- 127 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/12(木) 20:56:36 ]
- θ を実２次無理数とする。
θ は２次多項式 ax^2 + bx + c の根である。
ここで a, b, c は有理整数で a ＞ 0, gcd(a, b, c) = 1 である。
a, b, c は θ により一意に決まる。
２次方程式の根の公式よりθ = (-b ± √D)/2a である。
話を固定するため θ = (-b + √D)/2a と仮定する。
ここで D = b^2 - 4ac である。
D は θ の判別式である(過去スレ４の276)。
θ は実数と仮定したから D ＞ 0 である。
D = b^2 - 4ac だから D ≡ b^2 (mod 4) である。
0^2 ≡ 0 (mod 4)
1^2 ≡ 1 (mod 4)
2^2 ≡ 0 (mod 4)
3^2 ≡ 1 (mod 4)
よって D ≡ 0 (mod 4) または D ≡ 1 (mod 4) である。
θ は無理数だから D は平方数でない。
従って、過去スレ４の586より D はある２次体 Q(√m) の整環
R = [1, fω] の判別式になる。
D = (f^2)d である。
ここで f は有理整数 f ＞ 0 であり d は Q(√m) の判別式である。
過去スレ４の587より
I = [a, (-b + √D)/2] = [a, aθ] は R のイデアルである。
過去スレ４の592より I は可逆イデアルである。
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