)/(as+bs+3ab) + (b^2)(3c+s)/(bs+cs+3bc) + (c^2)(3a+s)/(cs+as+3ca) ≧ 2, 854 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/07(火) 23:31:17 ] >>853 忙しいので、とりあえずﾊｧﾊｧしておく！ (；´ρ｀) ﾊｧﾊｧ… 855 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [2009/04/08(水) 00:00:00 ] 　ａ（１）／（ｘ＋１）＋ａ（２）／（ｘ＋２）＋ａ（３）／（ｘ＋３）＋ａ（４）／（ｘ＋４）＋ａ（５）／（ｘ＋５）−１／ｘ ＝（ｘ−１）（ｘ−４）（ｘ−９）（ｘ−１６）（ｘ−２５）／１２０ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）（ｘ＋４）（ｘ＋５）。 856 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/08(水) 00:09:21 ] >>855 ？ 857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/08(水) 01:16:17 ] >>853 a=b=c=1/2とかで不等式が成立しない気が 858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/08(水) 23:41:08 ] >>857 　スマン。↓に訂正。 　(a^2)(3b+s)/(as+bs+3ab) + (b^2)(3c+s)/(bs+cs+3bc) + (c^2)(3a+s)/(cs+as+3ca) ≧ (2/3)ｓ, 859 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/09(木) 19:57:31 ] >>686 2) 　(pa-qb)/(a-b) =X,　(pb-qc)/(b-c) =Y,　(pc-qa)/(c-a) =Z, とおくと、 　X^2 + Y^2 + Z^2 = p^2 + q^2 + (X+Y+Z-p-q)^2 ≧ p^2 + q^2, 本問では p=4, q=3, 860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/09(木) 21:05:57 ] >>858 (左辺)={a-abs/(as+bs+3ab)}+{b-bcs/(bs+cs+3bc)}+{c-cas/(cs+as+3ca)} 　　　 ≧{a-(b+a+s/3)/9}+{b-(c+b+s/3)/9}+{c-(a+c+s/3)/9}　　(-調和≧-相加) 　　　　=(2/3)s 861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/10(金) 16:55:30 ] >>686 1) a≧b≧c,x≧y≧z,X≧Y≧Zのとき a/(y+Z)+b/(z+X)+c/(x+Y)≧a/(x+X)+b/(y+Y)+c/(z+Z) が成り立てば示せるが… 成り立つ？ 862 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/11(土) 16:35:09 ] >>686 2), >>859 の略証･･･ 　X = {p+q+(p-q)x}/2,　Y = {p+q+(p-q)y}/2,　Z = {p+q+(p-q)z}/2, とおくと 　X^2 + Y^2 + Z^2 = (X+Y+Z)^2 -2(XY+YZ+ZX) 　　= (X+Y+Z-p-q)^2 -(p+q)^2 +2(p+q)(X+Y+Z) -2(XY+YZ+ZX) 　　= (X+Y+Z-p-q)^2 -(p+q)^2 +3(p+q)^2 -(3/2)(p+q)^2 -(1/2)(p-q)^2･(xy+yz+zx) 　　= p^2 + q^2 + (X+Y+Z-p-q)^2 -(1/2)(p-q)^2･(xy+yz+zx+1), ところで、題意から 　x = (a+b)(a-b),　y = (b+c)/(b-c),　z = (c+a)/(c-a), ∴　xy + yz + zx + 1 = 0, 863 名前：１３２人目の素数さん [2009/04/16(木) 01:49:31 ] 問題投下 ３辺がa,b,cの三角形の面積と３辺が1/a,1/b,1/cの三角形の面積の積が3/16を超えないことを示せ ヘロンでどぞー 864 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/16(木) 02:05:16 ] キタコレ！ 865 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/18(土) 10:54:55 ] >>863 　�� = (1/2)ab･sin(C) = (1/2)bc･sin(A) = (1/2)ca･sin(B), でも解けるお。 　�� = (1/2)(abc)^(2/3)･{sin(A)sin(B)sin(C)}^(1/3) 　　　≦ (1/2)(abc)^(2/3)･{sin(A)+sin(B)+sin(C)}/3　 　(相加･相乗平均) 　　　≦ (1/2)(abc)^(2/3)･sin((A+B+C)/3)　　　　　　　(0〜πで上に凸) 　　　=　(1/2)(abc)^(2/3)･sin(π/3) 　　　=　(√3)/4･(abc)^(2/3), 　　　　(等号成立はA=B=C(正三角形)のとき.) 　