高校数学の質問スレ Part414

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sagete [2021/09/05(日) 15:02:06.36 ID:WtBG6gHf.net] 【質問者必読！！】 まず>>1-4をよく読んでね 数学@5ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例 mathmathmath.dotera.net/ ・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など） ・問題の写し間違いには気をつけましょう。 ・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。 　　（× x+1/x+2　；　 ○((x+1)/(x+2)) ） ・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。 　どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。 　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。 ・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 　（トリップの付け方は　名前(N)に　俺！#oretrip　←適当なトリ) ・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。 　でないと放置されることがあります。 　（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように） ・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。 　それがない場合、放置されることがあります。 　（特に、自分でやってみたのに合わないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように） ・回答者も節度ある回答を心がけてください。 ・970くらいになったら次スレを立ててください。 ※前スレ 高校数学の質問スレ Part413 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1624358305/ 201 名前：１３２人目の素数さん [2021/09/28(火) 13:36:37.00 ID:KSxA9A+q.net] 数学の図形問題を考えている時、面白い問題を思いつきました。 独自に思いついたのですが、もしかすると過去別の人が同問題をつくっていたかも知れません。 中学生でも解ける問題かと思いますが、適当な板が見当たらなかったので、こちらに書かせて頂きます。 いずれにせよ、チャレンジしてみて下さい。 答えと問題の評価を頂けると嬉しいです。よろしくお願いします。 タイトル【壁に立て掛けた棒】 https://imgur.com/AEJpasb.jpg 202 名前：１３２人目の素数さん [2021/09/28(火) 13:42:14.58 ID:4D7YRg3L.net] >>201 棒を直径とする円を考えれば、直角である「角」はその円周上にある よって仮想線の長さは円の半径すなわちL/2に等しい 203 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/09/28(火) 16:46:31.98 ID:ED+tdwHx.net] サイコロイド ・上限は Aの軌跡とBの軌跡のうち上にある方。これらは 　(x, y) = (π/2, 1+sin(Do))　(3π/2, 1+sin(Do)) で交差する。 　1 + sin(Do) = 1.67361203 面積は ∫[0, π/2-Do] (1+cosθ)^2 dθ　　　　　… B = ∫[π/2+Do, π] (1-cosθ)^2 dθ　　　　… A = ∫[π, 3π/2-Do] (1-cosθ)^2 dθ　　　　… A = ∫[3π/2+Do, 2π] (1+cosθ)^2 dθ　　　　… B = (1/2)Do{1+sin(Do)} + 3π/4 の4個で 　2Do{1+sin(Do)} + 3π = 11.89866150 ・下限もサイクロイドで、Aの軌跡を 1/2 に縮小したもの。 　面積 3π × (1/4) × 2個 = 3π/2, 辺々引いて 　2Do{1+sin(Do)} + 3π/2 = 7.18627252 Dottie number Do = 0.73908513321516 cos(Do) = Do の実根 oeis.org/A003957 204 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/09/28(火) 17:21:15.31 ID:dfZnsbaH.net] 「存在する」の定義を教えてください 数学科の専門書のような堅苦しい定義でなくて、問題を解くためのテクニック的な説明でお願いします というか、「存在しない」の例を教えてください 存在することの証明問題を解きたいんで。 例えばどういうときに「〜〜は存在しない」といえるんですか 205 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/09/28(火) 17:27:21.19 ID:QLQBN+Gv.net] >>193 御指摘ありがとうございます。(0,2)を(2,0)と見間違いしていました。 動画を作り直しました。 