- 1 名前：１３２人目の素数さん [2006/09/07(木) 07:00:00 ]
- 面白い問題、教えてください
- 686 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/11(日) 21:20:38 ]
- トーラスに楕円体は最大何個つめられるか。
- 687 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/11(日) 21:54:46 ]
- >>686
無限にちっちゃい楕円体を詰めていけば、無限個詰められる？
- 688 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/11(日) 22:06:46 ]
- トーラスに内接する最大体積の楕円体は最大何個つめられるか。
- 689 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/11(日) 22:12:16 ]
- ウインナー状態だと？
- 690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/11(日) 22:34:20 ]
- トーラスの大きさにもよるな。
- 691 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/11(日) 22:59:50 ]
- 一年ほど前に確率スレッドで出題され、正式な回答が出ないままお蔵入りとなった問題です。
３つの連なった部屋A,B,Cがある。
部屋Aには２００人の囚人がいて、それぞれ1〜200までの囚人番号が割り当てられている。
部屋Bにはそれぞれ1〜200までの番号が書かれた200枚のカードが、一列にふせて置かれている。
囚人たちは囚人番号1番から一人ずつ呼び出されて部屋Aから部屋Bにうつる。
ここで部屋Bに呼ばれた囚人は、200枚のカードのうち100枚を表にしてよい。
表にしたカードに自分の囚人番号が含まれていれば、その囚人は部屋Cにうつされる。
その後、カードはそのまま裏返されて、次の囚人が呼ばれ、同じことを繰り返す。
自分の囚人番号が含まれていなければ、すべての囚人は処刑される。
このようにして200人すべての囚人が部屋Cにうつることが出来たら、囚人達は解放されるとする。
囚人達が解放される確率を1/12以上にしたい。どうすればよいか？
*部屋Aにいる囚人同士は互いに相談できるが、部屋が違う囚人同士は、一切情報交換できない。
*最初のカードの並び方はランダムである。
当然、何の策略もなく挑めば生還率(1/2)^200ですが
例のスレッドではかなり確率を高めることに成功しました。
ただし出題者が行方不明となってしまい正式な回答は得られませんでした…
それでも結構面白い問題だと思うので是非挑戦してみてください。
- 692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/12(月) 00:00:11 ]
- 天和が出る確率
- 693 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 01:11:38 ]
- 問題
19XX年夏の高校野球大会に出場する高校数は予選から4131校出場する。
この年のルールではコールドはなく何があっても決着がつくまで試合が続けられる。
県予選，甲子園共にトーナメント方式。
各県代表校は１校。
この年に県予選，甲子園など公式戦の総試合数は全部合わせて［ ］試合である。
- 694 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 01:42:43 ]
- 2^n=4131
- 695 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 01:51:19 ]
- >>694
これは答えですか？
全然違います
- 696 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 02:03:07 ]
- １試合で１チームが負ける(勝つ)。
最終的に１チームが残るのだから、計4130試合じゃないの？
- 697 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/12(月) 02:16:27 ]
- >>693
既出ネタを貼るなよ。
帰れ！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! >>693
- 698 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/12(月) 02:33:16 ]
- 問８
www.whatisgoingon.net/glat.html
- 699 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 10:22:13 ]
- 正三角形を切り刻んで正方形にするとき最低何ピースに切ればいいか。
- 700 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 10:23:11 ]
- 切り刻んだピースは全部使うんだよ
- 701 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 10:27:13 ]
