★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問

1 名前：１３２人目の素数さん [03/11/19 01:07] 理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で 解ける問題を考えてうぷするスレ。 これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。 関連スレへどうぞ 　過去ログ ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第一問) science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/l50 ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第二問) science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/l50 　関連スレ 面白い問題おしえて〜な 七問目 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/l50 恐ろしく難解な問題をだせ！ science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049652059/l50 707 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/15 16:04:05] 小学生がいいそうな問題だな。 2*3*4*5*・・・・・・*0*3*4*・・・・= なんでしょう？とかよく言ってたよ。小2の頃。 こんなこというと馬鹿にされそうだが。 708 名前：707 mailto:sage [04/10/15 16:05:18] まぁこれが結構わからない奴もたけどね・・・ 709 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/15 16:14:48] 最近、スレ違い厨が大杉。 しっ！しっ！ 710 名前：１３２人目の素数さん [04/10/15 18:46:00] いつからウンチ臭い大学生とションベン臭い小学生のスレになったんだ？ 711 名前：１３２人目の素数さん [04/10/16 02:53:57] >>662 (1) 2点間を結ぶ線分は 4C2=6 本ある。このうちの少なくとも3本の 長さが1であるとして一般性を失わない。 1以外の長さが3本の場合 → 正三角形と，その重心 1以外の長さが2本の場合 → 正方形 1以外の長さが1本の場合 → 1辺を共有する2つの正三角形 712 名前：１３２人目の素数さん [04/10/16 03:04:26] >>711 正五角形の一点を抜かした四角形は条件を満たしてるんじゃないの？ 713 名前：１３２人目の素数さん [04/10/16 03:06:11] あとは四点A,B,C,Dを△ABCを正三角形にして、点DをBD=CD、AD=ABを満たすように取れば これも、条件を満たすだろ。 714 名前：１３２人目の素数さん [04/10/16 14:38:04] 一辺2の立方体の内部を半径1の円盤が自由に動く。 円盤が通過しうる部分の体積を求めよ。 715 名前：１３２人目の素数さん [04/10/16 14:54:44] これは難問だぞ 716 名前：１３２人目の素数さん [04/10/16 15:36:27] こちらの方が激難問だよ。 「一辺2の正方形の内部を半径1の円盤が自由に動く。 円盤が通過しうる部分の体積を求めよ。」 717 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/16 15:55:42] >>662　長いので概略のみ ある３点が存在し、それが同一直線上に並ぶ場合、条件を満たさない。よって、どの３点も同一直線上に並ばない。 ある点Dが存在し、残りの３点が作る三角形ABCの外心がDである場合。 △ABCが正三角形の場合、Dが外心の時、明らかに条件を満たす。 △ABCが正三角形でない場合、AB,BC,CAは二通りの値を取る。Dが△ABCの外心であることからAD=BD=CD、一般性を失わず AD=BD=CD=ABとしてよく、この場合△ABDが正三角形をなす。このような条件を満たす点配置は３通り、その全てが条件を満たす。 ４点のうち、どの３つを選んでもその３点がなす三角形の外心は４点に含まれない場合。 AB,AC,ADは条件より２通りの値を取る。よって、AB=1,AC=AD=aとしても一般性を失わない。 BC=1の場合、 BA=BC=1、Bは△ACDの外心でないことから、BD=aが成立する。 このとき、DA=DB=aが成立するため、DC=1が成立する。 BC=aの場合、 CA=CB=aが成立するためCD=1　BDの値は1,a両方取り得る。 以上より、この場合の４点が作る線分の長さは以下の通り。 1) AB=1 AC=AD=a、 BC=1 BD=a CD=1 2) AB=1 AC=AD=a　 BC=a BD=a CD=1 3) AB=1 AC=AD=a　 BC=a BD=1 CD=1 ところが、1,3は点C,Dを入れ替えることで同じとなるため、実質的に異なる配置は二通り。 1)の配置の場合、aの値は二通り考えられるが、拡大または縮小することで両者は等しくなる。よって、1)の場合の配置は一通り。 2)の配置の場合、AC=CB=BD=DA=aより、ACBDは菱形をなす。