不等式への招待 第３章

1 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/13(日) 05:00:00 ] ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める… 　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 ----- 　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　 　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　 　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ… 　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ 　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ 過去スレ ・不等式スレッド （Part1）　 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/ ・不等式への招待 第２章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/ 過去スレのミラー置き場：briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/ まとめWiki　wiki.livedoor.jp/loveinequality/ 姉妹サイト（？） Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000 294 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/02/14(木) 11:48:43 ] Reply:>>293 自分または自分の親戚がよそ者かどうか考えてみよ。 295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 22:15:57 ] >>277 示すべき不等式を整理すると 　| N | < D, を示せばよいことがわかる。ここに N = xyz + (x+y+z),　D = (xy+yz+zx) +1, 問題文に (x,y,z) の絶対値は1より小さい, とある。よって 　D + N = (1+x)(1+y)(1+z) >0, 　D - N = (1-x)(1-y)(1-z) >0, 辺々掛けて 　D^2 - N^2 = (1-x^2)(1-y^2)(1-z^2) >0, 　| N | < D, 296 名前：KBumDUXdQj mailto:zpwgbs@osgcqr.com [2008/02/28(木) 11:50:58 ] pUNSrO <a href="khiyeukbkpro.com/">khiyeukbkpro</a>, [url=tozwceqtvhzs.com/]tozwceqtvhzs[/url], [link=sisigqwdtxhd.com/]sisigqwdtxhd[/link], yllgcklstqui.com/ 297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/08(土) 20:45:38 ] 自然数 n に対し、 a[n] = (1 + 1/n)^n とする。 a[n+1] - a[n] < a[n] / {2 * (n+1)^2} を示せ。 ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十四問 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/69 （補注） n=1 だと左辺＝右辺だから n≧2 の誤りだと思われる。 298 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/12(水) 00:29:56 ] 同スレからもう一題。 82 ：69：2008/03/09(日) 18:11:30 【補題】 x,y>0 のとき 　x^(n+1) - (n+1)x･y^n + n･y^(n+1) ≧0, 　等号成立は x=y のとき。 (略証) 　(左辺) = (x-y)^2･Σ[k=０,n-1] (k+1)･x^(n-k-1)･y^k,　より明らか。 　{S_n = 1 + 2r + 3r^2 + … + n･r^(n-1) を求める頻出問題より} science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/82 ------------------------------------------------------- (別証) 　(左辺) = (x-y)S, ここに 　S = x^n + x^(n-1)･y + …… + x･y^(n-1) - n･y^n = Σ[k=0,n-1] {x^(n-k) - y^(n-k)}･y^k, とおいた。 x>y>0 のとき S >0, 　(左辺) = (x-y)S >0. y>x>0 のとき S <0, 　(左辺) = (x-y)S >0.　(終) 299 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/12(水) 04:31:35 ] 入試レベルの不等式キボンヌ 300 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/12(水) 04:34:48 ] ヘルダーの不等式を証明汁 301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/12(水) 08:50:42 ] >>300 wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%a5%d8%a5%eb%a5%c0%a1%bc%a4%ce%c9%d4%c5%f9%bc%b0%a4%ce%be%da%cc%c0 302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/16(日) 22:15:52 ] 同スレからもう一題。 【問題】(改作) n≧2 とし、n次元Euclid空間を考える。 半径rの超球面（中心は原点にある）と座標軸の交点は2n個ある。 半径r'の超球の内部（超球面を含む）にある点Pから2n個の交点までの距離の積の最大値をもとめよ。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/162, 165 303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/16(日) 22:23:59 ] >302 (略解) 各点の座標を 　O = (0,0,…,0),　　原点 　A_1 = ( r,0,…,0),　A_2 = (0, r,0,…,0), ……, A_n = (0,…,0, r), 　B_1 = (-r,0,…,0),　B_2 = (0,-r,0,…,0), ……, B_n = (0,…,0,-r), 　P = (x_1,x_2,…,x_n) とおく。題意より 　OP = √｛(x_1)^2 + (x_2)^2 + … + (x_n)^2｝ ≦ r'. Π[i=1,n] A_iP・B_iP の最大値をもとめる。 　