- 1 名前：１３２人目の素数さん [03/11/19 01:07]
- 理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第一問)
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/l50
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第二問)
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/l50
関連スレ
面白い問題おしえて～な 七問目
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/l50
恐ろしく難解な問題をだせ！
science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049652059/l50
- 145 名前：未解決問題 mailto:sage [03/12/18 22:02]
- ■■１■■
一般項がan=np^nで与えられる数列an(n=1,2,3…)に於いて、任意の自然数nに対してa1≦anが成り立つ為に実数pが満たすべき必要十分条件を求めよ。但し、必要ならば｜p｜＜1の時、n→∞ならばnp^n→0であることを用いても良い。」
■■２■■
OA=OB=8を満たす二等辺三角形△OABがある。（１）,（２）に答えよ｡
（１）点Oを中心とする半径6の円C1、点Aを中心とする半径1の円C2、点Bを中心とする半径1の円C3とする。
円C1上の点P、円C2上の点Q、円C3上の点Rを結ぶと△PQRが正三角形となるような辺ABの長さの範囲を求めよ。
（２）点Oを中心とする半径6の球S1、点Aを中心とする半径1の球S2、点Bを中心とする半径1の球S3とする。
球S1上の表面上の点P´、球S2上の表面上の点Q´、球S3上の表面上の点R´を結ぶと△P´Q´R´が正三角形となるような辺ABの長さの範囲を求めよ｡
- 146 名前：未解決問題 mailto:sage [03/12/18 22:04]
- ■■３■■
（１）与えられた四面体の6つの2面角(即ち隣り合う面の間の角)の内5つが等しいときこの四面体は正四面体であるかどうかを示せ。
（２）1辺の長さが2の立方体の内部(表面とは限らない)に立方体の最も遠い2つの頂点を結んでいる折れ線がある。
折れ線の頂点は立方体の表面にあり折れ線を構成する各辺の長さは3である。このような折れ線の辺の数の最小値を求めよ。
（３）平行で相違なる2枚の平面Π1,Π2上に各々凸多角形α=A1A2...Am,β=B1B2...Bnがある。
点P,Qが各々多角形α,β上を動くとき線分PQが動いてできる立体Tをα,βを底面とするプリズム体と呼ぶ。Π1とΠ2の丁度中央(両平面から等距離)にある平面Π3によるTの切り口をμとする。
α,β,μの面積がa,b,mであり,Π1とΠ2の間の距離がhであるときプリズム体Tの体積をa,b,m,hを用いて表せ。
■■４■■
xy平面上に(0,0)(0,100)(100,100)(100,0)を頂点とする正方形がある。
この正方形の内部、及び周上に点を打ち、その点を中心とする半径１の円を描く。
次の問１、２に答えよ。
ただし、点は無作為に打つものとし、円周率π=3.1415・・・とする。
（１）点をいくつ以上打てば、点（a,b)（0≦a≦100、0≦b≦100）が描かれた円内に入っている確率が1/2を越えるか求めよ。
（２）正方形内で描かれた円の占める面積が5000以上になるには、いくつ以上の点をうつのが妥当か求めよ。
次に一辺の長さが100の立方体内に点を無作為にうち、この点を中心とする球を置く。
次の問３に答えよ。
（３）この立方体内に置かれた球の占める体積が500000以上になるには、いくつ以上の点をうつのが妥当か求めよ。
- 147 名前：未解決問題 mailto:sage [03/12/18 22:04]
- ■■５■■
係数が全て整数の多項式f(x)において、f(x)=0の根が全て有理数ならば
f(x)=(m_1x+n_1)(m_2x+n_2)…(m_k+n_k) （m_i、n_iは全て整数）と書けることを示せ。
■■６■■
正十二面体の面と面とがなす角と360゜/πとの大小を明確な根拠を元に答えよ。
■■７■■
n>2kである正の整数n,kをとる。ｎ個の円上にならべられた座席からk個の座席を
となり合う座席はえらばないように選ぶ。そのような選び方の組み合わせの数をもとめよ。
■■８■■
A_k=1/(sinkπ/2n)^2とする。
Σ[k=1～n-1]A_k={2(n^2)-2}/3となることを証明せよ。
■■９■■
実数a,b,cはある2以上の自然数の定数kに対して
a^(k-1)+b^(k-1)≦c^(k-1)
a^k+b^k=c^k
a^(k+1)+b^(k+1)≧c^(k+1)
の3式を同時にみたしている。
（1）abc=0のとき、a+b=cが成り立つことを示せ。
（2）abc≠0のとき、a,b,cはいずれも負であることを示せ。
（3）kは偶数であることを示せ。
- 148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/18 22:10]
- 147の６番って隣り合う面だと思われ。
（面と面の組み合わせ何通りもあるし
- 149 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/18 22:40]
- >>143
そう？
x が出る確率を p(x) = ax とする。∫[0,1] p(x) dx = 1 より、 a = 2
従って期待値は ∫[0,1] x p(x) dx = 2/3.