対角線がAB=CD=1となることから、この菱形は正方形であり この場合の点配置も一通り。 以上をまとめると、全ての点の配置は６通りであることが分かる。 718 名前：１３２人目の素数さん [04/10/16 16:10:07] >>716 君は馬鹿か？ 719 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/16 18:56:19] >>718 ﾕｰﾓｱのｾﾝｽがないﾔｼだなぁ。 720 名前：１３２人目の素数さん [04/10/16 19:03:30] え、>>716って寒くない？ 721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/16 19:04:34] スレ違いは他所でやｔってくれ。 722 名前：１３２人目の素数さん [04/10/16 19:39:40] >>717　( 自己レス ) 間違い発見、ｽﾏｿ　逝ってくるわ 723 名前：１３２人目の素数さん [04/10/17 20:45:07] 関数 f(x) は x＝0 で連続とする。 lim（ｈ→0）｛ｆ（2ｈ)-f(h)｝/ｈ が存在するとき、f’(0) は存在するか？ 存在するならば証明し、存在しないなら反例を挙げよ。 724 名前：723 [04/10/17 20:47:55] × 存在するならば証明し、存在しないなら反例を挙げよ。 ○ 存在するならば証明し、存在しない場合があるならその反例を挙げよ。 725 名前：１３２人目の素数さん [04/10/17 20:55:21] >>662の問題作成者が素敵。 解がエレガントならすごく面白い。 726 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/17 20:58:09] >>723 f(x)=xsin((2π/log2)log|x|) (x≠0)、f(0)=0とすれば反例。 727 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/17 21:16:06] オレは長い方の辺の数aと短い方の辺の数bで場合わけしてやった。 ―― I)(a,b)=(5,1)のとき 短い一辺をのぞいた図形は正三角形２つはりあわせた形。のこる一辺はもとの辺よりながいので矛盾。 II)(a,b)=(4,2)のとき 長い辺４本は正三角形と一辺か菱形を構成するかしかない。 正三角形ならのこりの一辺はひとつの内角の２等分線の対辺と交叉している側に 長辺と同じ長さになるように一点とったやつ。条件満たす。(A)。 菱形は無理。 III)(a,b)=(3,3)のとき 長い辺は正三角形の３辺か３角形をつくらないとき。 正三角形ならのこる一点は重心で条件みたす。(B) 三角形の３辺とならないときはちょっとがんばると正５角形から１点のぞいた形。条件みたす。(C) IV)(a,b)=(2,4)のとき 短い辺４本は正三角形と一辺か菱形を構成するしかない。 正三角形ならのこりの一辺は一つの外角の２等分線の大変と交叉していない側に 短辺と同じ長さになるように一点とったやつ。条件満たす。(D) 菱形になるときは正方形と２対角線になるとき。条件みたす。(E) V)(a,b)=(1,5)のとき 短い一辺をのぞいた図形は正三角形２つはりあわせた形。条件満たす。(F) で結局A〜Fの６つ。 ―― になった。答えはこれであってるとおもうんだけどエレ解がみつからない･･･ 728 名前：１３２人目の素数さん [04/10/17 22:02:23] >>726 反例になってない罠。 lim（ｈ→0）｛ｆ（2ｈ)-f(h)｝/ｈ が存在しない。 729 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/17 22:09:03] やっぱり、1_{0}(x)だね。 730 名前：あぼーん mailto:あぼーん [あぼーん] あぼーん 731 名前：１３２人目の素数さん [04/10/17 22:22:12] >>729 何、それ？ 732 名前：１３２人目の素数さん [04/10/17 22:28:25] >>723 は直感的には真で反例がありそううな気がしない。 こんな漏れはｾﾝｽなしかもしれないが．．． 733 名前：あぼーん mailto:あぼーん [あぼーん] あぼーん 734 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [04/10/17 23:00:00] >>723 存在する。 735 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/17 23:05:32] >>734 証明してたもれ。 736 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/18 02:25:04] >>662 (2)になってくると、もはや相当長い場合分けしかないと思っていたが、 ５点のうち、どの４点を取り出しても、必ず(1)で求めたパターンになっていると言うことと 距離が二種類しかないという事を使えば、結構簡単になるか。 737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/18 08:04:54] >>723 存在する。以下証明。 　 証明）lim[h→0](f(2h)-f(h))/h)=cとおく。g(x)=f(x)-f(0)-cxとおけば lim[h→0](g(2h)-g(h))/h)=0。g'(0)が存在することがいえれば十分。 g(x)は原点で連続でg(0)=0である。 