代数的整数論

1 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/12(月) 16:30:31 ] 代数的整数論に関するスレッドです。 744 名前：208 [2005/11/11(金) 10:26:57 ] 命題 A を可換環、M を A-加群とする。 x_1, ... , x_p を M の元とする。 このとき、次の等式が成立つ。 x_σ(1)Λ...Λx_σ(p) = ε(σ)x_1Λ...Λx_p ここで、両辺は M の外積代数(>>727) ΛM の p-次同次成分 (Λ^p)M の元である。 証明 x, y ∈ M のとき、(x+y)Λ(x+y) = 0 となる。 これから n = 2 のときの証明が終わる。 n > 2 のときは帰納法を使う。 詳細は読者に任す。 745 名前：208 [2005/11/11(金) 10:28:51 ] >>744 σは集合{1, ..., n} の任意の順列であり、ε(σ)は、σの符号。 746 名前：208 [2005/11/11(金) 10:36:48 ] 命題 A を可換環、M を A-加群とする。 x_1, ... , x_p を M の元とする。 i ≠ j のとき x_i = x_j なら、 x_1Λ...Λx_p = 0 となる。 証明 まず、x_1 = x_2 のときは、x_1Λ...Λx_p = 0 となることに注意 する。これは、x_1Λx_2Λ...Λx_p = (x_1Λx_2)Λ...Λx_p で、x_1Λx_2 = 0 から明らか。 一般の場合は、σを集合{1, ..., n} の順列で σ(i) = 1, σ(j) = 2 とすれば、>>744 より、最初の場合に帰着する。 証明終 747 名前：208 [2005/11/11(金) 10:43:23 ] 外積代数は次の命題で特徴付けられる。 命題 A を可換環、 M を A-加群とする。 B を可換とは限らない A-代数とし、 f: M → B を A-加群としての射で、 f(x)^2 = 0 が任意の x ∈ M で成立つとする。 このとき、A-代数としての射 g: ΛM → B で f = gj となるものが一意に存在する。 ここで、j: M → ΛM は標準単射。 証明 読者に任す。 748 名前：208 [2005/11/11(金) 11:03:35 ] 定義 R を可換環、 A, B を可換とは限らない R-次数代数とする。 Z^2 型の R-次数代数 C を以下のように定義する。 C の (p,q)次の成分を C_(p,q) = A_p(x)B_q とする。 x ∈ A_p, y ∈ B_q z ∈ A_r, w ∈ B_s のとき、(x(x)y)(z(x)w) = (-1)^(qr) xz(x)yw と定義する。 この積が結合律を満たすことは読者に任す。 C を A と B の歪テンソル積と呼び、A(x)'B と書く。 749 名前：208 [2005/11/11(金) 11:48:10 ] 命題 R を可換環、 A, B を可換とは限らない R-次数代数とする。 C を Z^2 型の R-次数代数とする。 f: A → C g: B → C を R-代数の射で、 f(A_p) ⊂ C_(p,0) g(B_q) ⊂ C_(0,q) とする。 さらに、x ∈ A_p, y ∈ B_q のとき f(x)g(y) = (-1)^(pq) g(y)f(x) とする。 このとき、R-次数代数の(次数を保つ)射 h: A(x)'B → C で、hu = f, hv = g となるものが一意に存在する。 ここで、A(x)'B は A と B の歪テンソル積(>>748)で u: A → A(x)'B, v: B → A(x)'B は標準射。 証明 読者に任す。 750 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 12:49:16 ] >>749 以下のように訂正する。 命題 R を可換環、 A, B, C を可換とは限らない R-次数代数とする。 f: A → C g: B → C を R-代数の射で次数を保つ、即ち f(A_p) ⊂ C_p g(B_q) ⊂ C_q とする。 さらに、x ∈ A_p, y ∈ B_q のとき f(x)g(y) = (-1)^(pq) g(y)f(x) とする。 このとき、R-代数の射 h: A(x)'B → C で、 h(A_p(x)B_q) ⊂ C_(p+q) hu = f, hv = g となるものが一意に存在する。 ここで、A(x)'B は A と B の歪テンソル積(>>748)で u: A → A(x)'B, v: B → A(x)'B は標準射。 証明 読者に任す。 751 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 13:00:42 ] 命題 A を可換環、 M, N を A-加群とする。 L = M + N (直積)とする。 ΛL は (ΛM)(x)'(ΛN) に A-次数代数として標準的に同型となる。 ただし、(ΛM)(x)'(ΛN) の次数型は全次数 n = p + q により Z 型と考える。 証明 標準射 f: ΛM → ΛL と g: ΛN → ΛL がある。 これは、>>750 の命題の条件を満たす。 よって、h: (ΛM)(x)'(ΛN) → ΛL が定義される。 一方、標準射 M → (ΛM)(x)'(ΛN) と N → (ΛM)(x)'(ΛN) から、射 L → (ΛM)(x)'(ΛN) が定義される。 これは、>>747 の命題の条件を満たす。 よって、射 k: ΛL → (ΛM)(x)'(ΛN) が定義される。 h と k が互いに逆射となっていることは読者に任す。 証明終 752 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 13:12:43 ] 208には本質がわかってないね 753 名前：208 [2005/11/11(金) 13:13:59 ] 命題 A を可換環、 M を階数 n の A-自由加群とする。 (Λ^p)M は階数 nCp の A-自由加群である。 ここで、nCp は n 個の集合から p 個の部分集合を取る組み合わせの数。 証明 M の基底を e_1, ... , e_n とする。 M = ΣAe_i （直和) だから、>>751 より ΛM = (ΛAe_1)(x)'...(x)' (ΛAe_n) となる。 各 ΛAe_i = A + A_ei に注意すればよい。 証明終 754 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 13:21:28 ] はずかし 755 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 14:14:54 ] >>747 先生わかりません！　解答を > ぜひ教えてください。お願いします。ペコリ 756 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 15:31:42 ] >>755 そうだね >ここで、j: M → ΛM は標準単射。 は特にわかりにくいね でも208にきいてもむだだよきっと 本写してるだけだから 757 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 15:35:14 ] だから つっこむのやめろよ またわやくちゃになるぞ 758 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 15:36:34 ] その通り。