- 1 名前：１３２人目の素数さん [2006/10/26(木) 18:36:06 ]
- 前スレ:1=0.999… その 9.999… science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1118452051/
前スレ:1=0.999… その10.999… science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1136133055/
前スレ:1=0.999… その11.999… science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1142173277/
前スレ:1=0.999… その12.999… science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1154943310/
一応激しい論議の結果、回答テンプレートが作成されました >2-5
今後書き込む際には、できるだけまず回答テンプレートを参照してから、それをふまえて行ってください。
また、回答テンプレートへの意見なども自由に書き込んでください。
- 872 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/16(火) 08:56:25 ]
- >>僕は最初の0.99…を有限として考えています
次に使った0.99…は例えば0.9999の9が何処かで止まっていれば必ずそれ以上の数が存在してその後ろに9を有限個付け足すという生製法を無限回続けたことを考えています
結局この場合無限としての扱いとなるのかな…
概念として無限を理解する事は僕には難しそうです。。
- 873 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/16(火) 09:00:30 ]
- 1=0.9999999999・・・・の真偽
を証明したからといって何か役に立つのだろうか
どうでもよくね？んなこと・・・もっと日常生活(というか科学など)で役に立つ数学を研究すればいいのに。
どうでもいいことばっか研究するのはもはや趣味だ。
- 874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/16(火) 09:01:17 ]
- >>869
つまりはそれは、0.999…が区間(0, 1)の集積点になっているって事だけど、
区間(0, 1)が閉集合でなければ集積点が含まれるとは限らないでしょ。
内点とか集積点といった位相の概念があやふやになってるんだと思うよ。
- 875 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/16(火) 09:21:16 ]
- >>873
「 1=0.999…」は結局アルキメデスの原理と同じ事なのだが、
それはアルキメデスが球の体積や表面積を求めるのに必要とした原理なんだってさ。
体積や面積を正確に求めるってのは、相当に日常生活に役に立ってるんじゃないかい？
- 876 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/16(火) 10:42:37 ]
- >>875
「アルキメデスの原理」には2種類あり、君の言っているアルキメデスの
原理は、0.999…＝1におけるアルキメデスの原理とは違う方。
- 877 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/16(火) 10:46:10 ]
- どっちも役に立っているわけだが。
- 878 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/16(火) 11:00:41 ]
- 実際1=0.999…の真偽を研究している人はいるのかな
- 879 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/16(火) 11:28:13 ]
- >>873みたいなのはあまり役に立たない人間であるという判断には役立ってる
- 880 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/16(火) 15:28:48 ]
- >>878
数学者にはそういう人はいないと思うよ。自己満足のために日々数学を楽しんでいるアマチュアの中で
日々思索を楽しんでる割にはまっとうな数学をあまり学んだことのない人の中にはいるかも。
- 881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/16(火) 17:29:51 ]
- conwayはアマチュアではないだろう