�� '≦ (√3)/4･(1/abc)^(2/3), 辺々掛ける。 866 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/18(土) 11:52:00 ] >>863 せっかくのヒントなのでヘロンで･････ 本問では、 (a+b+c)/2 =s とおく。 　(s-a) + (s-b) + (s-c) = s, 　�� = √{s(s-a)(s-b)(s-c)} 　　≦ √{s(s/3)^3} 　　　　　　(相加･相乗平均) 　　= (1/√27)s^2 　　= (√3)/4･{(a+b+c)/3}^2 　　≦ (√3)/4･(abc)^(2/3),　　　(相加･相乗平均) 　�� '≦ (√3)/4･(1/abc)^(2/3), 辺々掛ける。 867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/18(土) 11:54:39 ] >>866 はまちがい。 　無視してください。 868 名前：１３２人目の素数さん [2009/04/18(土) 11:55:55 ] 無視しません！ 869 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/18(土) 13:48:39 ] 黙殺する 870 名前：866 mailto:sage [2009/04/18(土) 23:39:33 ] >>863 せっかくのヒントなのでヘロンで･････ 本問では、 (a+b+c)/2 =s とおく。また 　(s-a) + (s-b) + (s-c) = s, 　(s-a)(s-b) + (s-b)(s-c) + (s-c)(s-a) = t, 　(s-a)(s-b)(s-c) = u, とおく。 　�� = √(su) 　　= {s･(√su)･u}^(1/3) 　　≦ {(1/√3)st･u}^(1/3)　　　　　　　(3su≦t^2) 　　≦ (√3)/4･(st-u)^(2/3)　　　　　　(*) 　　= (√3)/4･(abc)^(2/3), ※ st-u ≧ (8/9)st ≧ 8u　より 　st≦(9/8)(st-u),　u≦(1/8)(st-u), 871 名前：１３２人目の素数さん [2009/04/22(水) 19:51:53 ] n：自然数とする。 (1) 2数 x、y の和、積を考え 　x+y=p、xy=q この p、q が共に整数ならば 　x^n + y^n は整数であることを証明せよ。 (2) x>0、y>0 のとき 　( (x+y)/2 )^n ≦ (x^n + y^n )/2 であることを証明せよ。　 872 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/22(水) 20:57:26 ] >>871 馬鹿か？ 873 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/22(水) 22:15:48 ] >>861 〔命題〕 a,b,c >0, x,y,z >0 のとき 　f(x,y,z) = a/(b+cx) + b/(c+ay) + c/(a+bz) - 9/(x+y+z+3) ≧0, が成り立てば示せるが… 成り立つ？ 　f(0,0,0) = (a/b) + (b/c) + (c/a) -3 ≧0, 　x,y,z のいずれかが∞となるとき、(右辺) → 0 で成立。 f(,,)に極値があるとすれば 　∂f/∂x = -ca/(b+cx)^2 + 9/(x+y+z+3)^2 =0, 　∂f/∂y = -ab/(c+ay)^2 + 9/(x+y+z+3)^2 =0, 　∂f/∂z = -bc/(a+bz)^2 + 9/(x+y+z+3)^2 =0, b+cx >0, c+ay >0, a+bz >0, x+y+z+3 >0 から 　a/(b+cx) = 3{√(a/c)}／(x+y+z+3), 　b/(c+ay) = 3{√(b/a)}／(x+y+z+3), 　c/(a+bz) = 3{√(c/b)}／(x+y+z+3), に限る。この点でf(,,)が極大なら　　　　　　　　　(←これが問題だが････) 　f(x,y,z) ≧ 3{√(a/c) + √(b/a) + √(c/b) -3}／(x+y+z+3) ≧0, 874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/22(水) 23:47:37 ] >>872 馬鹿か？ 875 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/23(木) 08:55:27 ] ( ﾟ∀ﾟ)＜荒らしイクナイ！ 876 名前：１３２人目の素数さん [2009/04/23(木) 09:10:06 ] こんなスレがあったとは！！最近不等式に興味持ち出していろいろやってます。 ところSOS不等式って何ですか？ 