(A_iP・B_iP)^2 = {(x_1)^2 + … + (x_(i-1))^2 +(x_i -r)^2 + (x_(i+1))^2 + … + (x_n)^2} 　　　　　　　　 * {(x_1)^2 + … + (x_(i-1))^2 +(x_i +r)^2 + (x_(i+1))^2 + … + (x_n)^2} 　　　　　　　　 = (OP^2 + r^2 - 2r･x_i)(OP^2 + r^2 + 2r･x_i) 　　　　　　　　 = (OP^2 + r^2)^2 - (2r･x_i)^2, i=1,2,…,n について相加・相乗平均をとる。 　(Π[i=1,n] A_iP・B_iP)^(2/n) ≦ (OP^2 + r^2)^2 - (1/n)(2r･OP)^2 = OP^4 + (2- 4/n)(r･OP)^2 + r^4, 等号成立は |x_1| = |x_2| = … = |x_n| = OP/√n のとき。 題意より OP≦r', n≧2 だから、 　Π[i=1,n] A_iP・B_iP ≦ {(r')^4 + (2- 4/n)(r･r')^2 + r^4}^(n/2), とくに r'=r のとき 　Π[i=1,n] A_iP・B_iP ≦ {4(1 -1/n)}^(n/2) r^(2n), (例) 　n=2, r'=r のとき 2r^4, 　n=3, r'=r のとき (8/3)^(3/2) r^6. 304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/16(日) 23:25:16 ] 半径１として考える。超球体の点x=(x1,...,x_n)を 単位ベクトルt=(t1,..,tn)を使ってx=rt (0≦r≦1)と書く。 (距離の積の２乗) =Π{(r^2+1)^2-4r^2(t_i)^2} ≦{(1/n)Σ((r^2+1)^2-4r^2(t_i)^2)}^n （相加相乗） ={(r^2+1)^2-(4/n)r^2}^n ={(r^2+(1-2/n))^2+1-(1-2/n)^2}^n よって右辺はr=1で最大となるから 距離の積はr=1, |t1|=...=|tn|(=1/√n) のとき最大値(4-4/n)^(n/2) 305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/16(日) 23:26:15 ] ﾘﾛｰﾄﾞしてなかったorz 306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/28(金) 01:59:51 ] 同スレからもう一題… 〔問題244〕(改作) 三角形の三辺をa,b,cとし、外接円の半径をRとおく。このとき次を示せ。 　R ≧ {√(a^2 +b^2 +c^2)}/3,　等号成立は R√3 =a=b=c のとき。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1204606214/244 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/29(土) 00:24:53 ] >306 (略解) 　a,b,cに対する頂角をA,B,C とする。 　a^2 + b^2 + c^2 = (-a^2+b^2+c^2) + (a^2-b^2+c^2) + (a^2+b^2-c^2) 　　　= 2bc･cosA) + 2ca･cos(B) + 2ab･cos(C) 　　　(←第2余弦定理) 　　　= (8R^2){cos(A)sin(B)sin(C) + sin(A)cos(B)sin(C) + sin(A)sin(B)cos(C)} 　　　= (8R^2){ -cos(A+B+C) + cos(A)cos(B)cos(C)}　　　　　　　　(*) 　　　= (8R^2){ 1 + cos(A)cos(B)cos(C)}　　　　　　　　　(← A+B+C=180ﾟ) 　　　≦(9R^2). (*)　exp(iA)exp(iB)exp(iC) = exp(i(A+B+C)) の実部をとる。 〔補題〕 　三角形の三頂角をA,B,Cとするとき、cos(A)cos(B)cos(C)≦ 1/8,　等号成立は A=B=C=60ﾟ のとき。 (略証) 　・鈍角3角形のときは、残りの2角は90ﾟ未満だから cos(A)cos(B)cos(C) <0, 　・鋭角3角形のときは、子s(A),cos(B),cos(C)≧0, 　　相乗・相加平均と cos(x) が上に凸であることから｛または log(cos(x))が上に凸であることから｝ 　　cos(A)cos(B)cos(C) ≦ {[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3}^(1/3) ≦ cos((A+B+C)/3)^3 　　　　= (1/2)^3 = 1/8,　　　　　　　　　　　(← A+B+C=180ﾟ)　　　(終) 308 名前：307 mailto:sage [2008/03/29(土) 03:10:13 ] 訂正。スマソ。 　　cos(A)cos(B)cos(C) ≦ {[cos(A)+cos(B)+cos(C)]/3}^3 ≦ cos((A+B+C)/3)^3 309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/30(日) 16:20:16 ] 相加相乗の不等式をできるだけ多くの方法で証明せよ 310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/30(日) 23:25:44 ] >>309 君がしたまえ！ 311 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/31(月) 23:11:01 ] >>306 [同スレ262] 既に解かれているが別解。 a ≦ b ≦ c として考えてよい。 R = abc/4S　　（S は三角形の面積） 　= abc/√{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}　　（∵ヘロンの公式） 　= {√(a^2 + b^2 + c^2)}/3 ∴ 9 a^2 b^2 c^2 = (a^2 + b^2 + c^2)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) 0 = 左辺 - 右辺 　= a^6 + b^6 + c^6 + 3 a^2 b^2 c^2 - a^4 b^2 - a^4 c^2 - b^4 a^2 - b^4 c^2 - c^4 a^2 - c^4 b^2 　= a^2 (b^2 - a^2) (c^2 - a^2) + (c^2 - b^2)^2 (c^2 + b^2 - a^2) 　≧ 0　　（∵ a ≦ b ≦ c） だから等号は成り立っていなければならない。 等号の成立条件は {a = b または a = c} かつ b = c すなわち a = b = c。 このとき R = a/√3。 312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/05(月) 23:07:28 ] 801 313 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/06(火) 00:59:34 ] age 314 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/06(火) 17:50:09 ] >>309 n個の正の数 {a,b,c,…} の相乗平均をGとする。 