- 882 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/16(火) 17:53:55 ]
- 1=0.999…の両辺を2乗したらどうなるのでしょう
- 883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/16(火) 21:09:36 ]
- 0.89999999…
0.08999999…
0.00899999…
0.00089999…
0.00008999…
0.00000899…
0.00000089…
0.00000008…
………………
加えると
0.99999999…
よって
1=0.999…
- 884 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/16(火) 21:14:29 ]
- 初めて数学板来たけどカオスすぎてわけわからん
中学、高校生がわからない問題出し合ってるくらいかと思ってた
さっさとゲハに戻りますね(´・ω・｀)
- 885 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/16(火) 21:18:57 ]
- VIPからきますた
- 886 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/18(木) 03:09:43 ]
- >>867
>>866じゃないけど。
サイトで見た超現実数の説明とヤフーで昔見た超現実数の説明をもとに説明してみる。
これを叩き台にでもして書いてくれ。
間違いやオリジナルとの違いとか知ってる人は教えてくれたらうれしい。
以下を見てもらうとわかるように二進法と相性がいいので証明は二進法表示での0.111……≠1を、そのために0.000……≠0を示す形で行う。
まず超現実数αとは二つの「空集合か超現実数の集合aとAのペア」α=(a,A)で、
¬(a≧A)、つまりx∈a,y∈A⇒¬(x≧y)の形をしたものである。（当然x,yの大小が事前に必要になるので、これらが、例えば帰納的に定義されて欲しい。）
超現実数同士の大小は以下のように定義される。
α=(a,A)、β=(b,B)とするとき、
α≦β⇔¬(a≧β)∧¬(α≧B)
ただしa≧β⇔(x∈a⇒x≧β)等
また
α≧β⇔β≦α
- 887 名前：886 mailto:sage [2007/01/18(木) 03:11:07 ]
- 超現実数は標準的には以下の順序で帰納的に作られるものである。
第0段階
(φ,φ)これを0と名付ける
（最初の定義がa<Aとかではなく否定形になっているのはこのように空集合さえ用意すれば自動的に成立することを利用するため）
0段階までにある数
０
（全角がこの段階で生まれた数）
第1段階
(φ,{0})これを-1と名付ける
←とも書くこととする
({0},φ)これを1と名付ける
→とも書くこととする
（なお、これらを以下(φ,0)のように略記する）
1段階までにある数
←,0,→
−１,0,１
（大小の定義より小さい順に並んでいることを確認できる。以下も同様。また、定義より(0,0)は超現実数にならないことに注意）
- 888 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/18(木) 03:11:58 ]
- 第2段階
(φ,-1)=(φ,←)これを-2と名付ける
←←とも書くこととする
(-1,0)=(←,0)これを-1/2と名付ける
←→とも書くこととする
(0,1)=(0,→)これを1/2と名付ける
→←とも書くこととする
(1,φ)=(→,φ)これを2と名付ける
→→とも書くこととする
2段階までにある数
←←,←,←→,0,→←,→,→→
−２,-1,−１／２,0,１／２,1,2
（({0,1},φ)とかも超現実数ではあるが、大小の定義より、これは明らかに(1,φ)に等しくなる。一般にα=(a,A)のaとAが空でない有限集合の時は、αは(MAX(a),min(A))であることに注意。）
- 889 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/18(木) 03:12:29 ]
- 第3段階
(φ,-2)=(φ,←←)これを-3と名付ける
←←←とも書くこととする
(-2,-1)=(←←,←)これを-3/2と名付ける
←←→とも書くこととする
(-1,-1/2)=(←,←→)これを-3/4と名付ける
←→←とも書くこととする
(-1/2,0)=(←→,0)これを-1/4と名付ける
←→→とも書くこととする
(0,1/2)=(0,→←)これを1/4と名付ける
→←←とも書くこととする
(1/2,1)=(→←,→)これを3/4と名付ける
→←→とも書くこととする
(1,2)=(→,→→)これを3/2と名付ける
→→←とも書くこととする
(2,φ)=(→→,φ)これを3と名付ける