https://i.imgur.com/dzW3LXp.gif 206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/09/28(火) 17:33:18.44 ID:yGdLFvlQ.net] 中学受験する小学生なら解ける問題だな 設定が大げさ過ぎの感はある 207 名前：イナ mailto:sage [2021/09/28(火) 17:36:30.62 ID:XhEQFA7m.net] 前>>199 >>201 長方形の対角線はたがいに他を二分するから、 一方の長さが題意によりL 他方の分岐点からの長さはL/2 ∴示された。 208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/09/28(火) 18:29:41.09 ID:KU6RXH4q.net] >>204 何か解きたい証明問題挙げてみて 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/09/28(火) 20:13:58.36 ID:dfZnsbaH.net] >>208 解きたいというか答えまで知ってますが 例1 分数1/(x-1) は lim_[x→1]1/(x-1)→∞　なのでx=1不連続である 例2 ガウス記号[x]は lim_[x→1-][x]=0 lim_[x→1+][x]=1 左側極限と右側極限が一致しないからx=1不連続である つまり、「存在しないこと」の例として「∞である」「右側極限と左側極限が一致しない」 があることは把握してます でもこの時点で意味不明です.。　 「∞は存在しない」ってどういう意味ですか。「∞」という記号で表せていることで「存在している」とは言えないのでしょうか あと「右側と左側が一致しないから存在しない」となる理由も分かりません 受験でよく出る例を２つ挙げましたが、 「∞であること」または「右側と左側が一致しないこと」が「存在しないこと」の必要十分になってるのかも、「存在しない」の定義が不明のため考察不可能です 210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/09/28(火) 20:23:46.45 ID:dfZnsbaH.net] 補足 「不連続である」と「存在しない」 は同値らしいです 少なくとも高校数学の参考書はそのような解釈を要求しています それが意味不明なのです あと細かいですが訂正 例1 誤 lim_[x→1]1/(x-1)→∞ 正 lim_[x→1]1/(x-1)＝∞ 211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/09/28(火) 20:30:30.09 ID:dfZnsbaH.net] さらに訂正、大事なところなので x=1不連続である ↓ x=1で不連続である 212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/09/28(火) 20:34:45.39 ID:e2+Y/pVf.net] 「∞である」⇒「それを満たす有限確定値は存在しない」 「右側極限と左側極限が一致しない」 ⇒「それを満たす連続関数は存在しない」 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/09/29(水) 02:38:20.58 ID:oDY2s6as.net] >>204 扱っている条件を満たす対象の全体がなす集合が空集合のとき。 214 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/09/29(水) 03:19:05.83 ID:lKJ2KBeg.net] >>201 棒の中点から床に垂線を下ろす。 垂線⊥床、壁⊥床　だから 　垂線 // 壁 中点連結定理により、 垂線の足はカドと棒の足の中点。 二辺挟角相等により2つの直角�凾ﾍ合同 斜辺の長さも等しい。 >>207 　棒の中点の周りに180°回転したものと合わせた四辺形を考える。 　対辺が平行だから平行四辺形で、対角線は互いに他を二等分する。 　１つの角が直角だから長方形である。後ry) 215 名前：１３２人目の素数さん [2021/09/29(水) 09:49:41.32 ID:qT6raZfM.net] xy平面上に円(x-1)^2+y^2<1と円(x+1)^2+y^2<1がある。 これらの円をともに内部に含む三角形のうち、面積が最小のものはどのような三角形か。 これは正三角形になるでしょうか？ 216 名前：１３２人目の素数さん [2021/09/29(水) 13:30:17.74 ID:Kfp9MUIs.net] ∫1/x∫(logx)/(1-x) dx dx 217 名前：１３２人目の素数さん [2021/09/29(水) 13:30:45.72 ID:sGvGS8gA.net] 教えて下さい 218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/09/29(水) 16:20:27.74 ID:tuBBNhRQ.net] 全ての人々は原初のふるまいに起因する欲望の原罪を負っているので人間は理性にで神の実在を論証していく過程を通して、この欲望から解き放たれてやがては救われるのです。 219 名前：イナ mailto:sage [2021/09/29(水) 19:31:17.06 ID:tV+FXZsw.net] 前>>207 >>215 正三角形のとき(1+√3)(1+2+√3)=(1+√3)^2√3 =(4+2√3)√3 =6+4√3 ＞(2+√2)^2=6+4√2 斜辺45°のほうがわずかに小さい。 ∴示された。 220 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/09/29(水) 20:31:18.49 ID:CEM43IvR.net] このスレの皆様は酒飲むの？