数学基礎論の質問スレッド

1 名前：1 [04/10/13 18:26:50] 数学基礎論の質問スレッドが、今、無いようなので、新しくたてました。 ほかに質問のある方、どしどしと、質問してみてください。誰かが、教えてくれることもあるでしょう。 さて、私の質問ですが、 『論理学をつくる』という本の、一階述語論理の公理系の例のところに、 公理として、　∀ξ（ξ=ζ）　　　ξ、ζは個体変項をあらわす図式文字 というものがあがっていました。 公理ということは、恒真式なはずなんだけど、それが、なぜ、恒真式なのかが、わからなくて、疑問におもっています。 どなたか、わかる方、お教えください。 716 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/27(木) 00:33:23 ] レスありがとうございます。私がアホ杉で申し訳ありません。 >>715 ＞「それでも」の前後の文が逆接の関係にないのだけど。 ＞なぜそう思うのかがわからない。 実はとても短絡的な（アホな）思考なのです。ゲーデルの不完全性定理の 証明のときに出てくる決定不能命題というのは何というか 「自分自身が証明できない」みたいなトリッキーな命題なもんですから、 「ああ、そこまで表現できるほど理論が豊かならそうなっちゃうわけね」 みたいに漠然と思っていたのです。そこから短絡的に「じゃあ、普通の数学理論を やってる分にはそんな決定不能命題に出会ったりしないな、たぶん。」などど思って いたら、Paris Harringtonの定理とか言うのが出てきて、 ＞「自然で数学的に興味のあるstatement」（？）、なのだがtrue but not provable in PAだ なんて言うもんですから、急に先ほどの自信がなくなってしまって 「やっぱ普通の数学理論やっててもその理論の中で有用な定理なのに形式的には 決定不能になってる命題がでてきたりしちゃうんだろうか」 と思ってしまったわけです。 こんなアホですけど、どうか見捨てないでくださいまし。 717 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/27(木) 00:56:14 ] 「やっぱ普通の数学理論やっててもその理論の中で有用な定理なのに 形式的には決定不能になってる命題がでてきたりしちゃうんだろうか」 ? 決定不能命題は定理ではない。 Paris Harringtonの定理はZF上の定理であって、PA上の定理ではないというだけのこと。 718 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/27(木) 01:41:09 ] 　あ、なるほど。違う意味なのにどちらにも「定理」という言葉を使ってしまっていました。 すいませんでした。 　「Paris Harringtonの定理」と呼ばれているものは、ZF上では定理になっているのなら 素朴な自然数論（標準のモデル？）においては真になるはずですよね。それなのにPA上 では形式的な証明を与えることはできないわけですよね。（PA上では定理ではないので すから。） 　だとするなら、解析学においても素朴に考えれば真なのに、形式的には証明できない 有用な命題があるのではないか、という疑問がわいてきます。しかし>>704 >>706による と、その疑問は払拭されるらしい．．．。簡単なのか？どうなのか？ このように、「Paris Harringtonの定理」と呼ばれているものから、「解析学がきちんと 形式論理のレールに乗るか？」の疑問へいたったのです。 やっぱ、どこか勘違いしてるのかなあ。 719 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/27(木) 11:26:34 ] >>714 いっておくが、解析学のステートメントの真偽が決定可能となるような 解析学の形式的理論が存在するとは、いっていないぞ。 あくまで、大学の教養で習うような解析学をカバーする形式的理論が 存在するといったまで。詳しくは逆関数というキーワードで検索すべし 720 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/27(木) 11:29:42 ] ＞「やっぱ普通の数学理論やっててもその理論の中で有用な定理なのに ＞　形式的には決定不能になってる命題がでてきたりしちゃうんだろうか」 正しくは 「その理論の中では正しいと考えられるのに 　形式的に証明できない命題があるんだろうか？」 自然数論を含むような理論であれば当然存在する。 それがゲーデルの不完全性定理。 721 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/27(木) 11:32:30 ] ＞自然数論を含むような理論 自然数論ではなくて？ 722 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/27(木) 11:34:42 ] ぶっちゃけていえば、真と考えられるが ZFCでは証明できない命題は存在する。 ところで ＞「解析学がきちんと形式論理のレールに乗るか？」 という発言は 「解析学は、形式論理学で決定可能か？」 という発言と同じだとは普通思わない。 723 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/27(木) 11:51:17 ] そうでもない。普通の人は > 安心しろ。 > 貴様が知る教養課程程度の解析ならみな形式的に展開できる。 > 貴様が大学の講義をサボったから知らないだけだ（ｗ などと予断に満ちた基地外煽りを入れる前に どういう意味で「解析の形式的展開」と言っているかを 訊ねるものだ。 724 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/27(木) 11:58:22 ] >>723 普通の人は、数学を知らない（ｗ ただ尋ねて答えが返ってくると思うのは馬鹿。 煽りは有用な質問技法。 