- トーラスの表面は何ピースで
- 702 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/12(月) 11:32:46 ]
- 4ピース
- 703 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 13:16:56 ]
- {F_n}をフィボナッチ数列とし、m、nを非負整数とする
mがnで割り切れるならばF_mはF_nで割り切れることを示せ
また、mがnで割り切れるとき、F_mをF_nで割った商を{F_n}を用いて表せ
- 704 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/12(月) 14:57:21 ]
- >>703前半
F_0=0, F_1=1 とする。数列全体をmod Nで考えたとき「F_n≡0 ならば F_(kn)≡0」を示せばよい。
F_n≡0, F_(n+1)≡x と仮定すると、これは初項が0とxで生成されるフィボであり、
0と1から始まるフィボ全体をx倍したのと同じなので、F_(n+i)≡xF_i が成り立つ。
よって、たとえば F_(3n)≡F(n+2n)≡xF(2n)≡xF(n+n)≡(x^2)F(n)≡0。
一般のF_(kn)も、F_(kn)≡xF((k-1)n)≡‥‥≡(x^(k-1))F(n)≡0。
具体例：mod 5で考えると
0, 1, 1, 2, 3, 0, 3, 3,‥‥（5番目が0、次が3だから、その後は）
↓（3倍） ~~~~
0, 3, 3, 1, 4, 0, 4, 4,‥‥（全体を3倍したのと同じになる。だから5の倍数番目は全部0）
- 705 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/12(月) 15:30:01 ]
- 〔問.479〕
x,y,z は自然数で、 1/x + 1/y = 1/z, xとzは互いに素とする。
このとき x+y, x-z, y-z はすべて平方数であることを示せ。
www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2007/prob_jan.pdf
例 (x,y,z) = (x, x(x-1), x-1)
- 706 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 16:07:28 ]
- >>705
1/x + 1/y = 1/z より y=(x+y)z/x
xとzは互いに素でyは自然数だからx|(x+y)
したがってある自然数mが存在してx+y=mx となる
よってy=(m-1)x=mzとなるのでz=(m-1)x/m
m-1とmは互いに素でzは自然数だからm|x
したがってある自然数nが存在してx=mn
これよりz=n(m-1)を得るが、xとzは互いに素なのでn=1
よってx=m、y=m(m-1)、z=m-1を得る
このときx+y=m^2、x-z=1、y-z=(m-1)^2なので
たしかにx+y、x-z、y-z はすべて平方数となる
- 707 名前：703 [2007/02/12(月) 16:43:44 ]
- >>704
エレガントな証明ですね
私が考えていたのは、F_(m+n) = F_(m+1) * F_n + F_m * F_(n+1)
を利用して、帰納法で示すものでした
後半は表示が一意じゃないと思います
- 708 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 16:46:31 ]
- 馬鹿馬鹿馬鹿馬鹿馬鹿馬鹿馬鹿馬鹿馬鹿馬鹿馬鹿馬鹿お前らがどんなに勉強しても天才には勝てな
お前ら凡人が千人集まっても天才には勝てない
もう勉強やめろ
- 709 名前：にょにょ ◆yxpks8XH5Y mailto:sage [2007/02/12(月) 16:53:41 ]
- 天才に勝つために勉強してるんじゃないぜよ。
- 710 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 17:19:31 ]
- 天才は馬鹿から生まれる
- 711 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 18:14:58 ]
- のび太は馬鹿だがドラえもんをつくった
- 712 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 20:22:42 ]
- x,y,z は自然数で、 1/x + 1/y = 1/z, xとzは互いに素とする。
このとき x+y, x-z, y-z はすべて平方数であることを示せ。
x+y=xy/z=mx->y=(m-1)x=mz->x=mz/(m-1)->z=(m-1)->x=m->x+y=m^2
x-z=m-(m-1)=1^2
y-z=mz-z=m^2-m-m+1=(m-1)^2
- 713 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 20:28:34 ]
- x+y=m^2
x-z=n^2
y-z=p^2
y+z=m^2-n^2
y=(p^2+m2-n^2)/2
z=(p^2-n^2-p^2)/2
x=m^2-y^2=(m^2-p^2+n^2)/2
...