酒は脳みそにも悪いけど。 221 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/09/30(木) 03:23:22.25 ID:hn+yThHP.net] 脳みそ悪くてｽﾏｿ。 >>219 x<0, x>0 を別々に考えて、あとで合体すればいいのか。 2直線(固定) と円周の接線 を三辺とする�凾�考える。 接点を少しずらしたとき傾きがδずれたとする。 �凾ﾌ面積の変化は ほぼ (1/2)(L1^2 - L2^2)δ 　L1 = (接点から直線1との交点までの) 接線の長さ, 　L2 = (接点から直線2との交点までの) 接線の長さ �凾ﾌ面積が最小となる条件は　L1=L2 円の中心が 2直線の二等分線上にあるときは 対称性より 二等辺三角形のときに面積が最小となる。 本問では 底辺(y=-1) と壁(x=0) は直交するから 斜辺45° で 面積は最小 6+4√2 222 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/09/30(木) 04:39:47.59 ID:hn+yThHP.net] >>215 正三角形にはならない。 x<0, x>0 を別々に考え、あとで合体してよい。 直角�凾ﾌ 直辺a, b　斜辺c とすると 面積S=ab/2. 内接円の半径rは 　r = (a+b-c)/2 　= ab/(a+b+c) 　= 2S/(a+b+c) 　≦ 2S/{2(1+√2)√S}　　(*) 　= (√S)/(1+√2), ∴ S ≧ (1+√2)^2 = 3 + 2√2, *　a + b + c = a + b + √(aa + bb) 　≧ (1+1/√2)(a + b) 　≧ (2+√2)√(ab) 　= 2(1+√2)√S, 等号成立は a=b すなわち 直角二等辺�� のとき 223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/09/30(木) 04:48:40.79 ID:hn+yThHP.net] (補足) 内接円の中心から各辺に垂線を下ろす。斜辺cは 　c = (a-r) + (b-r), と分割される。 ∴　r = (a+b-c)/2 = ab/(a+b+c), 224 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/09/30(木) 10:05:59.51 ID:hn+yThHP.net] >>221 斜辺の傾角がθの直角�� (0<θ<90°) 底辺　(1+sinθ+cosθ)/sinθ = 1 + cot(θ/2), 高さ　(1+sinθ+cosθ)/cosθ = 1 + cot((90-θ)/2), S(θ) = (1+sinθ+cosθ)^2 /(2sinθ･cosθ) 　　= (1/2){1+cot(θ/2)}{1+cot((90-θ)/2)}, θ=45°のとき最小 6+4√2, 225 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/09/30(木) 10:55:43.05 ID:hn+yThHP.net] >>216 部分積分で 　∫ (1/x) Li2(1-x) dx = log(x) Li2(1-x) - ∫ log(x) {Li2(1-x)}' dx 　　= log(x) Li2(1-x) - ∫ log(x)^2 /(1-x) dx 　　= log(x) Li2(1-x) + log(x)^2 log(1-x) - 2 ∫ log(x) log(1-x)/x dx 　　= log(x) Li2(1-x) + log(x)^2 log(1-x) + 2 ∫ log(x) {Li2(x)}' dx 　　= log(x) Li2(1-x) + log(x)^2 log(1-x) + 2 log(x) Li2(x) - 2 ∫ Li2(x)/x dx 　　= log(x) Li2(1-x) + log(x)^2 log(1-x) + 2 log(x) Li2(x) - 2 ∫{Li3(x)}' dx 　　= log(x) Li2(1-x) + log(x)^2 log(1-x) + 2 log(x) Li2(x) - 2 Li3(x), 226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/09/30(木) 15:57:43.93 ID:YFWp2mkW.net] pが素数の整数問題で解答は上手い変形と 判別式で1<p<3 みたいに絞ってp=2 なんですが 自分の解答は全然解き方浮かばなくて p=2のときに成立すること p≧3のときは成立しないのを力技でやりました たまたま正解の形になってはいるんですが 2次試験の採点では減点されますか？ 227 名前：１３２人目の素数さん [2021/09/30(木) 17:46:16.24 ID:V60/AS00.net] 一定量の水が内径20cmの球の中に入っている。 (1)球に半径2cmの鉄球を入れたとき、ちょうど水面と鉄球が接した。水の量はいくらか。 (2)球に半径r(0＜r＜10)cmの鉄球を入れたとき、ちょうど水面と鉄球が接するための水の量をrを用いて表せ。 228 名前：１３２人目の素数さん [2021/09/30(木) 18:06:38.24 ID:I3KIVDFU.net] >>226 2と奇素数に分けるのは立派な方針 内容が正しければ減点されないよ 229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/09/30(木) 20:46:08.74 ID:O2tnDDTf.net] >>227 外球半径: R, 鉄球半径: r, 水量: W として立式 する π∫[-R,-R+2r] (R² - z²) dz = W + (4/3) π r³ [左辺] = πR².