→→→とも書くこととする
3段階までにある数
←←←,←←,←←→,←,←→←,←→,←→→,0,→←←,→←,→←→,→,→→←,→→,→→→
−３,-2,−３／２,-1,−３／４,-1/2,−１／４,0,１／４,1/2,３／４,1,３／２,2,３
このように第n段階はn-1段階に生成された数とその段階で隣り合う数のペアか、両端に関してはその側に空集合を置いたペアで作られるものになる。（それらはペアの平均か±1させた数である）
そして、それは「最初と同じ向きに進み続けるときは1だけ変化させ、一度逆向きになったら今度は前回の1/2倍だけ変化させる。←なら引き、→なら加える」という計算によって求まる値になる。例えば→→←←→←は1+1-1/2-1/4+1/8-1/16=1.3125になる。
- 890 名前：886 mailto:sage [2007/01/18(木) 03:16:01 ]
- コテ入れ忘れてた（汗
続き
これを全ての自然数nに対して第n段階の操作を行った結果できた∞段階の後、その次の段階を行ったω段階まで考え、その全体を標準的な超現実数と呼ぼう。
二進法での有限小数は∞段階までで全て現れるはずなので、ω段階は二進法での無限小数を生み出す操作と考えられる。このような無限小数は超現実数が
1個の集合のペアとしては表現できず、例えば1/3=({1/4,5/16,21/64,…},{…,11/32,3/8,1/2,1})のように左は1/3より小さい二進有限小数の集合、右は1/3より大きい
二進有限小数の集合として表現されると考えればよい。πなら({3,25/8,201/64,…},{…,101/32,51/16,13/4,7/2,4})のようにすればよい。直感的にはn段階で2^(n+1)-1個の
超現実数が出来るのでω段階では2^(ω+1)-1=2^ω個、つまり連続体濃度だけの超現実数が出来そうであり、いかにも実数が構成された感じがする。
なおこのようなルールでできたものが標準的な超現実数であるため、例えば(-1,1)や(1,0)は標準的な超現実数にはならない。ただし、==の定義が後にあるような
ものなので、それによって標準的な超現実数と等しい超現実数になる可能性はある（後者は左が右より大きくルール違反になるので超現実数にはならないが）。
実際にはこの==による同値類が超現実数になる。
いわば通常の実数の小数表示が下の方から近似していくのに対して超現実実数はオーバーしたら戻り、また戻り過ぎたら逆向きに進み、という具合に上下から
挟んで近似していくような感じになる。例えば
1/3=0.333……は→(1でオーバー),→←(0.5でまだオーバー),→←←(0.25で小さくなった),→←←→(0.375でオーバー),→←←→←(0.3125で小さくなった),
→←←→←→(0.34375でオーバー)……のようにして表示できる。この場合→←の後ろに←→が無限に繰り返す循環小数表記になる。このような場合は
→←[←→]と表記することにする。分数は有限個の矢印で表記されるか循環小数表記で表される。無理数のこのような表示は循環しない表記になる。
例えばπは→→→→ ←←← → ←← → ←←←←…である。（矢印表記はヤフーで見たものだが、このように集合表記より直感的に見やすいという利点がある）
- 891 名前：886 mailto:sage [2007/01/18(木) 03:16:50 ]
- さて、等号、計算を定義する。
これらも帰納的に定義されていることに注意。
α=(a,A)、β=(b,B)とする。
α==β⇔(α≧β∧α≦β)
α≠β⇔¬(α==β)
加法はα+β=({a+β}∪{α+b} ,{ A+β}∪{α+B})
マイナスは-α=(-A,-a)
ただし-A={-x|x∈A}等
乗法はα*β=({aβ+αb-ab}∪{Aβ+αB-AB },{ aβ+αB-aB}∪{Aβ+αb-Ab})
ただし、計算途中にφが入るときはその計算結果はφとする。
各計算は==による同値類別に対しwell-deffinedである。
とりあえず試してみるとわかるように1+2=3とか3/2*3=9/2とか自然に求まる。
また、α+β=β+αとかα+0=αとか-0=0とか0*α=α*0=0とか1*α=α*1=αとか、期待通りになる。
1/2+1/2だと(1/2,3/2)になるし、3/2*4だと(11/2,13/2)になるが、(1/2,3/2)==(0,φ)=1より1/2+1/2==1だし、(11/2,13/2)==(5,φ)=6より3/2*4==6となる。3*(1/3)==1等も成立する。
一般には(a,A)はa＜x＜Aを満たす超現実数xのうち、最も早い段階で生ずるものになる（このような超現実数は一意に決まる）。例えば(-1,1)==0,(2,5)==3である。
- 892 名前：886 mailto:sage [2007/01/18(木) 03:18:09 ]