正の数e>0を固定すると仮定からd>0を十分ちいさくとって任意の-d<h<d、h≠0にたいして -e<(g(2h)-g(h))/h<e⇔-eh<g(2h)-g(h)<ehが成立するようにできる。 よって任意の-d<h<d、h≠0にたいして -eh/2<g(h)-g(h/2)<eh/2 -eh/4<g(h/2)-g(h/4)<eh/4 -eh/8<g(h/8)-g(h/8)<eh/8 ･･･ をたしあわせて左辺の和>-eh、右辺の和<ehより-eh<g(h)-g(h/2^N)<eh。 N→∞とするとlim[h→0]g(h)=0から-eh≦g(h)≦eh。 よって任意の-d<h<d、h≠0に対して-e≦(g(h)-g(0))/h≦e。 eは任意の正の数であったから結局lim[h→0](g(h)-g(0))/h=0。証明終 ε-δ使わない証明おもいつかないな･･･ 738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/18 08:16:41] >>737 >ε-δ使わない証明おもいつかないな･･･ そうだよね｡僕も大体同じﾗｲﾝで考えて､ lim[h→0]{g(h)-g(h/2^N)}/h=0　 までは高校範囲ででるんだけど､そこから後が続かない｡ 739 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/18 19:17:54] Re:>730,733 人のメアドを勝手に載せるな。 Re:>731 連続ではなかった。 740 名前：１３２人目の素数さん [04/10/21 04:00:24] あ・げ・ま・す・よ 741 名前：１３２人目の素数さん [04/10/21 08:03:57] www.h3.dion.ne.jp/~jituzai 742 名前：１３２人目の素数さん [04/10/21 09:45:54] あるサークルで、5人の女優A〜Eについての好き嫌いを調べた結果次のようになった。 ・どの女優についても、好きな人は3人ずついた。 ・AとBを共に好きな人、BとCを共に好きな人、CとDを共に好きな人、 　DとEを共に好きな人、EとAを共に好きな人がそれぞれ1人ずついた。 ・どの女優も好きでないという人はいなかった。 このとき、このサークルの人数は最大何人いるか。 743 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/21 17:06:35] >>742 ぱっと見、10人のような気がするけど間違ってる？ 744 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/21 17:10:41] Re:>743 第二の条件から、A〜Eを好きな人が5人いて、それでA〜Eを好きな人が2人ずついることが分かる。あとは簡単。 745 名前：１３２人目の素数さん [04/10/21 19:35:08] 11人？ 746 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/21 19:42:28] 15に一票。 747 名前：１３２人目の素数さん [04/10/21 19:46:01] ２０％くらい 748 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/21 21:44:32] 正の実数x,y,zが2xyz+xy+yz+zx=1を満たすとき、x+y+z≧3/2を示せ。 749 名前：１３２人目の素数さん [04/10/21 22:32:05] (x+2)(y+2)(z+2)でも計算すっか 750 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/21 22:54:17] >>749　違った……　2と1が逆だった。 ((2(x+y+z)+3)/3)^3≧(2x+1)(2y+1)(2z+1)=4(2xyz+xy+yz+zx) + 2(x+y+z) + 1 = 5+2(x+y+z) x+y+z=sと置けば、 ((2s)/3 + 1)^3 ≧ 5+2s が成立する。これを満たす、sの範囲はs≧3/2である。　等号成立はx=y=z=1/2 751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/21 23:43:10] 負でない実数a,b,cがa+b+c=2を満たすとき、 3abc≧2(ab+bc+ca-1)が成り立つことｗ示せ。 752 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 00:08:47] >>751 なにそれ？a=2、b=c=0でいきなり反例あるじゃん。 753 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 00:15:59] >>752 君は 　0≧-2 が「矛盾」だとでもいうのか。 754 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 00:16:36] >>752 ？ 755 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 00:18:58] あ、しまった。計算まちごた。釣ってくる。 756 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 01:26:36] >>750みたいなエレ解があるとあとがやりにくい。 しかしどろくさくやるなら>>751はできる。 