代数的整数論

1 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/12(月) 16:30:31 ] 代数的整数論に関するスレッドです。 51 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/21(水) 19:55:21 ] ガロアスレでx^3+x+1の分解体で31Z以外は分岐しないことが即答できない程度の 人間が何をいきがってんだろ？ 52 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/21(水) 20:28:35 ] ここは王国なんだから干渉しちゃだめ 53 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 09:32:43 ] なんだレスついたと思ったら煽りかよ。 54 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 09:56:37 ] 命題 AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。 BをLにおけるAの整閉包とする。 Bの任意の(非零)素イデアルPに対して、B/P は A/p 上分離的とする。 ここで、p = A∩P。 このとき、L/K の共役差積 D(L/K) は、f'(θ) 全体で生成される。 ここで、θ∈B、L = K(θ) で f(X)∈A[X] はθのK上のモニックな 最小多項式。 証明 A[θ] の導手をFとすると、f'(θ)B = D(L/K)F となる。 これと、>>43 からわかる。 詳しくは演習問題(簡単)とする。 55 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 10:26:10 ] AをDedekind環、K をその商体、L/K を有限次分離拡大体。 BをLにおけるAの整閉包とする。 θをB の元で L = K(θ) とする。 A[θ] の導手をFとする。 p を A の(非零)素イデアルで、pB + F = B とする。 包含射 A[θ] → B と標準射 B → B/pB の合成 A[θ] → B/pB は、同型 A[θ]/pA[θ] = B/pB を誘導する。 証明 pB + F = B と F ⊂ A[θ] より、A[θ] → B/pB は全射。 A[θ] ∩ pB = (pB + F)(A[θ] ∩ pB) ⊂ pA[θ] + pA[θ] ⊂ pA[θ] 逆の包含関係 pA[θ] ⊂ A[θ] ∩ pB は明らかだから、 A[θ] ∩ pB = pA[θ] となる。 よって, A[θ] → B/pB の核 A[θ] ∩ pB = pA[θ] となる。 証明終 56 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 10:41:45 ] 命題 Aを(可換)環、p をAの極大イデアルとする。 f(X)∈A[X] をモニックな多項式とする。 A[X]/(f(X)) = B とおく。 このとき、B/pB = κ[X]/(φ(X)) となる。 ここで、κ= A/p、φ(X) は κ[X] のモニックな多項式で f(X)の係数を mod p で考えたもの。 証明 演習問題(簡単)とする。 57 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 11:03:27 ] 高木のp.83の付記の証明、つまりDedekindの判別定理の証明の 初めの部分、f(X) = P(X)^eA(X) (mod p) が良く分からない。 これほんとに成立つのかな？ p がθの導手と素なら>>55で述べたように 言えるけど、この場合、そうとは限らない。あの付記で言えるのは pの上にある特定の素イデアルPと素になることだけ。 58 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 11:07:09 ] >>55と>>56を組み合わせると、θのK上のモニックな最小多項式 f(X)∈A[X] の mod p での既約多項式の分解により pB の素イデアル 分解が得られる。詳しくは、演習問題とする。 59 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 11:11:45 ] 結局、高木のDedekindの判別定理のイデアル論による証明は よく分からない。Zariski-Samuelに綺麗な証明があるので それを後で紹介する。その前にDedekind環の基本からやり直す。 60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/22(木) 11:17:27 ] >>49 確か、Springerから、英訳が出ていたのがそうだと思う。これじゃない？ The Theory of Algebraic Number Fields" David Hilbert (著) ところで、ガロアスレでWeberの代数学の本の話があったけど、 どうやれば手にはいるか知ってる人いる？　独、英訳どちらでもいい。 61 名前：208 [2005/09/22(木) 11:21:01 ] >>60 >ガロアスレでWeberの代数学の本の話があったけど、 amazon.comにあったので最近注文した。まだ届いてない。 それが最後の在庫だったらごめん。 62 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 11:40:22 ] >>60 AMSのBookstoreで購入可能！ ttp://www.ams.org/bookstore 63 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 11:42:58 ] まず、可換代数の初歩から復習する。 今後、環と言えば可換環を意味する。 定義 A を環、SがAの積閉集合とは、次の条件を満たすAの部分集合である。 1) 1 ∈ S 2) a∈ S, b ∈ S なら ab ∈ S 64 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 11:59:38 ] >>63 零元は含まない、という条件も加えたら？ 65 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 11:59:50 ] A を環、SをAの積閉集合とする。 I = {x ∈ A; sx = 0 となる s ∈ S がある} とおく。 I はA のイデアルである。 φ: A → A/I を標準射とする。 φ(S) の各元は B = A/I の非零因子である(演習問題)。 よって、φ(S) の各元は B の全商環 Q において逆元を持つ。 よって、Qの部分環 A_S = {φ(x)/φ(s); x ∈ A, s ∈ A} が定義 出来る。 A_S を A の S による局所化という。 A_S は A[1/S]とも書く。 A_S の元 φ(x)/φ(s) は、普通略して x/s と書く。 66 名前：208 [2005/09/22(木) 12:05:28 ] >>64 やだw 何故なら環というとき零環、つまり 1 = 0 となる環も含めたいから。 これがBourbakiやGrothendieckの流儀。 こうすると、f ∈ A のとき A[1/f] がfがベキ零でも定義できて 場合分けの面倒がない。 67 名前：64 [2005/09/22(木) 12:15:28 ] >>66 了解！　そのほうが形式的にすっきりします。 68 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 12:15:33 ] ちなみに、可換代数でもっとも重要な概念は>>65の局所化である。 この概念を自由自在に使いこなせるようになることが、可換代数を 学ぶ上での最初のハードルである。この重要な概念がやっと1940年代に 定式化されたのは驚くべきことだろう。 69 名前：64 [2005/09/22(木) 12:18:32 ] >>69 さらに任意の可換環に対する局所化の定式化は これからかなり遅れて成された、ということも驚き。 70 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 12:20:57 ] >>69 はあ？ >>65は任意の可換環の局所化だけど 71 名前：60 mailto:sage [2005/09/22(木) 12:40:55 ] >>62 ありがとう！ 72 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 12:59:17 ] A_S を圏論的に特徴つけると以下のようになる。 可換環の圏を Ring と書く。 A を環、SをAの積閉集合とする。 B を環としたとき、 F(B) = {f ∈ Hom(A, B); f(S)の任意の元は可逆 } とおく。 対応 B → F(B) により、Ring から集合の圏 Setへの共変関手 F が 得られる(確かめよ)。 F は A_S により表現可能である。 つまり、関手 B → Hom(A_S, B) は 関手 F と標準的に同型になる。 これを、噛み砕くと f ∈ F(B) に対して、g∈ Hom(A_S, B) で、gφ = f となるものが 一意に存在する(図を書くとよくわかる)。 ここで、φ: A → A_S は a ∈ A に a/1 ∈ A_S を対応させる標準射。 73 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/22(木) 13:14:11 ] >>72 圏と関手の定義を簡単に説明してくれんか？ できればわかりやすく！ 74 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 13:47:50 ] >>73 英語が読めればwikipedeiaでcategory theoryを検索すればいい。 英語が読めないときは、図書館に行って日本語の圏論の入門書を調べてくれ。 75 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 13:54:06 ] ところで、学部では圏論やらないの？ 76 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/22(木) 14:01:23 ] 非可換環の場合、局所化はどうなるんですか？ 77 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 14:02:57 ] >>75 学部でやるとかやらないとか関係ねーじゃん 公式のカリキュラムなんてほんの目安で 必要と思えば自分で勉強すればいいじゃん 小学生じゃねんだからさ 78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/22(木) 14:13:27 ] >>74 けちなこと言うなよ。お前の悪いところだ。自分のいいたいことは延々と 垂れ流すくせに、こういうときは妙に素っ気ない。 79 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 14:59:21 ] >>78 英語読めないやつはいっていいよ。