- 150 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/18 22:56]
- >>149
それだと、（漏れは）10秒くらい掛かるから瞬殺とは言えない
- 151 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/18 23:44]
- 有理数xの循環節の長さをL(x)とする。
（例えば、1/7=0.1428571・・・なのでL(1/7)=6、13/11=1.181・・・なのでL(13/11)=2）
この時、以下の問いに答えよ。
（１）0<x<1においてL(x)=n（nは自然数）となる有理数xの個数を求めよ。
（２）0<x<1においてL(x)=k（kは自然数）となる確率をP(k)とする。
lim[n→∞](n^p)Σ[k=1→n]k・P(k)が0以外に収束するための条件を求めよ。
- 152 名前：151 mailto:sage [03/12/18 23:47]
- （２）に以下の文を追加します。
「0<k<nであり、P(k)はL(k)/Σ[m=1→n]L(m)と定義する。」
- 153 名前：151 mailto:sage [03/12/18 23:48]
- k≦nです。申し訳ありません。
- 154 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/18 23:52]
- >>151
x=0.1378463123123123123123123123123123･･･
とかだとL(x)=3にするの？
- 155 名前： ◆MC1Z7pcz5k [03/12/19 00:28]
- >>147
■■８■■ について
この問題はいろいろな解法があると思いますが, 1990 年 東京工業大学後期 に出題されています。
まずは, そこから確認してみてください。
- 156 名前：151 mailto:sage [03/12/19 00:41]
- >>154
失礼しました。純循環小数についての問題と見て下さい。
混循環小数も混ぜるとあり得なくなるね・・・
- 157 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/19 00:46]
- >>156
じゃこれは何？
＞152 名前：151[sage] 投稿日：03/12/18 23:47
＞（２）に以下の文を追加します。
＞「0<k<nであり、P(k)はL(k)/Σ[m=1→n]L(m)と定義する。」
＞153 名前：151[sage] 投稿日：03/12/18 23:48
＞k≦nです。申し訳ありません。
L(m)とかL(k)ってm=m.0000000000000000000･･･もk=k.00000000000000000000･･･も混循環小数とかいうやつになるじゃん。
- 158 名前：127 [03/12/19 00:49]
- >>147
単純に場合分けするだけなのですが、これだけのことを時間内に処理しきれるかは
文字計算（特に正負入り混じったもの）に慣れていることが重要かと。
かなり点数に差が出るのではと思います。
（1）
[ I ] a=0のとき、kが奇数ならば第二式よりb=cとなりa+b=cをみたしている。
kが偶数のとき第二式よりb=±c。b=cはa+b=cをみたしている。
b=-cとすると第一式、第三式より
b^(k-1)≦-b^(k-1), b^(k+1)≧-b^(k+1) （∵k-1は奇数）
ゆえにb=0。したがってc=0。これはa+b=cをみたしている。
[ II ] b=0のとき、[ I ]と同様。
[ III ] c=0のとき、kが奇数ならば第二式よりa=-b。これを第一式に代入して
2b^(k-1)≦0 （∵k-1は偶数）
ゆえにb=0。したがってa=0。これはa+b=cをみたしている。
kが偶数のときは第二式よりa=b=0となり、やはりa+b=cをみたす。
- 159 名前：127 [03/12/19 00:49]
- （2）
[ I ] c＞0のとき
( i ) a＞0かつb＞0のとき、第二式より0＜a＜cかつ0＜b＜cである。
第二式の両辺にcをかけて
c^(k+1)=(a^k)c+(b^k)c＞(a^k)a+(b^k)b=a^(k+1)+b^(k+1)
これは第三式に矛盾。
( ii ) a＞0かつb＜0のとき、kが奇数ならば第二式より0＜c＜-bである。このとき
a^(k-1)+b^(k-1)＞b^(k-1)＞c^(k-1) （∵k-1は偶数だからb^(k-1)＞c^(k-1)＞0）
となり第一式に矛盾。kが偶数ならば第二式より0＜a＜cかつ0＜-b＜cである。このとき
a^(k+1)+b^(k+1)＜a^(k+1)＜c^(k+1) （∵k+1は奇数だからb^(k+1)＜0）
となり第三式に矛盾。
( iii ) a＜0かつb＞0のとき、( ii )と同様。
( iv ) a＜0かつb＜0のとき、kが奇数ならば第二式に、kが偶数ならば第一式に矛盾。
[ II ] c＜0のとき
( i ) a＞0かつb＞0のとき、kが奇数ならば第二式に、kが偶数ならば第三式に矛盾。
( ii ) a＞0かつb＜0のとき、kが奇数ならば第二式よりb＜c＜0である。このとき
a^(k-1)+b^(k-1)＞b^(k-1)＞c^(k-1) （∵k+1は奇数だからb^(k-1)＞c^(k-1)＞0）
となり第三式に矛盾。kが偶数ならば第二式より0＜a＜-cかつc＜b＜0である。このとき