- 714 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 21:15:44 ]
- 円周上に異なる8個の点を取り、全ての点を線で結ぶ。
(1)、線分は全部で何本できるか。
(2)、この線分の中から3本を取って選ぶとき、選ばれた3本の
線分の端点が全て異なる確率を求めよ。
- 715 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/12(月) 22:28:27 ]
- >>714
面白くないんだが
- 716 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/13(火) 00:34:39 ]
- 中学生の宿題かよ・・・
- 717 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/13(火) 01:09:46 ]
- >>691
意味分からん
カードを並べ替えられるとかならともかく、
そのまま裏返したら確率 2^(-200) にしかならなくない？
- 718 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/13(火) 01:16:00 ]
- >>714
質問は質問スレに行けよ、餓鬼が！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
- 719 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/13(火) 05:08:19 ]
- >>706,712
どうもです
〔問.476〕
p >0, |x_0| ≦ 2p とし,
x_n = 3x_(n-1) -(1/p^2){x_(n-1)}^3 (n≧1)
と定義する。
x_n を n と x_0 の函数として表わせ。
〔問.478〕
√{2+√[2+√(2+x)]} + (√3)√{2-√[2+√(2+x)]} = 2x,
x ≧ 0.
を解け。
www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2006/prob_dec.pdf
- 720 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/13(火) 05:29:47 ]
- >>708
天才のひらめきは千人万人の凡人の地を這うような研究の結果を元に起こるものなのだよ。
- 721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/13(火) 05:37:58 ]
- >>717
200人ではなくふたりの場合を考えみたんだが。
（カードは２枚中１枚をめくる）
打ち合わせ無しの場合 → ふたりが助かる確率は1/4
事前に以下の打ち合わせした場合 → 助かる確率は1/2
「１番は右の、二番は左のカードをめくろう」
（同じカードをめくらないようにしよう）
てな感じで、助かる確率を上げられそうだ。
200人の場合も何か方法があるかもしれん。
すくなくとも200人が全く同じカードをめくる場合助かる確率は0だもの。
直感的には、どのカードもちょうど半分のひとにめくられるように
戦略を立てるのがよいような気がする。
- 722 名前：Queen ◆xeS.CIM.Jk [2007/02/16(金) 11:02:08 ]
- 定理:
n∈Nとする。
任意のnに対して平面上に以下を満たすn個の点が存在する。
・どの三点も同一直線上にない。
・どの二点間の距離も整数。
この定理を導く公理は何か。
- 723 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/16(金) 12:14:13 ]
- >>719
[問476]
θ∈[0,2π)はsinθ＝x0/(2p)を満たすとする。|x0|≦2pより、このようなθは存在する。
このとき、xn＝(2p)sin(θ*3^n) と表せることが(数学的帰納法により)分かる。
- 724 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/16(金) 12:41:19 ]
- [問478]
与式を変形して(√3)√[2−√{2＋√(2＋x)}]＝2x−√[2＋√{2＋√(2＋x)}]となる。
右辺は実数だから、左辺も実数となる。もし2−√{2＋√(2＋x)}＜0だとすると、
左辺は(0でない)純虚数となってしまい、矛盾する。よって、2−√{2＋√(2＋x)}≧0となる。
これを解いてx≦2を得る。よって、x＝2cosy，y∈[0,π/2]と表せる。これを代入すると、
与式 ⇔ 2cos(y/8)＋(√3)2sin(y/8)＝2cosy ⇔ sin(y/8＋π/6)＝cosy
⇔ sin(y/8＋π/6)＝sin(π/2−y)
となる。π/2−y,y/8＋π/6∈[0,π/2]であるから、y/8＋π/6＝π/2−yとなる。
よってy＝8π/27 となり、x＝2cos(8π/27)が求める解である。
- 725 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/17(土) 11:20:13 ]
- >723-724
どうもです
[問472]
(4-x)^(4-x) + (5-x)^(5-x) + 10 = 4^x + 5^x
を満たす整数x
[問474]
{2^log_5(x) +3}^log_5(2) = x -3
を満たすx>0.