a+b+c=2なのでどれか一個は2/3以下。a≦2/3として一般性をうしなわない。 このとき 与式⇔(3a-2)bc≧2a(b+c)-2 aを固定すると右辺は一定で左辺は3a-2≦0よりb=c=1-a/2のときが最小。 そのときに成立すればよい。よって (3a-2)(1-a/2)^2≧2a(2-a)-2 が0≦a≦2/3で成立すればよい。4(左辺-右辺)を展開して 4(左辺-右辺) =(3a-2)(a-2)^2+8a(a-2)+8 =3a^3-6a^2+4a =a(3(a-2)^2+1) は0≦a≦2/3において0以上。よって与式は成立。 等号はa=0、b=cまたはb=0、c=aまたはc=0、a=bのとき。 757 名前：１３２人目の素数さん mailto:hage [04/10/22 02:38:07] 次のように電卓(テンキーでもよい)の周りを3桁ずつ回るとき どのように回っても(右回りでも左回りでも)和が2220になることを証明せよ。 ７　８　９ ４　５　６ １　２　３ 例214+478+896+632=2220 789+963+321+147=2220 　236+698+874+412=2220..... きちんとした解答を作るのは難しそうなので入試問題でもよさそうではないか? 758 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 02:43:26] >>757 16個しかないんだから全部計算したってそんなたいした手間にならんような。 759 名前：１３２人目の素数さん mailto:正しくない [04/10/22 03:00:09] 次の文章が正しいかどうか判定せよ( 答えはメール欄 ) 半径1とrの同心円がある。r＞1とする。 小円( 半径1 )の内部に点Pをとり、点Pを通る二直線が 小円と交わる点をP,Q、大円( 半径r )と交わる点をR,Sとする。円弧PQをPとQを結ぶ円周のうち短い方の長さ 円弧RSも同様と定義するとき、 PQ≦RSが成立する。 760 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 03:06:03] おおっと、間違えた >>759　訂正 ＞点Pを通る二直線が ではなく ＞点Pを始点とする二つの半直線が 761 名前：757 mailto:hage [04/10/22 03:12:22] それは(1)にしよう。 (2)電卓の周りをn桁(n=9の倍数でない自然数)ずつ回るときに どう回っても和が一定であることを証明せよ。 例n=2 12+23+36+69+98+87+74+41=440 47+78+89+96+63+32+21+14=440 n=7 1236987+7412369+9874123+3698741=22222220 6321478+8963214+4789632+2147896=22222220 762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 03:18:04] >>761 ＞(2)電卓の周りをn桁(n=9の倍数でない自然数)ずつ回るときに nは8でわったあまりが1でない自然数じゃないの？ 763 名前：761 mailto:hage [04/10/22 04:01:36] 失礼しますた。訂正します。 誤n=9の倍数でない自然数 正nは8でわったあまりが1でない自然数 764 名前：東大教授 [04/10/22 15:18:52] 自然数ｎについて定義された関数ｆ（ｎ）＝［2005／ｎ］について、 ｆ（ｆ（ｎ））≠ｎ　満たす最小のｎを求めなさい。 ここで［ｘ］はｘを超えない最大の整数とする。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2005年　第1問） 765 名前：東大教授 [04/10/22 15:23:56] 方程式　x^2+y^2+z^2=（8m+7）4^n　(n,mは自然数)　 を満たす自然数の組（ｘ、ｙ、ｚ）が存在しないことを示せ。 （2006年　第1問） 766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 15:44:49] >>764 nが2005を超えたらｆ（ｆ（ｎ）)は存在しない。悪問。 767 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 16:21:21] (mod8) 0^2≡0,1^2≡1,2^2≡4,3^2≡1,4^2≡0,5^2≡3^2≡1,6^2≡4,7^2≡1, よって、任意の自然数nにおいてn^2≡0,1,4 題意を満たす(x,y,z)の組がもしあればx^2+y^2+z^2≡0,4で x,y,zはどれもmod8で0か4でなければならない。 つまり、x,y,zは全て偶数でなければならない。 x=2＊x1,y=2*y1,z=2*z1,(x1,y1,z1は自然数)とおける。 この時、条件は x1^2+y1^2+z1^2=(8m+7)4^(n-1)とかける。 この操作を繰り返し、 xn^2+yn^2+zn^2=(8m+7)を得る。 この時、xn,yn,znのうち１個または全てが奇数となる。 しかしながら、xn,yn,znのうち１個または全てが奇数ならば xn^2+yn^2+zn^2≡1,3(mod8)であるから、この様な組み合わせは存在しない。 