数学やってるのに英語読めないってのは 話にならない。さらに独、仏も読めないとな。 高木は、ドイツ語だけでなくフランス語もよく出来たらしいね。 むこうで、フランス語で発表したらしい。発表だけでなく会話も。 80 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/22(木) 15:43:17 ] >>79 なら、このスレも英語で書いてみな。書けるものなら。 フランス語でもいいぞｗ 81 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 15:45:12 ] 環Aの素イデアルの集合をSpec(A)と書く。 SをAの積閉集合とする。 T(S) = {p∈Spec(A); p ∩ S = 空集合} とおく。 p∈S に p(A_S) を対応させるとT(S)からSpec(A_S)への全単射が 得られる。この写像の逆写像は、P ∈ Spec(A_S) に P のφによる 逆像φ^(-1)(P) を対応させるもの。ここで、φ: A → A_S は標準射。 以降、この全単射により、T(S)とSpec(A_S)を同一視する。 82 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 15:48:32 ] >>80 残念でした。俺は英語は得意。しゃべりも書くのも。 外人とりラックスして話せる。食事を楽しみながらな。 83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/22(木) 15:49:12 ] 非可換環の場合はどうなるんですか？ 84 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 15:55:53 ] A をネーター環とし、SをAの積閉集合とすると、 A_S もネーター環である。 85 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 16:07:09 ] A を環とし、MをA-加群とする。 SをAの積閉集合とする。 M_S = M(x)A_S と定義する。 ここで、M(x)A_S は M とA_Sの A 上のテンソル積。 M_S は A_S-加群となる。M_S を M[1/S] と書くこともある。 x ∈ M, s ∈ S のとき、x(x)(1/s) を x/s と書く。 x/s = 0 とすると、ある t ∈ S があり、tx = 0 となる。 86 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 16:10:30 ] M → M_S は完全関手である。 つまり、A-加群の完全列 0 → N → M → L → 0 があると 0 → N_S → M_S → L_S → 0 も完全である。 87 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 16:12:26 ] A を環とし、MをA-加群とする。 x ∈ M に対して、Ann(x) = {a∈A; ax = 0 } とおく。 Ann(M) = {a∈A; aM = 0 } とおく。 Supp(M) = {p∈Spec(M); M_p ≠ 0 } とおく。 88 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 16:17:57 ] >>87 >Supp(M) = {p∈Spec(M); M_p ≠ 0 } とおく。 M_p は M の S = A - p による局所化。 同様に A_p も定義される。 89 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 16:19:10 ] A をネーター環とし、Mを A-加群とする。 p ∈ Spec(A) で、ある x ∈ M に対して p = Ann(x) となるとき p を M の随伴素因子という。M の随伴素因子全体を Ass(M) と書く。 90 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 16:41:44 ] A をネーター環とし、Mを A-加群とする。 x ∈ M, x ≠ 0 とすると、 Ann(x) を含む p ∈ Ass(M) がある。 証明 A イデアルの集合 T = {Ann(y); 0 ≠ y ∈ M, Ann(x) ⊂ Ann(y)} は空でない(すくなくともAnn(x)がその要素)。 A はネーター環だから、T に極大元 Ann(y) がある。 a ∈ A - Ann(y)、b ∈ A とする。 Ann(y) ⊂ Ann(ay) で、ay ≠ 0 だから、Ann(y) の極大性から Ann(y) = Ann(ay) となる。ab ∈ Ann(y) とすると、b ∈ Ann(ay) だから、 b ∈ Ann(y) となる。これは、Ann(y) が素イデアルであることを示す。 証明終 91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/22(木) 16:47:13 ] 非可換環の場合はどうなるんですか？ 92 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 17:01:04 ] >>91 うるせえな。すこしは自分で調べろよ。 93 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 17:48:06 ] A をネーター環とし、Mを A-加群とする。 