代数学総合スレッド Part2

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/02/21 07:18] 代数に関する話題全般のスレッドです。 宿題の丸投げは止めましょう。 前スレ 代数学総合スレッド science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/l50 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/01 22:54] 有限整域はどんな整域ですか？ 233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/02 01:51] >>232 体 234 名前：１３２人目の素数さん [03/06/02 02:52] >>233 んなこたぁない 235 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/02 05:18] >>234 んなこたぁない 236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/02 16:50] >>233 特に説明もなく「有限整域」という言葉が出てきたので、どんな整域なのかと思ったのですが。 237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/02 17:26] >>236 その位数が有限である整域。 238 名前：１３２人目の素数さん [03/06/03 00:32] 有限整域ならば体 ってことは、有限体なら可換？ 239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/03 00:34] 整域は可換だろ。 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/03 00:36] >>238 可換ですが何か？ 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/03 02:25] >>238 前スレにも同じ話題が… ウェダバーンの補題だっけ？うろおぼえ 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/03 04:47] >>238 有限斜体は可換体となるってやつか､円分多項式を使ったヴィットの証明が有名だね。 ところで、自由群ってどういう定義をされるものなんでしょう？ 群Gが与えられたときにGが自由群であるというのはどういうことかね？ 243 名前：１３２人目の素数さん [03/06/03 06:18] >>242 んなもん本読ぬで自分で調べられるだろーが 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/03 06:47] 板の死 245 名前：１３２人目の素数さん [03/06/03 19:37] すれ違いかもしれませんが、共立講座の佐武線形はいい本ですか？ 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/03 20:44] >>242 relation が free. 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/08 03:35] (既約な)代数多様体Vで特異点のcodimensionが１の例を教えていただけますか？ dim(V) = １　のときは　Ｖ(ｙ^２−ｘ^３−ｘ^２)　があるんだけど もう少し高次元の例を教えていただけると助かります。 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/10 00:54] >>247 ホイットニー傘ってのがなかったっけ？ はずしてたらｽﾏｿ 249 名前：１３２人目の素数さん [03/06/10 02:03] 皿上げ 250 名前：１３２人目の素数さん [03/06/10 05:14] 釜揚げ 251 名前：247 [03/06/13 21:33] >>248 ありがとうございます。 あとは自分で調べます。 252 名前：247 [03/06/18 08:54] V( X_1*(X_2)^2 - X_(n+2) ,...., X_1*(X_n)^2 - (X_2n) ) だね、 確かに>>247の例になってる。 253 名前：247 [03/06/18 08:57] も一つ ある点がnormalでない(その点での局所化が整閉でない)　→　その点は特異点 って成立しますか? 254 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 09:07] >>253 成り立つ。 255 名前：_ mailto:sage [03/06/18 09:11] homepage.mac.com/hiroyuki44/ 256 名前：(−σ)y─┛~~ mailto:sage [03/06/18 09:23] >>253 非特異点→DVR→normal 257 名前：初歩的な質問 [03/06/18 15:00] E,Fを（可換）体で、 （代数的構造は無視して、）F は E の部分集合、とします。 