a^(k-1)+b^(k-1)＞b^(k-1)＞c^(k-1) （∵k-1は奇数だから0＞b^(k-1)＞c^(k-1)）
となり第一式に矛盾。
( iii ) a＜0かつb＞0のとき、( ii )と同様。
以上よりa＜0かつb＜0かつc＜0が必要。
- 160 名前：127 [03/12/19 00:50]
- （3）
逆にa＜0かつb＜0かつc＜0のとき、kが奇数ならば第二式に矛盾。したがってkが偶数であることが必要。
a＜0かつb＜0かつc＜0でkが偶数のとき、第二式をみたす(a,b,c)の組は無数に存在するが、
その(a,b,c)の組すべてに対して第二式よりc＜a＜0かつc＜b＜0が成り立ち、
c^(k-1)=(a^k)c^(-1)+(b^k)c^(-1)＞(a^k)a^(-1)+(b^k)b^(-1)=a^(k-1)+b^(k-1)
c^(k+1)=(a^k)c+(b^k)c＜(a^k)a+(b^k)b=a^(k+1)+b^(k+1)
より第一式、第三式も成り立っている。
補足
（1）～（3）より第一式～第三式をみたす(a,b,c,k)の組は
(0,t,t,m+1),(t,0,t,m+1),(u,v,{u^(2m)+v^(2m)}^{1/(2m)},2m)
（tは任意の実数、u,vは互いに独立な任意の正の数、mは任意の自然数）
とかける。
- 161 名前：127 [03/12/19 00:53]
- 間違えた。
(0,t,t,m+1),(t,0,t,m+1),(u,v,-{u^(2m)+v^(2m)}^{1/(2m)},2m)
~~
- 162 名前：151 mailto:sage [03/12/19 01:04]
- >>157
問題を訂正し直します。（急いじゃいかんね
循環節の始まりが小数第１位である有理数xの循環節の長さをL(x)とする。
（例えば、1/7=0.1428571・・・なのでL(1/7)=6、13/11=1.181・・・なのでL(13/11)=2）
この時、以下の問いに答えよ。
（１）0<x<1においてL(x)=n（nは自然数）となる有理数xの個数を求めよ。
（２）0<x<1においてL(x)=k（kは自然数、）となる確率をP(k)とする。
lim[n→∞](n^p)Σ[k=1→n]k・P(k)が0以外に収束するための条件を求めよ。
ただし、確率P(k)は、L(x)が高々n個になるもの中からL(x)=kとなるものを選び確率であると定義する。
- 163 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/19 01:31]
- >>162
＞（１）0<x<1においてL(x)=n（nは自然数）となる有理数xの個数を求めよ。
これはメビウス関数使ってよしですか？
- 164 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/19 02:26]
- >>162
悪問。
せめて（１）では具体的な数についての考察にすべき。
- 165 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/19 02:53]
- >>162
(1)はｎ＝６かｎ＝８あたりを求めさせるのがいいんじゃない？
最高でもｎ＝１２くらいでどうよ
- 166 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/19 02:53]
- nは2以上の整数とする。相異なるn個以上の自然数の和で
表されない自然数の個数をf(n)とする。
（1）f(2),f(3)を求めよ。
（2）f(n)を求めよ。
（3）相異なるn個の自然数の和で表されない自然数の個数g(n)を求めよ。
- 167 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/19 03:02]
- >>166はいい問題のような気がするが
みたことあるような気もする
- 168 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/19 03:16]
- >>166
できた。
X(n)={m|mは相異なるn個の自然数の和で表されない自然数}とおく。
X(2)={1,2}
X(3)={1,2,3,45}
X(4)={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
･･･
X(n)={m|1≦m＜(1/2)n(n+1)}･･･(※)と推定できる。これを帰納法で示す。
(I)n=2のとき 明らか
(II)n=kで成立するとする。mを(1/2)(k+1)(k+2)以上の自然数とする。m-(k+1)≧(1/2)k(k+1)であるので
仮定よりあいことなるk個の自然数x1,x2,･･･xkでm-(k+1)=∑xiとなるものがとれる。
このときm=1+∑(xi+1)で、1,x1+1,･･･xk+1は相異なるk+1個の自然数であるからmはX(k+1)にはいらない。
1≦m＜(1/2)(k+1)(k+2)であるmはあきらかにX(k+1)にはいるゆえ(※)はk+1でも成立。
∴(I)(II)より(※)はすべての自然数で成立。
∴f(n)=g(n)=(1/2)n(n+1)-1
- 169 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/19 03:47]
- >>168
正解。
X(n)の具体的な要素を求めているとき、
本当に他の整数がX(n)の要素でないかを書いてところが試験的にややあやしいが。