(2r) - π.(1/3).((-R+2r)³ + R³) = 4π Rr² -(8/3)π r³ よって W = 4π Rr² -(8/3) π r³ - (4/3) π r³ = 4π r² (R- r) この種の積分計算が高校数学の範囲なのかは知らない もっと幾何的な解法があるのかもしれない https://o.5ch.net/1v364.png 230 名前：１３２人目の素数さん [2021/09/30(木) 22:46:53.35 ID:YFWp2mkW.net] >>228 ありがとうございました 解答の上手いやり方も練習してみます 231 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/09/30(木) 23:04:40.72 ID:BzL2RI+e.net] >>228 それがそうでもないんだよな 解答が回りくどく冗長な場合は論理的な瑕疵がなくても減点の対象となる場合がある ソースは森毅の「数学受験術指南」 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/09/30(木) 23:20:11.27 ID:XIdNooeX.net] 例えば何かが偶数では成り立つことを示したあとで4の倍数の場合の証明始めたらダメだろうけど、 方針の結果冗長になった程度では減点されないと思うけどな 233 名前： mailto:sage [2021/10/01(金) 03:35:15.59 ID:cQ7RSX1m.net] 前>>219 >>227 (1)V=π∫[t=0→4]｛20^2-(20-t)^2｝dt-(4π/3)2^3 =π∫[t=0→4](40t-t^2)dt-32π/3 =π[20t^2-t^3/3](t=4)-32π/3 =π(320-64/3)-32π/3 =π(960-96)/3 =864π/3 =288π (2)(1)と同様に4を2rに置き替えて、 V2=π[20t^2-t^3/3](t=2r)-4πr^3/3 =π(80r^2-8r^3/3)-4πr^3/3 =80πr^2-4πr^3 234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/01(金) 07:04:00.97 ID:y+GdRVMF.net] >>224 　0 < θ < 90°　より　sinθ>0, cosθ>0 　(1+sinθ+cosθ)^2 - (1+√2)^2･(2 sinθ cosθ) 　= (1+sinθ+cosθ)^2 - (1+√2){(sinθ+cosθ)^2 - 1} 　= 2{(2+√2) + (sinθ+cosθ) - (1+√2)(sinθ+cosθ)^2} 　= 2(1+√2)(1+sinθ+cosθ)(√2 -sinθ-cosθ) 　≧ 0, ∴　S(θ) ≧ (1+√2)^2. *)　(sinθ+cosθ)^2 = 1 + sin(2θ) ≦ 2, 235 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/01(金) 19:31:09.13 ID:d5cwFI86.net] >>219 イナさんは数検とか興味ない？ 236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/02(土) 16:36:26.38 ID:gfHy/Z2w.net] 〔類題〕 3次元空間に2つの球 　(x-1)^2 + y^2 + z^2 < 1, 　(x+1)^2 + y^2 + z^2 < 1, がある。 これらの球をともに内部に含む四面体のうち、 体積が最小のものはどのような四面体か。 237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/02(土) 22:14:12.32 ID:Z2GsKsmX.net] >>236 スレチ 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/02(土) 22:14:40.01 ID:eeNUcWwt.net] >>236 邪魔だから二度と書き込まないでくれ 239 名前：イナ mailto:sage [2021/10/02(土) 23:32:50.39 ID:Nm3PZg+h.net] 前>>233 >>236 モンシロチョウの蛹のようなx軸方向に細長い、 yz平面について面対称な細長い四面体になる。 xy平面についてかならずしも面対称である必要はないが、 たとえば四面体の最長辺を(-a,-1,0)と(a,-1,0)とすると、 四面体のy方向の最上辺(0,b,0)はピタゴラスの定理により、 a^2+(b+1)^2=(a-1+b)^2 a^2+b^2+2b+1=a^2+b^2+1-2a-2b+2ab 2b=-2a-2b+2ab b≠1だからa=2b/(b-1)だが、 実際にはy=-1-cに最長辺をとらないと、 二個の玉がデカすぎて斜面抉ってまうで、 そうして。 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/03(日) 01:24:46.71 ID:MhVbttRS.net] 最長辺を (-a,-1-c,0) 〜 (a,-1-c,0) とすると x軸に平行で、 　-1-c = -1/(cosα), 　a = �凉/(tanβ), y方向の最上辺を (0,b,z) とすると z軸に平行で 　b = (1+sinβ)/(cosβ) 　�凉 = b - (-1-c) = b+c+1, ですね。 最長辺で2面がなす角を π-2α, 最上辺で2面がなす角を π-2β とした。 