p ∈ Ass(M) であるためには、A-加群としての単射 A/p → M が 存在することと同値である。 94 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/22(木) 17:59:04 ] >>91のような質問を完全にスルーするのは感心できないな。 Ore setで調べてみ。 95 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 18:00:01 ] A をネーター環とし、Mを A-加群とする。 SをAの積閉集合とする。 Ass(M_S) = Ass(M) ∩ Spec(A_S) となる。 ここで、M_S は A_S-加群として考え、>>81 の同一視をしている。 証明 p ∈ Ass(M) ∩ Spec(A_S) とする。 >>93より、A-加群の単射 A/p → M がある。この像をNとする。 よって A-加群の完全列 0 → p → A → N → 0 が得られる。 >>86より、0 → p_S → A_S → N_S → 0 は完全。 よって、N_S = A_S/p(A_S) となる。 仮定より、p(A_S) ∈ Spec(A_S) である。 A-加群の完全列 0 → N → M → M/N → 0 より、A_S-加群の完全列 0 → N_S → M_S → (M/N)_S → 0 が得られる。つまり、A_S-加群の単射 A_S/p(A_S) → M_S が存在する。よって、p(A_S) ∈ Ass(A_S) となる。 逆に、p(A_S) ∈ Ass(A_S) とする。 Ann(x/s) = p(A_S) となる、x ∈ M、s ∈ S がある。 A はネーターだから、p は有限個の生成元 a_1, ..., a_n をもつ。 (a_i/1)(x/s) = 0 だから、t(a_i)x = 0 がすべての a_i で成立つような t ∈ S がある。よって、p = Ann(tx) となる（詳細はまかす）。 証明終 96 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 18:02:07 ] >>94 スレ違いだろ。可換環論と関係ない 97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/22(木) 18:06:38 ] >>96 一言キーワード与えるくらい別に大したことないじゃん。 しかし、おぬしの口からスレ違いとは。。。 98 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 18:17:03 ] Aを環、p ∈ Spec(A) とする。 >>81 より Spec(A_p) = {q ∈ Spec(A); q ⊂ p } となる。 よって、A_p はpA_pをただ１つの極大イデアルにもつ。 つまり、A_pは局所環である。 A_p/pA_p は A/pの商体に同型である。 99 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 18:37:09 ] A をネーター環とし、Mを A-加群とする。 Ass(M) ⊂ Supp(M) となる。 証明 p ∈ Ass(M) とする。 A/p ⊂ M とみなせる。 よって、(A/p)_p ⊂ M_p 一方、(A/p)_p = A_p/pA_p ≠ 0 よって、M_p ≠ 0 証明終 100 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/22(木) 19:11:50 ] 208がここに落ち着いてくれのたはうれしい。 いちいち、あげないでくれというのはさすがに無理か？ 101 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/22(木) 22:09:16 ] 208 さんの書き込みは勉強になります。 ずっとこのスレだけに書き込み続けてください 102 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 22:20:44 ] >>96 そんなことだから、いつまでたっても風采が上がらんのだよ。 103 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/22(木) 22:35:47 ] ところで非可換環に対してもスキームみたいなことって 研究されてるのかね 104 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/22(木) 22:41:36 ] >>94 レスどうもです。Ore ring と言うんですね。 検索したらいろいろあって勉強になりました。 105 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/23(金) 00:56:10 ] >>74 ＞日本語の圏論の入門書 殆ど無いような気がするけど、どんな本のことを言ってるの？ 最近和訳されたMac Laneとか？ >>75 やらないかと、、 関係ないけど、英語のwikiは充実振りが凄いね 106 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/23(金) 01:00:16 ] >>79 そうだね 数学やってるんだから露も読めないとねｗ 代数幾何やってるのにイタリア語を読めないとか、カスだねｗｗｗ ってたまたま語学堪能な数学者に言われたらあなたどういう気持ちがしますか？ 分野によっては独語とか殆ど使わないような気がしますが、、 107 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/23(金) 01:55:54 ] 気のせい。 