- 726 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/18(日) 02:49:16 ]
- >>717
カードの並び替えＯＫだと1/12どころか、それよりはるかに高い確率が実現出来ますが
実はカードを並び替えなくても、十分高い確率がだせます。
>>721
まあそんな感じです。
「これが最高確率だ！」というような答えはありませんが、おそらくそれに近いであろう物は用意してあります。
- 727 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/19(月) 22:56:51 ]
- (1)一辺の長さが1の正四角形の周上に全ての頂点を持つ正三角形の辺の長さの範囲を求めよ。
(2)一辺の長さが1の正五角形の周上に全ての頂点を持つ正四角形の辺の長さの範囲を求めよ。
次のは自分では解いてないです
(3)一辺の長さが1の正n+1角形の周上に全ての頂点を持つ正n角形の辺の長さの範囲を求めよ。
- 728 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/20(火) 00:33:34 ]
- an+1=f(an)でｆが多項式のときのクックの仕方はどうするのですか？
馬鹿教授が漸化式はむずいの一言で済ませて逝ってしまったので・・・とほほ
- 729 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/20(火) 00:35:04 ]
- たぶんパスカルの三角形みたいな小技で済ませばいいとか？
- 730 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/20(火) 01:36:35 ]
- カードを並べ替えることにどれだけ意味があるの？
先に打ち合わせをしておいたら同じだと思うのだが…
打ち合わせについてなにか誤解してるかな？俺…？
- 731 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/20(火) 05:01:18 ]
- science5.2ch.net/test/read.cgi/math/1171912698/
- 732 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/20(火) 05:50:01 ]
- 番号の位置に並び替えることにすれば１が終わった時点で
１２３４，１２４３，１３２４，１４３２のどれかになる。
- 733 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/20(火) 05:55:00 ]
- >>732
４人で２枚表にする場合。
- 734 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/20(火) 06:04:02 ]
- >>730
例えば、
一人目が左端から100枚めくって番号順に並べ替える事にする。
このとき一人目がCの部屋に行ける確率は1/2。
二人目は右端から100枚めくって、全てのカードが
左端から順番に並ぶように並べ替える。
このとき二人目がCの部屋に行ける確率は1/2。
三人目以降は自分の番号のカードがどこに有るか
分かるので確実にCの部屋に行ける。
従って全員が生き残る確率は1/4。
- 735 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/20(火) 06:13:46 ]
- >>726
ところで部屋Bで自分のカードをめくらなかった
囚人は部屋Aに戻るの？
でもさ、たった一人でも囚人が戻って来たら
一人も釈放されないんだから
まだ部屋Bにも行ってない囚人は
やる気をなくしてしまうだろうね。
- 736 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/20(火) 11:36:03 ]
- >>734
二人目は右端から 99 枚めくり、その中にあれば、
右端から 100 枚目をめくって左から昇順に整列させる。
その中にないときは、左から 2 番目のカードをめくり、
最初の 99 枚は右端から昇順に整列させる。
二人目がCの部屋に行ける確率は 198/199.