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/03(日) 02:39:37.37 ID:MhVbttRS.net] y軸方向を上とすれば 最長辺(最底辺)はx軸方向に延びる谷底で 　斜面の傾角：α 　y = -1-c = -1/(cosα), 　長さ：　2a = 2�凉/(tanβ) 最上辺はz軸方向に延びる尾根で 　斜面の傾角：β 　y = b = (1+sinβ)/(cosβ), 　長さ：　2�凉/(tanα) 上から見れば菱形に見える… 242 名前：イナ mailto:sage [2021/10/03(日) 04:15:54.03 ID:bS7bZlkg.net] 前>>239改めて最初からつづき。 >>236 モンシロチョウの蛹のようなx軸方向に細長い、 yz平面について面対称な細長い四面体になる。 xy平面についてかならずしも面対称である必要はないが、 たとえば四面体の最長辺を(-a,-1,0)と(a,-1,0)とすると、 四面体のy方向の最上辺(0,b,0)はピタゴラスの定理により、 a^2+(b+1)^2=(a-1+b)^2 a^2+b^2+2b+1=a^2+b^2+1-2a-2b+2ab 2b=-2a-2b+2ab b≠1だからa=2b/(b-1) z軸の正の方向から見て直角三角形の相似より、 最長辺の長さ=2a(b+1+c)/(b+1) x軸の正の方向から見て四面体の断面積が最小になるのは正三角形のときだから、 1+c=2b c=2b-1 四面体の体積V(b)は、 V(b)=2(1/3)(3b^2√3)｛2b/(b-1)｝(b+1+2b-1)/(b+1) =12b^3√3/(b^2-1)^2 微分して、 V'(b)=｛36b^2√3(b^2-1)-24b^3√3・b｝/(b^2-1)^2=0として、 36b^4√3-24b^4√3-36b^2√3=0 12b^2-36=0 b=√3 (あるいはそうかもしれん‼︎) 最長辺の長さ=2a(b+1+c)/(b+1)=2・2b・3b/(b-1)(b+1) =12b^2/(b^2-1) =12・3/(3-1) =18 四面体の体積の最小値は、 V(√3)=12(3√3)(√3)/(3-1) =54 243 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/03(日) 06:23:11.54 ID:MhVbttRS.net] 3軸方向の長さは 　2�凉/(tanβ),　�凉,　2�凉/(tanα), 　ただし �凉 = b+c+1, 四面体の体積は 　V = (1/6){2�凉/(tanβ)・�凉・2�凉/(tanα)} 　　= (2/3)(�凉)^3 /(tanα･tanβ) 　　= (2/3)(b+c+1)^3 /(tanα･tanβ), 32.5127 ぐらいに収まるといいけど… 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/03(日) 11:48:18.48 ID:MhVbttRS.net] 菱形の対角線の長さは 2�凉/(tanβ) と 2�凉/(tanα), 菱形の面積は 2(�凉)^2 /(tanα･tanβ), 菱形柱の体積は 2(�凉)^3 /(tanα･tanβ), その 1/6 の三角錐４つを切り落とせば 1/3 が残る。 　V = (2/3)(�凉)^3 /(tanα･tanβ), 245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/03(日) 15:45:09.30 ID:SEWBD8Tq.net] >>244 不正解 積分が間違ってる 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/03(日) 16:41:04.09 ID:1gWSLn+5.net] 9を掛けて1を足して三角数となる自然数はすべて三角数である(いかなる三角数であろうと9を掛けて1を足すと必ず三角数になる) 任意の三角数が3で割り切れないということは、必ず9で割って1余るということであり、ある三角数に9を掛けて1を足した数である これは同値と見て良いですか? 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/03(日) 17:43:01.84 ID:w8Yg2w3b.net] n が三角数でn≡1 ( mod 9 ) ⇔∃x n = ( 3x +1 )( 3x + 2 ) / 2 ⇔∃x n = 9x(x+1)/2 + 1 ∴ 9を掛けて1を足して三角数となる自然数はすべて三角数である は真 9x(x+1)/2 +1 = ( 3x +1 )( 3x + 2 ) / 2 ∴いかなる三角数であろうと9を掛けて1を足すと必ず三角数になる) は真 nが三角数で3で割り切れない →∃x n = ( 3x +1 )( 3x + 2 ) / 2 →∃x n = 9x(x+1)/2 + 1 ∴任意の三角数が3で割り切れないということは、必ず9で割って1余るということであり、ある三角数に9を掛けて1を足した数である は真 これは同値と見て良いですか? 