このとき、E は F の拡大体といえるでしょうか？ 258 名前：mathmania ◆uvIGneQQBs [03/06/18 15:03] Re:>257 いえる。 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 15:15] >>257 いえません。上体とはいうでしょうね。 260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 15:16] >>257-258 ブルバキでも読んどきなw 261 名前：mathmania ◆uvIGneQQBs [03/06/18 15:25] それはつまり、EとFは、同じ演算構造を持っているとは限らないからということか？ 262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 15:41] だね。例えば、F_pをRの集合として埋め込んでも、RはF_pの拡大体ではないね。 263 名前：初歩的な質問 [03/06/18 15:45] ２６２さんの指摘で納得しました。 Thanks!! 264 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 16:33] >>258 うわぁぁ・・・・ 265 名前：mathmania ◆uvIGneQQBs [03/06/18 16:35] うわぁぁ 266 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 17:00] ↑これはいろんなスレでアホなレスしてるから みなさん放置してやって下さいね 267 名前：247 [03/06/18 18:05] >>256 それって１次元のときだけじゃないの？ Hartshorneの本には１章のNonsingular　Curveのところでそんな記述があったけど、 次元が高い時には局所化してもDVRにはならないんじゃないかと思うんだけど・・・？ どっかにいい記述があれば教えていただけるとうれしいです 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/18 18:08] >>267 DVRは1次元。 269 名前：(−σ)y─┛~~ mailto:sage [03/06/18 18:19] >>268 です． >>267 非特異点→UFD→normal たぶんザリスキーサミュエルにあると思う． 270 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 18:27] >>267 環と体１　岩波　の最後の方に載っている。 「ネター局所環に対し、正則⇒UFD⇒正規　が成り立つ。」 271 名前：あぼーん mailto:あぼーん [あぼーん] あぼーん 272 名前：あぼーん mailto:あぼーん [あぼーん] あぼーん 273 名前：１３２人目の素数さん [03/06/18 19:47] みんな、よく、おべんようしてらっさいますね 274 名前：１３２人目の素数さん [03/06/19 02:46] >>271-272 ここ何が書かれてたの？ 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/19 02:50] >>274 くだらないサイトの宣伝。 276 名前：１３２人目の素数さん [03/06/19 05:20] 厳選サイトです pleasant.free-city.net/ 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/19 15:41] >>274 >>276みたいなやつ。 278 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/20 20:34] 線形代数専用のスレッドもほしいなぁ、、、 代数学というほど高度じゃない話題を質問したい。 279 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/20 22:01] 線形性を持つ対象ならいいのだから 程度の高低はあまり関係ないような 280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/20 22:08] このあたりのスレを適当に再利用してみるとか 線形とは science.2ch.net/test/read.cgi/math/1052546466/ ○●◎行列○●◎ science.2ch.net/test/read.cgi/math/1050154598/ 線形代数の余因子行列の解法 science.2ch.net/test/read.cgi/math/996052458/ 281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/21 03:07] 線型代数に関する話題はこちら cheese.2ch.net/math/kako/971/971641965.html ★何が違う？？