普通の人は、煽られないと考えない。 725 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/27(木) 12:06:52 ] 普通の人甲 「ゲーデルの不完全性定理？なにそれ？」 普通の人乙 「ああ、数学の無矛盾性は数学では証明できない、 　とかいうのだろ？なんか奇妙だよな」 普通の人丙 「それは第二だろ？その前に第一があるんだよ。 　数学の中には真だけど証明できない命題がある 　ってやつ。確か「この命題は証明できない」 　とかいう文章が数学の中で作れるんだろ？」 726 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/27(木) 12:09:10 ] じゃあ煽らせてもらうが、解析の話をしてるのに > 正しくは > 「その理論の中では正しいと考えられるのに > 　形式的に証明できない命題があるんだろうか？」 > > 自然数論を含むような理論であれば当然存在する。 > それがゲーデルの不完全性定理。 なんて話を持ち出しても意味がないだろ。 727 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/27(木) 12:29:15 ] >>726 全くだ。ε−δどころかそもそも開集合、閉集合も知らんのに ＞今やっている数学を過不足無く形式化出来るか？ とか尋ねたって無意味だろ。>>700よ（ｗ 728 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/27(木) 12:48:17 ] ほらほら、せっかく煽ってやったんだからいつもみたいにオウム返し してないで今回くらいはちゃんと考えてみろ。 まあゲーデルしかネタのない無学なお前さんのためにもう少しヒントを くれてやろう。 解析はお前にはまだちょっと難しいらしいから、複素数体でもいいか。 お前は解析にからんで > 「その理論の中では正しいと考えられるのに > 　形式的に証明できない命題があるんだろうか？」 > > 自然数論を含むような理論であれば当然存在する。 > それがゲーデルの不完全性定理。 なんてことを言うが、じゃあ複素数体の理論はお前さんの言うような、 「自然数論を含むような理論」になるのかね？ 729 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/27(木) 14:30:17 ] >>728 もしかして 　解析学 ＝実閉体の理論 複素数体の理論 ＝代数的閉体の理論 だと思ってる？ なら、間違いだよ。 expとかlogとかsinとかcosとかtanとか 知らないなら仕方ないけど（ｗ 730 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/27(木) 14:36:14 ] 実閉体や代数的閉体の理論には、微分や積分はない（ｗ 731 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/27(木) 18:47:38 ] あれは勝手に逆数学の研究者が「解析学」とか名前付けちゃってるだけだね もしかしたら例の「完全証明」よりも罪が重いかも >>718 単に公理が弱かったら証明できないよ、ということで、、 要するにQで証明できない命題があったからって誰も大騒ぎしないのと同じこと あれは、PAで証明できない「具体的な」命題を示した、ということが大事なんじゃないかな >>719 逆函数？逆数学じゃないのか、、？ 732 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/27(木) 18:51:50 ] >>727 なんで俺を何か別の人と混同してないか？ 俺のレスは713=731でその間のレスは俺のじゃないよ まあマニアックな用語は知らないし、そもそもあまり理解していないかもしれないけど 今の話から分かるようなことじゃないかと 733 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/27(木) 22:07:37 ] >>729 やっぱりちゃんと考えてもその程度か・・・。 734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/27(木) 22:11:10 ] 自分がわからないから「相手は自分以上にわかってない」という 妄想に逃げ込むいつものパターンだな、ドクトルよ。 735 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/28(金) 23:42:08 ] >>734 痛いところを突かれるとすぐ妄想とかいうのは 厨房のワンパターンだな。ドクトルよ 736 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/29(土) 11:57:02 ] なんでsageてるの？ 737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/29(土) 16:40:58 ] それはそうと、微積分を持ち込むと自然数論が 自然に入ってしまう気がするがどうか？ 738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/29(土) 22:37:32 ] ってか集合論の使用自体避けられないような いや避けられるのだろうけど、そうすると何か大変 739 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/30(日) 12:40:58 ] >>737 なぜですか？ 740 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/30(日) 15:28:30 ] >>739 周期関数の存在から自然数の性質を 持ち込めるのではないだろうか？ 