すべての要素がGに等しい場合を除いて、 a < G < b となるような要素a,bがある。ここで 　a' = G, b' = a･b/G, と変更しても相乗平均はGのまま。一方、相加平均は 　(G + a･b/G)/2 - (a+b)/2= -(G-a)(b-G)/G <0 より減少する。 この変更操作を繰り返すと、(n-1)回以内にすべての要素がGに等しくなり、相加平均もGになる。 しかし相加平均は減り続けた筈だから、元々の相加平均Aは Gより大きかった。(終) 参考文献[3] の p.71-72 315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/07(水) 00:27:35 ] 0≦x≦1,0≦y≦1,0≦z≦1の範囲で {(x+y+z)/3}+√{x(1-x)+y(1-y)+z(1-z)} のとりえる値の最大値を求めよ。 316 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/05/08(木) 09:06:26 ] 半径rの球面上を4点A，B，C，Dが動く．このとき， 　　AB↑･AC↑+AC↑･AD↑+AD↑･AB↑ の最小値をrで表せ． 317 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/08(木) 11:22:51 ] >>316 0 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/10(土) 19:26:12 ] >>315 (x+y+z)/3 =A の断面で考える。　Σ逆順序積 ≦ Σ乱順序積 より 　x(1-x) + y(1-y) + z(1-z) ≦ (x+y+z)(3-x-y-z)/3 = 3A(1-A), よって 　(与式) ≦ A + √[3A(1-A)] 　= (3/2) - {(3/2 -A) - √[3A(1-A)] } 　= (3/2) - 4(A -3/4)^2／{(3/2 -A) + √[3A(1-A)]} ≦ 3/2, 等号成立は A=3/4, x=y=z=3/4 のとき。 >>316 球の中心をOとし、OA↑=ａ↑, OB↑=ｂ↑, OC↑=ｃ↑, OD↑=ｄ↑ とおく。 　(与式) = (ｂ-ａ)(ｃ-ａ) + (ｃ-ａ)(ｄ-ａ) + (ｄ-ａ)(ｂ-ａ) 　　= ｂ･ｃ + ｃ･ｄ + ｄ･ｂ -2(ａ･(ｂ+ｃ+ｄ)) + 3(ａ･ａ) 　　= (Ｓ^2 -ｂ^2 -ｃ^2 -ｄ^2)/2 -2(ａ･Ｓ) + 3(ａ･ａ)　　　(← Ｓ=ｂ+ｃ+ｄ) 　　= (1/2)(Ｓ-2ａ)^2 + ａ^2 - (1/2)(ｂ^2 +ｃ^2 +ｄ^2)　　　(← 平方完成) 　　≧ a^2 - (1/2)(ｂ^2+ｃ^2+ｄ^2) 　　= -(1/2)r^2, 等号成立は Ｓ = ｂ+ｃ+ｄ = 2ａ のとき。 　(例えば、 △BCDが正3角形、その重心の方向にAがあり、∠AOB=∠AOC=∠AOD=arccos(2/3).) 319 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/14(水) 03:01:17 ] (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! 320 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/14(水) 03:01:34 ] (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! 321 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/14(水) 03:01:49 ] (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! 322 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/14(水) 03:02:03 ] (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! 323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/14(水) 03:46:36 ] ん？タン虫は４連で終わり？ つまらん！ １０００までやりゃいいのに 324 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/14(水) 21:44:03 ] 宿題ですが。。解き方が、わかりませんので、教えてください。 不等式2a-1/3<xを満たすxの最小の整数値が4であるとき、整数aの値をすべて求めなさい。 っていう問題です。 3≦2a-1/3＜4　を満たす　a　 を求めればよい。となっていますが、 5/3≦a＜13/6 となり a＝２　と答はなりますが。。 解き方として 2a-1/3＜4　は、xに４を代入（最小の整数値は４のため）分かりますが 2a-1/3≧3　がどうして３がでてくるのか分かりません。 機械的に、不等式で最小の整数値と出てきた問題は 　　　整数値をBとした場合 　　　　B-1≦式＜B 　と機械式に覚えるのでしょうか。 また、不等式で最大の整数値と出てきた問題は 　　　　整数値をCとした場合 　　　　C＜式≦C+1　　と機械式に覚えるのでしょうか。 　　　　 325 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/14(水) 22:20:06 ] >>324 2a-1/3＜4　は成り立つが 2a-1/3＜3　は成立たない。（← 4は最小値） 326 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/20(火) 20:20:39 ] a[1],・・・,a[n]>0 に対し, 不等式 　(a[1]/a[2])+(a[2]/a[3])+・・・+(a[n]/a[1]) 　≧{(a[1]+a[2])/(a[2]+a[3])}+{(a[2]+a[3])/(a[3]+a[4])} 　　+・・・+{(a[n]+a[1])/(a[1]+a[2])} が成立することを証明せよ. （出典；数学セミナー） 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/21(水) 00:48:10 ] ベクトルで…と思ったが、分けわかめ ('A`) 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/23(金) 15:21:27 ] >>327 低脳は書き込まないように。 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/24(土) 00:15:18 ] >>328 330 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/24(土) 14:15:32 ] >>328 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/24(土) 14:16:56 ] >>328 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/24(土) 21:01:37 ] >>314 蛇足だが… その変更操作によって調和平均は 　2ab/(G + ab/G) = 2ab/(a+b-��) > 2ab/(a+b), により増加する。 　