三人目以降は、右端をめくれば全体が整列されているかどうかがわかる。
整列されていないときは、二人目が選んだ 99 枚から二分探索で探し、
その中になければ右から 100 枚目をめくる。
そこにもなければ、左から何枚目にあるかがわかっているはず。
ということで、確率は 99/199 にできると思う。
- 737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/20(火) 11:48:16 ]
- >736 と >734 は想定しているルールが違うようだ。
- 738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/20(火) 11:51:25 ]
- >>736
上手い！
でも元の問題ではカードは並べ替える事が出来ないから
関係ないかも。
>>737
そう。でも、>>730の疑問に答えているだけ。
- 739 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/20(火) 14:27:29 ]
- なるほど、自分がめくって「いない」カードも並べ替えてよいのか。
- 740 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/21(水) 03:21:35 ]
- test
- 741 名前：726 [2007/02/21(水) 03:34:02 ]
- アク禁でレスが遅れてすみません。
>>735
自分のカードをめくれなかった囚人が一人でも発生したときは
その場ですべての部屋にいる囚人が処刑されます。
まあ題意とは関係のない設定ですが（苦笑
99/199は、かなりいい線いってますね。
並び替えOKのルールの中では、最高レベルに高い数字だと思います。
私は問題製作者でないので1/12という数字がどこから出てきたのか知りませんが
実際の答えはもっと高いので、あまり深い意味はないようです。
- 742 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/21(水) 04:50:52 ]
- >>741
問題が >>691 のとおりだとすると、
囚人達にできることは、
「一番最初に部屋 A で、(>>721 のように)
各囚人がどのカードをめくるかをあらかじめ打ち合わせて置く」
ことしかできないと思うんだが、
それだと4人目の囚人のところで生存確率 1/12 を切ってしまう。
問題の解釈間違ってる？
- 743 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/21(水) 08:21:03 ]
- そうなんだよね。n+1 人目が成功する確率は、どんなにがんばっても
100/(200-n) より高くならないように思えるのだけど。
- 744 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/21(水) 11:08:22 ]
- だなあ。並べ替えが出来ないとすると、
2番目の囚人にわかることは、1番目の囚人がめくったカードの中に1番のカードがあったということだけな気がする。
1番目の囚人がパスする確率は1/2。これはどうしようもないと思う。とすると、残りの199人が1/6以上の確率でパスしなければならない。
2番目の囚人が最も高い確率でパスするのは、1番目の囚人がめくらなかった100枚をめくることだが、それが100/199。←違う？
なので、2人目までがパスする最も高い確率は50/199。
すると、残りの198人は199/300以上の確率でパスしなければならない。
3番目だけですら、そんなに高い確率でパスする方法はなさそうに思える。
さっぱりわからん。
- 745 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/21(水) 11:22:15 ]
- 成功した場合は自分の番号の付いたカードを表のままにし、
それ以外のカードを裏に戻すとルールを変更したとする。
このとき、n+1 人目にとって前の n 人がどのカードを
めくったかの情報は無意味だから(だよね？)、n+1 人目が
成功する確率は 100/(200-n).
本来のルールではこれより確率は高くならない。
- 746 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/21(水) 20:55:13 ]
- ネタ投下します。
(√26+5)^n=a_nとする。a_nは小数点の後n個9か0が続く事を示せ。
α、βは1/α+1/β=1であるような無理数である。A={［nα］|n=1,2,3,･･･}
B={［nβ］|n=1,2,3,...}とする（[x]はxの整数部分を表す。）。この時A∩B={0}であり、A∪B=Nである事を証明せよ。
Nは自然数の集合である。
既出ならすいません。
- 747 名前：=726=691 mailto:sage [2007/02/21(水) 22:29:34 ]
- >>742
「一番最初に部屋 A で、
各囚人がどのカードをめくるかをあらかじめ打ち合わせておく」
その趣旨で間違いありません。
では以下ヒントを。