- さて、二進法で0.111…を考えると、これは→←→→→…=→←[→]=({1/2,3/4,7/8,…,((2^n)-1)/(2^n)),…},1)である。また、0.000…は、→←←←…=→[←]=(0,{…,1/(2^(n-1)),…,1/8,1/4,1/2,1})となる。
小数点以下が消しあうので0.111+0.000…=→←+→←=1/2+1/2==1だから0.000…==1-0.111…。よって、もし0.000…≠0が示されれば0.111…≠1が証明される。
ところで、ω段階では実は実数でない次のような超現実数も出来る。
[→]=({1,2,3,…},φ)
これは全ての自然数より大きいので、いわば正の無限大ωである。
このωに0と0.000…をそれぞれかけて結果を比較してみる。
0*ωは積の定義により(φ,φ)=0である。
一方、0.000…*ω=(0,φ)=1になるので、0≠0.000…が、従って、0.111…≠1が証明された。（0.000…=1/ωは正の無限小に相当する。どのような通常の意味での正の実数よりも小さく0より大きい数になる。）
これでこのスレ的には終わりだが、実はω+1段階、ω+2段階、…といくらでも考えることが出来るので、ω+1(=1+ω),ω+2,…,2ω,…（それどころかω-1=({1,2,3,…},ω)やω/2とかも）さらにω^2,…,ω^ω,…と
続けていくことも出来るわけである。もちろん、1/(2ω)とかも作られていく。
以上。
- 893 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/19(金) 03:28:36 ]
- 超準解析での1=0.999…の証明と1≠0.999…の証明は？
- 894 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/19(金) 09:32:24 ]
- >>892
0.000…=1/ωというのは正しいの？
おれは0.000…=1/（ω^2,…,ω^ω,…）だと思うが。
そうすると、超現実数上でのε-δ 論法のようなものを使って、
0.000…=0を示すことができるはずだね。
- 895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/19(金) 13:18:42 ]
- 感覚的な話になるけど、超現実数で得られる無限小は
0.000…01 (ω桁目で止まる)
0.000…00…001 (ω^ω桁で止まる)
みたいな感じになるのでは？そうすると、
0.000… (止まらない)
という数については やはり0.000…＝0が成り立ってしまうとか。
- 896 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/19(金) 17:34:09 ]
- 1=0.9999999999・・・ です。
- 897 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/19(金) 17:37:05 ]
- >>886乙
でも大小の定義多分間違ってる
0≦0⇔(φ,φ)≦(φ,φ)⇔¬(φ≧(φ,φ))∧¬((φ,φ)≧φ)⇔¬(x∈φ⇒x≧(φ,φ))∧¬((φ,φ)≧φ)
x∈φ⇒x≧(φ,φ)は真だから0≦0が偽になる？（？）
- 898 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/19(金) 20:51:22 ]
- 超現実数では、
(10*10*10*・・・)*(0.1*0.1*0.1*･･･)の答えはどうなるのさ？
- 899 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/19(金) 20:54:52 ]
- 10*10*10*・・・ なんて続くのは現実数じゃない。
よって命題偽。
- 900 名前：1−0.9dot＝0 mailto:sage [2007/01/19(金) 22:14:04 ]
- ところで、超限実数と超現実数は別々ですか？
>>886-892
乙。
付いて逝けとらんが、メモしますた。
- 901 名前：886 mailto:sage [2007/01/20(土) 01:09:31 ]
- >>894
>0.000…=1/ωというのは正しいの？
正しいです。1/ωを小数表示すれば0.000…だから。
ただし、ここではω段階までを前提にしているから任意有限桁以外扱わないということが影響しています。
その先まで考えれば無限桁を扱うか小数表示を諦めるかになると思いますが超現実数で無限桁の数学的な厳密な定義が出来るとは思えないので、
出来ると思うならまずは示してみてください。話はそれからです。自分は後者、つまり、小数表示はこの先は諦めるべきだと思います。
>>897
確認したら定義は正しかったのですが、確かに書いてある通りな気が。ｳﾑﾑ...