108 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/23(金) 02:35:43 ] 数学専攻ならロシア語くらいは読めんとな。 109 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/23(金) 06:17:50 ] 数学の神ラマヌジャンの祖国インドの全ての民族語も読めんとな。 110 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/23(金) 06:35:29 ] 数学専攻なら古代サンスクリットとマヤ語くらいは読めんとな。 111 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/23(金) 06:58:39 ] 古代エジプト人はリーマン予想を解いていた 112 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/23(金) 16:11:53 ] リーマン予想くらいは解けんとな。 113 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/26(月) 09:52:11 ] スレ違いの質問でも数学のことなら俺は答えるべきとか無視すべきではない とかと考えてるやつがいるけど（例えば、>>91, >>97）、どっからそういう とんでもない思い込みが来るんだ？ 誤解のないように言うけど、スレ違いでも流れから自然に出てくるのは、 駄目とは言ってない。だから、>>91 の質問も最初のときはいいんだよ。 だけど、それに俺が答えるかどうかは、俺の勝手だろ。 その質問は俺にとっては興味がないんだよ。可換環の概念のそれぞれに対応する 非可換バージョンは何かという発想は俺には退屈なんだよ。わるいけどな。 他の人が答えるぶんにはいっこうにかまわない。 114 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/26(月) 09:58:02 ] >>106 >ってたまたま語学堪能な数学者に言われたらあなたどういう気持ちがしますか？ >分野によっては独語とか殆ど使わないような気がしますが、 どういう気もなにも必要ならその言語を勉強するしかないだろ。 気持ちの問題じゃないんだよ。必要かどうかの問題なの。 115 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/26(月) 10:02:40 ] >>105 >殆ど無いような気がするけど、どんな本のことを言ってるの？ >最近和訳されたMac Laneとか？ 俺なんか学部１年目で読んだけどな。岩波の現代数学概説Ｉを。 あの本は、あまり良くないけど圏論について一応は書いてある。 他には岩波の河田のホモロジー代数。圏論はこっちのほうが詳しい。 116 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/26(月) 11:07:32 ] >>85 >x/s = 0 とすると、ある t ∈ S があり、tx = 0 となる。 これを定義(M_S = M(x)A_S)から直接証明するのはかなり面倒。 普通は、M_S を M×S のある同値関係の同値類として定義し、 これが、M(x)A_S と同型になることを示す。 ここでは、Bourbakiに従って、面倒なほうの証明を紹介する。 そのためには、テンソル積と帰納極限が可換なことを使う。 詳しく述べると、 A を環とし、(M_i), i ∈ I をA-加群の帰納系とする。 ここで、I は有向前順序集合。 同様に、(N_j), j ∈ J をA-加群の帰納系とする。 ここで、J は有向前順序集合。 このとき、 ind.lim M_i(x)N_j = (ind.lim M_i) (x) (ind.lim N_j) となる。ここで等号は同型を表す。 117 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/26(月) 11:47:03 ] 集合 I が前順序集合であるとは、I に以下の条件を満たす関係≦が 定義されていることを意味する。 1) 任意の i ∈ I に対して i ≦ i 2) i ≦ j, j ≦ k なら i ≦ k 前順序集合 I が有向であるとは、任意の i, j ∈ I に対して i ≦ k, j ≦ k となる k が存在することをいう。 有向前順序集合 I を添え字集合とする A-加群の族 (M_i) が帰納系 であるというのは i ≦ j のとき A-加群の射 f_(j, i) : M_i → M_j があり、以下の条件を満たすものをいう。 1) f_(i, i) は M_i の単位射 2) i ≦ j, j ≦ k なら f_(k, j)f_(j, i) = f_(k, i) 帰納系(M_i) から A-加群 M への射を 射 f_i: M_i → M の族(f_i)で i ≦ j なら f_i = f_j f_(j, i) となるものと定義する。 帰納系(M_i) から A-加群 M への射 (f_i) があるとする。 これが次の条件を満たすとき、M を帰納系(M_i) の帰納的極限という。 1) 帰納系(M_i)から A-加群 N への射 (g_i) があるなら、 射 f: M → N が存在し、g_i = f f_i が各 i ∈ I で成立つ。 2) f は上の条件で一意に定まる。 M を ind.lim M_i と書く。ind. はinductiveの略。 