「並べ替えOKルール」の場合、実は全員が成功する確率を「1/2」にすることが出来ます。
まず囚人1号は無作為に100枚のカードをめくります。
そしてめくったカードのうち、k番と書かれたカードが右からk番目の位置に来るように
それぞれを並び替えます。
次に、それ以降の囚人は、
最初に、右から数えて自分の囚人番号の箇所にあるカードをめくります。
もし囚人1号がめくったカードの中に、自分の囚人番号が含まれていれば
最初の一枚で、自分の番号を引き当てられるので、その囚人はC部屋にうつれます。
では、そうでない囚人は、どのような「どのような規則で」それ以降のカードをめくればよいか？
実はこれがそのまま「並び替えNG」の場合における正解になるのですが、
ここではまだふせておきます。
- 748 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/21(水) 23:44:13 ]
- >743 は、まず 100 枚選んだ後に同時に表にするという手順を仮定している。
一枚選ぶ毎に表にし、何が出たかによって次に選ぶカードを変化させるという
戦略にしないと >745 の推論が有効になるということか。
- 749 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/22(木) 00:39:21 ]
- >>734も>>736も何が出たかでどのカードを開くか決めている
- 750 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/22(木) 00:57:08 ]
- >>746前半
(5+√26)^n+(5-√26)^n ∈Z であることが帰納法で証明されるので、
10^-(n+1) ＜ |5-√26|^n ＜ 10^-n を言えばよい。
⇔ 10^n ＜ 1/|5-√26|^n ＜ 10^(n+1)
⇔ 10^n ＜ |5+√26|^n ＜ 10^(n+1)
⇔ n ＜ nlog|5+√26| ＜ n+1
⇔ 1 ＜ log|5+√26| ＜ 1+1/n を示せば終了‥‥
‥‥と思いきや、これだと n＞234 で主張が成立しないことになる。
というわけで、詰まった。
- 751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/22(木) 01:03:54 ]
- >>750
√26-5＜0.1がすぐ言えるでしょ
- 752 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/22(木) 01:06:48 ]
- >>747 のヒントで方針はわかった気がする。
まず、1番目の囚人が (右から) 1番目のカードをめくる。
出た数を n_1 として、それが1でないなら次に n_1番目のカードをめくる。
以後、 k番目にはk-1番目に出た値 n_(k-1) 番目のカードをめくり、
出た値 n_k を元に次をめくる。これを1が出るまで行う。
(必ず1に行き着く説明は省略)
1をめくった後は、ルールに従うと 1番目のカードに戻るので、
このルールでカードを選んでいくとループする。
さて、そのような同じループに属するカードごとに、
200枚のカードをグループ分けできる。(各グループに重複はない)
最初にm番目を開いたとき、mを見つけるまでにカードをめくる回数は、
m番目のカードが属するグループのサイズに等しい。
よって、200枚のカードを分割するいくつかのグループの
いずれのサイズも100以下であれば、囚人たちはこの方針でクリアできる。
ただ、そうなる確率の算出方法がわからない...。
- 753 名前：750 mailto:sage [2007/02/22(木) 01:22:57 ]
- もしかして>>746の題意は「少なくともn個、9か0が続く事を示せ。」なのかな？
だとしたら>>751で解決か。「ちょうどn個」と解釈していた。
考えてみれば、+1乗するごとに、桁数がきっかり1桁ずつ増えていくなんて、
10以外では起こりえないのは当然かも。
- 754 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/22(木) 02:42:16 ]
- >>752
だいたい 1-log 2 ぐらいだね。
正確には 1-(1/101+1/102+...+1/200)=0.3093...
- 755 名前：=726=691 [2007/02/22(木) 15:25:33 ]
- >>752
正解です！
実は私も最初算出方法が分からなかったのですが、
>>754のいう1-log2≒「0.31」がそれのようです。
実際にプログラムを組んで実験させても、近い数字が出ます。
なかなか驚くべき答えだと思うのですがいかがでしょう？
- 756 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/22(木) 16:25:41 ]
- 長さ 101 以上のサイクルは 1 つしか存在しない。
長さを k の順列の個数は 200!/(200-k)!
長さを k のサイクルの個数はその k 分の 1.
残りの 200-k 個の順列は (200-k)!