741 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/30(日) 17:59:15 ] 数列とか級数を使わずに微積分を展開するの？ じゃあTaylor展開とかも無しか 742 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/30(日) 18:34:18 ] まず実数をどうやって定義するかだな。 それとも実数なくても微積分できるんだろうか？ 743 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/30(日) 19:59:47 ] >>740が言ってるのはそういう話じゃないんじゃない？ 曖昧な言い方してるから俺もはっきりとわからんが。 744 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/31(月) 07:31:25 ] >>743 云ってる本人自身曖昧なんじゃないか？ 745 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/31(月) 15:02:27 ] まあもうちょっと詳しく言い直してくれることに期待するか 746 名前： [2005/11/03(木) 16:18:15 ] 「数学基礎論」と「数学の哲学」は同じものですか? 747 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/03(木) 16:19:40 ] 「数学基礎論」はゴミ。 「数学の哲学」はクズ。 748 名前：746 [2005/11/03(木) 16:29:47 ] >>747 　的確なご回答、ありがとうございます。　 749 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/03(木) 17:09:36 ] "Reduction of mathematics to logic" 750 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/04(金) 02:05:46 ] 基礎論をロジックと同じ意味で使う人もいれば 違う意味で使う人も居るからね でも数学基礎論は哲学じゃないと思う 751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/04(金) 12:34:47 ] >>745 要するに分からないんだね。 752 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/04(金) 13:18:53 ] そう決め付けたら>>740がかわいそうだろ。 753 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/04(金) 20:33:58 ] >>740の書いてる意図が分からない、というのがどうかしたか？ そんなに>>740の書いてることを、何の詳しい説明も無しに理解できることが重要なのか？ そもそも元の＞微積分を持ち込むと自然数論が自然に入ってしまう気がする というレスだって曖昧過ぎて是とも非とも言えないような表現なのに 754 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/07(月) 15:31:46 ] >>753 わからないならいろいろ考えてみりゃいいじゃん。 要は有理関数しか考えない理論なら完全だとして、 どこまで完全性を維持したまま拡張できるかって ことだろ？ で、740は周期関数があると、その周期をつかって 自然数かどうかの判定をする述語が書けそうなんで 不完全になりそうだと思ってると見た。 755 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/08(火) 01:52:32 ] 数学基礎論て大学じゃ習わないんですか？ 756 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/08(火) 01:54:31 ] 専攻すればいいだけの話だ 757 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/08(火) 02:33:04 ] 専攻してるヒマはない 758 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/08(火) 13:45:13 ] >>７５７ 証明してみせろ 759 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/08(火) 15:48:07 ] 建前：暇じゃない 本音：面倒くさい 760 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/08(火) 16:23:13 ] 専攻って、1つかせいぜい2つかしかできないだろ 暇とかいう問題じゃねえよ、なんで基礎論を習うために 専攻まで変えなきゃなんねえんだ 761 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/08(火) 16:25:29 ] ぢゃ独学しろよ 762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/08(火) 16:32:31 ] だから>>756は首吊れってこったな 763 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/08(火) 16:42:20 ] そもそも基礎論を専攻できる（というより、専攻する ことによって独学以上に何か得られる）大学って そんなにたくさんないんじゃないの。 764 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/08(火) 17:04:49 ] だから何？ 転学（もしくは海外留学）すればいいだけのこと。