純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

252 名前：現代数学の系譜 雑談 [2025/05/13(火) 00:25:27.96 ID:XUAoQ/gK.net] >>233 >どこで収束すると言うかによる ID:mjJBPKO4 は、御大か 巡回ご苦労さまです そうですね 前にも書いたが、昔高校時代に「大学への数学」のコラムに、p進付値についての記事があったのです 非アルキメデスとか 書いてあった記憶があります。当時 妙に感心しました 下記ですね オストロフスキーの定理、 有理数体 Q 上の付値は、3つあり 自明なもの、通常の絶対値、それにp進付値 付値の取り方によって、収束するかしないかは 変わりますよねｗ ；ｐ） (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E6%95%B0 p進数 定義 有理数体 Q の p 進付値が定める距離（p 進距離）dp による完備化を Qp と表し、その元を p 進数と呼ぶ。Qp は Q における四則演算と距離空間の位相とを自然に拡張した演算と、p 進距離により定まる位相構造とを持つ。この四則演算に関して Qp は体をなし、演算はこの距離位相に関して連続である。この両立する演算と位相を持つ位相体 Qp を p 進数体という p 進数体の性質 p 進数が p 進展開と一対一に対応することから、p 進数体は連続体濃度を持つ。Q を部分体として含むので、標数は 0 である。どのように順序を入れても順序体にはできない。実数体 R の代数閉包（複素数体 C）が二次拡大で完備であるのに対し、p 進数体 Qp の代数閉包 Qp は無限次拡大でしかも完備ではない。その完備化は代数閉体であって、Cp と表される。これは複素数体 C と体として同型であるが、同型写像の存在は選択公理に依存しており、具体的に同型写像を与えることはできない 関連文献 加藤文元、中井保行『天に向かって続く数』日本評論社2016 - p進数の入門書 高木貞治「第10章 素数進法(𝖕 進法)」『代数的整数論』(第2版)岩波書店1971 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%AD%E3%83%95%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 オストロフスキーの定理 有理数体 Q 上の全ての非自明な付値は、通常の実数の絶対値か、または、p-進付値に同値であるという定理である 1916年にアレクサンドル・オストロフスキー によって証明された https://en.wikipedia.org/wiki/Ostrowski%27s_theorem Ostrowski's theorem In number theory, Ostrowski's theorem, due to Alexander Ostrowski (1916), states that every non-trivial absolute value on the rational numbers Q is equivalent to either the usual real absolute value or a p-adic absolute value.[1] Theorem statement Let |・|∗:Q→R be any absolute value on the rational numbers. Then either |・|∗=|・|0, or |・|∗ is equivalent to |・|, or |・|∗ is equivalent to |・|p.[1] Proof 略 https://kotobank.jp/word/%E4%BB%98%E5%80%A4-571559 日本大百科全書(ニッポニカ) 「付値」valuation 足立恒雄 たとえば(0)=0,(x)=1 (x≠0)と定義すれば一つの付値が得られる。これを自明な付値という Qを有理数体とし・・ 有理数体の付値にはp進付値と自明な付値と絶対値しか（本質的には）存在しないことが知られている

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