877 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/23(木) 10:24:04 ] >>876 sum of squares inequality: Σa_k^2 ≧ 0 「任意の非負有理式は有理式の自乗和で書ける」というArtinの結果があるので， 有理式≧0 は，左辺を記述する有理式の自乗和を構成する方法で必ず証明できる． （もちろん，それを見つけるのが簡単とか難しいとかはあるけれど） 878 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/23(木) 13:53:03 ] マジ？ SOS不等式ってもは初めて聞いたし、877の解説が面白くて、ネタに見えて仕方がないんだけど… 879 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/23(木) 15:32:04 ] >>878 SOS不等式と呼ばれている不等式が何種類かあって紛らわしいから， 普通は前後の脈絡無しに「SOS不等式」って言うことはないんだけど， 最近最適化の専門家の間で >>877 の「SOS不等式」が盛んに研究されてて， 個人的にも今その辺がホットだから，勢いで書いちゃった． 数学的な内容としては >>877 の結果は正しくて， 特にここ10年くらいで，この方法を使った多項式の最小値を計算する アルゴリズムが実用的になってきてる． 興味があるなら，古典的な話題はHilbertの第17問題で調べるとよくて， 最近は Pablo A. Parrilo って人が活発にやってる． 880 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/04/24(金) 00:09:49 ] >>879 勉強になりますた！ 881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/07(木) 21:53:59 ] 〔問題857〕 xが自然数 のとき 　3^(x-1) ≧ LCM(1,2,3,････,x) ≧ 2^(x-1), science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1220115988/857 東大入試作問者スレ１６ 882 名前：１３２人目の素数さん [2009/05/08(金) 03:29:09 ] 質問です。 一応、有名不等式(Weighted AM-GM,Cauchy-schwartz,Holder,Rearrangement, Jensen,Muirhead,Schur,etc...)などについての知識やその証明は理解したのですが 実際に問題に取り組む時に「どんな場合にどの有名不等式を用いるべきか」が見えてきません。 不等式が得意な方々の解法などを眺めていても妙に突拍子なアイディアにしか見えないんです。 数多くの問題に当たってるうちにこういう直観的なものは磨かれどれをいつ適用するかなど 見えてくるものなんでしょうか？ 883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/08(金) 03:44:16 ] >>882 そうです！ 甘ったれないで下さい！ 884 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/09(土) 19:20:05 ] >>882 職人芸修行　　文献を大量に勉強してどの方法はどこで使うか博覧強記 イメージ戦略　解きたい問題が解けると信じる直観的理由と同じ意味の不等式を利用 試行錯誤　　　各場面毎に片端から使って出てくる不等式をノートに蓄積 他にもあるが時間が無くなったので 885 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/09(土) 23:26:18 ] >>882 とりあえず、片っ端から不等式とその証明（別解も全て）をコレクションし、Texでまとめるんだ！ 886 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/09(土) 23:31:21 ] >>881 休憩が終わったら、他スレの不等式をここに貼る作業に戻るんだ！ >>882 休憩が終わったら、刺身の上にタンポポを乗せる仕事に戻るんだ！ >>884 休憩が終わったら、不等式を証明する作業に戻るんだ！ >>885 休憩が終わったら、不等式まとめサイトを更新する作業に戻るんだ！ >>886 休憩が終わったら、不等式を収集する作業に戻るんだ！ 887 名前：１３２人目の素数さん [2009/05/10(日) 03:49:35 ] >>876 SOS を具体的に用いて解いた解法は >>699 にありますよ。 簡単に言ってしまえば SOS ineq は それぞれ S[a], S[b], S[c] は a, b, c の関数とし, S = f(a, b, c) = S[a](b-c)^2 + S[b](c-a)^2 + S[c](a-b)^2 とおいたとき, S≧0 を証明するために使われる手法です。 >>887, >>889 で言われているものも SOS ineq ですが, >>876 さんが知りたいのはこういう類の方の ineq ですよね？ 