- 1 名前：１３２人目の素数さん [03/11/19 01:07]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第一問)
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/l50
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第二問)
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/l50
関連スレ
面白い問題おしえて～な 七問目
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/l50
恐ろしく難解な問題をだせ！
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049652059/l50
- 455 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 19:42:41]
- [2](1)定円に内接する四角形で面積が最大のものは正方形であることを示せ。
(2)実数x,y,zについてsin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-y)の最大値を求めよ。
- 456 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 19:46:29]
- [3]異なる4つの自然数がありどの3数の和も素数である。
この4数のうちある2数の差が3の倍数なら残り2数の差も3の倍数であることを証明せよ。
- 457 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 19:53:38]
- [4]半径1、高さhの直円錐がある。底面に垂直で底面の中心Oとの距離が1/2
である平面Pと円錐の側面にともに含まれる点全体からなる曲線をCとする。
C上の点をQとするとき線分OQの最小値をhを用いて表せ。
- 458 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 19:56:06]
- [5]一枚のコインを投げて表か裏かを記録する試行を、表が3回続けて出るまで繰り返す。
コインを投げる回数の期待値を求めよ。
- 459 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 20:02:49]
- [6]xyz空間内にa+b+c=a^3+b^3+c^3=abcをみたす点(a,b,c)全体からなる図形をPとする。
いま、P上のn個の異なる点を結ぶと、正n角形ができた。このようなことが可能なnをすべて求めよ。
- 460 名前：455 mailto:sage [04/09/10 20:09:55]
- 訂正
×sin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-y)
○sin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-x)
- 461 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 21:15:58]
- 【２】
（１）円の半径をｒ（＞０）、円に内接した四角形の各頂点をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、
円の中心をＯ、∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ＝θとすると、四角形の面積Ｓ(θ)は
Ｓ(θ)＝2r^2*sinθ
と表されるので、ｒは定数であることに注意すると
「Ｓ(θ)が最大」 ⇔ sinθ＝１ ⇔ θ＝π/2
なので、題意は示された。
（２）３じゃないの？ワカンネ（１）をどう利用するかが・・・＞＜
- 462 名前：455 mailto:sage [04/09/10 21:33:18]
- >>461
(1)円に内接する四角形を長方形に決めてしまってませんか？
(2)(1)がもし三角形の話だと・・・
- 463 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 21:40:05]
- >>462
よく分からんが、(1)の別解。 つーても、>>461をほとんど見てないｗ
別解
円に内接する四角形ABCDの二点A,Cを固定して考える。
残りの二点B,Dを動かすことを考える。
明らかに、線分ACからみて、B,Dが同じ側にある場合最大値を取らない。
さらに、△BACの面積を底辺をACとして考えると、ACは固定されているため
高さのみでその面積が決定される。このとき、点Bの位置はBA=BCなる点に決定される。
同様に点Dの位置も決定される。
明らかに、この場合線分BDは円の直径になる。そのため、BDの長さは固定される。
次に、二点ACを動かす。明らかにAC⊥BDが成立するため、四角形ABCDの面積は
AC*BD/2で与えられる。よって、BDが固定されているとき、ACが最大になればいい。