馬鹿ぢゃねーの？ 765 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/08(火) 17:06:08 ] お前アホだろ？ 766 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/08(火) 17:19:48 ] >>755 ＞数学基礎論て大学じゃ習わないんですか？ 普通は「大学じゃ教えないんですか？」と書く。 ロジックとかゲーデルの不完全性定理とかは数学科では教えない。 情報科学科とかだと教えてる。まあ、他学科でも聴講できるはずだから それを利用すればいい。別に単位がいらないならモグリでもいいし。 767 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/08(火) 17:23:35 ] 情報科学科は大抵、工学部にあるから、論法や真理の基礎を学びたい、 などと思うと思わぬ間違いになるとおもわれるよ。気をつけて！ 768 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/08(火) 17:46:13 ] >>767 ＞論法や真理の基礎を学びたい そう思うなら、数学科にいくより工学部にいくほうが妥当。 非標準論理は面白いし役にも立つが数学科の連中はまず 誰も知らないし、そういう研究は「トンデモ」だと思ってる。 769 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/08(火) 20:23:39 ] 京大の工学部ではロジックの講義皆無だけど、 どこだったらそういう講義があるの？ 770 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/08(火) 20:25:15 ] そんなものは２週間でマスターするシリーズで済ませば？ 771 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/08(火) 22:33:05 ] >>769 基礎的なことなら全学共通のでやるんじゃないの？ 772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/08(火) 22:37:02 ] どこってそういう意味じゃないか。 神戸とか筑波にはあったような。でも数学科だったかな。 773 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/08(火) 22:47:43 ] 将来基礎論をやりたいから神戸大の数学科に入るとか 絶対やめたほうがいいと思う 阪大とか京大に入って通うべき 774 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/09(水) 03:28:10 ] >>769 数理論理学B、火曜日２限（全学共通 ただし、「数学的」ではない 775 名前：VIPPER mailto:sage [2005/11/09(水) 05:24:50 ] ＶＩＰからきますた、数学の天才、ちょっときてくれ(`・ω・´) 開成中の入試過去問題にお手上げ状態┐(´ー｀)┌ 【秀才】 この問題の解き方教えてくれ 【集まれ】 news19.2ch.net/test/read.cgi/news/1131301609/ 776 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/09(水) 21:12:53 ] いくつマルチすりゃ気がすむんだ？ 777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/10(木) 22:01:18 ] >>774>>771>>772 教養の講義は本当に初心者向けだから、たいした内容やらないよね。 神戸は確か工学部じゃなかったかな。どんなことやってるんだろう。 778 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/14(月) 09:42:55 ] age 779 名前：文系さん [2005/11/24(木) 00:47:48 ] はじめまして、質問スレッドのみなさん。 当方、「ブール代数」について、その名前しか知らないようなど素人ですが、 ブール代数に詳しい方がいらっしゃったら、概要だけでも教えて戴けませんか？ 780 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/24(木) 01:23:33 ] >>779 ブール代数は基礎論と無関係とは言い切れないので答えますが‥ 具体的な質問でないと教えようがありません。 概要ならぐぐれば出てきます。 781 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/24(木) 01:36:07 ] ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%BC%E3%83%AB%E4%BB%A3%E6%95%B0 www.google.co.jp/search?hl=ja&q=%E3%83%96%E3%83%BC%E3%83%AB%E4%BB%A3%E6%95%B0&btnG=Google+%E6%A4%9C%E7%B4%A2&lr= ＞概要ならぐぐれば出てきます。 >>771 先生が数学系か計算機系か哲学系かで結構感じが違うかと スマリヤンとかは哲学系って感じでもないけどね まあ将来基礎論の研究したいなら、教養では他分野の先生の授業 聞いといた方がかえって為になるかもしれない ただ、ソクラテスは人間である、式の講義は （もしやってたとしても）下らんのでそういうのは聞かなくて良いと思う 782 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/29(火) 16:12:13 ] 指数は次元を現しているのでしょうか？ 