118 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/26(月) 12:02:28 ] 有向前順序集合 I を添え字集合とする A-加群の帰納系 (M_i) には、 必ず帰納的極限が存在する。 T を M_i の直和集合とする。T に以下のように同値関係を導入する。 x_i ∈ M_i, y_j ∈ M_j が同値であるとは、i ≦ k, j ≦ k となる k があり、f_(k, i)(x_i) = f_(k, j)(y_j) となることをいう。 ここで、f_(k, i) は、帰納系 (M_i) を定義する射。 これが同値関係を満たすことの確認は各自にまかす。 T をこの同値関係で割った商集合を M とする。 M が A-加群になり、M = ind.lim M_i となることも各自にまかす。 119 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/26(月) 12:18:46 ] 帰納的極限 ind.lim (M_i) は次の意味で同型を除いて一意に定まる。 帰納系 (M_i) の 極限として M と N があるとする。 このとき、A-加群の同型射 f: M → N があり、 f f_i = g_i となる。ここで、f_i: M_i → M, g_i: M_i → N は それぞれの極限を定義する射。 このことは帰納的極限の定義からすぐ出る。 120 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/26(月) 12:30:58 ] >>118から次のことがわかる。 M = ind.lim (M_i) とし、x ∈ M_i, y ∈ M_j に対して、 f_i(x) = f_j(y) とする。このとき、i ≦ k, j ≦ k となる k があり、 f_(k, i)(x) = f_(k, j)(y) となる。 とくに、x, y ∈ M_i で、f_i(x) = f_i(y) とすると、 i ≦ j となる j があり、f_(j, i)(x) = f_(j, i)(y) となる。 これから、f_i(x) = 0 なら f_(j, i)(x) = 0 となる j がある。 121 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/26(月) 13:00:19 ] >>113 そんなに長々と理屈こねなくても、素直に知りませんと言えばすむことじゃん。 122 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/26(月) 13:23:44 ] 圏論を学部で教えないってのはおかしいな。 私見によれば圏論は２０世紀の数学が発見したものの中で最も重要な概念だ。 １９世紀の集合概念の発見に匹敵するものだろう。 パラダイムが変わったといってもいいほどのもの。 123 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/26(月) 13:26:51 ] 面白そうでないということくらいなら知ってる 124 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/26(月) 13:28:24 ] 何故知ってるかというと昔、浅野の環論をちらっと見たから たしかエライ面倒 125 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/26(月) 13:31:09 ] 対象よりも射によって色々なものを定義しようって発想ですな つまり人間は一人で生きるにあらずということを主張しているわけですよ 圏論というものは 126 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/26(月) 13:36:40 ] >>121 スルーしたってことで終わりだろ。それをぐだぐだ言う奴がいる。 なんか勘違いしてるんだな 127 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/26(月) 13:41:26 ] 挑発的なレスは208？ 128 名前：208 [2005/09/26(月) 13:45:07 ] 今日のレスで>>121,>>125,>>127以外は今のところ俺 129 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/26(月) 14:00:57 ] ぐだぐだ言ってるのは208だと思います＞＜ 130 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/26(月) 14:07:02 ] そのとおりだとおもいまゅ（＞＜） 131 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/26(月) 14:07:40 ] これからの数学にとって、非可換環ほど重要なものはないだろ？ 132 名前：208 [2005/09/26(月) 14:18:13 ] >>131 これからって、どのくらいのスパンを考えてる？ ５０年以上先ってのなら、そういう話は今しないでくれ。 133 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/26(月) 14:24:59 ] GL(2,Z)の整数論でもやらないか？ 134 名前：208 [2005/09/26(月) 14:31:49 ] >>133 ヘッケ環だろ。 特殊な非可換環なら昔から整数論でやってる。 群環だって表現論では昔から重要。 