今頭が死んだ状態なのでゆっくり眠ってからよく考え直してみます。
>>898
極限操作を定義するのが先では？
>>900
超限順序数と超現実数なら似てはいますが別です。
例えば前者にはないω-1やω/2が超現実数では定義されます。
また、前者ではω+1≠1+ω=ω,ω2≠2ω=ωですが、
後者ではω+1=1+ω,ω2=2ωです。
- 902 名前：1−0.9dot＝0 mailto:sage [2007/01/20(土) 04:51:19 ]
- thx!!
しかし流石は数学、早々と分数表示に絞っている。
- 903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/24(水) 22:45:41 ]
- 誰かここの奴らに説教してやってくれ↓
pya.cc/pyaimg/pimg.php?imgid=37550
- 904 名前：1−0.9dot＝0 mailto:sage [2007/01/25(木) 22:13:28 ]
- >>903
携帯房の私には書き込めません!!
ここへの誘導とテンプレの掲示
とConway流の提示(>>278-281)、1≠0.9dotなる超現実数体の公理系の構築(>>886-892)
と更に下の文を掲示したかった。
文
さて 未だにに1−0.9dot＝0を認められん人はおるんだろうか？
【∵ 空集合[empty]をφ、無限小[infinitesimal]をεとすると、φ∈0且つε∈0】
まさか…
1−0.9dot≠φというなら分かるが
更に(1−0.9dot≠φ)＆(1−0.9dot≠ε)という人までいたりして…。
- 905 名前：1−0.9dot＝0 mailto:sage [2007/01/26(金) 04:44:30 ]
- ありゃ？>>904手落ち、補追。
>>845&>>849
と>>904中>>886-892に>>894-902
と下の文を追加。
文
>>895
空集合[empty]をφ、無限小[infinitesimal]をεとすると、φ∈0且つε∈0
─の為、1−0.9dot＝0でおｋ!!
- 906 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/26(金) 08:16:38 ]
- ところで1=0.999999999999・・・じゃないって言う人は
(9/10)+(9/100)+(9/1000)+・・・
つまり9/(10^n)の級数の∞の極限は1じゃないって思ってるの？
それともこの極限と0.999999999・・・は違うって主張してるの？
- 907 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/28(日) 03:21:09 ]
- ってかWikiの0.999...の項なんだけど
収束定理で|r|<1ならば0.999..=1とやってるけど、これって矛盾してない？
工学系の人間なんで詳しくないんだけど的外れ?
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...%E3%81%8C1%E3%81%AB%E7%AD%89%E3%81%97%E3%81%84%E3%81%93%E3%81%A8%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E
- 908 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/28(日) 04:13:12 ]
- ＞収束定理で|r|<1ならば0.999..=1とやってるけど、
「|r|<1ならば0.999..=1」などと主張している部分はどこにも見当たらない。正確に抜粋してくれ。
- 909 名前：1−0.9dot＝0 mailto:sage [2007/01/28(日) 13:33:17 ]
- >>907
>>908が慎重に受けているが
極限を思い出すべし
といってみるテスト。
儂が見てみようにも
携帯房なのでそれ、読めんし。
- 910 名前：１３２人目の素数さん [2007/01/28(日) 15:37:33 ]
- ＞ 超現実数で得られる無限小は
0.000…01 (ω桁目で止まる)
0.000…00…001 (ω^ω桁で止まる)
みたいな感じになるのでは？
─1*10^(ｰω)、無限小
に1*^10(ｰω^ω)、更に高位の無限小
＞ そうすると、
0.000… (止まらない)
という数については やはり0.000…＝0が成り立ってしまうとか。
─そんな数は…仮に考えると
桁数は 空集合(以下:=φ)の逆数集合 と(勝手に)考える。
つまり1*10^(1/φ)となって
ゲーデル的決定不能性と言うまでもなく