オナニーは自由にさせるのがいい。途中でやめさせるから、 精液が回復する。 759 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 15:45:13 ] はやく本を写し終わって極楽浄土に成仏してくれないかな 760 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 15:49:41 ] ブルバキ浄土 761 名前：208 [2005/11/11(金) 16:06:22 ] >>755 教えてほしいならふざけるなよ。 >>743 はいい？ 762 名前：756 mailto:sage [2005/11/11(金) 16:12:06 ] >>781 >>743 のことなんか聞いてないだろ ごまかすなよ 763 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 16:12:31 ] ２０８は研究に時間を使ったほうがよくないか 764 名前：208 [2005/11/11(金) 16:13:30 ] >>743 から出るんだよ、うすらが 765 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 16:14:56 ] >>764 他人が二人以上いることにはやく気付けよ。 766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:17:05 ] >>764 だんだん余裕がなくなってきてるな。 767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:18:06 ] >764 >>756をよく読みましょうね 768 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:19:15 ] こいつも「敵は一人症候群」か。餓鬼は必ずこれを患ってるな。 769 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:23:38 ] 208には細かい点が理解できないので それがわかりにくいようにつっこむと どつぼにはまる しまいに怒鳴りだして からかったやつの思うツボ いまでも割り算で怒鳴ってるし 救いようがない 770 名前：208 [2005/11/11(金) 16:27:05 ] >こいつも「敵は一人症候群」か。 うすらが 771 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:28:39 ] うすら208 Ass208 うすら208 Ass208 うすら208 Ass208 うすら208 Ass208 うすら208 Ass208 うすら208 Ass208 うすら208 Ass208 うすら208 Ass208 うすら208 Ass208 うすら208 Ass208 772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:31:14 ] うっすらバブ− 773 名前：208 [2005/11/11(金) 16:32:28 ] >>756 >>727 の記号を使うと、(Λ^p)M = T^p(M)/(I ∩ T^p(M)) だから、 (Λ^1)M = T^1(M)/(I ∩ T^1(M)) だが、定義より T^1(M) = M で I ∩ M = 0 だから (Λ^1)M = M となる。 774 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:34:48 ] そうそう素直にならなくちゃ 775 名前：208 [2005/11/11(金) 16:38:25 ] なまイキ言うんじゃねえ 776 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:40:26 ] もっと素直にならなくちゃ みんなからイヂメラれますよ 777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:41:12 ] もっと素直にならなくちゃ みんなからもっとイヂメラれますよ 778 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:42:16 ] もっともっと素直にならなくちゃ みんなからもっともっとイヂメラれますよ 779 名前：208 [2005/11/11(金) 16:42:44 ] >>765 他人が一人と決め付けるわけないだろ。>>762に言ってるんだよ。 そいつが誰かなんて関係ねえんだよ。うすらが 780 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:45:01 ] >>779 誰が誰かぐらいは特定しろよorz 781 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:45:43 ] もっともっともおーっと素直にならなくちゃ みんなからもっともっともおーっとイヂメラれますよ 782 名前：208 [2005/11/11(金) 16:46:34 ] 特定出来るわけないだろ。 見当はつくけどな 783 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 16:47:20 ] >>782 じゃあつけた見当を利用して書き分けろよ。 784 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:48:33 ] 妄想 785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:49:53 ] >>784 じゃますんな。キチガイ 786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:51:41 ] じゃあつけた妄想を利用して書き分けろよ。 787 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:53:22 ] >>786 利用できる結果は利用しろよ。キチガイ 788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:57:23 ] なまイキ言うんじゃねえ 789 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 17:00:41 ] >>788 おまえはオッカムのかみそりの向いてる方向が逆なんだよ。 790 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:02:08 ] なまイキ言うんじゃねえ 791 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:02:47 ] 208の迷語録スレはこちらですか？ 792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:03:05 ] > ぜひ教えてください。お願いします。