888 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/10(日) 21:46:04 ] 〔問題〕 　a,b,c,p,q >0, 1/2 ≦ p/q ≦ 2 のとき 　a/(pb+qc) + b/(pc+qa) + c/(pa+qb) ≧ (p+q)^2 (a+b+c)^3 /{9(pb+qc)(pc+qa)(pa+qb)} 　　　≧ (1/3)(a+b+c){1/(pb+qc) + 1/(pc+qa) + 1/(pa+qb)} 　　　≧ 3/(p+q), 　　　(Shapiro不等式の一拡張) 889 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/10(日) 21:59:17 ] >>888 見かけほど難しくない(?) 左側: 　a/(pb+qc) + b/(pc+qa) + c/(pa+qb) - (p+q)^2 (a+b+c)^3 /{9(pb+qc)(pc+qa)(pa+qb)} 　= {(2p-q)(2q-p)F_1 + (p+q)(2p-q)G + (p+q)(2q-p)H}/{9(pb+qc)(pc+qa)(pa+qb)} ≧ 0, ここに 　F_1 = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = s^3 -4st +9u ≧ 0, 　G = F_1 + (st-9u+3��)/2 = a(a-b)^2 + b(b-c)^2 + c(c-a)^2 ≧ 0, 　H = F_1 + (st-9u-3��)/2 = a(a-c)^2 + b(b-a)^2 + c(c-b)^2 ≧ 0, ここに 　s = a+b+c,　t = ab+bc+ca,　u = abc,　基本対称式 　�� = (a-b)(b-c)(c-a),　差積 中央と右側: 　pb+qc = x,　pc+qa = y,　pa+qb = z,　とおく。 　a+b+c = (x+y+z)/(p+q), よって 相加･調和平均より 　(x+y+z)^3 /(9xyz) = (x+y+z){F_0 + 3(xy+yz+zx)}/(9xyz) ≧ (1/3)(x+y+z)(1/x + 1/y + 1/z) ≧ 3, これを (p+q) で割る。ここに 　F_0 = (x-y)(x-z) + (y-z)(y-x) + (z-x)(z-y) 　　= (x^2 + y^2 + z^2) - (xy+yz+zx) 　　= (1/2){(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2} ≧ 0, 890 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/11(月) 20:17:25 ] nを正の整数とする。 (n+2)角形A1A2……AnA(n+1)A(n+2)について、面積をS 正整数kに対して辺AkA(k+1)の長さをx(k)とする。 このとき �納k=1_n] {(k^2-k+1)*(x(k))^2} + n*x(n+1)^2 ≧4S を示せ。 891 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/11(月) 20:28:43 ] 〔問題895〕 正の実数a,b,cに対して不等式 　a／{(s/3)+2b} + b／{(s/3)+2c} + c／{(s/3)+2a} ≧ 1, が成立することを示せ。 ただし、s = a+b+c. science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1220115988/895 東大入試作問者スレ１６ 　a/{(s/3) +2b} = a/{s +2(b -s/3)} ≧ a{s -2(b -s/3)}/(s^2) = a(5s-6b)/(3s^2), 巡回的にたす。 　(左辺) ≧ {5s^2 -6(ab+bc+ca)}/(3s^2) = (3s^2 +2F_0)/(3s^2) ≧ 1, ここに 　F_0 = s^2 - 3(ab+bc+ca) = (a-b)(a-c) + (b-c)(b-a) + (c-a)(c-b) = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} ≧ 0, 892 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/11(月) 22:56:21 ] >>886 つ problem.322 ttp://www.math.ust.hk/excalibur/v14_n1.pdf 893 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/12(火) 02:26:44 ] >>891 　ab+bc+ca ≦ (1/3)s^2, 　f(x) = 1/{(s/3)+2x} は単調減少かつ下に凸。 　(左辺) = a･f(b) + b･f(c) + c･f(a) ≧ s･f((ab+bc+ca)/s) ≧ s･f(s/3) = 1, 894 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/12(火) 02:34:51 ] パネェっす 895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/13(水) 03:26:07 ] nを正の整数とする。 (n+2)角形 A1A2……AnA(n+1)A(n+2) について、面積をS, 正整数kに対して、辺AkA(k+1) の長さをx(k)とする。(1≦k≦n+1) このとき 　(1/2)�納1≦i<j≦n+1] x_i･x_j ≧ S, を示せ。 896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/13(水) 05:00:00 ] 二年。 897 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/13(水) 23:27:15 ] >>895 180度より大きい内角が存在するような図形も考慮するの？ 898 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/16(土) 15:02:41 ] >>892 Problem 322. 　a+b+c=3 のとき、 　a^2･(b+1)/(a+b+ab) + b^2･(c+1)/(b+c+bc) + c^2･(a+1)/(c+a+ca) ≧ 2, (略証) 　a+b+c=s とする。 　D = (a+b+ab)/(b+1) + (b+c+bc)/(c+1) + (c+a+ca)/(a+1) 　　= (a+1) -1/(b+1) + (b+1) -1/(c+1) + (c+1) -1/(a+1) 　　= s + 3 -1/(a+1) -1/(b+1) -1/(c+1), ところで、 　1/(x+1) = 1/{2 + (x-1)} ≧ (1/4){2 - (x-1)} = (3-x)/4, より 　1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) ≧ (9-s)/4, あるいは、y=1/(x+1) は下に凸だから、 　1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) ≧ 3/(s/3 +1) = 9/(s+3), よって 　D ≦ s+3 - (9-s)/4 = (5s+3)/4 = 9/2,　あるいは 　D ≦ s+3 - 9/(s+3) = 9/2, コーシー不等式より 　(左辺) ≧ s^2 /D ≧ s^2 /{(5s+3)/4} = 2, あるいは 　(左辺) ≧ s^2 /D ≧ s^2 /{(s+3) -9/(s+3)} = 2, 899 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/16(土) 15:58:00 ] >>892 Problem 322. 　a,b,c>0, a+b+c=3 のとき、 　a^2･(b+1)/(a+b+ab) + b^2･(c+1)/(b+c+bc) + c^2･(a+1)/(c+a+ca) ≧ 2, (略証) 　xy ≦ (1/4)(x+y)^2, より 　(左辺) = (a-1) + (a+b)/(a+b+ab) + (b-1) + (b+c)/(b+c+bc) + (c-1) + (c+a)/(c+a+ca) 　　 = s-3 +(a+b)/(a+b+ab) + (b+c)/(b+c+bc) + (c+a)/(c+a+ca) 　　≧ s-3 + 1/{1 + (a+b)/4} + 1/{1 + (b+c)/4} + 1/{1 + (c+a)/4} 　　≧ s-3 + 9/(3 + s/2)　　　　　　　　　　　　(← 相加･調和平均) 　　= 2, 900 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/16(土) 16:43:25 ] >>895 凸でない場合は、凸でない部分を折り返すことで 辺の長さの構成を変えずにより面積を大きくできるので 凸の場合を考えればよい。 (n+2)角形を、点A1を端点の一つとする対角線で分割し それぞれで三角不等式を用いて上からおさえれば示せる。 901 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/16(土) 18:33:49 ] >>900 　正解でつ!! 三角形 Ａ1ＡjＡ(j+1) の面積は 　(1/2)Ａ1Ａj･x_j･sin(∠Ａ1ＡjＡ(j+1)) ≦ (1/2)Ａ1Ａj･x_j ≦ (1/2){x_1 + x_2 + ･････ + x_(j-1)}x_j これを j=2 から j=n+1 までたす。 　x_(n+2) を含まないところがミソ。この辺が重なるように2つ並べると･･･ 〔系〕 点対称または線対称な2n+2角形の 面積を S, 周長を 　L = 2(x_1 + x_2 + ･････ + x_n + x_(n+1)), とすると、 　{n/(8(n+1))}L^2 ≧ �納1≦i<j≦n+1] x_i･x_j ≧ S, ※　等周問題からは　{1/(4π)}L^2 ≧ S,　(等号成立は円のとき) 902 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/26(火) 03:04:31 ] a,b,cは正の実数でa+b+c=1を満たす。nを正の整数とするとき Π(k=0_n) 1/{1+a^(2^k)}{1+b^(2^k)}{1+c^(2^k)} ＞ 8abc を示せ。 