この場合、ACも・・・以下略
- 464 名前：455 mailto:sage [04/09/10 21:51:17]
- >>463
＞明らかに、線分ACからみて、B,Dが同じ側にある場合最大値を取らない。
この行は蛇足かと。 初めから対角線ACとして固定すればよいし、
そうでないならACが正方形の一辺にもなりうる。
- 465 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 22:06:55]
- >>455
この(1)って微妙に(2)の誘導になってんのかな？
(2)は結局半径1の円に内接する３角形の面積の最大値をもとめさせてるんだけど
それは正三角形のときで面積は3･(1/2)･sin120°=3√3/4。
- 466 名前：455 mailto:sage [04/09/10 22:09:51]
- >>465
正解(配点20)
- 467 名前：455 mailto:sage [04/09/10 22:15:57]
- ごめんウソ。減点-2
- 468 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 22:18:01]
- >>456
4数をa,b,c,dとして仮定はb+c+d、a+c+d、a+b+d、a+b+cが素数。
でもしどれか一個が3だとする。a=3としてよい。すると
b≡c≡d (mod 3)であるか ≡1(mod3)、≡2(mod3)となるものがある。
前者ならb+c+dは3でない3の倍数なので矛盾。後者ならb≡1(mod3)、c≡2(mod3)
としてよいがa+b+cが3でない3の倍数になって矛盾。よって3はまじってない。
よってa≡±1(mod3)、b≡±1(mod3)、c≡±1(mod3)、d≡±1(mod3)だが
符号がおなじなのが３つあると仮にそれをa,b,cとするとa+b+cが3でない３の倍数になって矛盾。
よってa≡1(mod3)、b≡1(mod3)、c≡-1(mod3)、d≡-1(mod3)として一般性を失わない。
さて選んだ２数(x,y)の差が３の倍数なのだから(x,y)=(a,b) or (c,d)。
いずれにせよのこり２数を(z,w)とするとz≡w(mod 3)ゆえ主張は成立。
- 469 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 22:18:46]
- >>467
減点された･･･どこ？
- 470 名前：455 mailto:sage [04/09/10 22:28:16]
- >>469
{sin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-x)}/2が半径1の円に内接する３角形の面積
- 471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 22:29:33]
- そうだった
- 472 名前：456 mailto:sage [04/09/10 22:31:10]
- >>468
1,3,7,9はどの3数の和も素数です
- 473 名前：リニアﾀﾝ（;´Д`）ﾊｱﾊｱ ◆O5M8Y2WWjk [04/09/10 22:35:21]
- >>455
[2](1)
半径ｒの円Oに内接する四角形ABCDにおいて、
∠AOB＝x、∠BOC＝ｙ、∠COD＝ｚ、∠DOA＝ｗ とおく （ｘ+ｙ+ｚ+ｗ＝2π）
四角形ABCD＝（1/2)ｒ＾2(sin x+sin y+sin z+sin w)≦（1/2)ｒ＾2(1+1+1+1)＝2ｒ＾2
等号は x＝y＝z＝w＝π/2 のとき成立し、このとき四角形ABCDは正方形となる。
- 474 名前：455 mailto:sage [04/09/10 22:37:14]
- >>473
模範解答thx
- 475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 22:38:27]
- >>458
[5]がめんどいけどこれエレ解あるの？
求めるものは1/8+∑[n≧4]n(n-4回目までは３回連続表はでない確率)×(1/16)
で
(n回目までは３回連続表はでない＆n回目は裏の確率)=an
(n回目までは３回連続表はでない＆n-1回目は裏＆n回目は表の確率)=bn
(n回目までは３回連続表はでない＆n-2回目は裏＆n-1回目は表の確率＆n回目は表の確率)=bn
(n回目までは３回連続表があった確率)=dn
とおくとき
a(n+1)=(1/2)(an+bn+cn)
b(n+1)=(1/2)an
c(n+1)=(1/2)bn
d(n+1)=dn+(1/2)cn
をとけば∑[n≧4]n(1-cn)はもとまるけど正直しんどい。なんかもっと鮮やかなのがある？
- 476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 22:39:14]
- >>472
しまった。吊ってくる。
- 477 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 22:47:00]
- >>472
a,b,c,d
≡0,0,0,0 ≡0,0,0,2 ≡0,1,2,2
≡0,0,0,1 ≡0,0,1,2 ≡1,1,2,2