…… しかし調和平均は増え続けた筈だから、元々の調和平均HはGより小さかった。(終) 333 名前：１３２人目の素数さん [2008/05/28(水) 17:29:13 ] science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/79 から転載 nPk < (k! 2^n)/√n が成り立つことを示せ ただしnPkは順列の個数を意味する 334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/05/31(土) 20:35:13 ] >>333 nＰk /k! = C(n,k) とおくと、問題の式は C(n,k) < (2^n)/√n, 　 C(n,k) = C(n,k-1)*((n+1-k)/k), より、左辺は k=[n/2] に向かって単調に増加する。 ∴ C(n,k) ≦ C(n,[n/2]), 〔補題〕 　C(n,[n/2]) ≦ (2^n)/√(n+2), 　等号成立は n=2 のとき。 (略証) nについての帰納法による。 n=1,2 のとき成立。 nが偶数のとき、n=2m, 　C(2m,m) = 4{(m -1/2)/m}･C(2m-2,m-1) < 4√{2m/(2m+2)}･C(2m-2,m-1), 　C(2m,m){1/[2^(2m)]}√(2m+2) は単調減少。 　C(2m,m) ≦ {2^(2m)}/√(2m+2), nが奇数のとき、 　C(2m-1,m) = (1/2)C(2m,m) < {2^(2m-1)}/√(2m+2),　　　(終) ※ 分母を √(n+2) にすると、間単に出る所がミソ。 335 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/04(水) 02:51:52 ] >>334 の補足 　C(n,k) = n!/{k!(n-k)!} = n!/{(k-1)!(n+1-k)!}*((n+1-k)/k) = C(n,k-1)*((n+1-k)/k), 　(m -1/2) /m < √{2m/(2m+2)}, (略証) 　2m(m^2) - (2m+2)(m -1/2)^2 = 2m^3 -2(m+1)(m^2 -m +1/4) = (3m-1)/2 >0, 336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/08(日) 22:07:04 ] 〔問題83〕(改作) a,b,c>0 とする. 　a^4 + b^4 + c^4 ≧ (ca)^2 + (ab)^2 + (bc)^2 ≧ abc(a+b+c) ≧ abc{√(bc) + √(ca) + √(ab)} ≧ 3(abc)^(4/3), を示せ。 東大入試作問者スレ１５ science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/83 --------------------------------------------------------- (略証) 左端 　(1/2)(a^4 + b^4) ≧ (ab)^2, 　巡回的にたす。 中央左 　(1/2){(ca)^2 + (ab)^2} = (1/2)(a^2)(c^2 + b^2) ≧ (a^2)bc, 　巡回的にたす。 中央右 　(1/2)(b+c) ≧ √(bc), 　巡回的にたす。 右端 　√(bc) + √(ca) + √(ab) ≧ 3{√(bc)√(ca)√(ab)}^(1/3) = 3(abc)^(1/3), 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/08(日) 23:13:45 ] ﾊｧﾊｧ… 338 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/14(土) 19:02:42 ] >>326 a[k]/a[k+1] = b[k] とおく。 　(右辺) = Σ_{k=1,n} (a[k] + a[k+1]) / (a[k+1] + a[k+2]) 　　= Σ_{k=1,n} (b[k] +1) / (1 + 1/b[k+1]) 　　= Σ_{k=1,n} (b[k] +1) * b[k+1]/(b[k+1] +1) ここで x/(x+1) = 1 - 1/(x+1) は単調増加ゆえ、チェビシェフ和の不等式から 　　≦Σ_{k=1,n} (b[k] +1) * b[k]/(b[k] +1) 　　= Σ_{k=1,n} b[k] 　　= (左辺). ただし、a[n+1]=a[1], a[n+2]=a[2] 等とした。 ぬるぽ mathworld.wolfram.com/ChebyshevSumInequality.html 339 名前：１３２人目の素数さん [2008/06/23(月) 23:58:44 ] a,b,c を実数，ｎを自然数としたとき，次の不等式を示せ． |a+b+c|^{2n/n+1} ≦ 3^{2n/n+1} { |a|^{2n/n+1} + |b|^{2n/n+1} + |c|^{2n/n+1} } 340 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/24(火) 01:01:32 ] >>339　|a+b+c|≦3*max{|a|, |b|, |c|}　から明らか。 341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/26(木) 05:30:00 ] 543 www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2008/prob_apr.pdf B4101 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200805&t=mat&l=en A.447 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200802&t=mat&l=en B.4043 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200712&t=mat&l=en B.4049 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200712&t=mat&l=en A.439、B.4040 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200711&t=mat&l=en A.435、A436、B.4029 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200710&t=mat&l=en A.433、B4019、B4021 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200709&t=mat&l=en