一応私の用意した解答↓
相異なるn個の自然数の和で表される最小の数を a[n]=1+2+…+n=n(n+1)/2 とおく。
1≦m＜a[n]の範囲にある自然数mはいずれも相異なる自然数の和で表されない。
m≧a[n]の数がいずれも相異なるn個以上の自然数の和で表される（＊）ことを示す。
a[n]≦m＜a[n+1]をみたす整数a[n], a[n]+1, …, a[n]+nは
1+2+…+n
1+2+…+n+1 = 1+2+…+n+(n+1)-n = 1+2+…+(n-1)+(n+1)
：
1+2+…+n+n = 1+2+…+n+(n+1)-1 = 2+3+…+n+(n+1)
となり相異なるn個の自然数の和で表される。
同様にしてa[n+k]はn+k個の自然数の和で表されることが示される。
よって＊は示された。
さて、相異なるn+k個の自然数の和で表わされた自然数Xを考える。
そのn+k個の自然数をx[1],…,x[n+k]（x[1]＜…＜x[n+k]）とすると
X = x[1]+…+x[n-1]+(x[n]+…+x[n+k])
x[n]+…+x[n+k]を1つの自然数MとしてみるとXはn個の自然数の和で表され、
x[n-1]＜MであるからMはx[1],…,x[n-1]のいずれとも異なる。
したがってXは相異なるn個の自然数の和であ割らされる。
ゆえにf(n)=g(n)=n(n+1)/2-1
- 170 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/19 03:57]
- 別解（>>169とたいした違いはない。が、こっちの方がはるかに説明が簡単だった。）
m=1+2+…+(n-1)+{m-(n-1)n/2}であるから
m-(n-1)n/2≧nである自然数mのすべてについて
mは相異なるn個の自然数の和で表わされ、
これ未満のものは表わされない。
したがって1から(n-1)n/2+n-1までのn(n+1)/2-1個の
自然数は相異なるn個の自然数の和で表されない。
- 171 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/19 09:07]
- どうでもいいかもしれないがn(n+1)/2-1=(n-1)(n+2)/2ですな。
- 172 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/19 10:29]
- 勝手に改題するのもどうかと思うが、>>162の（１）は
n=Π[1,m]a_lってしたらどうよ。あり得なくなるか・・・？
- 173 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/20 00:41]
- >>136
やっぱり、問題文が微妙だと思う
その装置を使って一つ数をゲットしたとき
1をゲットする確率 = 0
0をゲットする確率 = 0
一方、
>ある数が生み出される確率は，その数の大きさに比例するという
ので、比例係数 = 0 …
- 174 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/21 09:47]
- >>173
その理論だと、任意の数をゲットする確率が0になるから、この乱数発生器からは
何一つ数を得ることが出来なくなってしまうよ。
[0,1]から任意の実数を選び出すことが出来るのだから、重み付けを考慮して
確率密度 f(x) = ax を用いて 確率測度を P(E) = ∫f(x) dx で定義する。比例定数は
P(Ω) = 1 から決定される。
とかやっていけば問題としては構わないんだが、連続確率は入試では駄目でなかったかな。
しかも厳密にやるには確率論でやっていかないと不味そうだし。
- 175 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/21 22:12]
- 一辺の長さ１の正三角形と一辺の長さ１で固定された正六角形がある。
この正三角形の二頂点は正六角形の頂点、又は辺を共有している。
この時、残りの一頂点が描く図形を答えよ。
（但し、答える際は、その図形と正六角形の位置関係、及びその図形の式も適当に座標をおき、答えよ）
- 176 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/21 22:27]
- (1)y=x^x、y=x^(x^x) (x>0) の増減を調べ、グラフを描け。
(2)y=x^(x^(x^…^x))…) （n回） (x>0) は極値を何個持つか。
- 177 名前：１３２人目の素数さん [03/12/22 22:06]
- 第1問の484＆646です。
いつの間にやら、第3問までできていたとは。
久々に問題を出します。
整数なので（というか僕の出すのは整数ばっかり）、
高校生には難しく感じる人もいると思いますが、
ここにいる人には簡単かも。
nを２桁の整数とする。
2004(10進法)をn進法で表して、各位の和を計算し、
10進法で表したところ、16となった。
nとして正しいものをすべて求めなさい。
2桁の整数、という条件を外すと、ちょっと面倒になるので、
高校生の入試として30分ではきつくなるかもしれませんね
（もっとも、問題自体は難しくならず、手間がかかるだけ）。
こういった問題を出すとき、もしかして勘違いがないかな、
ってドキドキしますね。
- 178 名前：松井 ◆...VBh.www [03/12/22 22:12]