≡0,0,1,1 ≡0,1,1,2 ≡0,2,2,2
≡0,1,1,1 ≡1,1,1,2 ≡1,2,2,2
≡1,1,1,1 ≡0,0,2,2 ≡2,2,2,2 (mod3)
のいずれかとしてよい。でどの３つをたしても≡0(mod3)にならないのは
(a,b,c,d)≡1,1,2,2 ≡0,0,1,1 ≡0,0,2,2(mod3)の３つしかない。でいづれにせよ主張成立。
- 478 名前：461 [04/09/10 22:49:59]
- >>462
（１）ですが、長方形∋正方形ですよね？
だからまず、内接する長方形を考慮したんです。んで解答の
θ＝π/2 ⇔ ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ ⇔ ＡＢＣＤは正方形
となると思うんですが。
- 479 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 22:51:46]
- >>478
質問したいのだが、円に内接する四角形の中で最大の面積を持つ物が
長方形でさえなかった場合というのは検討したのか？
- 480 名前：461 [04/09/10 23:11:59]
- >>479
ほんまやぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ！！！！！！！
ああ、ごめんごめん・・・もうイヤ＞＜
数学苦手やった奴が口出しするもんじゃねーなｗ
- 481 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 23:13:10]
- >480
チラシの裏に書いてろ、な！
- 482 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 23:13:33]
- >>457[4]
ｈ/√2
- 483 名前：482 mailto:sage [04/09/10 23:16:55]
- 場合訳がいったか．．．
- 484 名前：458 mailto:sage [04/09/10 23:33:09]
- >>475
ちょっとインチキ臭い操作でほとんど複雑な計算なく整数値ででます。
- 485 名前：456 mailto:sage [04/09/10 23:33:46]
- >>477
正解(配点20)
- 486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/11 00:11:49]
- >>458の[5]のインチキ臭い操作というのが思いつかん。
- 487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/11 14:34:33]
- 一枚のコインを投げて表がn回続けて出るまで繰り返すとき、
投げる回数の期待値を a_n とすると、
a_{n+1}=2(a_n+1) という漸化式を満たす。
- 488 名前：１３２人目の素数さん [04/09/11 15:13:30]
- >>455
まだ見ていますか？
[2](2)について
x,y,zの条件は他にありませんか？無ければ次のようになります。
-1<=sin(x-y)<=1,-1<=sin(y-z)<=1,-1<=sin(z-x)<=1ゆえ
問題の式はsin(x-y)=sin(y-z)=sin(z-x)=1のとき最大となる
このときx,y,zは
x-y=(2a+1/2)πかつy-z=(2b+1/2)π,z-x=(2c+1/2)π (a,b,cは整数)
を満たすが、3式を辺々足すと
a+b+c+3/4=0ゆえc=-(a+b+3/4)
よって求める最大値は3
このときx,y,zは
x-y=(2a+1/2)πかつy-z=(2b+1/2)π,z-x=-(2a+2b+1)π (a,bは整数)
を満たす任意の実数
- 489 名前：４８８ [04/09/11 15:24:52]
- >>455
すいません、訂正します。
誤）x-y=(2a+1/2)πかつy-z=(2b+1/2)π,z-x=-(2a+2b+1)π (a,bは整数)
正）x-y=(2a+1/2)πかつy-z=(2b+1/2)π (a,bは整数)
注１）誤）の"y-z=(2b+1/2)π,z-x=-(2a+2b+1)π"の間の","は"かつ"の誤りです
注２）誤）の3式目は整理すれば必要なくなります
- 490 名前：455、458 mailto:sage [04/09/11 15:41:19]
- >>488
＞a+b+c+3/4=0ゆえc=-(a+b+3/4)
a,b,cは整数としているので矛盾です
>>487
よろしければ導出過程プリーズ
- 491 名前：４８８ [04/09/11 16:00:20]
- >>490
確かにそうですね。失礼しました。
>>455
ごめんなさい。誤解答の例ということで忘れてください。
- 492 名前：リニアﾀﾝ（;´Д`）ﾊｱﾊｱ ◆O5M8Y2WWjk [04/09/11 17:26:06]
- >>459[6]
ｎ＝3，6 とみたが、どうだ？
- 493 名前：459 mailto:sage [04/09/11 17:46:59]
- >>492
惜しい
- 494 名前：リニアﾀﾝ（;´Д`）ﾊｱﾊｱ ◆O5M8Y2WWjk [04/09/11 20:47:33]
