先にも述べたが、ある集合Aから 任意の順で元を取り出して 並べて それを 整楚な全順序とすることができる by 整列可能定理 整列可能定理の正体は、選択公理の化身です。つまり、公理だ。これが、二項関係Ｒの定義についての答えです。整列可能定理を使えばできるよと
(参考) https://de.wikipedia.org/wiki/Mostowski-Kollaps Mostowski-Kollaps Der Mostowski-Kollaps (auch: Mostowski’scher Isomorphiesatz) ist ein Satz aus der Mengenlehre, der zuerst 1949 von dem polnischen Mathematiker Andrzej Mostowski formuliert wurde. Er ist vor allem bei der Konstruktion von Modellen ein wichtiges Hilfsmittel. (google和訳を手直し) https://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/c/cb/Kollaps.PNG 奇数から自然数への崩壊 例 ・ C{1,3,5,・・・}奇数の集合 ≪=＜ 通常の順序とする ≪は、整楚で外延的とする。以下の写像が適用できる π(C)＝ω そしてπ(2n+1)＝n 。したがって、すべての奇数は最小の自由自然数にマッピングされます。だから崩壊という名前がついたのです。 ・<は 良い順序Cで π(C)を順序タイプ(C,<)として、 つまり、一意に決定された順序数(C,<)と順序同型です。したがって、モストフスキー崩壊は順序数定義の一般化として見ることができます (原文独語) Ist < eine Wohlordnung auf C, dann ist π(C)
79 名前： der Ordnungstyp von (C,<), also die eindeutig bestimmte Ordinalzahl, die zu (C,<) ordnungsisomorph ist. Der Mostowski-Kollaps kann also als Verallgemeinerung der Ordinalzahldefinition angesehen werden. (参考 google英訳) Is < a good order on C , then π(C)the order type of (C,<), i.e. the uniquely determined ordinal number that (C,<)is order isomorphic. The Mostowski collapse can therefore be viewed as a generalization of the definition of ordinal numbers .
https://en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem Well-ordering theorem 整列可能定理 In mathematics, the well-ordering theorem, also known as Zermelo's theorem, states that every set can be well-ordered. A set X is well-ordered by a strict total order if every non-empty subset of X has a least element under the ordering. The well-ordering theorem together with Zorn's lemma are the most important mathematical statements that are equivalent to the axiom of choice . []
ふっふ、ほっほ >>74の”Well-ordering theorem 整列可能定理”及びその関連を、百回音読してねｗ >>72より {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・ ↓ {} R {{}} R {{{}}} R {{{{}}}} R ・・・ かように、∈→R と 記号を一般の順序記号Rに置換すれば Rについての 推移性 は、矛盾なく定義できる by 整列可能定理 そんなことは、デフォルトだから 省略して 略記しただけさ（常識の無い人には分からないだろうなｗ）
顔を洗って出直せ！ｗｗｗ ；ｐ）
(参考) https://en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem Well-ordering theorem 整列可能定理 In mathematics, the well-ordering theorem, also known as Zermelo's theorem, states that every set can be well-ordered. A set X is well-ordered by a strict total order if every non-empty subset of X has a least element under the ordering. The well-ordering theorem together with Zorn's lemma are the most important mathematical statements that are equivalent to the axiom of choice .
https://en.wikipedia.org/wiki/Well-order Well-order In mathematics, a well-order (or well-ordering or well-order relation) on a set S is a total ordering on S with the property that every non-empty subset of S has a least element in this ordering. The set S together with the ordering is then called a well-ordered set (or woset).[1] In some academic articles and textbooks these terms are instead written as wellorder, wellordered, and wellordering or well order, well ordered, and well ordering.