- 皆さんはじめまして
突然ですがYAHOOのトップにチャットという項目があるのはご存知ですよね？
そちらのチャットのカテゴリの中に「政治」があります
その政治カテゴリのユーザールームに「創価学会YAHOO支部」という部屋があります
そこの部屋に遊びもきてください
ボイスチャットもフル稼働です
みなさんの中にも創価学会に対するご自分の意見をどんどん言ってください
その宣伝でした
尚、人数制限がありますので（５０人）すぐに満室になって入れなくなるので
今これを読みまして興味を持たれた方はおはやめのご入室をお勧めします
- 179 名前：１３２人目の素数さん [03/12/22 22:27]
- なんといいますか、「萌える英単語」に代表されるように「萌え」の力は大きいです。
この先は学習する生徒の側だけじゃなく、教える側
ひいては入試問題を出す側（東大含む）も、萌えを考慮していかなきゃいけないんじゃないでしょうか。
数学ならまず１変数の場合から新たな要素を吟味していくのが適切でしょう。
ex3.2ch.net/test/read.cgi/campus/1072080168/l50
- 180 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/24 22:53]
- >>174
>[0,1]から任意の実数を選び出すことが出来るのだから、重み付けを考慮して
>確率密度 f(x) = ax を用いて 確率測度を P(E) = ∫f(x) dx で定義する。比例定数は
>P(Ω) = 1 から決定される。
>とかやっていけば問題としては構わないんだが、連続確率は入試では駄目でなかったかな。
>しかも厳密にやるには確率論でやっていかないと不味そうだし。
漏れもその方法で考えたけどな。あと、連続確立は範囲外だけど2001年の東大後期で出題されてたよ。
- 181 名前：１３２人目の素数さん [03/12/24 22:56]
- >>180
×確立
○確率
欝だ氏脳・・・
- 182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/24 23:30]
- でも、ちゃんと断り書きが添えてあったね。
- 183 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/25 00:30]
- つか、確率と確率密度をごちゃ混ぜにしたような問題が粗悪なだけで、
連続確率が範囲外かどうかなんかはまた別の話
- 184 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/28 02:07]
- この前類題っぽいのでてたけど、まだこっちの方が計算多いかな？
単位円に内接する正ｎ角形の二頂点間距離の和を求めよ。
ただしｎは３以上の自然数とする。
- 185 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [03/12/28 05:00]
- >>97
ｎ（ｎ－ｋ－１）！／ｋ！（ｎ－２ｋ）！。
- 186 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/28 21:58]
- >>184 n cot(π/(2n))
- 187 名前：１３２人目の素数さん [03/12/29 14:57]
- >>186
正解。
Ｂ＊＊＊ぐらいかな。今回のは
a_1=α（αは正の無理数） a_n+1=[Σ[1,n](a_k)/k] 数列a_nは増加数列とする。
（１）lim[n→∞]Σ[1,n](a_k)/k^2は発散することを証明せよ。
（２）lim[n→∞]Σ[1,n](a_k)/k^3は収束することを証明せよ。
（３）(a_n)/nの取りする値の範囲を求めよ。
- 188 名前：１３２人目の素数さん [03/12/29 15:29]
- ｎ>1で増加数列・・・すまそ
- 189 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/29 18:24]
- >>177
問題を定式化すると、
2004 = a_0 + n a_1 + n^2 a_2 + ... n^k a_k のとき
16 = a_0 + a_1 + a_2 + ... a_k となる n を全て求める、ということになる。
上から下を引いて整理すると、
1988 = (n-1) a_1 + (n^2-1) a_2 + ... (n^k-1) a_k
ここで右辺は(n-1)の倍数。一方、左辺を素因数分解すると、
1988 = 2 * 2 * 7 * 71
よってn-1はこれらを組み合わせて作られる整数。
nが二桁という条件から、n-1 = 14, 28, 71 について確かめれば十分。
n=15のとき 2004 = 8 * 15^2 + 13 * 15 + 9 ...不適
n=29のとき 2004 = 2 * 29^2 + 11 * 29 + 3 ...適
n=72のとき 2004 = 27 * 72 + 60 ...不適
よって n=29 。
---
2桁の制限を外すと、確かめるべきは
n-1 = 2,4,7,14,28,71,142,284,497,994,1988
となる。実際に確かめれば、 n=29,143,285,498,995,1989 のときに成立することが判る。
なんかもっと良い枝刈りがありそうな気もするが、まあいいや。