- (a,b,c)＝(k,-k,0), (0,k,-k), (k,0,-k) はあってる？
- 495 名前：459 mailto:sage [04/09/11 21:00:51]
- >>494
あってまふ
- 496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/11 21:11:24]
- >>494
氏ね
- 497 名前：リニアﾀﾝ（;´Д`）ﾊｱﾊｱ ◆O5M8Y2WWjk [04/09/11 21:20:58]
- >>495
じゃあ、エレファントだけど途中まで。
a+b+c＝a^3+b^3+c^3＝abc＝k とおくと
k≠0 のとき、
ab+bc+ca＝(k^2+2)/3 より a、b、c はtの3次方程式
t^3-kt^2+{(k^2+2)/3}t-k＝0 の解。
右辺は狭義単調増加なので、3次方程式の実数解は1個で不適。
よって k＝0。
したがって、(a，b，c)＝(s，-s，0)，(0，s，-s)，(s，0，-s)。
よって、図形Pは適当に平行移動お呼び回転をすると、xy平面上の3直線
y＝0，±(√3)x になる。←ここで勘違いか？
- 498 名前：459 mailto:sage [04/09/11 21:24:37]
- >>497
あってますよ。結論にわずかな見落としが。
- 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/11 21:47:09]
- >>492
あと、正方形ができる。
- 500 名前：リニアﾀﾝ（;´Д`）ﾊｱﾊｱ ◆O5M8Y2WWjk mailto:sage [04/09/11 21:55:46]
- 漏れは包茎じゃないんですっかり見落としていたよ。
- 501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/11 22:05:55]
- >>500
でも短小なんだろ
- 502 名前：リニアﾀﾝ（;´Д`）ﾊｱﾊｱ ◆O5M8Y2WWjk mailto:sage [04/09/11 22:11:22]
- >>501
下品なﾔｼだな。
- 503 名前：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM [04/09/11 22:41:26]
- Re:>502 おまえもな。
- 504 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/11 22:42:10]
- FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDMウザイ。
恥を知れ。
- 505 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/11 22:43:03]
- FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDMじゃあしょうがない。
みんなウザイ馬鹿なのは知ってる。
- 506 名前：１３２人目の素数さん [04/09/11 23:35:32]
- (2)実数x,y,zについてsin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-y)の最大値を求めよ。
↑
は終わったと思っていいですか？
- 507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/11 23:38:41]
- >>506
いい
- 508 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 00:03:00]
- >>506
もちつけ（ｗ
- 509 名前：１３２人目の素数さん [04/09/12 00:03:14]
- もっとおもすろいのないの？
- 510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 00:07:02]
- 別スレでだしたやつだけど東大入試にもだせる形にして
lim[N→∞]∫[0,N](logt)t^(1/2)e^(-t)dtをもとめよ。
とかどう？
- 511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 00:14:17]
- オイラーの定数が出るんじゃないの？
- 512 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 00:14:51]
- そうか。t=0の近傍でも広義積分になってるから
lim[N→∞]∫[1/N,N](logt)t^(1/2)e^(-t)dtをもとめよ。
にしないといけないか。
- 513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 00:16:45]
- >>511
しまった。そうだ。だから大学入試にはつかえん。吊ってくる。
- 514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 07:20:52]