B.4101（懐かしい） www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200805&t=mat&l=en 342 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/26(木) 05:31:02 ] 【f(x)】 A.450 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200803&t=mat&l=en B.4060 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200801&t=mat&l=en 【nCr】 B.4091 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200804&t=mat&l=en 【other】 B.4046 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200712&t=mat&l=en B.4035 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200711&t=mat&l=en B.4031 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200710&t=mat&l=en B.4097 www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200805&t=mat&l=en 雑事が多くて、ﾊｧﾊｧする時間が取れな… ｹﾞﾌﾝｹﾞﾌﾝ 343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/28(土) 14:55:09 ] 【問題148】(改作) 　sin(cosθ)、cos(sinθ) の大小を比較せよ。 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/148 --------------------------------------------------- (略解) ・|θ| < π/2 のとき, |sin(x)| ≦ |x| より 　|sin(cosθ)| < |cosθ| = cosθ ≦ cos(sinθ), ・cosθ ≦0 のとき 　-1 ≦ cosθ ≦0, 　sin(cosθ) ≦ 0 < cos(1) ≦ cos(sinθ), 344 名前：１３２人目の素数さん [2008/06/28(土) 21:48:06 ] >>341 A.435ムズイな… 345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/28(土) 21:58:18 ] >>341 やさしいのは･･･ B.4019. 　　1/(2k+1)^2 < 1/{4k(k+1)} = 1/(4k) - 1/(4(k+1)), 　より 　　(左辺) < 1/4 - 1/(4(n+1)) < 1/4. 　なお、真の極限値は (3/4)ζ(2) -1 = (3/4)(π^2)/6 -1 = (π^2)/8 -1 = 0.23370055013617･･･ B.4035. 積和公式 　2cos(kx)sin(x/2) = sin((k+1/2)x) - sin((k-1/2)x), を使うと 　(左辺) = sin((11/2)x) / sin(x/2), 　x=(2/11)nπ, 　　(nは整数, 但し11の倍数を除く.) B.4043. 　(a,b,c,d) = (1,3,5,11)　(1,2,8,17) B.4046. 　(a,b) = (169/9, 196/9)　　順不同 　|a-b|=3, 346 名前：345 mailto:sage [2008/06/28(土) 22:07:34 ] 〔問題〕は↓でつ･･･ B.4019. Prove that 　　　1/(3^2) + 1/(5^2) + ･･･ + 1/(2n+1)^2 < 1/4, 　for every positive integer n. B.4035. Solve the following equation: 　　　2cos(5x) + 2cos(4x) + 2cos(3x) + 2cos(2x) + 2cos(x) + 1 = 0. B.4043. For what pairwise-different positive integers is the value of 　　　a/(a+1) + b/(b+1) + c/(c+1) + d/(d+1) = 3, or 　　　1/(a+1) + 1/(b+1) + 1/(c+1) + 1/(d+1) = 1 ? B.4046. Solve the following simultaneous equations: 　　　a√a + b√b = 183, 　　　a√b + b√a = 182, 347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/29(日) 00:50:11 ] 私のコレクションの中にも無いなぁ… 348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/06/30(月) 22:51:51 ] A436とか微妙におもしろいね。不等式ならでは。解析ならでは。 349 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/02(水) 01:21:20 ] 中心がＯで半径１の円に内接する△ＡＢＣがある。 ↑ＯＡ＝↑ａ、↑ＯＢ＝↑ｂ、↑ＯＣ＝↑ｃ とするとき ↑ａ・↑ｂ＋↑ｂ・↑ｃ＋↑ｃ・↑ａ の取りうる値の範囲を求めよ。 350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/02(水) 20:57:26 ] >>341 B.4040. 　a=tan(A/2), b=tan(B/2), c=tan(C/2)　　　　(0<A,B,C<π) とおく。附帯条件から 　cot((A+B+C)/2) = (1-ab-bc-ca)/(a+b+c-abc) = 0, 　A+B+C = π, 　ABCは三角形をなす。 (1) 鋭角三角形（or直角三角形）のとき 　(左辺) = cos(A) + cos(B) + cos(C) ≦ 3cos((A+B+C)/3)　　(← 上に凸) 　　　　= 3cos(π/3) = 3/2. (2) 鈍角三角形のとき、0<A,B<π/2<C とする。 　　　(左辺) = cos(A) + cos(B) + cos(C) ≦ 2cos((A+B)/2) + cos(C)　(← 上に凸) 　　　　= 2sin(C/2) + cos(C) = 1 +2sin(C/2) -2sin(C/2)^2 　　　　= √2 - 2{sin(C/2) -(1/√2)}{sin(C/2) -1 +(1/√2)} < √2　　(← sin(C/2) > 1/√2) 351 名前：350 mailto:sage [2008/07/02(水) 21:18:08 ] 〔問題〕は↓でつ･･･ B.4040. 　a,b,c are positive real numbers, and ab+bc+ca=1. Prove that 　(1-a^2)/(1+a^2) + (1-b^2)/(1+b^2) + (1-c^2)/(1+c^2) ≦ 3/2. 