- 190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/29 18:57]
- >>185
正解。
- 191 名前：１３２人目の素数さん [03/12/30 21:18]
- ３次方程式f(x)=0の解をz_1、z_2、z_3とし、またf`(x)=0の解をα、βとする。
そして複素数平面上に点A(z_1)、B(z_2)、C(z_3)をとった。
この時、点A,B,Cが三角形を成すならば、α、βを焦点とし△ABCの各辺の中点を通る楕円が存在することを証明せよ。
- 192 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/30 23:44]
- >>191
3点で円が定まるからそんな楕円はいくらでも存在する。
おそらく各辺の中点で接する楕円といいたいんだろうが、
誘導がないと知識で差が付くため悪問。
- 193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/30 23:45]
- >>192は問題を読んでなかった。
α、βを焦点とするという条件があるのか。
まあどっちにしろ悪問。
- 194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/31 00:30]
- 早とちり。
- 195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/31 03:32]
- こんな風に変えてみた。
３次方程式f(x)=0の解をz_1、z_2、z_3とし、またf`(x)=0の解をα、βとする。
そして複素数平面上に点A(z_1)、B(z_2)、C(z_3)、D(α)、E(β)をとった。
以下の問いに答えよ。ただし点A,B,Cは三角形を成しているモノとする。
（１）点D,Eが△ABCの内部にあることを証明せよ。
（２）線分DEの中点と、△ABCの重心が一致することを証明せよ。
（３）辺ABの中点をMとした。
(i）角AME=角BMDであることを証明せよ。
(ii)DM+MEをz_1、z_2、z_3及びα、βで表し、定数であることを示せ。
（４）以上のことから△ABCの各辺の中点と接する楕円の焦点はα、βであることを証明せよ。
ただし、楕円の性質に関して必要な事は、楕円がxy平面上でx^2/a+y^2/b=1と表されることで示せ。
こんな感じかな？
- 196 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/31 04:43]
- すまそ。
（３）の(ii)での「定数であることを示せ」はいらないな・・・
- 197 名前：高田 [03/12/31 09:08]
- ２００３年の第二回駿台東大入試実戦の理系ベスト２０
01：現 西大和（奈良）
02：現 ラサール（鹿児島）
03：現 灘（兵庫）
04：浪 東大寺（奈良）
05：浪 神戸女学院（兵庫）
06：浪 灘（兵庫）
07：現 灘（兵庫）
08：現 灘（兵庫）
""：現 灘（兵庫）
10：現 筑駒（東京）
11：現 灘（兵庫）
12：現 灘（兵庫）
13：浪 大阪星光（大阪）
14：現 筑駒（東京）
15：浪 開成（東京）
""：現 開成（東京）
17：現 愛光（愛媛）
18：現 灘（兵庫）
19：現 神戸女学院（兵庫）
20：現 不明（北海道）
- 198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/31 09:20]
- >>195
知識で差が付くため悪問。
- 199 名前：１３２人目の素数さん [04/01/03 23:49]
- nを自然数とする。
（1） 適当な実数a[0], a[1], …, a[n]を用いて
(cosx)^n=a[0]+a[1]cosx+…+a[n]cos(nx)
と表されることを証明せよ。
（2） (1)のa[0], a[1], …, a[n]について
Σ[k=0,n](k^2-n)a[k]
を求めよ。
- 200 名前：１３２人目の素数さん [04/01/04 03:03]
- >>198
受験数学なんてしょせん知識で解くもんじゃん
と県1位だった私は思うニダ
- 201 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/05 00:26]
- >>199
知識で差が付くため悪問。
- 202 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/05 13:07]
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- 203 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/05 13:13]
- >>199
気分的に a[k] = a_k と書かせてもらう. (1) は自明, (2) は簡単, ということで
東大京大レベルじゃあないと思うが..
(1) n についての数学的帰納法を用いる.
0 のとき明らか. n-1 で成立するとする. n のとき
(cosx)^n = (cosx)^n-1 cos(x)
= a_0 cos(x) + Σ[k=1,n-1] a_k cos(kx) cos(x)
= a_0 cos(x) + Σ[k=1,n-1] a_k/2 {cos[(k+1)x]+cos[(k-1)x]}
= Σ[k=0,n] b_k cos(kx)
よって成立する.