- >>490
直感的な説明。
n+1 回連続して表が出るためにはまず n 回連続して表が出る必要があり、
平均して a_n 回投げなければならない。
次の回に投げて成功すればよいが、失敗するとはじめからやり直しとなる。
成功の確率は 1/2 だから、平均すれば「n 回連続して表が出る + 1 回」を
2 回繰り返せば n+1 回表が連続して出るだろう。
- 515 名前：458 mailto:sage [04/09/12 20:34:04]
- >>514
thx 確かに直感的。でも正しい。
入試数学ではOKな考え方なのかな。
- 516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 20:42:15]
- 試験の解答としてはダメだろ。
- 517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 21:58:59]
- ０点だろ。
- 518 名前：１３２人目の素数さん [04/09/12 22:03:41]
- 平面上に異なる四点を取り、
どの２点の距離も奇数になるようにせよ。
不可能であるならば、その事を証明せよ。
- 519 名前：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM [04/09/12 22:27:36]
- Re:>518
5通りの2点間の距離が奇数になるようにはできる。
問題はあと一組か。
- 520 名前：１３２人目の素数さん [04/09/12 22:27:52]
- >>518
ヒントおながいしまつ
- 521 名前：１３２人目の素数さん [04/09/12 22:37:36]
- こう言う問題は不可能だと相場が決まっている。
鳩の巣原理に一票。
- 522 名前：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM [04/09/12 22:56:50]
- Re:>521 私も最初はそう思ったけどね。
- 523 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 23:00:30]
- Kingはストーカー原理主義者。
- 524 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 23:20:33]
- >>518
円に内接する四角形ダメで対角線が垂直に交わる四角形もダメ。
どーも無理っぽい
- 525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 23:57:06]
- >>515
とりあえず試験にもかけそうな解答ではこんな感じでどうだろう。
Vnを最初にn回連続表がでた時点をあたえる確率変数、
Xnを最初にn回連続表がでた直後の試行が裏であった場合という事象
としてE(Vn)=anとおくとき
a(n+1)
=E(V(n+1))
=(1/2)E(Xn|V(n+1))+(1/2)E(notXn|V(n+1))
=(1/2)E(Xn|V(n+1))+(1/2)(E(notXn|V(n))+1)
=(1/2)(E(Vn)+1+E(V(n+1)))+(1/2)(E(V(n))+1)
=(1/2)(an+1+a(n+1))+(1/2)(an+1)
∴a(n+1)=2an+2。
E(Vn)がちゃんと収束することも上の議論をすこし丁寧にやればでるね。
- 526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/13 00:23:52]
- ttp://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1094542985/579
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- 527 名前：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM [04/09/13 14:03:53]
- Re:>523 それ誰から聞いた？
- 528 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/14 04:07:28]
- >>458
表が連続k回出ている状態から、試行が終わるまで投げる回数の期待値をb_kとする。
b_3=0
b_2=(1/2)(1+b_3)+(1/2)(1+b_0)
b_1=(1/2)(1+b_2)+(1/2)(1+b_0)
b_0=(1/2)(1+b_1)+(1/2)(1+b_0)
これを解いて、b_0=10。
厳密には条件付期待値の概念を使ってるから問題としていいのかどうかはわからんが。
- 529 名前：１３２人目の素数さん [04/09/14 23:13:49]
- >>518
わからん。答えおながいしまつ。
- 530 名前：１３２人目の素数さん [04/09/15 00:18:05]
- ☆ ﾁﾝ ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～
ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ～