>>82 >{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・ > ↓ >{} R {{}} R {{{}}} R {{{{}}}} R ・・・ >かように、∈→R と 記号を一般の順序記号Rに置換すれば >Rについての 推移性 は、矛盾なく定義できる by 整列可能定理 それがバカだと言われてるのに聞く耳持たないからヒトになれないサル
さて １）”自然数全体の成す集合 N が通常の大小関係 "<" に関して整列集合となるという事実は、一般に整列原理と呼ばれる”とある 上記”{} R {{}} R {{{}}} R {{{{}}}} R ・・・”は、ツェルメロの順序数の構成>>82 だから、整列であることは 整列原理の通り 別に、”（選択公理に同値な）整列可能定理”によるとしてもよい ２）”任意の集合が整列順序付け可能であること”は、整列可能定理で保証されている（選択公理を認めれば） 例えば、50人クラスで、50人を 1学期の全試験の点数で整列可能だね（同点の場合は出席簿順とする） 別に、数学の点数だけで、整列も可能だし 担任教師のその日の気分で、整列させることも可能だ。この場合”担任教師のその日の気分”を数学的に厳密に定義する必要は 全くないぞ！ｗ ；ｐ）
>>92 >１）”自然数全体の成す集合 N が通常の大小関係 "<" に関して整列集合となるという事実は、一般に整列原理と呼ばれる”とある > 上記”{} R {{}} R {{{}}} R {{{{}}}} R ・・・”は、ツェルメロの順序数の構成>>82 だから、整列であることは 整列原理の通り ツェルメロの自然数な。ツェルメロの自然数は順序数ではない。用語の定義を知らずに用語使うなバカ。
１）まず、下記 二項関係”X の各元 x, y, z について、x R y かつ y R z ならば x R z となるとき、関係 R は推移的であるという” を押さえておこうね その上で 順序を論じるときに、下記の『順序集合 (P, ≤) に対し、≤ を台 P 上の順序関係ともいう』とあるように 台 集合Pと 順序 ≤ とのペアで、 (P, ≤) と記すことを 思い出そう ２）順序集合の定義については、下記の ja.wikipediaのように、推移律は必須とする そうすると、いまツェルメロの定義した自然数 {},{{}},{{{}}},{{{{}}}},・・・ >>72 の集合をNzと書くと （Nz,∈）は推移律を満たさないが、これを（Nz,R）と書き直して、Rが推移律を満たす(もっと言えば全順序を満たす)と定義すれば>>32 良いってことだね ３）”ツェルメロの自然数は順序数ではない”は、完全に基数と順序数を取り違えているなｗｗ 英文法 one,two,three,・・ が基数で、first,second,third ・・ は序数(＝順序数) ”ツェルメロの自然数は基数ではない”なら、意味が通るよね ４）なお、整列可能定理の順序についての google AI による概要回答以下の通りです ；ｐ） 『整列可能定理とは、任意の集合に整列順序を定義できるという定理です。 つまり、どんな集合でも、各要素が順番に並ぶように順序を定めることができるということです。 この順序は任意に定めることができ、選択公理と同値な命題です。』（by "整列可能定理 順序は任意" に対する回答） ツッコミ お願いしますｗｗｗ ；ｐ）
(参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E9%96%A2%E4%BF%82 二項関係 定義 二項関係 R は通常、任意の集合（または類）X, Y とそれらの直積 X × Y の部分集合 G の順序三つ組 (X, Y, G) として定義される。このとき、集合 X および Y はそれぞれこの関係の始集合 (domain) および終集合 (codomain) と呼ばれ、G はこの関係のグラフと呼ばれ、G(R) と表すこともある。 R が関係 (X, Y, G) であるとき、(x, y) ∈ G となることを、「x は y と R-関係を持つ」などといい、x R y や R(x, y) で表す。後者は、対の集合 G の指示函数として R を見ることに対応する。 始集合 X と終集合 Y が同じ場合であっても、対の各要素の順番は重要で、a ≠ b ならば a R b および b R a はそれぞれ独立に真にも偽にもなりうる。
集合上の関係 推移的 (transitive) X の各元 x, y, z について、x R y かつ y R z ならば x R z となるとき、関係 R は推移的であるという。 「先祖である」という関係は推移的である。実際、x が y の先祖で、y が z の先祖ならば、x は z の先祖である
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88 順序集合 定義 まず、二項関係について以下の用語を定める。 ここで P は集合であり、「≤」を P 上で定義された二項関係とする。 ・反射律：P の任意の元 a に対し、a ≤ a が成り立つ。 ・推移律：P の任意の元 a, b, c に対し、a ≤ b かつ b ≤ c ならば a ≤ c が成り立つ。 ・反対称律：P の任意の元 a, b に対し、a ≤ b かつ b ≤ a ならば a = b が成り立つ。 ・全順序律：P の任意の元 a, b に対し、a ≤ b または b ≤ a が成り立つ。
前順序・半順序・全順序 P を集合とし、≤ を P 上で定義された二項関係とする。 ・≤ が反射律と推移律を満たすとき、≤ を P 上の前順序（英語版） (preorder) または擬順序 (quasiorder) という。 ・≤ が前順序でありさらに反対称律を満たすとき、≤ を P 上の半順序 (partial order) という。 ・≤ が半順序でありさらに全順序律を満たすとき、≤ を P 上の全順序 (total order) という。