(2) (cosx)^n = Σa_k cos(kx) において
x = 0 とすると 1 = Σa_k
両辺を x で2回微分して x = 0 とすると n = Σa_k k^2
従って Σ(k^2-n)a_k = Σk^2a_k - nΣa_k = 0
- 204 名前：199 mailto:sage [04/01/05 17:48]
- >>203
正解。東大京大って意外とこんなもんだと思う。
>>201
知識で差が付くほどのものか？
>>203の解答みたいに2回微分することに気づかなくても
（1）から次のような解答にいたる事はごく自然で解けるはず。
（1）より
(cosx)^n=a[0]+a[1]cosx+…+a[n]cos(nx)
(cosx)^(n+1)=b[0]+b[1]cosx+…+b[n+1]cos(n+1)x
とかける。
（1）の過程からn≧2のとき
b[0]=a[1]/2, b[1]=a[0]+a[2]/2,
2≦k≦n-1のとき b[k]=(a[k-1]+a[k+1])/2
b[n]=a[n-1]/2, b[n+1]=a[n]/2
したがって
Σ[k=0,n+1]{k^2-(n+1)} b[k]
= {1^2-(n+1)}a[0]+Σ[k=1,n]{(k-1)^2+(k+1)^2-2(n+1)}a[k]/2
= (0^2-n)a[0]+Σ[k=1,n](k^2-n)a[k]
= Σ[k=0,n](k^2-n)a[k]
（以下略）
- 205 名前：199 mailto:sage [04/01/05 17:50]
- 確かに
(cosx)^n=a[0,n]+a[1,n]cosx+…+a[n,n]cos(nx)
としなかったのは不親切かもしれなかったと反省。
- 206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/12 00:08]
- 「未解決問題」解くどころかとかれていない問題ばっか増えているな。
ここ最近書き込まれていないし
- 207 名前：177 [04/01/12 05:06]
- >>189
正解です。
簡単だったかもしれませんが、楽しめましたでしょうか？
久々に来てみました。
場合分けの所は、それ以上工夫する必要はないと思います。
- 208 名前：１３２人目の素数さん [04/01/13 02:38]
- 未解決というか、それほど良問でもないからスルーされてるのでは？
>>146の■■３■■（１）出題者か解けた人いたら解答よろ。
- 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/13 06:00]
- おかしい・・・おかしすぎる・・・
わからない問題スレで４回聞いても答えてくれた人はいない。
ヤフー数学カテでもスルー。
これは難問なのでしょうか？
実数集合A={a_i｜1≦i≦n}において
Σ[1≦i≦n]a_i=p、Σ[1≦i≦n](a_i)^2=q（p,q定数）が成り立っている。
Σ[1≦i≦n](ai)^3のとり得る値の範囲を求めよ。
また、最小値、最大値をとるときの集合A(a_i≦a_(i+1),1≦i≦n-1)を求めよ。
ただし、iは自然数、nは3以上の自然数とする。
- 210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/13 13:18]
- >>209
数学科行っている奴にとっては易問
（受験数学の基本ばっか使うだけだし）
- 211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/13 18:54]
- >>210
易問 なんて猿でも言える。
答えが出てないって言ってるんではないの？
- 212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/21 20:55]
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- 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/31 06:00]
- 102
- 214 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/31 08:23]
- 3.1415926535・・・
- 215 名前：１３２人目の素数さん [04/01/31 17:26]
- nは2以上の自然数とし、nCkを(n,k)と書くことにする。
(n,k+1)/(n,k) が0≦k≦n/2-1をみたすすべての整数kで
整数となるようなnを求めよ。
- 216 名前：１３２人目の素数さん [04/01/31 19:16]
- >>215
解なくね？俺の間違いかもしれないけど
- 217 名前：１３２人目の素数さん [04/01/31 19:24]
- >>216
勘違いだと思う。kの範囲を間違えてない？。
- 218 名前：１３２人目の素数さん [04/01/31 19:31]
- >>215
やってみた。
（ｎ＋１）/（ｋ＋１）が題意を満たすｋの範囲で整数にならなければいけない。
ｎが偶数だと、ｋ＋１は奇数でなくてはならなく、ｋは偶数。すると、題意に反する。
よって、ｎは奇数。ｎ＝２ｍ＋１として、２（ｍ＋１）/（ｋ＋１）が整数にならなければならない。
ｋの範囲は、０≦ｋ≦ｍ－１/２。よって、ｋは０，１，２，・・・，ｍ－１。
２（ｍ＋１）が１，２，３，・・・，ｍで割り切られなければならない。
２（ｍ＋１）＝ｍ！でなければならない。
ｍ＝１，２，３，・・・なので、解はない。
- 219 名前：１３２人目の素数さん [04/01/31 19:35]
- >>218
2行目からおかしいわけだが…。
- 220 名前：工棒 [04/01/31 19:39]
- n=2?
- 221 名前：１３２人目の素数さん [04/01/31 19:42]
- >>220
もっとある。
- 222 名前：１３２人目の素数さん [04/01/31 19:44]
- うわ、恥ずかしい(´;ω;`)ｼｮﾎﾞｰﾝ なんつぅ解答したんだろ俺は
- 223 名前：工棒 [04/01/31 19:46]
- n=1,2?
- 224 名前：１３２人目の素数さん [04/01/31 19:48]
- >>223
そもそもn≧2なわけだが。
- 225 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/31 19:50]
- １。
１，１。
１，２，１。
１，３，３，１。
１，４，６，４，１。
１，５，１０，１０，５，１。
１，６，１５，２０，１５，６，１。
- 226 名前：工棒 [04/01/31 20:07]
- (n,k+1)/(n,k) =(n-k)/(k+1) ?