2次元、3次元、4次元と・・・ 783 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/29(火) 16:34:38 ] 高校数学のｽﾚで聞いてみます。ｽﾚ汚しすいませんでした 784 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/07(水) 03:43:08 ] 数学者（基礎論以外専攻）は研究してるときどの程度基礎論のことを考えているものなのですか？ 785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/07(水) 04:42:47 ] ほとんど考えません 786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/07(水) 10:15:37 ] 考えたい人もいますが、考えるだけの専門知識がありません。 （超巡回積とか幾何学に応用できないかなぁ。） 787 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/11(日) 20:36:26 ] 神戸大学は、工学部に数学基礎論グループがあるらしい。 でも工学部の学生で、基礎論の研究室に来た人はいなくて、 >773 のいうように京都大学や大阪大学の数学科の学生が通ってくる場合が多い（？）と聞いた。 神戸大学の数学科の方は、あまり勉強には適さない環境という情報もある。 788 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/20(火) 16:48:50 ] 基礎論初心者です。 最近、前原「数学基礎論入門」を読み始めたんですが、 いきなりちょっとした疑問を抱きました。 2章の「命題論理」の冒頭（p.13）に、 　(*) Aが証明できればBも証明できる ということを（推論の図式的表現を借りて） 　A 　-- 　B と表す、という内容の記述があるんですが、この 　(*) Aが証明できればBも証明できる っていうのは、 　(*') Aを公理に追加すればBも証明できる（A |- B） と同じことでしょうか？ 789 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/20(火) 21:40:02 ] >>788 うん 790 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/21(水) 01:07:37 ] (*) Aが証明できればBも証明できる と証明と公理の定義から (*') Aを公理に追加すればBも証明できる が導かれる。 その本を読んでないので文脈上どうかと思うが。 791 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/21(水) 01:23:24 ] 一寸ニュアンス的にまずいような 普通の命題論理又は一階の述語論理では結果的に正しいだろうけど （たとえば論理規則が少なかったり非古典論理だったりして） 演繹定理だとか完全性定理だとかが成り立たなかったりすると、 必ずしも成り立つとも言えないような気がする 792 名前：788 [2005/12/21(水) 19:09:42 ] レスありがとうございます。 「(*')ならば(*)」は自明だと思うんですが、「(*)ならば(*')」は、きちんと示そうとすると どうも微妙な感じでよくわかりません・・・ ちなみに、そもそもの疑問は、 　(*'') （公理から） A→B が証明できる（|- A→B） と 　(*) Aが証明できればBも証明できる が同じことなのか、ということでした。 　(*') Aを公理に追加すればBも証明できる（A |- B）」 と (*'') が同じだ、というのが「演繹定理」ですよね？ 演繹定理の証明は他の本（田中他 「数学基礎論講義」）で読んで納得したんですが、すると結局(*')と(*)が同じなのか ということが疑問になります。 前原「数学基礎論入門」には、(*)と(*'')が同じことだということが明示的には書かれてい ないように思うんですが、にもかかわらず、たとえば p. 20 の「公式2.3」では ¬A→(A→B)の証明として、¬AからA→Bを導く推論図（これはこの本の定義によれば、 「¬Aが証明できればA→Bも証明できる」ことを示す図）が書かれています。 なお、話題にしている体系は、公理系として「ウカシェビッチの公理系」、推論規則として 三段論法（modus ponens）だけをもつ、ごく基本的なものです。 793 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/21(水) 20:11:47 ] その本を読んでないんだけど、>>788の >  　(*) Aが証明できればBも証明できる >  ということを（推論の図式的表現を借りて） >  　A >  　-- >  　B >  と表す、という内容の記述があるんですが、 という書き方を見るとたぶん (*) はインフォーマルな表現で、これを形式的に書くと A├B になる、 ということのような気がする。 そうじゃないとすれば (*) は (*1) ├A ならば ├B と解釈するのが素直かなと思ったけど、これは A├B と同値ではない。 794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/21(水) 21:58:43 ] >>792 2.2 と 2.3 の内容をきちんと理解していないように思える。 >>793 > その本を読んでないんだけど 世の中自然演繹の体系だけではないのだ。 795 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/21(水) 23:25:51 ] 古典論理の範囲で考えても、 　├A　が証明できるなら　├∀xAも証明できる が 　├A→∀xA　は必ずしも証明可能でない。 