ベクトル空間とユーグリット空間★ science.2ch.net/math/kako/1002/10023/1002316255.html 楽しい演習---線形代数編 science.2ch.net/math/kako/1014/10142/1014209237.html こんな感じのスレを勃てちまえ 282 名前：247＝ベック ◆hQVt4AKTzI mailto:sage [03/06/21 12:09] >>268-270 ありがとうございます、助かります。 >>280 さすがに「線形代数の余因子行列の解法」の再利用は厳しいだろ（ｗ いまだに落ちない名スレ >>274 実はわしが削除依頼だしてたりする 283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/21 13:36] >>281 たてたよ。 線形代数/線型代数 総合スレッド science.2ch.net/test/read.cgi/math/1056170095/ 検索しやすいように、 「線形代数/線型代数」 と両方の漢字をスレ名に含めておいた。 284 名前：１３２人目の素数さん [03/06/22 19:27] >>282 べっくウザイ。 285 名前：１３２人目の素数さん [03/06/22 20:27] 有限体上の多変数形式的冪級数環でWeierstrassの予備定理が成り立ちますか？ 無限体ならわかるのですが。 変数の適当な一次変換で、０でない非単元がWeierstrass多項式と同伴になることを 示したいのですが。 286 名前：１３２人目の素数さん [03/06/25 23:00] ageぇ。 287 名前：１３２人目の素数さん [03/06/29 22:57] L/Kがガロア拡大のときに Lの単数群/Kの単数群 は有限群ですか？ 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/29 23:05] L=Q(√2),K=Qとすると<1±√2>/{±1}は無限群。 289 名前：１３２人目の素数さん [03/06/29 23:08] >>288 単数群だよ？ 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/06/29 23:16] >>289 L^*/K^*の事なら、これも無限群。（例えばa+√2(a∈Q)という元全体を考えよ） 単数群って、普通は整数環の単数群を意味すると思うが。 291 名前：１３２人目の素数さん [03/06/29 23:29] >>290 ここでは前者の意味でつかってました。 有難うございました。 292 名前：１３２人目の素数さん [03/07/06 17:21] >>287 修論ですか？ 293 名前：１３２人目の素数さん [03/07/06 18:10] >>292 有限群じゃないんだろ？ 294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/06 18:13] >>285 ＞有限体上の多変数形式的冪級数環でWeierstrassの予備定理が成り立ちますか？ Weierstrassの予備定理ってなんすか？ 295 名前：１３２人目の素数さん [03/07/06 21:34] 多変数関数論の基本定理。 この定理により、n変数冪級数環の問題が(n-1)変数冪級数環上の1変数多項式環の問題に帰着出来る。 296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/06 22:33] >>295 正確にはどういうステートメントでつか？なにに載ってます？ 297 名前：１３２人目の素数さん [03/07/06 23:01] 大抵の多変数関数論の入門書に載っている。 以下は、俺が以前書いたもの。 本来の定理はk=C(複素数体)でRは収束冪級数環。 Definition Let k be a field. Let R = k[[X_1, .., X_n, Y]] be the formal power series ring over k. Let f be an element of R. We say f is regular of order s with respect to Y if it satisfies the following condition. 1) f(0,..,0, Y) is not zero. 2) Consider f(0,..,0, Y) as a formal power series of one variable Y. Then s is the least integer such that Y^s has non-zero coefficient in f(0,..,0, Y). Theorem (Weierstrass's Preparation Theorem) Let k be a field. Let R = k[[X_1, .., X_n, Y]] be the formal power series ring over k. Let f be an element of R, regular of order s with respect to Y. Then f can be uniquely expressed in the form: f = u(Y^s + h_(s-1) Y^(s-1) + ... + h_1 Y + h_0), where u is an invertible element of R, i.e. u(0, ... ,0) is not 0 and each h_i is an element of k[[X_1, .., X_n]]. Moreover, h_i(0,..,0) = 0 for all i. 298 名前：１３２人目の素数さん [03/07/06 23:02] >>296 この三冊には載っています。