#DIV/0!的不能。
結局、lim[x→φ]xとだけしか言い切れず終いになると思う。
つまり1−0.9dotはφか否かとなると
分かり得ない となるんと違うか。
無限小の逆数を∞となるとする事＋更にまた一つ訳が違う事情。
- 911 名前：05001014289445_me mailto:sage [2007/01/28(日) 15:42:20 ]
- >>910
- 912 名前：1−0.9dot＝0 mailto:sage [2007/01/28(日) 15:48:34 ]
- >>910を書き直し。ちゃんと>>911の節穴さんで消えてますか？
本題へ。
>>895
＞ 超現実数で得られる無限小は
0.000…01 (ω桁目で止まる)
0.000…00…001 (ω^ω桁で止まる)
みたいな感じになるのでは？
─1*10^(ｰω)、無限小
に1*^10(ｰω^ω)、更に高位の無限小
＞ そうすると、
0.000… (止まらない)
という数については やはり0.000…＝0が成り立ってしまうとか。
─そんな数は…仮に考えると
桁数は 空集合(以下:=φ)の逆数集合 と(勝手に)考える。
つまり1*10^(1/φ)となって
ゲーデル的決定不能性と言うまでもなく
#DIV/0!的不能。
結局、lim[x→φ]xとだけしか言い切れず終いになると思う。
つまり1−0.9dotはφか否かとなると
分かり得ない となるんと違うか。
無限小の逆数を∞となるとする事 ＋ 更にまた一つ訳が違う事情。
…と考えてみるテスト。
- 913 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/28(日) 16:02:15 ]
- 0.999・・・=1を収束で証明すると1は収束値となる
すると0.000・・・=0もまた収束値である
よって1/0は±∞
- 914 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/28(日) 16:30:05 ]
- >0.000…01 (ω桁目で止まる)
>0.000…00…001 (ω^ω桁で止まる)
>みたいな感じになるのでは？
みたいなどと感覚で言われても数学にはならないから。
ちゃんと定義してみたら？
- 915 名前：1−0.9dot＝0 mailto:sage [2007/01/28(日) 18:03:21 ]
- >>914
だから>>912では>>895氏のレスを意訳した上でレスしたわけだがのう。
儂も素人だからのう。
少数点第ω位以外0で当の桁が1の数と
少数点第ω^ω位以外0で当の桁が1の数。
- 916 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/28(日) 18:12:07 ]
- 全然定義になっていない。
具体的な数に対してどう小数展開を求めるの？
ω桁のみが1で他は0の数の10倍はいくつ？
せめてこれぐらいは具体的に答えてくれ。
- 917 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/28(日) 18:14:00 ]
- ＞桁数は 空集合(以下:=φ)の逆数集合 と(勝手に)考える。
逆数集合って何？厳密な定義ヨロシク
- 918 名前：PCで1−0.9dot＝0 mailto:sage [2007/01/28(日) 20:32:16 ]
- ああ！！>>910が消えてない！！あの話は釣りかwww
>>916-917
あ。えーと10ω＝ω10＝ω…
駄目だこりゃあー。
逆数集合も……
- 919 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/28(日) 21:36:22 ]
- >>918
それで？逆数集合って何？厳密な定義ヨロシク。
- 920 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/29(月) 10:20:31 ]
- >>886
乙。しかしなんか怪しい。
ｎ段階に到達して初めてｎという数が定義されている。
もっと具体的に言うと、超現実数ωはω段階にならなければ作ることはできない。
どんなにｎ回（有限回）繰り返しても超現実数ωという数を作ることはできない
と思うがいかがでしょう？
- 921 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/01/29(月) 13:34:54 ]
- >>920
帰納法は前提になるだろうね。超限の方の。
実数は連続体濃度なので有限回で出来たら不思議だし。
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