ところで >>792 ＞たとえば p. 20 の「公式2.3」では ＞¬A→(A→B)の証明として、¬AからA→Bを導く推論図（これはこの本の定義によれば、 ＞「¬Aが証明できればA→Bも証明できる」ことを示す図）が書かれています。 のところは演繹定理使ってるだけじゃんか。ちゃんと嫁！！！ 796 名前：791 mailto:sage [2005/12/22(木) 01:43:34 ] (*): |- Aならば |- B (*'):A |- B (*)' ⇒ (*)は |- Aの証明とA |- Bの証明をくっつけるだけだからおｋ (*)⇔（|- Aでない） もしくは （|- B） ） だから(*) ⇒(*)'は、（|- Aでない ⇒ (*)'） かつ （|- B ⇒ (*)' ）と同じ さて、後者の|- B⇒A |- Bの方は明らか （|- Aでない）⇒A |- Bのほうは証明論的な完全性と、 矛盾律が成り立たないといえないと思う 当然ながら⇒は→じゃなくてmetaな意味で使ってます 797 名前：788 [2005/12/22(木) 02:57:20 ] >>793 前原「数学基礎論入門」 p.12 の記述は正確には次のようになってます： （引用始まり） いま、A→Bという論理式が証明できることがすでにわかっているものとす ると、推論規則1（引用者注：modus ponens）により 　　(*) Aが証明できればBも証明できる ということがわかる。われわれは、(*) のような内容を示すのにも、推論の 図式的表現を借りて 　A 　-- 　B と表す。 （引用ここまで） これを忠実に受け取ると、やっぱり 　A 　-- 　B という記号を、この本の著者は 　(*1) ├A ならば ├B の意味で使っていることになると思うんですが・・・ ちなみに普通は 　A 　-- 　B という記号はA├Bと同じ意味で使うんでしょうか？ 798 名前：788 [2005/12/22(木) 03:02:47 ] >>795 公式2.3自体に疑問をもっているわけではなく、演繹定理を使えば、公式2.3が、 この本にかかれているとおりの証明で示せるってことはわかります。 疑問は、 　A 　-- 　B という記号を著者がどういう意味で使ってるのかってことです。 799 名前：788 [2005/12/22(木) 03:08:49 ] >>794 ＞2.2 と 2.3 の内容をきちんと理解していないように思える。 一応読んで理解したつもりなんですが、不十分なのかもしれません・・・ 2.2 と 2.3をきちんと理解したら、 >>792 のような疑問は抱かないはずってことですか？ >>788 や >>792 のような疑問は的外れでしょうか？ 800 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/22(木) 03:27:33 ] その左のp.12に 　ある論理式が証明できる(provable)というのは，その論理式がある推論の結 （以下省略 と書いてあるからそっちも充分注意しないといけないと思うけど、 「(*') Aを公理に追加すればBも証明できる」というような状況を 考えているわけではないと思う ├ A ならば├ B ということを自然演繹っぽく書いてるけど 実際上は証明の途中にAが出てきてそのさらに下にBが出てくるような状況を「想定」しているのかと （(*)' から(*)はすぐにいえるからこれは別にかまわない この逆に関しては、この本ではあまり気にする必要は無い） p13の一番下の、 一般に，論理式A_1，A_2，…，A_nの全てが証明できれば （以下省略 のほうは(*')の方の意味にしか解釈できないしね この表記法は多少筆者のオリジナルじゃないかな？知らんけど 801 名前：788 [2005/12/22(木) 15:12:22 ] >>800 > 　ある論理式が証明できる(provable)というのは，その論理式がある推論の結 > （以下省略 > > と書いてあるからそっちも充分注意しないといけないと思うけど、 これは「証明できる」のごく一般的な定義じゃないですか？ 「充分注意しないと」というのは具体的にはどういうことでしょうか？ > 「(*') Aを公理に追加すればBも証明できる」というような状況を > 考えているわけではないと思う （途中省略） > p13の一番下の、 > 一般に，論理式A_1，A_2，…，A_nの全てが証明できれば > （以下省略 > のほうは(*')の方の意味にしか解釈できないしね 　A 　-- 　B は、「(*')というような状況を考えているわけではない」のに 　A_1，A_2，…，A_n 　--------------- B は、「(*')の方の意味にしか解釈できない」んですか？ どういうことでしょう？ 802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/22(木) 17:40:55 ] 2.4 から後の証明で、「仮定 … のもとで」と書いてあったら、 A -- は B 「仮定 … のもとで A が証明可能」ならば「仮定 … のもとで B が証明可能」 と読む。 803 名前：788 [2005/12/22(木) 19:12:26 ] >>802 それは、2.2 と 2.3 に、演繹定理に相当する内容が書かれているからでしょうか？ 2.1には、「(*) Aが証明できればBも証明できる」ということを 　A 　-- 　B と表す、と書いてあるんですが、それはあくまでもインフォーマルな説明であって、 　A 　-- 　B は、実際は A |- B を表しているということですか？ 804 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/22(木) 22:00:57 ] 「仮定 C_1, C_2, ... C_n のもとで」と書いてあったら、 A -- は B |- C_1 ->( C_2 -> ... -> (C_n -> A)...) ならば、 |- C_1 ->( C_2 -> ... -> (C_n -> B)...) という意味。 