後の話は複素関数論スレッドでどうぞ。 ここはまったり代数学（ｗ 大沢健夫「多変数複素解析」岩波講座　現代数学の展開２ 山口博史「複素関数　応用数学基礎講座」朝倉書店 西野利雄「多変数函数論」東京大学出版会 299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/06 23:10] >>297 thx. てかこれは>>285の質問への肯定的な解答になってる？ 300 名前：１３２人目の素数さん [03/07/06 23:16] >>298 形式的冪級数環でのWeierstrassの予備定理は、代数学に属します。 301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/06 23:29] わからないなら顔出すな。それだけ。 302 名前：１３２人目の素数さん [03/07/06 23:29] >>299 いや、>>285の質問がちょっと間違っていた。有限体上の任意の冪級数がWeierstrass多項式と同伴になるか、 というのが問題。つまり変数の適当な変換でWeierstrassの予備定理が適用出来るようになるか。 つまり、f(0,..,0, Y) が非０になるか。 無限体の場合は簡単。 303 名前：１３２人目の素数さん [03/07/06 23:32] >>302 当然、f(0,...,0) ≠ 0が前提。 304 名前：１３２人目の素数さん [03/07/06 23:42] >>303 間違えた(汗 f≠0かつf(0,...,0)=0が前提。 305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/06 23:49] >>302 つまり問題は解決してないと。 すいません。問題をもうすこし具体的にかいてもらえません。おもしろそうなので。 (もちろんかいてもらってもとけないけど) 設定はkが(有限)体、R=k[[X1･･･Xn,Y]]、f∈Rについて fがどんなときになにが成立してほしいんですか？どこまでは確認済みっすか？ 306 名前：１３２人目の素数さん [03/07/07 00:31] >>305 f≠0かつf(0,...,0)=0のときに変数X1,..,Xn,Yの適当な可逆変換 X1 = u_1(X'1,...,X'n,Y') X2 = u_2(X'1,...,X'n,Y') ... Xn = u_n(X'1,...,X'n,Y') Y = u_(n+1)(X'1,...,X'n, Y') でf(X1,...,Xn,Y) = g(X'1,...,X'n, Y') としたとき、g(0,...,0, Y') ≠ 0 となるか？ ここで、u_1, u_2,...,u_(n+1) はn+1変数の冪級数(または多項式)。 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/08 23:17] 関数体のABC予想ってなんですか？ 308 名前：１３２人目の素数さん [03/07/10 23:56] ｷﾀ━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━!! cgi32.plala.or.jp/mg916/bbs.cgi 309 名前：１３２人目の素数さん [03/07/12 02:02] cgi32.plala.or.jp/mg916/log.txt 310 名前：山崎 渉 mailto:（＾＾） [03/07/12 12:25] 　__∧＿∧_ 　|（　　＾＾ ）|　＜寝るぽ（＾＾） 　|＼⌒⌒⌒＼ 　＼ |⌒⌒⌒~|　　　　　　　　　山崎渉 　　 ~￣￣￣￣ 311 名前：山崎 渉 mailto:（＾＾） [03/07/15 12:51] 　__∧＿∧_ 　|（　　＾＾ ）|　＜寝るぽ（＾＾） 　|＼⌒⌒⌒＼ 　＼ |⌒⌒⌒~|　　　　　　　　　山崎渉 　　 ~￣￣￣￣ 312 名前：１３２人目の素数さん [03/07/16 08:53] 中山の補題って、Zornの補題を使わないと証明できないんですか？ もしえてください。 313 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/16 10:43] cgi32.plala.or.jp/mg916/accuse/ 314 名前：１３２人目の素数さん [03/07/16 21:02] >>312 ネーター環でなければ中山の補題はZornの補題が必要。 Rをネーター環でない可換環、IをRのRと異なるイデアルとする。 このときIを含むRの極大イデアルの存在はZornの補題が必要。 中山の補題はこれを使っている。 