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/03(日) 20:07:37.85 ID:MhVbttRS.net] nが三角数のとき 　n = k(k+1)/2, 　n-1 = (k-1)(k+2)/2　　ここに　k-1 ≡ k+2　(mod 3) よって、次のいずれか一方が成立 ・n-1 ≡ 0　(mod 9) 　⇔　k = 3x+1 　⇔　n = 9{x(x+1)/2} + 1, ・n-1 ≠ 0　(mod 3) 　⇔　k ≡ -1 or 0　(mod 3) 　⇔　n = k(k+1)/2 ≡ 0　(mod 3) 249 名前：イナ mailto:sage [2021/10/04(月) 03:39:44.51 ID:5UnJlcgN.net] 前>>242 >>238 2球の接するyz平面による四面体の断面が正三角形になるとき、四面体の体積は最小になるから、 四面体の4つの頂点を、 (a,-c,0),(-a,-c,0),｛0,b,(b+c)/√3｝,｛0,b,-(b+c)/√3｝とおくと、 四面体の体積Vは、 V=(2/3)(b+c)^2/√3・a z軸方向から見た直角三角形の立面図より、 (0,b,0)と球の中心(1,0,0)を通る直線がy軸となす角θについて、 tanθ=1/b tan2θ=a/(b+c)=2tanθ/(1-tan^2θ)=2/b(1-1/b^2) V=(2/3)(b+c)^2/√3・a b=√3,c=2のとき、 θ=30° a=(2+√3)√3 =3+2√3 V=(2/3)｛(2+√3)^2/√3｝(3+2√3) =14+10√3 =31.320508…… 暫定的に最小。 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/04(月) 13:40:32.52 ID:W6Vc79KV.net] >>243, >>244 は菱形柱に内接する四面体を考えた。 積分は使ってない。 　�凉 = 1/(cosα) + (1+sinβ)/(cosβ), の下で最小のVをさがす。 　α = 1.001631319　(57.38924722°) 　β = 0.679837919　(38.95184353°) 　�凉 = 3.94981057 のとき 　V = 32.5127002274793 　　= 10.3491139089366π　　(最小) 菱形の対角線をなす2稜は 　x軸方向　2�凉/(tanβ) = 9.77200177 　z軸方向　2�凉/(tanα) = 5.05410762 251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/04(月) 17:56:35.96 ID:E8eKHGzb.net] 任意の自然数aのn乗から1を引くと、必ずa-1の倍数になる さらに言えば a^n=(a-1)m+1が成り立つ これはどのようにして証明すればいいですか? 252 名前：１３２人目の素数さん [2021/10/04(月) 19:20:52.68 ID:Nyg6A72R.net] 例えば　数列 1,2,3,4,2,4,6,8,3,6,9,12,4,8,12,16　について 初項から順に見て増加する部分だけを 1,2,3,4,6,8,9,12,16　と抜き出す操作は 特に名前はついてますか？ 253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/04(月) 19:26:14.75 ID:1hMbowjJ.net] >>251 因数分解 >>252 部分列 254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/04(月) 20:40:55.00 ID:W6Vc79KV.net] >>251 (a^n) - 1 = (a-1){a^(n-1) + a^(n-2) + … + a + 1} 　　　　= (a-1)m, >>252 　b_n = max{ a_k | 1≦k≦n} 255 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/04(月) 21:49:12.80 ID:E9KS0sKM.net] >>248 それだと成立しない 256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/05(火) 05:05:56.85 ID:6ewBe7FB.net] >>252 > b_n = max{ a_k | 1≦k≦n} ダウト！ 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/05(火) 05:06:49.88 ID:6ewBe7FB.net] >>254 > b_n = max{ a_k | 1≦k≦n} ダウト！ 258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/05(火) 19:41:07.21 ID:XJEnQ2Yr.net] n(n+3)+1=m(m+1) これを証明する方法はありますか? 連続4整数の積に1を足すと矩形数から1を引いた数の平方になることを見つけたのですが。 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/05(火) 19:44:09.16 ID:XJEnQ2Yr.net] >>258 > n(n+3)+1=m(m+1) > これを証明する方法はありますか? > 連続4整数の積に1を足すと矩形数から1を引いた数の平方になることを見つけたのですが。 n(n+3)+1=m(m+1)-1の間違いです。 そしてm=n+1であることも証明できますか 260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/05(火) 19:57:27.11 ID:XJEnQ2Yr.net] m^2+3m+2が矩形数となることを証明できる方法があるかどうかです。 