805 名前：793 mailto:sage [2005/12/22(木) 22:17:58 ] 研究室に問題の本があったんで眺めてみた。 確かに用語の使い方がよくわかんない。 とりあえず A├B って記号は使われてないので>>793の > (*) はインフォーマルな表現で、これを形式的に書くと A├B になる、 は撤回しときます。 著者の頭に (*) の数学的定義があるとすれば (*1) なんだろうけど。 >>797 > ちなみに普通は > 　A > 　-- > 　B > という記号はA├Bと同じ意味で使うんでしょうか？ A├B を表す記号としては 　[A] 　 B みたいなのをよく見るような気がする。 普通 -- を使うのは immediate consequence をあらわすときだと思う。 806 名前：788 [2005/12/22(木) 22:52:42 ] >>804 おー、わかりました！ ありがとうございます！！！ やっぱ、2.2 と 2.3 をよく理解してなかったようです。 2.3の最後（p. 20）のに書いてある 「2.1 に述べた推論法則 2.1 - 2.5 も、任意の仮定のもとで成立する」 ってのがキーですね。 たとえば、公式2.3「¬A → (A→B)」の証明に書かれている推論図 　¬A 　----- 　¬B→¬A 　---------- 　A→B は、格段に「仮定」の「¬A→」を付けた 　¬A → ¬A 　---------- 　¬A → (¬B→¬A) 　---------- 　¬A → (A→B) を意味してるってことですね。 807 名前：788 [2005/12/22(木) 23:05:41 ] で、結局、 (1) この本で使われている 　A 　-- 　B という記号の意味は、p.13の定義の言葉どおり 　|- A ならば|- B を意味している。 さらに「仮定 C_1, C_2, ... C_n のもとで」と書いてあったら、 　|- C_1 ->( C_2 -> ... -> (C_n -> A)...) 　ならば、 　|- C_1 ->( C_2 -> ... -> (C_n -> B)...) を意味している。 (2) 　(*) Aが証明できればBも証明できる（├ A ならば├ B） と 　(*') Aを公理に追加すればBも証明できる（A |- B） は同じではなく、「(*') ならば(*)」は簡単に示せるが、 「(*) ならば(*')」は示せるとは限らない。 だが、この本を読む上では「(*) ならば(*')」はとりあえず気にしなくてよい。 ということでおｋでしょうか？ 808 名前：800 mailto:sage [2005/12/23(金) 06:23:27 ] ＞(*')の方の意味にしか解釈できない じゃなくて ＞(*)の方の意味にしか解釈できない でした 書き間違い失礼 809 名前：788 mailto:sage [2005/12/24(土) 06:01:10 ] その後よく考えたら、 　(*) Aが証明できればBも証明できる（├A ならば ├B） と 　(*'') A→B が証明できる（├ A→B） が同値なわけがないこと（「(*) ならば (*'')」が一般には言えな いこと）がわかりました。お騒がせしてすみませんでした。 「(*) ならば (*'')」が一般には言えないことは、たとえば A が自由変数を含む場合なら、>>795 さんが書いているように 　├A　ならば├∀xA だけど、├A→∀xA　とは限らない ことが反例になっているし、 A が自由変数を含まないとした場合でも、不完全性定理から反例を 作れることがわかりました。具体的には、C も ¬C も証明できないような（自由変数を含まない）論理式 C をとって、 A = C、B = ¬C とすれば、A は証明できないから (*) は自明に 成立するにもかかわらず、A → B ≡ ¬C も証明できないから (*'') が成立しません。 レスしてくれたみなさんありがとうございました。勉強になりました。 810 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/24(土) 06:10:45 ] ＞A は証明できないから (*) は自明に ＞成立するにもかかわらず 日常言語で矛盾律使うのかあ アクロバティックだなあｗ 811 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/29(木) 08:53:56 ] >810 　そうでもない。 　実際の不完全性定理の証明をよく見ると、「自然数論が展開できる ような理論では、Ｃ が証明されても反証されてもその理論が矛盾する、 という性質を持つような自由変数を含まない命題Ｃが構成できる」と いう形で証明されているから。 812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/02(月) 04:47:36 ] 152 813 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/29(日) 06:48:43 ] age 814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/05(日) 07:27:48 ] 836 815 名前：１３２人目の素数さん [2006/02/13(月) 23:54:54 ] すみません。流れ流れてここへ来ました。 １＋１＝２　を証明できるって聞きましたが、 なかなか理解できずに苦しんでます。 ノート１冊使うって聞いたんですが。。。 記号論理のルール　（一階述語論理）　と　集合に関する数個の公理 を使うってことは理解してやっているのですが。。。。 816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/02/14(火) 00:04:04 ] ZF かなんかでやるってこと？ それなら大変なのは証明よりも自然数とか足し算とかの定義だね。

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