315 名前：１３２人目の素数さん [03/07/16 22:01] 写真集だよん☆☆☆☆☆☆ www.sexpixbox.com/pleasant/sexy/index.html 316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/17 19:45] >>306 こんなんできた。まちがってるかも。まちがってたら or 論点がズレてたらｺﾞﾒｿ。 　 以下kを体、R=k[[X1,･･･,Xn]]とする。d=(d1,･･･,dn)に対し X^dをX^d=(X1)^d1･(X2)^d2･･･(Xn)^dnで定める。さらに|d|を |d|=d1+･･･+dnとする。加法的離散付値v:R→Zを v(�蚤_dX^d)=min{|d||a_d≠0} (if �蚤_dX^d≠0) v(0)=∞ で定める。Rはこのvから誘導される距離に関して完備になる。 VをX1･･･Xnによって張られるk係数のベクトル空間とする。 G=GL(V)の作用はk[[X1,･･･,Xn]]にk代数の準同型として 自然に拡張される。またY1,･･･,YnをRのv(Yi)≧2なる元の組、 g∈GL(V)とするときk代数の準同型φ:R→Rで φ(Xi)=gXi+Yiをみたす連続準同型が一意にさだまる。 このような準同型を座標変換とよぶこととする。 このとき以下が成立する。 　 −定理− 0≠F∈R、v(F)=δであるときある座標変換φとRの単元u、 k[[X2･･･Xn]]の元の組G0,･･･,Gδで 　 　uφ(F)=�納i=0,δ]Gi(X1)^i、Gδはk[[X2･･･Xn]]の単元 　 を満足するものが存在する。 　 これを以下で示す 317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/17 19:47] −補題− H=�納|d|=δ]a_d(X^d)を次数δ＜∞のRの斉次元とするとき座標変換φで φ(H)=�巴_d(X^d)、b_(δ,0,･･･,0)≠0を満足するようにとれる。 　 (∵)nに関する帰納法。n=1では容易。n未満で成立していると仮定する。 H=�納|d|=δ]a_d(X^d)を斉次元とする。m=max{k|∃d=(m,*,･･･,*) a_d≠0} とおく。H=�巴_e(X1)^m(X2･･･Xn)^e+�把_d(X^d)、c_d=0 (if d=(m,*,･･･,*)) と分解しておく。K=�巴_e(X2･･･Xn)^eはk[[X2･･･Xn]]の０でない斉次元ゆえ 帰納法の仮定からk[[X2･･･Xn]]の座標変換ψを ψ(K)=�巴_d(X^d)、b_(δ,0,･･･,0)≠0を満たすようにとれる。 これをk[[X1･･･Xn]]に自然に拡張したものもおなじくψとかくこととする。 このときGL(V)の元gをg(X2)=X1+X2,g(Xi)=Xi (if i≠2)でさだめられるものとし φをφ(A)=gψ(A)でさだめられる座標変換とするときこれが求められる 条件を満足することは容易にわかる。□ 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/17 19:47] (定理の証明のスケッチ)Rの付値vをk[[X2･･･Xn]]に制限したものをwとしておく。 0≠F∈R、v(F)=δであるものをとる。Fのδ次の斉次部分をHとする。 補題により座標変換φをφ(H)=�巴_d(X^d)、b_(δ,0,･･･,0)≠0 と表示できるφ=idとして一般性をうしなわない。このとき F=�蚤_k(Xn)^k、a_k∈k[[X2･･･Xn]]、w(a_k)≧δ-k (for i≦δ) が成立する。次をしめす。 　 (Claim) Rの元の列1=r_0,r_1,r_2,･･･でv(b_i)≧i、F(1-r_1)(1-r_2)･･･(r_u)を F(1-r_0)(1-r_1)･･･(1-r_u)=�蚤'_k(Xn)^k、a'_k∈k[[X2･･･Xn]]と表示したとき w(a'_k)≧δ-k (for i≦δ)、a'_k=0 (for δ+1≦k≦δ+u) を満足するようにとれる。 　 u=0ではあきらか。uまで構成できたとする。 F(1-r_0)(1-r_1)･･･(r_u)=�蚤'_k(Xn)^k、a'_k∈k[[X2･･･Xn]]と分解しておく。 w(a'_k)≧δ-k (for i≦δ)ゆえ特にw(a'_δ)=0。つまりa'_δはk[[X2･･･Xn]]の 単元である。ゆえr_u+1を条件をみたすようにとれる。(←しんどくなったので略) 　 上Claimで構成したr_0,r_1,r_2,･･･をとるとき((1-r_0)(1-r_1)･･･(1-r_u))_uは RのCauchy列となる。Rは完備ゆえこれは極限値uをもつ。このuがもとめるものである。□ 319 名前：１３２人目の素数さん [03/07/19 12:06] >>318 非常に興味深いが良く分からない。 φ(H)=�巴_d(X^d)、b_(δ,0,･･･,0)≠0は、b_(0,･･･,0,δ)≠0の間違い？ w(a_k)≧δ-k (for i≦δ)は、w(a_k)≧δ-k (for k≦δ) の間違い？ (1-r_1)(1-r_2)･･･(r_u)は、F(1-r_0)(1-r_1)･･･(1-r_u) の間違い？ >ゆえr_u+1を条件をみたすようにとれる。(←しんどくなったので略) 説明希望。 なお、r_u+1はr_(u+1)と書いたほうがいいね。 