352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/03(木) 01:31:20 ] >>351 ab+bc+ca=1 をみたす正の数 a、b、c に対して、 　 1/(1+a^2) + 1/(1+b^2) + 1/(1+c^2) ≦ 9/4 を示せばよい。 s = a+b+c、t = ab+bc+ca、u = abc とおくと、 t=1、u > 0 より、 　 （右辺）-（左辺） = (s-9u)(s-u)/{4(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)} ≧ 0 等号成立条件は a=b=c． なぜならばっ！ なぜならばっ！ 　 s-u > s-9u = st-9u ≧ 0 （←相加相乗平均の関係） 蛇足、t=1 より 　 s-u = st-u = (a+b)(b+c)(c+a) > 0 　 s-9u = st-9u = c(a-b)^2 + a(b-c)^2 + b(c-a)^2 ≧ 0 　　　　　　　　　　＿＿＿　　 　　　　|┃三　.／　　≧　＼ 　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　久々の出番だね！ 　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ… 　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　ﾊ,ｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ… 　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ 353 名前：350-351 mailto:sage [2008/07/03(木) 23:28:16 ] >>352 　成る程。 >>350 は牛刀だったか･･･orz. >>349 　(与式) = ↑a･↑b + ↑b･↑c + ↑c･↑a = {|↑a + ↑b + ↑c|^2 - |a↑|^2 - |b↑|^2 - |c↑|^2 }/2 　= {|↑a + ↑b + ↑c|^2 -3}/2, ここに 　0 ≦ |↑a + ↑b + ↑c| ≦ 3, 　-3/2 ≦ (与式) ≦ 3, 等号成立は (左側 :ABCが正三角形のとき,　右側 : A=B=C のとき） ハｧ ハｧ >>350 354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/03(木) 23:58:49 ] >>353 牛刀も大歓迎です！ (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ… なぜならばっ！ なぜならばっ！ 不等式ヲタだからです！ 別解が多いほど興奮するからです！ 355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/04(金) 23:51:52 ] B.4101. Assume xyz=8. Prove that 1/√(1+x^2) + 1/√(1+y^2) + 1/√(1+z^2) ≧ 1, 不等式スレッド　143-157 IMO-2001 (USA) Problem 2 の類題らしいよ。 imo.wolfram.com/problemset/index.html 356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/05(土) 04:38:10 ] >>355 解けたけど芋のもんだいよりは簡単だった。 357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/06(日) 10:42:24 ] >>341 , >>355 念のため･･･ B.4101. 　a=k／(x^(3/2)), b=k／(y^(3/2)), c=k／(z^(3/2)),　(k>0) とおくと x^2 = 4bc/a^2, y^2 = 4ca/b^2, z^2 = 4ab/c^2, 　(左辺) = a/√(a^2 + 4bc) + b/√(b^2 + 4ca) + c/√(c^2 + 4ab) 　　　≧ a/√{a^2 +(b+c)^2} + b/√{b^2 +(c+a)^2} + c/√{c^2 +(a+b)^2} (← 相乗相加平均) 　　　> a/(a+b+c) + b/(a+b+c) + c/(a+b+c) 　　　= 1. 358 名前：357 mailto:sage [2008/07/06(日) 10:49:06 ] >357 の訂正、ｽﾏｿ 　a=k／(x^(2/3)), b=k／(y^(2/3)), c=k／(z^(2/3)),　(k>0) とおくと 359 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/09(水) 17:25:53 ] 誰かA.435解いて〜 360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/09(水) 17:27:45 ] ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十五問 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/231 nは自然数とする {Σ[k=0→2n](C[2n,k])}/{Σ[k=0→n](C[n,k])^2}≦2√n を示せ 361 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/10(木) 00:11:21 ] バーゼル不等式を自力で見つけた俺は普通より上 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 21:42:46 ] A435 s1=a+b+c,s2=ab+bc+ca,s3=abc S1*S2/S3≧6{a/(s1-a)+b/(s1-b)+c/(s1-c)} 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 21:45:10 ] a/(s1-a)+b/(s1-b)+c/(s1-c)={a(s1-b)(s1-c)+b(s1-c)(s1-a)+c(s1-a)(s1-b)}/{(s1-a)(s1-b)(s1-c)} 364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 21:50:42 ] a(s1-b)(s1-c)+b(s1-c)(s1-a)+c(s1-a)(s1-b) =(a+b+c)s1^2-(ab+ac+bc+ab+ca+bc)S1-3abc =S1^3-S1*S2-3*S3 365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 21:53:15 ] >>362-364 証明になっとらん 366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 21:53:25 ] a(s1-b)(s1-c)+b(s1-c)(s1-a)+c(s1-a)(s1-b) =(a+b+c)s1^2-(ab+ac+bc+ab+ca+bc)S1+3abc =S1^3-2*S1*S2+3*S3 (s1-a)(s1-b)(s1-c)=S1^3-(a+b+c)S1^2+(ab+bc+ca)S1-abc =S1*S2-S3 367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 21:57:14 ] >>366 続き教えてください 368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 21:58:19 ] S1*S2/S3≧6{S1^3-2*S1*S2+3*S3}/{S1*S2-S3} S1*S2*{S1*S2-S3}-6*S3*{S1^3-2*S1*S2+3*S3}≧0 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 22:02:04 ] -6*S3*S1^3+S2^2*S1^2+13*S2*S3*S1-18*S3^2≧0 370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 22:08:15 ] >>369 それが常に成り立つことの証明は？ 