- 227 名前：１３２人目の素数さん [04/01/31 20:08]
- >>226
んだ。
分子のｋ分離しちゃえば見やすいよ
- 228 名前：工棒 [04/01/31 20:13]
- 条件より
(n+2)/n≦(n-k)/(k+1)≦n
(n+2)/n=1+2/n も整数
n≧2 より n=2 になりましたが、ダメですか？
- 229 名前：１３２人目の素数さん [04/01/31 20:15]
- >>228
だめです。
- 230 名前：フォイエルバッハの円 [04/01/31 21:06]
- 直線ｌ上に点Ａ・Ｄ・Ｅ・Ｖが、直線ｍ上に点Ｂ・Ｄが、直線ｎ上に点Ｃ・Ｅがこの順で並んでいる。
半径３５０の円Ｏ１（中心点Ｏ１）が直線ｌ・ｎと点Ａ・Ｃで接しており、
半径不詳の円Ｏ２（中心点Ｏ２）が直線ｌ・ｍと点Ａ・Ｂで接している。
点Ｏ１・Ｏ２・Ａは直線ｋ上にこの順に並んでいる。
∠ＶＥＣ＝∠ＶＤＢ＝６６．４°、ｍからｎに引いた垂線の長さ６としたとき、
円Ｏ２の半径を求めなさい。
必要なら、ｃｏｓ６６．４°＝０．４を使うこと。
- 231 名前：フォイエルバッハの円 [04/01/31 23:29]
- 時間切れですか？？
- 232 名前：１３２人目の素数さん [04/02/07 04:04]
- 29
- 233 名前：京大生 [04/02/07 05:39]
- >>215
(n,k+1)/(n,k)=(n-k)/(k+1)
=(n+1)/(k+1)-1
=n'/k'-1
ここで、n'=n+1 k'=k+1なので、n'≧3 1≦k'≦(n'-1)/2
この条件の下でn'/k'が整数になるような自然数n'を求めればよい。
n'=2m+1(mは自然数)のとき、k'=mを代入すると
n'/k'=(2m+1)/m=Aとなる。(m>0よりAは非負整数とおける)
ゆえに、2m+1=Am⇔1=(A-2)m⇔A=3 m=1なので、n'=3
n'=2m(mは2以上の整数)のとき、k'=m-1を代入すると
n'/k'=2m/(m-1)となる。
ここで、2m/(m-1)>2(m-1)/(m-1)=2
2m/(m-1)≦{2m+(2m-4)}/(m-1)=4
ゆえに、2m/(m-1)=3または4
2m/(m-1)=3のとき、m=3となりn'=6
2m/(m-1)=4のとき、m=2となりn'=4
以上からn'=3，4，6なのでn=2，3，5となる。
このとき、(n,k+1)/(n,k) は0≦k≦n/2-1をみたす
すべての整数kで整数となる。
したがって、求めるnはn=2，3，5となる。
受験生頑張って下さい!！
- 234 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [04/02/07 06:24]
- >>230
344？
- 235 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [04/02/07 06:32]
- 知ってる人は知ってる問題。
三角形ABCにおいて、∠B=60°,Bの対辺の長さbは整数、
他の2辺の長さa,cはいずれも素数である。
このとき三角形ABCは正三角形であることを示せ。
- 236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/07 08:51]
- >>235
それ京大の過去問だろ。
- 237 名前：235 mailto:sage [04/02/07 08:53]
- うん。ばれたか。
- 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/07 11:28]
- めっちゃ昔の兄弟の問題でも覚えてるやついたのに、
んな最近のでごまかせると思ったか。
- 239 名前：235 mailto:sage [04/02/07 11:41]
- いやばれてるつもりで出題したんだが・・・
スマソ
工房だから許してください。
- 240 名前：１３２人目の素数さん [04/02/07 12:09]
- X_n=Σ_[k=1,n](1/n^2)が整数となるのはｎ=1の時のみであることを示せ。
- 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/07 14:50]
- １／ｎが整数だからｎ＝１。
- 242 名前：１３２人目の素数さん [04/02/07 15:07]
- >>241
分数と分数の和が整数にならないこと示さないといけないだろ。
- 243 名前：240 [04/02/07 15:15]
- >>241
そういうこと。
- 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/07 23:46]
- >>235
a>cと仮定する。
b^2=a^2+c^2-acとなるがb^2=(a-c)a+c^2>c^2よりb>c
(b-c)(b+c)=a(a-c)より
b-cまたはb+cがaで割れる。（aが素数であるから）
・b-c=akとなる場合(k>0)
ak(ak+2c)=a(a-c)
(k^2-1)a+(2k+1)c=0となるが左辺>0となるので矛盾。
・b+c=akとなる場合(k>0)
ak(ak-2c)=a(a-c)
(k^2-1)a=(2k-1)cでa>cよりk^2-1<2k-1となるが
このようなkはk=1しかない。この時c=0となるので矛盾。
よってa=cとなる。
もっと簡単に出来る方法はある？
- 245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/08 02:20]
- ａ≦ｂ≦ｃとすると（ｂ＋ａ）（ｂ－ａ）＝ｃ（ｃ－ａ）で
０≦ｂ－ａ＜ｃ＜ｂ＋ａ≦２ｃから０＝ｂ－ａまたはｂ＋ａ＝２ｃ。
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