ペコリ こんな素直な子が、背伸びしてブルバキをやったばかりに、 > じゃますんな。キチガイ > なまイキ言うんじゃねえ になってしまうなんて、日本の数学教育って一体・・・ 793 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:04:16 ] >>789 なにか勘違いしてるらしいね 794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:04:51 ] うすらが 795 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:06:58 ] うすら208 Ass208 うすら208 Ass208 うすら208 Ass208 うすら208 Ass208 うすら208 Ass208 うすら208 Ass208 うすら208 Ass208 うすら208 Ass208 うすら208 Ass208 うすら208 Ass208 796 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:08:09 ] せっかく大学まで行かせてやり 機嫌良く数学やってたんですよ でもある日 いつも座る席に知らない学生が座っていたので すねて帰ってきました それ以来なんです 家にひきこもったきりなんですよ 797 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 17:09:22 ] >>793 組みあわせて材料を増やしてからオッカムの剃刀で削るんだよ。 組み合わせる材料をオッカムの剃刀で削ってどうする。 798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:10:01 ] なまイキ言うんじゃねえ 799 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:10:21 ] >>791 208隔離スレでしたが．．．今は．．．あっ 800 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:11:32 ] >>797 なにか勘違いしてるね 801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:13:51 ] >オッカムの剃刀 おお新手の言いがかり登場だぞ でも何が言いたいのか 奥歯にうんこがはさまっているようだ 802 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 17:14:10 ] >>800 なにがさ？ 803 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:15:25 ] >>801 うんこ美味しいよね 804 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:16:11 ] >>802 だれが何を削ってるってのか？ 805 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:17:18 ] 皆んなぁ！　ケンカはやめて仲良くしようよ！！ 806 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 17:17:54 ] >>804 なにをかんちがいしてるかね？ 807 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:18:50 ] 基地外の巣でしたか。ここは。 808 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:20:02 ] >806 なにも削ってないだろ 削ってるのは208の脳味噌だけ 809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:21:50 ] 208がやけ糞になって焦土戦術に出たようです 810 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 17:21:59 ] >>808 ２０８の脳味噌が削っているのかね？ それとも何かが２０８の脳みそを削っているのかね？？？ 811 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:23:03 ] あと200くらいすぐだな 812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:24:18 ] 焦土戦術は、防御側が効果的な反撃をできないと、ただの敗走だべ 813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:24:38 ] >>それとも何かが２０８の脳みそを削っているのかね？？？ そんなおそろしいことを！！！ 208は狂牛病なのか？？？ 814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:25:53 ] ようするに敗走だった と後でわかる 815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:26:12 ] >>811 ということは、ここに封印されていた208が外にあふれ出すのか。 危険！危険！　900を超えたら全スレに警報を発令せよ！ 816 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 17:29:38 ] >>815 それはただの上げ荒らしだからたのむからやめてくれ。 817 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:30:13 ] 208隔離スレがあらたに必要なのか でもおとなしく隔離されるかな？ 818 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 17:31:56 ] >>817 ズバリ！「２０８隔離スレ」でスレ立ててくれ。ファンスレという事でゆるす。 819 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:42:01 ] ガロア理論part2の残骸ものせて 820 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:52:51 ] 新スレが立ってしまったが208はいずこへ？ 821 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:55:52 ] 208は、最後に「うすらが」という言葉を残して 休眠状態に transfer した。 822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 18:08:50 ] こうして、208のブルバキ帝国再興の夢は潰えた。 そして千年後の復活に備えて、永い冬眠状態に 入ったのであった・・・（完） 単に、いじけて泣いているだけという説もあるという。 823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 18:09:05 ] 208泣いてるよ ほら 824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 18:15:10 ] 新生208は ガウスラ か？ 