したがって、失敗する組合せは
Σ[k=101,200] {(200!/((200-k)!k) (200-k)!}
=200!Σ[k=101,200] 1/k
- 757 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/22(木) 16:43:18 ]
- nが十分でかいときはそれが最適解になるのかな？
- 758 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/22(木) 17:25:32 ]
- >>752
なるほどなあ。
しかし、処刑する側がそのことを読んでいて、200枚でループするように置いていたらアウトだなあ。
- 759 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/22(木) 17:40:00 ]
- 位置をランダムにすればいい。
- 760 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/22(木) 17:54:39 ]
- >>746後半
(A∪B＝Nであること)
任意のk∈Nに対し、k∈Aまたはk∈Bが成り立つことを示せばよい。k∈Aのときは それでよいから、
k∈/Aのときを考える。iα＜kを満たすi∈Nのうち最大のものをnとすれば、nα＜k,k＋1≦(n＋1)α
が成り立つ(k＋1＞(n＋1)αならばk∈Aとなってしまう)。この不等式をαで割ってn＜k/α,
(k＋1)/α≦n＋1となる。1/α＋1/β＝1より、n＜k(1−1/β),(k＋1)(1−1/β)≦n＋1 となる。
これを変形してk＜(k−n)β≦(k＋1) となり、βが無理数であることからk＜(k−n)β＜(k＋1)
となり、よって[(k−n)β]＝kとなる。すなわちk∈Bとなる(α＞1なのでk−n＞0であることに注意)。
(A∩B＝φであること)
k＝[nα]＝[mβ]とすると、k＜nα＜k＋1,k＜mβ＜k＋1 が成り立つ(α,βは無理数だから等号は入らない)。
よってk/α＜n＜(k＋1)/α,k/β＜m＜(k＋1)/β が成り立つ。片々足してk＜n＋m＜k＋1となるが、k,n＋m,k＋1は
全て自然数だから矛盾。
- 761 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/22(木) 18:04:19 ]
- >>746後半は
RayleighとVinogradovが証明したんだっけ。
なんかRayleighでぐぐってもVinogradovでぐぐっても出てこないｗ
- 762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/22(木) 18:29:30 ]
- >>755
二人目からが最初にめくるカードはどこにすればよいのでしょうか？
- 763 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/22(木) 18:38:42 ]
- 自分の番号番目のカード
- 764 名前：746 mailto:sage [2007/02/22(木) 20:23:22 ]
- 家にあった数オリの本にあった問題なので、レベル低かったかも。
後問題に書き間違いしていた事をお詫びします。（A∩B={0}のあたり。）
>>753
「ちょうど」です。>>751さんの不等式がキーです。
>>760
お疲れ様です。一応、本に書いてある解法を書いておきます。
Nを自然数とする。 Nより小さい数の中で、A∪Bに含まれるような数が何個あるかを調べる。
[nα]<Nならnα<Nである。なので、Nより小さい数はAには[N/α]だけ含まれる。
同じように、Bには[N/β]だけ含まれる。なので、Nより小さい数はA∪Bには[N/α]+［N/β］=kだけある。
αとβは無理数なので、k<N/α+N/β=N。[x]>x-1なので、k>N/α-1+N/β-1=N-2。
kは自然数なので、k=N-1である。これはA∪BにはNより小さい数はN-1個だけあるという意味である。
これは全ての自然数において成り立つため、同じ数は二回出てこない。
なので、A∪B=Nであり、同時にA∩B＝φである事も証明された。
>>761
本には問題13としか書いてないので、全然分かりません。定理なんですか？これ。
- 765 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/22(木) 23:07:28 ]
- なんかおかしいよな
- 766 名前：761 mailto:sage [2007/02/23(金) 01:07:08 ]
- >>764
そう。たしか一松信「石とりゲームの数理」とか
中村滋「フィボナッチ数の小宇宙」に載ってるはず。
- 767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/24(土) 00:52:22 ]
- >>764
その証明は間違ってる。
＞なので、Nより小さい数はA∪Bには[N/α]+［N/β］=kだけある。
A∩B＝φであることを示さなければ、これは言えない。AとBに重複する
元があったら、Nより小さい自然数はA∪Bに[N/α]+［N/β]=kより少ない
個数しか無い。
＞同時にA∩B＝φである事も証明された。
先にA∩B＝φを証明しておかなければならないから、これも間違い。
- 768 名前：１３２人目の素数さん [2007/02/24(土) 06:47:53 ]
- >>746=764
数オリっていつの問題だよ。
外国のサイトでもいいから貼ってくれないかい？
- 769 名前：746 mailto:sage [2007/02/26(月) 00:00:47 ]
- >>766
面白そうな本ですね。Amazonで調べてみます。
>>767
Nを1から無限まで動かすと、A∩B＝φが証明されると思います。
N=2として1が1個ある事が証明され、N=3としてN=2の時1が1個あるのが証明されたので,もうひとつは2、・・・って感じで。
>>768
数オリに出てた問題ではなく、数オリに出るためへの練習問題みたいな感じで書いてありました。
1問目は数オリっぽい問題ですが、何時の問題かとかは書いてありませんでした。
1問目の解答を書いたほうがいいかな？
- 770 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/26(月) 00:10:25 ]
- 1問目は書かんでも分かるだろ
- 771 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/27(火) 20:12:49 ]
- >>746
の二問目は数蝉のエレ解で見たことがあるな。
- 772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/02/28(水) 00:39:16 ]
- >>746 の二問目
題意より α>1, β>1.