m(m+3)/2+1が三角数であるということですが、 この場合、m(m+3)=3,6,もうわからん 261 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/05(火) 19:57:54.65 ID:Le7JaoOB.net] n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =(n(n+3))((n+1)(n+2))+1 =(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1 =(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1 =(n^2+3n+1)^2 =((n+1)(n+2)-1)^2 262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/06(水) 18:54:07.48 ID:2uJB5Pi5.net] 　K = (n+1)(n+2)　　　… 矩形数 　K - 2 = n(n+3) 辺々掛けて1をたす。 　K(K-2) + 1 = (K-1)^2, おもしろい！ 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/06(水) 19:30:24.85 ID:/ejZKTBW.net] 和が等しい2数の積は、差が大きくなるほど小さくなる これを式で表す方法はありますか? 264 名前：１３２人目の素数さん [2021/10/06(水) 21:16:36.70 ID:Zmfg75mw.net] 数学読本の4巻で分からない所があるのでお力をお貸し下さい！ anは数列です。 an+1<1/2√2an^2 のとき n=2,3,4•••に対して an<2√2(a1/2√2)^2n-1が成り立つ。 ここの部分が分からないので、教えてください。 文章に不足が有ればすみませんがご指摘下さい。 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/06(水) 21:18:39.00 ID:/ejZKTBW.net] >>263 つまり、平方数や矩形数は、和が等しい2数がとり得る積の最大値である、という解釈でいいですか? 266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/06(水) 21:28:21.39 ID:FfF+p9lj.net] >>263 aを正の数とする p>q としても一般性を失わない p+q=c (1) (p+a)+(q-a)=c　(2) とおくと　p+a-(q-a)=p-q+2a　>　p-q　なので(2)の方が差が大きい (1)の2乗 (p+q)^2=p^2 +2pq+q^2 (2)の2乗 {(p+a)+(q-a)}^2　 = (p+a)^2+2(p+a)(q-a)+(q-a)^2 =p^2+2pa+a^2 +2(p+a)(q-a) +q^2 -2qa +a^2 これが等しいので p^2 +2pq+q^2　= p^2+2pa+a^2 +2(p+a)(q-a) +q^2 -2qa +a^2 2pq = 2(p+a)(q-a) +2a(p-q) +2a^2 pq =(p+a)(q-a)+a(p-q) +a^2 >(p+a)(q-a) 　（∵aは正,、p >q 、a^2は正） よって2数の差が大きい(2)のほうが積が小さい 267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/07(木) 13:39:33.24 ID:jK0Cm+jj.net] 　pq = {(p+q)^2 - (p-q)^2}/4 　　 = {c^2 - (p-q)^2}/4, 　(積) = {(和)^2 - (差)^2}/4, 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/07(木) 14:10:19.91 ID:jK0Cm+jj.net] >>248 nが三角数のとき 　n = k(k+1)/2 = (k-1)(k+2)/2 + 1, 　ここに　k-1 ≡ k+2　(mod 3) n ≠ 2,4,5,7,8　(mod 9) 269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/08(金) 14:58:08.41 ID:6bbE3ywR.net] 平均 m と分散σ^2 が等しい3数 p, q, r の積 pqr は、 (p-m)(q-m)(r-m) が小さいほど小さい。 これを式で表わすと 　p + q + r = 3m, 　(p-m)^2 + (q-m)^2 + (r-m)^2 = 3σ^2, 　pqr = m^3 - (m/2)(3σ^2) + (p-m)(q-m)(r-m), 270 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/09(土) 18:08:08.24 ID:hE5TvmjC.net] 平均が m である2数 p,q の積は、 　pq = m^2 + (p-m)(q-m), 平均が m である3数 p,q,r の積は、 　pqr = m^3 + Σ({m, p-m, q-m, r-m}のうちの3つの積), 平均が m, 分散がσ^2 である4数 p,q,r,s の積は、 　pqrs = m^4 - 2mmσ^2 + Σ({m, p-m, q-m, r-m, s-m}のうちの4つの積), 271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/10(日) 01:33:21.76 ID:sbg7Iih/.net] 【東京都】コロナ死亡者18人中4人が「2回接種済み」　8日発表　★4 [haru★] 日本のワクチン2回接種率は63.1%という。 https://www3.nhk.or.jp/news/special/coronavirus/vaccine/ コロナ死亡者18人中4人が「2回接種済み」 というデータはワクチン2回接種の死亡抑制効果を肯定するか否定するかを検定せよ。 272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/10(日) 06:40:09.36 ID:sbg7Iih/.net] >>271 18人を母集団から無作為抽出したわけではないから二項検定は不向き。 