☆ ﾁﾝ 〃 Λ＿Λ ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
ヽ ＿＿_＼（＼・∀・） ＜ >>518答えﾏﾀﾞ～？
＼＿／⊂ ⊂＿ ) ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
／￣￣￣￣￣￣ ／|
|￣￣￣￣￣￣￣| |
| |／
- 531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/15 00:21:05]
- >>458 なるべく高級なことを利用しないように努めた解法。
長さ n の列で、最後の 3 回で初めて3 回連続して表が出た列全体の集合を A_n とし、
A_n の元の数を |A_n| で表す。
n 回目に初めて 3 回連続して表が出る確率 p_n は p_n=|A_n|/2^n である。
1) p_{3n},p_{3n+1},p_{3n+2}≦(7/8)^n が示せるので、
Σ_[n=1,∞]p_n と Σ_[n=1,∞]{np_n} が存在することがわかる。
2) A_{n+4} に属する列の最後の 4 回は 裏表表表 になっている。
この列の最後の 4 回を 裏裏表表表 または 表裏表表表 で置き換えた列を考える。
裏裏表表表 に置き換えたものは、すべて A_{n+5} の元である。
表裏表表表 で置き換えたものは、A_{n+5} の元であるかまたは
A_{n+1} に属する列に 裏表表表 を付け足した列になる。
逆に、A_{n+4} の元は、A_{n+5} に属する列から n+1 番目を取り除いた列か、
A_{n+1} に属する列の最後の 表 を 裏表表表 で置き換えた列になっている。
したがって、2 |A_{n+4}| = |A_{n+5}| + |A_{n+1}| が成立する。
両辺を 2^{n+5} で割ることで、p_{n+5}=p_{n+4}-p_{n+1}/16 (n≧0) が得られる。
3) p_{n+5}=p_{n+4}-p_{n+1}/16 (n≧0) を辺々加えることで、
Σ_[n=1,∞]p_n = p_4 + Σ_[n=1,∞]p_n - 1/16Σ_[n=1,∞]p_n
p_4=1/16 より Σ_[n=1,∞]p_n=1 となる。
4) また、n+5 倍してから辺々加えることで、
Σ_[n=1,∞]{np_n} = -p_3 + 4p_4 + Σ_[n=1,∞]{(n+1)p_n} - 1/16Σ_[n=1,∞]{(n+4)p_n}
Σ_[n=1,∞]p_n=1, p_3=1/8, p_4=1/16 より Σ_[n=1,∞]{np_n}=14 となる。
- 532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/15 00:22:52]
- www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/234_sankaku.htm
＞また，４辺の長さがａ，ｂ，ｃで与えられた三角形，６辺の長さがａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆで与えられた四面体の場合は
・・・
の結果を利用するとすぐに>>518の答えが分かるけど高校レベルの解答は分からん。
- 533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/15 00:35:20]
- >>532
どうつかうの？べつにa,b,c,d,e,fが全部奇数で左辺が0でも矛盾しないような。
- 534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/15 00:39:44]
- わかった。これつかうのか↓。なるほど。
（１２Δ）^2＝ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2－ａ^2－ｄ^2）
＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2－ｂ^2－ｅ^2）
＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2－ｃ^2－ｆ^2）
－ａ^2ｂ^2ｃ^2－ａ^2ｅ^2ｆ^2－ｄ^2ｂ^2ｆ^2－ｄ^2ｅ^2ｃ^2
a,b,c,d,e,fが全部奇数なら右辺≡2(mod4)だ。
- 535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/15 00:51:09]
- >>518難しかった。こんな簡単にとけちゃうもんなんだな。またあたらしいのんキボン。
- 536 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/15 01:23:37]
- >>395ではないが、>>395を誘導方式に変更してみた。
（１）、（２）はそれぞれ単独でもまずまず面白い問題かと。
（２）は漏れの頭の柔らかさでは高校範囲を逸脱する解等しか用意してないんだが…。
（１）
2n個の数値 x_1,x_2,…x_(2n)は次を満たすとする。