768 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 16:30:09] >>764 2005/［2005/k］≧k+1を満たす最小の自然数kを求めればよい 2005=kp+q (p,q整数、0≦q＜k)とすると2005/p≧k+1 p=(2005-q)/kを代入して整理するとq(k+1)≧2005 q＜kよりk≧45　k=45,46,47・・・と代入してk=53で題意を満たす。 769 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 16:40:45] [2005/53]=37,[2005/37]=54 [2005/52]=38,[2005/38]=52 770 名前：東大教授 [04/10/22 16:44:45] >>767>>768 お見事。皆さんにはちょっと簡単すぎましたね。悪しからず 771 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 17:00:10] 正六角形のすべての頂点に1〜3のいずれかの数字を与える。 平面内で回転して重なるものは同一とみなすとき、数字の与え方は何通りか。 772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 17:43:45] 関数方程式か。　へぇ…… 俺も一つ。 f(f(x))=-xを満たす関数fを一つ求めよ。 773 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 17:49:11] f(x)=x^i 774 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 17:50:00] f(x)=ixだっただ 775 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 17:53:26] おっと、>>772はｆ：R→Rね。 776 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 18:10:49] >>772 連続関数でか? 777 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 18:13:12] f(x)=0 (x=0) =1/x (｜x｜≧1) =-1/x (0＜｜x｜＜1) 778 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 18:13:12] 別に連続でなくてもいいぞ。　ってか、連続だとねーだろ 779 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 18:13:41] f(x)≡0 780 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 18:18:34] ○>>777 ×>>779 781 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 18:20:47] 距離hだけ離れた互いに平行な2平面上にそれぞれ面積Sの三角形があり、 その二つの三角形は合同で対応する3辺がすべて平行である。 このとき、二つの三角形の頂点である6つの点を頂点とする多面体の体積を求めよ。 782 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 18:35:07] なんかあれなのか？ Sh以外の意外な組み合わせがあるのか？ わくわく 783 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 18:40:56] Shともうひとつある 784 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 18:45:50] >>781 三角形がねじれてる場合か 785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 18:51:44] >>784 それだ。 786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 18:54:21] 8面体か 787 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 19:00:53] ということは(4/3)Sh？ 788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 19:02:32] >>787 その通り 789 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 19:05:55] 続けていってみよう！ Σ[k=1,n] (k^2)C[2n,n-k] = n*(4^(n-1)) を示せ、　C(m,n) = (m!)/((n!)((m-n)!))だよん 790 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 19:45:59] >>789 できた。 Σ[k=1,n] (k^2)C[2n,n-k] =Σ[k=0,n] (k^2)C[2n,n-k] =Σ[k=0,n] ((n-k)^2)C[2n,k] =(1/2)Σ[k=0,2n] ((n-k)^2)C[2n,k] =(1/2)Σ[k=0,2n] (n-k)(n-k-1)C[2n,k] =(1/2)(Σ[k=0,2n] C[2n,k]t^(n-k))''|t=1 =(1/2)(t^n(1+1/t)^(2n))''|t=1 =(1/2)((t+2+1/t)^n)''|t=1 =(1/2)(n(n-1)(t+2+1/t)^(n-2)(1-1/t^2)+n(t+2+1/t)^(n-1)(2/t^2)))|t=1 =n*(4^(n-1)) 791 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 19:51:02] んじゃ、これは？ Σ[k=1,n] k*C[2n,n-k] k^2をkに変えた奴 792 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 23:00:19] 次の性質を満たす正の実数 p がある． 任意の正の整数 n に対して， a_n＝(p−1−1/1!−1/2!−．．．−1/n!)・(n+1)! で定まる数列 {a_n} について 0＜a_n＜3 が成り立つ． このとき，任意の 0 でない有理数 q に対して， p^q は無理数となる事を示せ． ただし，題意を満たす p，{a_n} の存在は既知としてよい． 793 名前：LettersOfLiberty [04/10/22 23:09:07] おまえらしね 794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 00:48:25] xについて恒等式 (x-a)(x-b)(x-c)(x-d).....(x-z)=0 が常に成立するためのa,b,c,d......zの必要十分条件を求めよ。 795 名前：792 [04/10/23 01:51:59] >>792はちと難し過ぎたかな。 では 「p が無理数である事を示せ」 は？ 796 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 02:03:00] >>794 まだそんな事やってんのか、氏ねよ。 797 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 05:24:18] x>0のとき、2^(-x) + 2^(-1/x)の最大値を求めよ。 798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 07:19:31] >>797 ん？微分したら終わりじゃないのか。 799 名前：１３２人目の素数さん [04/10/23 07:46:43] >>792 ｐは明らかにネイピアの数だね。 マクローリン展開か．．． 800 名前：１３２人目の素数さん [04/10/23 09:20:37] >>795 ｐが有理数とすると ｐ＝ｊ/ｋ（ｊ，ｋは自然数）とおける． そのとき， ｊ/ｋ＝1+1/1!+1/2!+．．．+1/n!+a_n/(n+1)! 両辺を ｎ!倍すると （ｊ/ｋ）ｎ!＝（1+1/1!+1/2!+．．．+1/n!）ｎ!+a_n/(n+1) ｎ≧ｋ のとき （ｊ/ｋ）ｎ! は自然数． （1+1/1!+1/2!+．．．+1/n!）ｎ! は常に自然数で， ｎ+1≧3 のとき， 0＜a_n/(n+1)＜１ よって， ｎ≧max｛ｋ，2｝ のとき， a_n/(n+1)＝（ｊ/ｋ）ｎ!-（1+1/1!+1/2!+．．．+1/n!）ｎ! において，右辺は整数となるので矛盾． 801 名前：800 mailto:sage [04/10/23 09:22:33] >>792も同様にしてできる． 802 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/23 10:26:42] Re:>793 お前誰だよ？ 803 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 11:54:42] ，．厨 804 名前：１３２人目の素数さん [04/10/23 12:40:33] 939 805 名前：１３２人目の素数さん [04/10/23 18:20:18] 半径1の円を長さaの弦で二つの弓形に分けたとき 面積が小さい方の弓形の面積をSとする。 lim[a→0]S/(a^3)の値を求めよ。 806 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 18:39:15] >>805 細かいことだが，a→+0 と書いて欲しい． 807 名前：１３２人目の素数さん [04/10/23 20:05:05] >>805 やってみますた。 f(x) = x - sin x - (1/6)x^3 ± x^4とおくと、(以下複合同順) f'(x) = 1 - cos x - (1/2)x^2 ± 4x^3 f''(x) = sin x - x ± 12x^2 f'''(x) = cos x - 1 ± 24x f''''(x) = -sin x ± 24 ±f''''(x) > 0, f(0) = f'(0) = f''(0) = f'''(0) = 0　だから、 x>0のとき±f(x)>0。すなわち、 -x^4 < x - sin x - (1/6)x^3 < x^4 両辺をx^3(>0)で割って、 -x < (x - sin x)/(x^3) - 1/6 < x ∴lim[x->+0](x - sin x)/(x^3) = 1/6 …(1) 題意の弓形の円周角はaだから、 S = (1/2)a - (1/2)sin a lim[a->+0]S/(a^3) =(1/2)lim[a->+0](a - sin a)/(a^3) =1/12 (∵(1))

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