320 名前：? mailto:age [03/07/19 12:06] みてね〜♪ cappuccino.h.fc2.com/ 321 名前：１３２人目の素数さん [03/07/19 15:37] こんなに見えちゃってヤバクない？？？ 抜いても抜いても また勃起しまくり・・・ 　↓　↓　↓ ◆◇◆◇　海外サイトだから安心無修正　◇◆◇◆ upbbs.s2.x-beat.com/linkvp/linkvp.html upbbs.s2.x-beat.com/linkvp/linkvp.html ◆◇◆◇　本気汁丸出しのお○○こが！　◇◆◇◆ 322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/19 19:16] ＞φ(H)=�巴_d(X^d)、b_(δ,0,･･･,0)≠0は、b_(0,･･･,0,δ)≠0の間違い？ 　 これはこれでいいす。つまりxy^2+xyzみたいな元を座標変換でx^3+･･･の 形にできるという話です。 　 ＞w(a_k)≧δ-k (for i≦δ)は、w(a_k)≧δ-k (for k≦δ) の間違い？ ＞(1-r_1)(1-r_2)･･･(r_u)は、F(1-r_0)(1-r_1)･･･(1-r_u) の間違い？ 　 はい。まちがいっす。すんまそん。 　 あとClaimの主張で要求する条件に一つ追加です。 (Claim) Rの元の列1=r_0,r_1,r_2,･･･でv(b_i)≧i、F(1-r_1)(1-r_2)･･･(r_u)を F(1-r_0)(1-r_1)･･･(1-r_u)=�蚤'_k(Xn)^k、a'_k∈k[[X2･･･Xn]]と表示したとき w(a'_k)≧δ-k (for k≦δ)、a'_k=0 (for δ+1≦k≦δ+u)、 w(a'_δ)=0　←これ！ を満足するようにとれる。 　 これを示すには次がいえればいいっす。 　 補題 F∈RをF=�蚤_k(Xn)^k、a_k∈k[[X2･･･Xn]]と分解したときδ+1≦v≦u+1について w(a_k)≧δ-k (for k≦δ)、w(a_δ)=0、a_k=0 (for v＜k≦u+1) を満足するときs∈Rを(1-s)F=�蚤'_k(Xn)^k、a'_k∈k[[X2･･･ 　 Xn]]と分解したとき w(a'_k)≧δ-k (for k≦δ)、w(a'_δ)=0、a_k=0 (for v≦k≦u+1)、v(s)≧u-δ を満足するようにとれる。 　 (∵)w(a_δ)=0なのでa_kはk[[X2･･･Xn]]の可逆元ゆえ(a_δ)･b=1となるb∈k[[X2･･･Xn]] がとれる。そこでsとしてs=b(Xn)^(v-δ)ととるとこれがもとめるものである。 323 名前：１３２人目の素数さん [03/07/19 22:54] >>322 残念だが、まだ分からない。 ひとまず、r_0をどうやって求めるのか説明してもらえると有り難い。 ただし、r_0はr_1の間違いかな、ひょっとして？ 324 名前：１３２人目の素数さん [03/07/19 23:08] 気合入っているな。 読む気がしない・・。 325 名前：１３２人目の素数さん [03/07/19 23:11] 　まったくワシの教授は出て行ってしまったわな。後で聞いたら土建屋にゴツイ いやがらせされてた話。いま週一で出て行った先に指導受けにいってる けど、多元で学位は取れんな。ここ数年はマシな教授は出て行くだろうから、 もう多元もオシマイや。ついでにワシも。 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/20 21:10] すみません。modular formのスレよりこちらの方が読者 が多いと思って投稿させていただきます。 この板のmodular formのスレのフサギコ教授の説明から ヒントを得てy~2=（xの重根を持たない3次式）って言うのを 考えた場合にもペー関数など考える時あそこで書いてある 個有値ってものに成るんじゃないかと思ったのですが。 違いますか？ つまり、Ｃ（複素平面）がぺー関数によってトーラス上 に何重にも重なって写像される。 間違っていたらすみませんが誤りも教えて下さい。 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/20 21:43] >>323 もういちどr_0,r_1,r_2,･･･のみたすべき条件を再確認します。 　 (Claim) Rの元の列1=r_0,r_1,r_2,･･･でv(b_i)≧i、F(1-r_1)(1-r_2)･･･(r_u)を F(1-r_0)(1-r_1)･･･(1-r_u)=�蚤'_k(Xn)^k、a'_k∈k[[X2･･･Xn]]と表示したとき w(a'_k)≧δ-k (for k≦δ)、w(a'_k)=0、a'_k=0 (for δ+1≦k≦δ+u) を満足するようにとれる。 　 ここでu=0の場合要求される条件は(for δ+1≦k≦δ+u)に相当するkが存在しないゆえ 事実上要求されるのはw(a'_k)≧δ-k (for k≦δ)、w(a'_k)=0だけでこの条件はもとの a_kがすでにみたしているのでr_u=0ととれば十分です。 　 いささかしょぼい例ですがr_uを構成してゆく例をしめしてみます。 n=2としX1=X、X2=Y、F=XY^2+(1+X)Y^3+(X/(1-X))Y^4+･･･ のような例でやってみます。