135 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/26(月) 14:41:17 ] 例えば、M(2,Z) を2次の行列環とするとき、 Spec(M(2,Z)) はどういうものになるんですか？ 136 名前：208 [2005/09/26(月) 14:54:33 ] 俺は知らないからスルー 137 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/27(火) 05:47:22 ] 現代数学概説Ｉはやたら一般の代数系に拘ったり 素朴集合論に70〜80ページとか費やしてる割に 群、環、体はあまり深く議論してなかったり、突っ込みどころ満載かと、、 圏論について書いてないことも無いけど、あれを学部生に読ませるのは駄目だと思う あの本が参考文献で出てくること自体が、 ほとんど日本語の本が出てないこと、学部教育に圏論が必要と 考える人が少ないことをを端的に表している 138 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/27(火) 06:45:52 ] >>137 まあ圏論なんて代数幾何とかやらないとなかなかありがたみがわかないと思う。 圏論だけの授業やってもあまり面白くないと思うし、しょうがないわな。 139 名前：208 [2005/09/27(火) 08:56:16 ] >>137 >現代数学概説Ｉはやたら一般の代数系に拘ったり >素朴集合論に70〜80ページとか費やしてる割に >群、環、体はあまり深く議論してなかったり、突っ込みどころ満載かと、、 そうそう。俺なんか、何も知らない１年生だったから、退屈なのを 我慢して読んだよ。束論なんかもいやに詳しくて、そのくせ あそこに書いてある束論の結果なんか俺は今もって使ったことがない。 あれはBourbakiにひどく影響されて書かれたものなんだね。 Bourbakiの集合論と代数の内容をあの一冊に収めようとしたのが そもそもの間違い。 140 名前：208 [2005/09/27(火) 09:09:09 ] >>138 >圏論だけの授業やってもあまり面白くないと思うし、 何も圏論だけの授業をやれと言ってるんじゃない。 圏論は代数幾何とまで言わなくても、普通に代数に使われるよ。 位相幾何もそう。これ等をやる前にちょこっとやればいいじゃん。 141 名前：208 [2005/09/27(火) 09:21:09 ] 圏論使わないと教えるのに不便なんだよ。 圏論の初歩、つまり米田の補題とか随伴関手くらいまでだったら 証明を理解するのは簡単だろ。簡単すぎてあくびがでるくらい。 142 名前：208 [2005/09/27(火) 09:38:59 ] >>116の命題を証明する。 命題 A を環とし、(M_i), i ∈ I をA-加群の帰納系とする。 ここで、I は有向前順序集合。 同様に、(N_j), j ∈ J をA-加群の帰納系とする。 ここで、J は有向前順序集合。このとき、 ind.lim M_i(x)N_j = (ind.lim M_i) (x) (ind.lim N_j) となる。ここで等号は同型を表す。 (M_i(x)N_j) の添え字集合は I と J の直積に、(i, j) ≦ (i', j') を、i ≦ i' かつ j ≦ j' と定義したものこれが有向前順序集合に なることは明らかだろう。 証明 M = ind.lim (M_i) N = ind.lim (N_j) T = ind.lim M_i(x)N_j とおく。 M × N から T への写像φを以下のように定義する。 (x, y) ∈ M × N とし、x = f_i(x_i), y = g_j(y_j) とする。 ここで、x_i ∈ M_i, y_j ∈ N_j で、f_i, g_j はそれぞれ (M_i), (N_j) の極限を定義する標準射。 φ(x, y) = h_(i,j)(x_i (x) y_j) とする。 ここで、h_(i,j): M_i(x)N_j → T は標準射。 これが、x_iとy_jの取り方によらないことと、双線形写像であること の確認は各自にまかす。 よって、テンソル積 M (x) N の性質から、φ(x, y) = λ(x (x) y) となる A-加群としての射 λ: M (x) N → T が存在する。 他方、 μ_(i,j) : M_i(x)N_j → M (x) N が μ_(i,j) = f_i (x) g_j と定義して得られる。射の族 (μ_(i,j)) は帰納系 (M_i(x)N_j) から M (x) N への射を定義する。よって、μ: T → M (x) N が得られる。 λとμが、互いに逆写像になっていることは容易にわかる。 証明終 143 名前：208 [2005/09/27(火) 09:56:48 ] >>142の記号を使う。 x ∈ M, y ∈ N とし、x (x) y = 0 とする。 >>118より x = f_i(x_i), y = g_j(y_j) となる x_i ∈ M_i, y_j ∈ N_j がある。 (f_i (x) g_j) (x_i (x) y_j) = f_i(x_i) (x) g_j(y_j) = x (x) y = 0 となる。 >>120 より、 x_k (x) y_l = 0 となる、x_k ∈ M_k, y_l ∈N_l がある。ここで i ≦ k, j ≦ l であり、x_k = f_(k, i)(x_i), y_l = g_(l, j)(y_j) 144 名前：208 [2005/09/27(火) 10:09:42 ] 命題 A を環とし、M と N を A-加群とする。 x ∈ M, y ∈ N とし、x (x) y = 0 とする。 このとき、x を含む A上有限生成の M の部分加群 M' と y を含む A上有限生成の N の部分加群 N' が存在し、 M' (x) N' の元として x (x) y = 0 となる。 