371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/10(木) 23:05:37 ] >>360 　(分子) = Σ[k=0→2n] C[2n,k] = (1+1)^(2n) = 2^(2n), 　(分母) = Σ[k=0→n] (C[n,k])^2 = Σ[k=0→n] C[n,k]･C[n,n-k] = C[n+n,n], より 　(左辺) = {2^(2n)}/C[2n,n] = b[n] とおく。 　b[1] = 2 = √(2n), 　b[n]/b[n-1] = 4*(n*n)/[(2n)(2n-1)] = n/(n - 1/2) 　　= √{n*n/(n - 1/2)(n - 1/2)} 　　= √{n/(n-1)} * √{(n-1)n/[(n-1)n + (1/4)]} 　　< √{n/(n-1)}. ∴　b[n]/√(2n) は単調減少。 なお、 　b[n]/√(2n) → (√π)/2,　　　　(n→∞) science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/239 372 名前：371 mailto:sage [2008/07/10(木) 23:08:51 ] 　b[1] = 2 = 2√n, 　b[n]/b[n-1] = 4*(n*n)/[(2n)(2n-1)] = n/(n - 1/2) 　　= √{n*n/(n - 1/2)(n - 1/2)} 　　= √{n/(n-1)} * √{(n-1)n/[(n-1)n + (1/4)]} 　　< √{n/(n-1)}. ∴　b[n]/(2√n) は単調減少。 なお、 　b[n]/(2√n) → √(π/2),　　　　(n→∞) 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 10:14:37 ] a,b,cは0より大きく1/2より小さい実数でa+b+c=1を満たすとする。このとき (7a-1)/(a-a^2)+(7b-1)/(b-b^2)+(7c-1)/(c-c^2)≦18 374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/11(金) 10:15:47 ] >>373 0＜a,b,c≦1/2 で考えてください。m(_ _)m 375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/13(日) 11:09:47 ] ∫[-1,1]|x^2+ax+b|dx≧1/2 を示せ 376 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/13(日) 18:12:00 ] 今までで一番綺麗だと思った不等式は何ですか 377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/13(日) 20:49:27 ] >376 シュワルツの不等式 378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 21:51:14 ] >>375 (ア)　[-1,1] 内に x^2 +ax+b =0 の2根がない場合は 　a ,bを適当に動かすことによって [-1,1]の全域にわたり |x^2 +ax +b| を減少させることが可能(証略)。 (イ)　[-1,1] 内に x^2 +ax +b =0 の2根がある場合 -1≦α≦β≦1 と置いて積分を実行！ 　(左辺) = ∫_[-1,α] (α-x)(β-x)dx + ∫_[α,β] (x-α)(β-x)dx + ∫_[β,1] (x-α)(x-β)dx 　　　= {(1/6)(3β-α)α^2 + b - (1/2)a + (1/3)} + (1/6)(β-α)^3 + {(1/6)(β-3α)β^2 + b + (1/2)a + (1/3)} 　　　= (1/3)(β-α)^3 + 2b + 2/3　　　　　　　　　　　　(αβ≧0 のときは 明らかに ≧2/3) 　　　= (1/3)(β-α)^3 -(1/2)(β-α)^2 + 1/6 + (1/2)a^2 + 1/2　(← 以下、α≦0≦β とした.) 　　　= (1/3)(β-α +1/2)(β-α-1)^2 + (1/2)a^2 + 1/2 　　　≧ 1/2. 等号成立は β-α=1 かつ α+β= -a =0、すなわち α=-1/2, β=1/2 のとき. (終) いくら何でもマンドクセ？ 379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 22:40:32 ] >>342 B.4097. 　(x,y) = (6,2), (50,10), (294,42). >>377 　さようなら。 　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1110615777/ >>378　　　　(← 注釈無用) 380 名前：379 mailto:sage [2008/07/14(月) 22:44:37 ] 〔問題〕は↓でつ･･･ B.4097. Solve the following equation on the set of integers: 　　　2^((x-y)/y) − (3/2)y = 1. 381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/14(月) 23:29:34 ] >>380 そういや、まだ考えてなかった… 382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/15(火) 13:27:24 ] Jensenの不等式で f(t_1･x_1+…+t_n･x_n)<=t_1･f(x_1)+…+t_n･f(x_n) が証明されて、特に t_1=…=t_=1/n とおけば f((x_1+…+x_n)/n)<=(f(x_1)+…+f(x_n))/n ですが、 t_1+…+t_n=1 の場合を示さないで、直接 f((x_1+…+x_n)/n)<=(f(x_1)+…+f(x_n))/n を示すことは可能なんですかね？ 383 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/16(水) 23:32:04 ] 入試問題でも貼ろうか？ 