この場合v(F)=3でw(X^2)=2、w(1+X)=0ゆえ 前提条件をみたしてます。r_0はでよいことはすでに述べたとおり。 r_1はY^4の係数を消すためにr_1=X/((1-X)(1+X))ととります。 これはY^3の係数である1+Xがk[[X]]の可逆元なので可能です。 そしてFに(1-r_0)(1-r_1)をかけてみると F(1-r_0)(1-r_1) =XY^2+(1+X)Y^3+(X/(1-X))Y^4+･･･ -X^2/((1-X)(1+X))Y^3-X/(1-X)Y^4-X^2/((1-X)^2(1+X))Y^5+･･･ =XY^2-{(1+X)-X^2/((1-X)(1+X))}Y^3+(1+X)Y^3+0+･･･ となりY^4の係数を消すことができ、またY^3の係数も変化はしますがもともと 要求されていた条件をみたしている範囲内での変化にとどまっています。 もちろん(1-r_0)(1-r_1)･･･とかけていくとどんどん変化していきますが全体がCauchy列で あるためyに関するべき展開の係数もやっぱりCauchy列になることがしめせるので それは収束してその収束先でもa_δは可逆元、とくにa_δ(0･･･0)≠0であることが 示せます。 あってるような気がしてまふ。確認してよかったらつかってやってくさい。 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/20 21:46] >>326 わーたーしのきおくがたーしかならばー。 たしかそれは正しい。(とおもふ。) 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/20 21:47] >>328 どうもありがとうございます。 330 名前：１３２人目の素数さん [03/07/21 17:15] >>327 正しいような気はするが、一つ疑問があります。 >0≠F∈R、v(F)=δであるものをとる。Fのδ次の斉次部分をHとする。 >補題により座標変換φをφ(H)=�巴_d(X^d)、b_(δ,0,･･･,0)≠0 >と表示できるφ=idとして一般性をうしなわない。 この事実はどこで使ってるのかな？ 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/21 17:54] >>316-318の証明まちがってました。ただし補題の部分はあってるとおもいます。 それ以外の部分を以下にさしかえます。すんまそん。 　 以下(S,w)をCDVRとする。(wは付値イデアルでなく付値。） R=S[[X]]に付値vを v(�把_iX^i)=min{w(c_i)+i}とさだめることにより(R,v)もCDVRになる。 Rの元F=�把_iX^iにたいしT_i(F)をT_i(F)=c_iX^iでさだめる。 Rの元FがT_v(F)(F)≠0を満足するときFをよい元とよぶ。 F=�把_iX^iが次数pのよい元のとき w(c_p)=0、w(c_i)≧p-iを満足する。とくにs_pはSの可逆元である。 容易にF,Gがそれぞれ次数p,qのよい元のときFGは次数p+qのよい元である。 　 Rの元Fと非負整数の組p≦q≦rについて次の条件をかんがえる。 (P1)Fは次数pのよい元である。 (P2)v(T_i(F))≧r-1 (p+1≦i≦q) (P3)v(T_i(F))≧r　 (q+1≦i≦r) 　 この条件を(p,q,r)条件とよぶ。 　 補題１ Fがよい元ならばFは(p,p+1,p+2)条件をみたす。 (∵)自明である。□ 　 補題２ Fがよい元で(p,p,r)条件をみたすならば(p,r,r+1)条件もみたす。 (∵)自明である。□ 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/07/21 17:54] 補題３ Fがよい元で(p,q,r)条件をみたし、p≦qであるならあるG∈Rで v(G)≧r-p-1、F'=F(1-G)が(p,q-1,r)条件をみたすものがとれる。 (∵)F=�把_iX^i (c_i∈S)とする。Fは次数pのよい元なのでc_pは 可逆元である。そこでG=(c_q/c_p)X^q-pと定める。 仮定よりw(c_q)≧r-1-qゆえv(G)≧r-1-p。 よってF'=F(1-G)が(p,q,r)条件を満足することを示せばよい。 1-Gは次数0のよい元ゆえF'は次数pのよい元である。よって(P1)は成立。 またv(F)≧pゆえv_i(FG)≧r-1 (∀i)。 さらにp+1≦i≦q-1についてFが(p,q,r)条件をみたすという仮定から v_i(F)≧r-1であるからv_i(F(1-G))≧r-1。よって(P2)も成立。 最後に(P3)をチェックする。i=qについてはT_q(F(1-G))=0ゆえよい。 q+1≦i≦rをとる。T_i(F(1-G))=(c_i-c_(i-q+p)c_q/c_p)X^i。 p+1≦i-q+p≦r-q+pゆえw(c_(i-q+p))≧r-1-(i-q+p)≧r-i。 また仮定よりv(c_i)≧rであるのでv(T_i(F(1-G)))≧rである。 以上で(P3)を満たすことがしめされた。□

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