- 122 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/04/11(水) 15:16:24 ]
- 命題(高木の初等整数論講義)
θ を簡約された２次無理数とし、
θ = (pθ + q)/(rθ + s) とする。
ここで p, q, r, s は有理整数で ps - qr = ±1 である。
さらに、rθ + s ＞ 1 とする。
このときある n ≧ 1 があり、
θ = [k_0, . . . , k_(n-1), θ] となる。
ここで、各 k_i は有理整数で i ≧ 1 のとき k_i ≧ 1 である。
証明
E = rθ + s, E' = rθ' + s とおく。
>>120 より EE' = ps - qr = ±1 である。
|EE'| = 1 で E ＞ 1 だから |E'| ＜ 1
したがって、E - E' ＞ 0
即ち r(θ - θ') ＞ 0
θ は簡約された２次無理数だから、θ ＞ 1, -1 ＜ θ' ＜ 0
である(>>95)。
よって、θ - θ' ＞ 0 だから r ＞ 0 である。
よって、rθ' + s ＞ -r + s
EE' = 1 のとき E ＞ 1 より 1 ＞ E' ＞ 0
よって r + 1 ＞ r + E'
一方、上より E' ＞ -r + s だから r + E' ＞ s
よって r + 1 ＞ s
よって r ≧ s
EE' = -1 のときは E ＞ 1 より 0 ＞ E' ＞ -1
よって r ＞ r + E'
一方 r + E' ＞ s だから r ＞ s
(続く)
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