384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/16(水) 23:36:21 ] 不等式ならドンと来い 385 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/16(水) 23:59:00 ] 2S|x^2+ax+b|>2S|(1+a)x^2+b|>2S|x^2+b|>2S|x^2|>2/3|x|>2/3>1/2 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/17(木) 01:05:11 ] >>380 x,yは整数でy≠0よりx≠0、さらに2^(x/y)は整数よりy|xかつｘ≧y≧1 あとはゴリ押しで、任意の正整数nに対して x=(2/3)(2n+1)((2^n)-1)((2^n)+1)、y=(2/3)((2^n)-1)((2^n)+1) が求める整数解となる 不等式とか関係ない気がするが 387 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/17(木) 02:16:55 ] ａ≧０，ｂ≧０，ｃ≧０，ａ＋ｂ≧ｃのとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ ｛ａ／（１＋ａ）｝＋｛ｂ／（１＋ｂ）｝≧ｃ／（１＋ｃ） （５３群馬大，５９中部工大） ２数ａ，ｂがａ＞０，ｂ＞０，ａ＋ｂ＝１を満たすとき， ｛ａ＋（１／ａ）｝＾２＋｛ｂ＋（１／ｂ）｝＾２≧２５／２ を証明せよ （５２茨城大） ３つの正数ｘ，ｙ，ｚがｘ＋ｙ＋ｚ＝１をみたすとき，不等式 ｛２＋（１／ｘ）｝｛２＋（１／ｙ）｝｛２＋（１＋ｚ）｝≧１２５ が成り立つことを示せ （５８東京女大・数理） ｎは２５以上の定数，ｘ，ｙ，ｚは負でない整数で，ｘ＋ｙ＋ｚ＝２５のとき ｛１−（ｘ／ｎ）｝｛１−（ｙ／ｎ）｝｛１−（ｚ＋ｎ）｝ の最大値を求めよ （５８東京理科大） 暇潰しにもならないと思うがどうぞ 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/17(木) 02:20:48 ] 訂正 ｎは２５以上の定数，ｘ，ｙ，ｚは負でない整数で，ｘ＋ｙ＋ｚ＝２５のとき ｛１−（ｘ／ｎ）｝｛１−（ｙ／ｎ）｝｛１−（ｚ／ｎ）｝ の最大値を求めよ （５８東京理科大） 389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/17(木) 03:40:53 ] フハハハハ…、解ける、解けるぞ！ 390 名前：１３２人目の素数さん [2008/07/17(木) 07:02:42 ] (1-25/3n)^3 2*2.5^2=2*5^2/2>25/2 2(c/2+2/c)^2=(4+c^2)^2/2c^2>c/(c+1) 　2^((x-y)/y) − (3/2)y = 1 2^(x/y-1)=1+(3/2)y=(2+3y)/2 2^(x/y)=2+3y (x/y)log2=log(2+3y) xlog2=ylog(2+3y) x=ylog(2+3y)/log2 log(2+3y)=klog2 2+3y=2^k y=(2^k-2)/3=2(2^(k-1)-1)/3 2^(k-1)-1=3m k-1=log(3m+1)/log2 k=log(3m+1)/log2+1 y=(2^k-2)/3=2(2e^log(3m+1)-2)/3=2(2(3m+1)-2)/3=4m x=ylog(2+3y)/log2=4mlog(2+12m)/log2 391 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/17(木) 22:10:13 ] 私にも解けますた… >>387 (1)　a/(1+a) + b/(1+b) ≧ a/(1+a+b) + b/(1+a+b) = (a+b)/(1+a+b) ≧ c/(1+c).　　　{← x/(1+x) は単調増加} 　　∵ (a+b)(1+c) - (1+a+b)c = (a+b) - c ≧ 0. (2)　a+b=s, b-a=d とおくと 　(左辺) = {a+(1/a)}^2 + {b+(1/b)}^2 　　= (a^2 + b^2) + {(1/a)^2 + (1/b)^2} + 4 　　= (a^2 + b^2){1 + (1/ab)^2} + 4 　　= (1/2)(s^2 + d^2){1 + 16/(s^2 - d^2)^2} + 4 これは d^2 について単調増加。d=0 のとき最小値 　(1/2)(s^2){1 + (2/s)^4} + 4 = 2{(s/2)+(2/s)}^2. 　(別法)　f(x) = {x + (1/x)}^2 = x^2 + 2 + 1/(x^2)　は下に凸だから 　　f(a) + f(b) ≧ 2f((a+b)/2) = 2f(s/2) = 2{(s/2)+(2/s)}^2. (3)　基本対称式を x+y+z =s, xy+yz+zx =t, xyz =u とおく。 　(xy+yz+zx)/(xyz) = t/u ≧ 3*(3/s), 　(x+y+z)/(xyz) = s/u ≧ 3*(3/s)^2, 　1/(xyz) = 1/u ≧ (3/s)^3, 　(左辺) = {2+(1/x)}{2+(1/y)}{2+(1/z)} = {8xyz + 4(xy+yz+zx) + 2(x+y+z) + 1}/(xyz) 　　= 8 + 4(xy+yz+zx)/(xyz) + 2(x+y+z)/(xyz) + 1/(xyz) 　　≧8 + 12*(3/s) + 6*(3/s)^2 + (3/s)^3 　　= {2 + (3/s)}^3 >>388 (4) 相乗相加平均より 　(与式) ≦ {1 - (x+y+z)/(3n)}^3 = {1 - s/(3n)}^3. 392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/18(金) 19:46:07 ] とりあえずIMO '08 2 (1)x,y,z∈R-{1}, xyz=1のとき, x^2/(x-1)^2+y^2/(y-1)^2+z^2/(z-1)^2≧1を示せ。 (2)(1)で、等号が成立する有理数の組(x,y,z)が無限に存在することを示せ。 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/19(土) 00:09:16 ] >>392 (1)　基本対称式を x+y+z =s, xy+yz+zx =t, xyz =u とおく。 　{x(y-1)(z-1)}^2 + {(x-1)y(z-1)}^2 + {(x-1)(y-1)z}^2 - {(x-1)(y-1)(z-1)}^2 　= 3u^2 -4tu +2t^2 -2(st-3u) + (s^2 -2t) - (u-t+s-1)^2 = (t-3)^2 + 2(u-1)(u-t-s+5), 　= (t-3)^2　　　　　　　　　　 (← 題意より u=1) 　≧ 0, これを {(x-1)(y-1)(z-1)}^2 >0 で割る。 (2)　等号条件は t=3, u=1. なので･･･ 394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/07/20(日) 08:47:38 ] とりあえず、>>373-374が解ければA.435が解けることが分かった。

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