・x_1+x_2+…+x_2n=0
・任意のi=1,…,2nに対し、x_i=1 or x_i=-1
（すなわち、x_iは1がn個で-1がn個ってこと）
今、y_i（i=1,…,2n）を、
(x_i)×(x_i+x_(i+1)+…+x_(2n))>0のとき、y_i=1
それ以外の場合、y_i=0
と定義する。
このとき、y_1+y_2+…+y_n=nであることを示せ。
（２）
Σ[k=1～n]C(2k,k)・C(2(n-k),n-k))=2^(2n)-C(2n,n)を示せ。
（CはCombination。C(n,m)=n!/(m!・(n-m)!)です。）
（３）
>>395の解が、>>432の結論の式となることを示せ。
- 537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/15 14:17:42]
- >>532
座標を入れてごりごり計算してみたが、それほど面倒ではなかった。
ポイントは a,b,c が奇数のとき、(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) が
16n-1 の形の整数になるということのようだ。
- 538 名前：１３２人目の素数さん [04/09/16 20:35:48]
- >>532のサイトみてからずっときになってんだけどもしかしてこんなこと成立する？
----
n次元ユークリッド空間のn+1個の点P1･･･P(n+1)をとる。行列Aを
Aij=
0 (i=j)
1 (i≠j ＆ (i=n+2 or j=n+2))
(PiとPiの距離)^2 (それ以外のとき)
で定義するときP1･･･P(n+1)の凸包の体積をVとするとき
V^2･(nだけで決まる関数)=|A|
----
n=2,3でそうなってるってのが>>532のサイトに紹介されてるんだけど。
- 539 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/17 23:49:54]
- >>518って>>532のヒントがあるととたんにそりゃそうだって思えるようになるな。
たとえばOABCがOA、OB、OC、AB、BC、CAが全部奇数と仮定して
↑OA=a、↑OB=b、↑OC=cとおく。仮定から|a|、|b|、|c|は全部奇数で
2a･b、2b･c、2c･aは全部奇数でmod8で1。ところでOABCを端点とする四面体の体積は
det|[[(a,a),(a,b),(a,c)],[(b,a),(b,b),(b,c)],[(c,a),(c,b),(c,c)]]であるがそれは０。
よってとくにdet|[[2(a,a),2(a,b),2(a,c)],[2(b,a),2(b,b),2(b,c)],[2(c,a),2(c,b),2(c,c)]]
は０でなければならない。しかし一方これは全成分が整数で対角成分がmod8で2、
その他の成分がmod8で1。よってとくに
det|[[2(a,a),2(a,b),2(a,c)],[2(b,a),2(b,b),2(b,c)],[2(c,a),2(c,b),2(c,c)]]はmod8で4。矛盾。
- 540 名前：１３２人目の素数さん [04/09/23 14:35:51]
- 952
- 541 名前：１３２人目の素数さん [04/09/28 08:13:11]
- 757
- 542 名前：１３２人目の素数さん [04/09/29 22:39:41]
- 面積Sの四角形ABCDについて、2S=AB・CD+BC・DAが成り立つとき
四角形ABCDはどんな四角形か。
- 543 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/29 23:17:20]
- AB・CD+BC・DA=AC・BDって円に内接するときしかだめなんだっけ？
これ誰の定理だっけ？
- 544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/30 00:40:17]
- >>542
円に内接しかつ対角線が直交するときかな？
まず平面に軸xyと正の実数0＜r＜1をy軸方向にr倍してABCDが円に内接するようにとる。
それが可能なのはまずABCの外接円をとってDがその外側にあるときACをx軸にとって
rを1から0へ増大させながらy軸方向へr倍するアフィン変換を作用させていくと
Dはどこかでちょうど円上にのる。そのときのrをとればよい。
Dが外側にあればrを1から∞まで変化させて同様にするとr＞1でDが円上にのるようにできるか
x軸とy軸をいれかえてrを1/rにすればもとめる条件をみたす。
いまy軸方向にr倍する変換でのABCDの移り先をA'B'C'D'、四角形A'B'C'D'の面積をS'と
すればS'=rS、A'B'≧rAB、B'C'≧rBC、C'D'≧rCD、D'A'≧rDA、ですべて等号になるのはr=1のとき。
よって2S'≧A'B'・C'D'+B'C'・D'A'であり等号成立はr=1のときのみ。
このときトレミーの定理からA'B'・C'D'+B'C'・D'A'=A'C'・B'D'であるから
2S'≧A'B'・C'D'+B'C'・D'A'=A'C'・B'D'=2S/sinθ (θはA'B'C'D'の対角線のなす角)