証明 M の有限生成部分加群全体の族 (M_i) を考える。 ここで添え字集合 I は M の有限生成部分加群のなす集合であり、 包含関係により順序を定義する。I は有向順序集合である。 当然、有向前順序集合でもある。 M = ind.lim (M_i) は明らかだろう。 同様に、N の有限生成部分加群全体の族 (N_j) を考える。 N = ind.lim (N_j) となる。 こもまでくれば、>>143より命題は明らかだろう。 証明終 145 名前：208 [2005/09/27(火) 10:38:01 ] >>85の証明をする。 命題 A を環とし、MをA-加群とする。 SをAの積閉集合とする。 M_S = M(x)A_S と定義する。 ここで、M(x)A_S は M とA_Sの A 上のテンソル積。 M_S は A_S-加群となる。M_S を M[1/S] と書くこともある。 x ∈ M, s ∈ S のとき、x (x) (1/s) を x/s と書く。 x/s = 0 とすると、ある t ∈ S があり、tx = 0 となる。 証明 x/s = x (x) (1/s) = 0 より、x/1 = x (x) 1 = 0 となる。 >>144 より、A_S のA-加群としての有限生成部分加群 N で 1 を含み、M (x) N の元として x (x) 1 = 0 となる。 N の生成元を、a_1/t_1, ... , a_r/t_r とする。 t_1, ..., t_r の積を t とすれば、N ⊂ A(1/t) となる。 I = {a ∈ A; ある s ∈ S に対して sa = 0} と定義すると、 I は A nのイデアルである。 a ∈ A のとき、a/t = 0 となるのは、sa = 0 となる s ∈ S があるときに限る。つまり、a ∈ I である。 A-加群としての射 f: A → A(1/t) を、f(a) = a/t で定義する。 この射の核は、I に他ならない。f は明らかに全射だから、 A(1/t) は A/I と同型である。よって、 M (x) A(1/t) は M (x) (A/I) = M/IM に同型である。この同型により、 x (x) 1 = x (x) (t/t) は tx mod IM に移る。 x (x) 1 = 0 だから、tx ∈ IM となる。よって、tx = Σ(a_i)(m_i) となる、有限個の a_i ∈ I と m_i ∈ M がある。 すべての a_i に対して sa_i = 0 となる s ∈ S がある。 この s により stx = 0 となる。 証明終 146 名前：208 [2005/09/27(火) 12:17:37 ] A をネーター環とし、Mを A-加群とする。 p を Supp(M) の極小元とすると、p ∈ Ass(M) となる。 証明 M_p は空でないから、>>90より Ass(M_p) は空でない。 Ass(M_p) は Spec(A_p) の部分集合であり、Spec(A_p) は {q ∈ Spec(A); q ⊂ p} と同一視される(>>81)。 pの極小性より、Ass(M_p) = {pA_p} となる。 一方、>>95より、この同一視により Ass(M_p) = Ass(M) ∩ Spec(A_p) となる。よって、p ∈ Ass(M) となる。 証明終 147 名前：208 [2005/09/27(火) 12:31:14 ] 随伴素イデアル(つまり Ass(M) の元)という概念 は Bourbakiの 手柄だね。それ以前は、この概念は準素加群分解に現れる素イデアル ということでしか定義されなかった。 随伴素イデアルの重要性を示すために例として有限アーベル群の 随伴素イデアルは何かという問題を出そう。 別の例として、V を代数的閉体 K 上の有限次ベクトル 空間とし、u を Hom(V, V) = End(V) の元とする。 K[X] を K 上の１変数多項式環とし、 X に u を対応させることにより、 K-多元環としての射 K[X] → End(V) が得られる。この射により、 V は K[X]-加群となる。このK[X]-加群の随伴素イデアルは何か？ 148 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/27(火) 12:43:22 ] しかし、これだけ演習題を提示して 証明もあたえらるなら、本にして売ったほうがいいような気がする 「電車男」なんてインチキ本が売れるんだ、 「数」の世界にごまかしはないからぜひとも編纂願う 149 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/27(火) 12:50:06 ] 興味ある奴の絶対数が違いすぎる 150 名前：208 [2005/09/27(火) 12:52:09 ] 随伴素イデアルの理論の次はだいたい以下のように考えている。 ・Artin環 ・Dedekind環の特性つけ ・Krull-秋月の定理 ・正規環の因子類群 ・ガロワ拡大におけるHilbertの分岐理論 ・Dedekindの判別定理の証明 ・付値論の初歩 ・完備付値体の理論 途中で変更の可能性もある。 151 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/09/27(火) 12:56:30 ] 興味ない奴はスルーすればいいだけとか言うくらいだったら、 自分でサイト作ってそこに文章書いて掲示板でも設置すればいいのに。 彼が2chという掲示板でやる理由は何だろうね。

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