903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/26(火) 09:33:40 ] >>902 難解すぐる… 904 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/26(火) 21:46:19 ] >>902 左辺に 　1 + a^(2^k) = {1 - a^(2^(k+1))}/{1 - a^(2^k)}, 等 を代入して 　Π(k=0,n) 1/{1 + a^(2^k)} = (1-a)/{1 - a^(2^(n+1))} > 1-a, 等(0<a,b,c<1) ここで a+b+c = s とおくと、 　(左辺) - (右辺) > (s-a)(s-b)(s-c) - 8abc 　　= s(ab+bc+ca) - 9abc 　　= a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 ≧ 0, ハｧハｧ 905 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/27(水) 01:16:53 ] Σ(ﾟДﾟ )！ ふ、ふつくしい… 906 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/27(水) 02:20:23 ] どの角も鈍角でない三角形ABCの三辺の長さをa,b,cとする。このとき (1/a^2+1/b^2+1/c^2)(a^2+b^2)≧5 を示せ。 907 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/27(水) 02:39:42 ] >>906 a,bを固定すると、c^2が最大のとき左辺は最小。 鈍角が無いからc^2=a^2+b^2が最大値である。 一般性を失うことなくa^2+b^2=1とすると、 左辺=1/a^2+1/b^2+1 なので、 a^2=b^2=1/2のときに最小値を取る。 908 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/27(水) 07:01:24 ] >>906 左辺に c^2 がないから、タイプミスかと思っていたぜ… 909 名前：１３２人目の素数さん [2009/05/28(木) 01:42:00 ] >>2の本でお薦めはありますか？ 910 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/28(木) 05:48:50 ] >>909 全てだ！ 911 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/28(木) 15:20:08 ] 実数x,y,zが、xyz=1,0＜x＜y≦1を満たすとき z/(y-x)≧4 を示せ。 912 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/28(木) 15:29:02 ] xyz=1　なので　z=1/(xy).　これをz/(y-x)≧4 に代入して整理すると、 xy(y-x)≦1/4 を示せばよいことがわかる。 相加相乗平均の関係式より x(y-x)≦y^2/4 なので、 xy(y-x)≦y^3/4≦1/4. 913 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/28(木) 19:58:50 ] 〔Stirlingの不等式〕 nが自然数のとき、 　√(2π)･n^(n +1/2)･e^(-n) < n! ≦ e･n^(n +1/2)･e^(-n), を示してくださいです。 できれば代数的に･･･ science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1242389481/50 東大入試作問者スレ１７ 914 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/28(木) 22:08:23 ] >>913 代数的とは？ 915 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/28(木) 22:50:08 ] >>914 　ビブンのことはしない、ってことぢゃね？ 916 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/28(木) 23:07:10 ] 解析使わないってことでしょ 917 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/28(木) 23:42:26 ] 積分による不等式評価もだめかしら。 expをどうやって定義しようか。 918 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/29(金) 05:18:05 ] >>913 オイラーの無限解析に書いてあるよとか確認せずに言って見るテスト 919 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/29(金) 06:10:07 ] >>918 責任もって確認してくるように！ 920 名前：１３２人目の素数さん [2009/05/30(土) 23:38:14 ] ノート派ですか？ルーズリーフですか？ □□□示すべき不等式□□□ （証明） ・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・ （証明2） ・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・ こんな感じで書いてるんですが、皆さんはどうですか？ 921 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/30(土) 23:56:10 ] >>920 TeXで書いて、別の証明があったら付け加えて…、の繰り返しだわな… ( ﾟ∀ﾟ)ﾃﾍｯ！ 922 名前：１３２人目の素数さん [2009/05/31(日) 00:48:23 ] 0＜a，b，cかつa＋b＋c＝6のとき （a＾a）（b＾b）（c＾c）≧（abc）＾2 923 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/31(日) 08:50:57 ] たいしょうせいよりうんたらかんたら たいすうとってちぇびしぇふ 924 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/31(日) 10:07:41 ] >>923 なるほど，上手いね！ 925 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/05/31(日) 23:08:05 ] >>906 は C≦90ﾟ ならおk. 蛇足だが、C>90ﾟ も許すと、 　(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2)(a^2 + b^2) > 9/2, (略証) コーシーより 　(1/a^2 + 1/b^2)(a^2 + b^2) = 4 + (a/b - b/a)^2 ≧ 4, c<a+b より 　c^2 < (a+b)^2 = 2(a^2 + b^2) - (a-b)^2 ≦ 2(a^2 + b^2), 　(1/c^2)(a^2 + b^2) > 1/2, 926 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/01(月) 03:22:29 ] >>920 ルーズリーフに大きく不等式を書いてセクションみたくして 次ページから証明を書けばよい そうすれば後から追加し放題じゃね？ 927 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/01(月) 14:42:43 ] >>926 なるほどなー TeXが使えなかったら、きっとそうしていたね！ 928 名前：926 mailto:sage [2009/06/02(火) 10:42:43 ] ページの片側だけ使うようにすれば，さらに視認性が上がる(ひっくり返さなくて済む) ただしページが倍になる．．． 929 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/02(火) 22:12:20 ] >>925 C≧90ﾟ のときは 　cos(C) ≦ 0, 　c^2 = a^2 + b^2 -2ab･cos(C) ≦ {1-cos(C)}(a^2 +b^2),　　第二余弦定理 　(1/c^2)(a^2 + b^2) ≧ 1/{1-cos(C)}, 　(906の左辺) ≧ 4 + 1/{1-cos(C)}, 930 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/02(火) 22:15:36 ] >>926 ？？？ 931 名前：926 mailto:sage [2009/06/02(火) 22:35:55 ] >>930 >>926>>928方式だと ルーズリーフの 1枚目表： 不等式(1) 2枚目表： 証明(1) ・・・3枚証明に割く・・・ 5枚目表： 証明(2) ・・・2枚証明に割く・・・ 7枚目表： 不等式(2) 8枚目表： 証明(1) ・・・以下続く・・・ 不等式(1)の証明が増えたら，7枚目の前に入れていく． セクションとは区切りね．不等式ごとに区切る．物理的という意味ではないが，目印として付箋貼っとくとかインデックスシール貼るとか，そのまんまルーズリーフ区切り入れるとか 932 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/03(水) 02:06:48 ] >>931 どのくらいのレベルの不等式から取捨選択するかによって大きく異なりそう 長方形ABCDの辺AD,CD(頂点は除く)上にそれぞれ点P,Qをとる PB+PQ<AB+AQ a,b,cは自然数とする 2^(a+b)+2^(b+c)+2^(c+a)≧2^(a+b+c+1)+1 933 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/04(木) 01:12:43 ] 　2^(a+b) + 2^(b+c) + 2^(c+a) ≦ 2^(a+b+c) + 4, (略証) A,B,C≧0 のとき 　(2+A)(2+B)(2+C) +4 -(2+A)(2+B) -(2+B)(2+C) - (2+C)(2+A) = AB+BC+CA + ABC ≧ 0,

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