∴sinθ=1かつ2S'=A'B'・C'D'+B'C'・D'A'。
よってr=1かつA'B'C'D'の対角線が直交する。
- 545 名前：１３２人目の素数さん [04/09/30 23:15:58]
- >>543
AB・CD+BC・DA≧AC・BD が常に成り立ち、等号は四角形ABCDが円に内接するとき成立。
これを使えば>>544はもっと簡単になる。
- 546 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/01 00:54:49]
- ｜z｜=｜z-α｜を満たす複素数z,αがある。
(1) z+(1/z)が実数となるzがちょうど2つであるようなαの条件を求めよ。
(2) z+(1/z)がとりうる実数値がちょうど2であるようなαの条件を求めよ。
- 547 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/01 00:56:54]
- 訂正っす
(2) z+(1/z)がとりうる実数値がちょうど2つであるようなαの条件を求めよ。
- 548 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/01 02:47:52]
- x-y平面上の点のうち、x,y座標両方の値が整数値であるものを格子点と呼ぶ。
四つの格子点(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)をそれぞれ、白、黒、赤、青の色で塗る。
次の操作を行い、各格子点をこれら四色のうち、どれか一つで塗ることを考える。
操作 n,mを整数として
単位正方形(n,m),(n+1,m),(n,m+1),(n+1,m+1)を考える。
この正方形の頂点に対し、反時計回りにA,B,C,Dと名前を付け、(どこをAととっても良い。)
点A,Bの辺CDに対する線対象な点をA'、B'とする。
点AとA'、点BとB'を同じ色で塗る。
この操作を、有限回繰り返し、最初白で塗られていた原点(0,0)を
別の色で塗り直せ。 不可能であるならば、その事を示せ。
- 549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/01 08:29:50]
- >>548
操作によって新しく塗られる点ともとの点のx座標、y座標の偶奇は変化しないので不可能。
- 550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/01 23:51:23]
- n×nマスの部屋を1×3マスのタイルと1×4マスのタイルで
隙間なく重なりなく敷きつめられることを示せ。
ただしnは3以上の整数で、使わない種類のタイルがあってもよいものとする。
- 551 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/02 02:44:10]
- >>550
まず，n×nで敷き詰めが出来ているときに(n+2)×(n+2)を作る事を考える．
■■■■■■
■□□□□■
■□□□□■
■□□□□■
■□□□□■
■■■■■■
上図より，1×(n+1)が作れればこれは可能であり，
n+1=3l+4m(l≧0，m≧0)なる整数l，mが存在すればよい事になる．
そこで，3l+4m(l≧0，m≧0)の形で表せる自然数の条件を4の剰余類毎に考えると，
4m 全て可能
4m+3 全て可能
4m+2 ≧6なら可能
4m+1 ≧9なら可能
となるから，n+2=7(即ちn+1=6)以上の敷き詰めは，6×6以下の敷き詰めが可能なら
全て可能である事が分かる．
後は3≦n≦6の場合を具体的に構成して終わり．尚，5×5は3×3から出来る．
q.e.d.
- 552 名前：551 mailto:sage [04/10/02 02:48:55]
- 受験モニター的報告
解答作成所要時間15分，実際の試験ならもうちょっと丁寧に書いて
推敲含め20～25分程度か．
因みに当方は数学科4年生（専攻：整数論）．
個人的には，受験生なら「やや難：30分以上」になると思うがどうだろう？
良問提供多謝．
- 553 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/02 09:50:49]
- >>551-552
解答＆感想サンクス。
俺の場合数学は趣味だけど、整数問題なら自信の一作が。
入試問題としては誘導なしだと相当な難問かもしれないけど。
(問)BC=a,CA=b,AB=cの三角形ABCの辺BC上(両端を除く)に点Dをとると
AB=AD=DCとなった。aは素数、b,cは整数のときa,b,cを求めよ。
答えは綺麗に一組に定まるので自作問題のなかでは一番のお気に入り。
- 554 名前：１３２人目の素数さん [04/10/02 17:00:00]
- ３以上で５でない整数で３と４の和で表せるので
ｎ×３とｎ×４を並べてｎ×ｎができる。
- 555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/02 17:44:23]
- >>553
できた。(a,b,c)=(5,6,4)。あってる？
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