>>100 > なんか、急にレベルが落ちたね いいや 君が自分の本来のレベルに気づいただけ > まず、二項関係”X の各元 x, y, z について、x R y かつ y R z ならば x R z となるとき、関係 R は推移的であるという”を押さえておこう 悪いが、そんな初歩的なことはみんな知ってる 君が今、気づいたんだろ？ それを認めよう ６０過ぎた今、やっと気づいた、と > 順序集合の定義については、推移律は必須とする 悪いが、そんな初歩的なこともみんな知ってる 君が今、気づいたんだろ？ それを認めよう ６０過ぎた今、やっと気づいた、と > そうすると、いまツェルメロの定義した自然数 {},{{}},{{{}}},{{{{}}}},・・・ >>72 の集合をNzと書くと >（Nz,∈）は推移律を満たさないが、これを（Nz,R）と書き直して、Rが推移律を満たす(もっと言えば全順序を満たす)と定義すれば良いってことだね そういう雑な言い方じゃダメ １．a∈b⇒aRb ２．aRb ＆ bRc⇒a&c この２つを満たす、という必要がある 君、論理式も満足に書けないの？ それじゃ大学数学は無理だよ
>>93 (引用開始) >”自然数全体の成す集合 N が通常の大小関係 "<" に関して整列集合となるという事実は、一般に整列原理と呼ばれる”とある >”{} R {{}} R {{{}}} R {{{{}}}} R ・・・”は、ツェルメロの順序数の構成だから、整列であることは 整列原理の通り そのままでは２行目はアウトね Ｒ＝∈なら、∈は順序の性質を満たさないから、順序数の構成ができてない Ｒ≠∈なら、Ｒを具体的に定義せねば、順序数の構成ができてない >別に、”（選択公理に同値な）整列可能定理”によるとしてもよい 全然トンチンカン そういう馬鹿文は書かないのが利口 (引用終り)
ふっふ、ほっほ １）>>100より”整列可能定理の順序についての google AI による概要回答以下の通りです ；ｐ） 『整列可能定理とは、任意の集合に整列順序を定義できるという定理です。 つまり、どんな集合でも、各要素が順番に並ぶように順序を定めることができるということです。 この順序は任意に定めることができ、選択公理と同値な命題です。』（by "整列可能定理 順序は任意" に対する回答）” つまり、（任意の）ある集合について、 ”この順序は任意に定めることができ、選択公理と同値な命題です”よね ２）下記の集合についての記法で おおまかに2通りの方法がある 要素を列記して {1,3,5,7,9} と表記する方法 { x | x は 10 未満の正の奇数 }と表記する方法 、抽象的には 条件 P(x) があったとき、それをみたす対象だけを全て集めた集合を、 {x ｜ P(x)}と表記する ３）つまり、");
//]]>-->
>>107 >３）つまり、>>92の”{} R {{}} R {{{}}} R {{{{}}}} R ・・・”は、外延的記法で 順序を列記したと思え！！ｗ ；ｐ） > それを、集合論ど素人が 内包表記でないから といって ばかなイチャモンつけているとしか思えない 未だに何を指摘されてるかすら分かってないバカ。
さらに 下記 ”しかし、整列定理を視覚化することは困難、あるいは不可能であると考えられている。 R、すべての実数の集合である。そのような視覚化には選択公理を組み込む必要がある。[ 5 ] （原文：However, it is considered difficult or even impossible to visualize a well-ordering of R, the set of all real numbers; such a visualization would have to incorporate the axiom of choice.[5]）” とあるのを 百回音読してねｗ ；ｐ）
君は、下記の”整列定理を視覚化することは困難、あるいは不可能であると考えられている （However, it is considered difficult or even impossible to visualize a well-ordering of R, the set of all real numbers; such a visualization would have to incorporate the axiom of choice）” を、整列不可能と 勘違いしているね！！ｗｗ
(参考) https://en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem Well-ordering theorem （google訳） 歴史 ゲオルク・カントールは、整列定理を「思考の基本原理」とみなした。[ 4 ] しかし、整列定理を視覚化することは困難、あるいは不可能であると考えられている。 R、すべての実数の集合である。そのような視覚化には選択公理を組み込む必要がある。[ 5 ] （原文：However, it is considered difficult or even impossible to visualize a well-ordering of R, the set of all real numbers; such a visualization would have to incorporate the axiom of choice.[5]） 1904年、ギュラ・ケーニヒは、そのような整列は存在し得ないことを証明したと主張した。数週間後、フェリックス・ハウスドルフは証明に間違いを見つけた。[ 6 ] しかし、第一階述語論理では、整列定理は選択公理と等価であることが判明した。 つまり、選択公理が含まれたツェルメロ–フランケル公理は整列定理を証明するのに十分であり、 逆に、選択公理は含まれないが整列定理が含まれたツェルメロ–フランケル公理は選択公理を証明するのに十分である。 （同じことはゾルンの補題にも当てはまる。） しかし、第二階述語論理では、整列定理は選択公理よりも厳密に強い。 すなわち、整列定理から選択公理を演繹できるが、選択公理から整列定理を演繹することはできない。[ 7 ] (引用終り) 以上