825 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 18:37:13 ] ああ単因子よ外積よ 日の目をみずに眠るのか どうか安らかに死んだように眠っておいてくれ 826 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 18:43:14 ] 208軍団指揮官ガウスラ将軍はいまニューロードを進軍中。 827 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 19:00:24 ] >>826 フロンティアの開拓村がガウスラ将軍指揮下の精鋭部隊によって壊滅する。 ブルバキ帝国再興の夢は叶うのか。 828 名前：１３２人目の素数さん mailto:hage [2005/11/11(金) 19:14:16 ] 一体いままでなんのために写経してきたんだ これがあの208の最後の姿なのか それでいいのか208よ おまえの子分どもが泣いているぞ さあガウスラとなって立ち上がるのだ 829 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 19:40:08 ] ガウスラ帝国　万歳！！ 830 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 19:46:20 ] この荒れようを見ると、ほんと、208って、数学板で嫌われていたんだな。 つくづくそう思う。 >>261のような信者も中にはいるが・・・ 831 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 20:05:43 ] >>830 そうそう、あの時が208の絶頂期だったんだよね。今思うと。 数学科を出ていないこの板の普通の住人を侮蔑的に排除するような 言動が結果的に命取りになったかな。ブルバキ帝国を再興したい なら、まず大義を掲げて一般の住民の支持を得ないとだめだね。 832 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 20:08:16 ] ↓信者へのお答えがこれじゃあねえ。まさに宗教 初学者？　そうね、我慢して証明を追っていく。 そのうち、トンネルを抜けるように見晴らしがパーっと良くなる。 この感覚は言葉でいくら説明してもわからない。 体験するしかない。 833 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 20:55:49 ] ＞＞８３１ このスレで数学科出てない人がいる？とは思えないけど 834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 21:25:54 ] >>833 興味がある人はいたと思うよ。2chのような開かれた掲示板で 玄人だけくるようにさせるのは不可能。 それと、208が出没したのはここだけじゃないからね。 835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 21:28:37 ] ブルマ履き 836 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 22:10:20 ] そういえば学会で意味のないらしい内容の発表を５回もするので、本来１５分の発表時間を数分に短縮されていた人がいたけど、２０８ではないよね。 837 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 22:17:56 ] >>834 ＞08が出没したのはここだけじゃないからね。 どこどこ。ほかにはどこ？ 838 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 22:41:37 ] >>837 知ってる範囲で・・・ ・オイラーすれで、198と名乗っていた。住人が温厚だったせいか208の独壇場。 ・数学の本スレ（すでに1000超えてdat落ち）でブルバキ関係の話題で現れて 荒れたｗ ・線形代数スレで、発言を well known and trivial と指摘されて切れる。 ・圏論スレの594以降を見てみん。すさまじく荒れたｗ ・ご存じガロアスレ。このスレの773以降208の没落始まる。 その他、208の陰を感じさせる発言多数。やりとりをした香具師の ほとんどが気を悪くしている。数学板きっての嫌われ者。 839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 22:51:30 ] オイラースレでの言動 670 ：198：2005/08/08(月) 14:50:28 >>666 お前よりは１００倍以上知ってるよ。 自慢にはならないがｗ 840 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 23:23:01 ] >>838 なるほど。ブルバキ教徒だからすぐわかるってこともあるね。 841 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/12(土) 13:19:29 ] ガウスラ将軍の軍団はどこに消えたんだ？ 842 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/14(月) 11:07:31 ] >>841 ブルバキ帝国正規軍ガウスラ将軍の軍団はただのニートの208に 準同型写像された。 843 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/14(月) 12:21:05 ] >>715 A がネーターなら EGA IV-2 p.153 に証明がある。 Eisenbud の本(Commutative algebra with a view ...) にも。 844 名前：208 [2005/11/14(月) 13:05:37 ] >>753 の前に以下を述べるべきだった。 R を可換環、 A_1, ... , A_n を必ずしも可換でない R 上の次数代数とする。 これ等の歪テンソル積 (A_1)(x)'...(x)'(A_n) も >>748 と同様に 定義される。 詳しく述べると、 (x_1)(x)...(x)(x_n) と (y_1)(x)...(x)(y_n) の積は ε(p,q)(x_1y_1)(x)...(x)(x_ny_n) と定義する。 ここで、各 x_i ∈ (A_i)_(p_i), y_i ∈ (A_i)_(q_i) ε(p,q) = (-1)^（Σ(p_i)(q_j)) Σは i > j のすべての組合わせを動くものとする。 p、q、r ∈ Z^n のとき、 ε(p+q, r) = ε(p, r)ε(q, r) ε(p, q+r) = ε(p, q)ε(p, r) となる。 これから、ε(p, q)ε(p+q, r) = ε(p, q+r)ε(q, r) となる。 これから、結合律 (xy)z = x(yz) が出る。 歪テンソル積の結合律 (A(x)'B)(x)'C = A(x)'(B(x)'C) = A(x)'B(x)'C も成立つ。

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