M = {1,2,…,m} ⊂ N
とおく。
A∩M = { [nα] | n∈M }, #(A∩M) = [m/α],
B∩M = { [nβ] | n∈M }, #(B∩M) = [m/β],
m/α + m/β = m
と無理数性より
[m/α] + [m/β] = m-1,
mについての帰納法で…
- 773 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/04(日) 00:55:19 ]
- わはははは。>>747のヒントでオレは分かったぞ。
以下、並び替える前提でスマートな回答。
1. 1番目の囚人は適当に100枚ひっくり返す。セーフの確率は1/2。
2. セーフだったとして、表返したカードを左（右）端から数えて
カード自身の番号となるように「横向きに」並び替える。
伏せているカードは間を埋めるように「縦向きのまま」おいておく。
3. 2番目の囚人は自身の番号（2番目）に該当するところを見る。
2番目のカードが横向きならそれを表替えせばクリア。
2番目のカードが縦向きならどこにあるかは不明なので、
縦向きのまま残っている100枚をひっくり返せばどれかが当たり。
4. あとは並び替えるまでもなく2番目と同様に繰り返せばよい。
これで絶対確率は1/2じゃうひょぉおおおおおお！！！！！
・・・・・・カードが正方形とか丸だったらどうしようorz。
- 774 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/04(日) 11:16:25 ]
- >>773
こんなアホウは久しぶりに見た
- 775 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/04(日) 12:23:56 ]
- 俺はむしろ柔軟な発想に感心したけどな
- 776 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/04(日) 13:07:35 ]
- いや、既出なんだよ。
亀レスなのに、既出を見てないんだもの。
- 777 名前：772 mailto:sage [2007/03/04(日) 14:47:54 ]
- >772 の訂正、ｽﾏｿ
A∩M = { [nα] ≦ m | n∈N },
B∩M = { [nβ] ≦ m | n∈N },
- 778 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/04(日) 15:34:10 ]
- >>772
帰納法使うくらいなら、A∩B＝φを直接示した方が早くて分かりやすいな。
- 779 名前：772 mailto:sage [2007/03/04(日) 18:40:12 ]
- >778
背理法による。k ∈ (A∩B) だったと仮定する。
k < n1･α < k+1 … (1),
k < n2･β < k+1 … (2),
(1)/α + (2)/β より
k < n1 + n2 < k+1 … (3).
これは n1, n2 が自然数であることと矛盾する。
- 780 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/05(月) 03:04:32 ]
- >>779
>>760
- 781 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/08(木) 16:41:02 ]
- game11.2ch.net/test/read.cgi/handygame/1173022847/99
答えは↑スレ全部表示するとわかる
- 782 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/11(日) 12:05:06 ]
- >>781
見た瞬間、ありきたりの問題かと思ったが、
意外に面白かった。
- 783 名前：１３２人目の素数さん [2007/03/11(日) 18:21:36 ]
- age
- 784 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/11(日) 22:03:52 ]
- 「モジュライ空間」を小学生にもわかるように説明せよ
- 785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/12(月) 00:17:40 ]
- 喪男の7月空間
- 786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/12(月) 04:04:16 ]
- >>785
6月だろうが馬ー鹿
と書こうとしてjuly=7月だったと気づいた俺はもう逝きますさよなら
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