、これは高校数学の範囲ではないな。 273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/10(日) 14:30:54.63 ID:oZtdApee.net] またキチガイが出た 274 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/10(日) 18:50:07.74 ID:sbg7Iih/.net] 馬に蹴られて死んだ人の数がポアソン分布の起源らしいので、新型コロナの死者数もポアソン分布に従うと仮定すれば計算いいのだが、 これは高校数学の範囲じゃないね。 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/11(月) 07:24:26.56 ID:axxBfAMK.net] >>271 二項検定で想定した解。まあ、18人は無作為抽出でないので二項検定を使うのは正しくない方法だと思う。 2回接種率の 99.9%信頼区間（＝危険率0.1%の有意差検定に帰無仮説として用いて棄却されない範囲）を求めると0.02134867〜0.6306435 信頼区間の上限は0.631未満である。 まあ、危険率0.1%なら肯定されると思う。 0.1%でよいかどうかは主観の問題。 信頼区間の算出方法はたくさんあるがClopper-Pearson法で算出。 成功確率xで18回中4回成功したときに片側検定でのp値が0.1%の半分になるようなxの値を求めたら0.6306435が出てくる。 検算すると > binom.test(4,18,p=0.6306435,alt='less') Exact binomial test data: 4 and 18 number of successes = 4, number of trials = 18, p-value = 5e-04 alternative hypothesis: true probability of success is less than 0.6306435 5e-4は5*10^(-4)=0.0005なので0.1%の半分になっている。 276 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/11(月) 09:40:08.83 ID:Z3QovvgH.net] キチガイは消えろ 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/13(水) 06:07:15.98 ID:YQay0v7b.net] ここのひとには簡単すぎるかもしれないけど cosα/8=2cosα/4 になる理由がわからない 助けておねがい 278 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/13(水) 06:47:14.27 ID:BrWa5pot.net] >>277 とりあえず>>1を読んで問題文なり式をちゃんと写すところから 279 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/13(水) 09:12:59.61 ID:QM9s1N7B.net] cos(α/4)=2 {cos(α/8)}^2 ―1 とかなら分かるが 280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/13(水) 11:33:45.94 ID:Vf1FOJWc.net] >>274 尿瓶はうせろ 281 名前：277 mailto:sage [2021/10/13(水) 21:59:09.76 ID:YQay0v7b.net] 結局写し間違えで見たらすぐ納得しました 答えてくれた方ありがとうございました 282 名前：１３２人目の素数さん [2021/10/16(土) 22:04:42.47 ID:qcY7ENbh.net] 微分できる関数f(x)に対して次は正しいですか (1)f(x)がx=aで極値をとる⇔x=aの前後でf'(x)は符号を変える (2)f(x)がx=aで極大値をとる⇔x=aの前後でf'(x)は符号を正から負に変える 283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/16(土) 22:08:53.70 ID:1XclTaaU.net] x=aの前後で符号を変える の意味が あるe>0があって a-e<x<a, a<x<a+e の各々で一方が+、他方が-の定符号 の意味なら正しくない 284 名前：１３２人目の素数さん [2021/10/17(日) 00:15:23.11 ID:JbGKPMEs.net] 数学の問題（確率）を教えてください。 解き方や式だけでも教えてもらえればありがたいです。 12枚のカードがあり、A、B、C、Dがそれぞれ3枚ずつ入っている。 ランダムに4枚を引いたとき、4枚のうち A、Bのペア A、Cのペア B、Bのペア のどれか一つでも当てはまる確率を求めよ。 285 名前：１３２人目の素数さん [2021/10/17(日) 01:41:03.64 ID:LtnF4l8j.net] 媒介変数表示って何故するのですか？xとyだけだと表せないものがあるからですか？ 286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/17(日) 03:04:26.11 ID:/OBXOSK7.net] >>284 異なる12枚のカードから4枚を引く組合せは C(12,4) = 495 とおり。 ・題意に当てはまる組合せ AAAB, AAAC, ABBB, ACCC, BBBC, BBBD,　各3とおり AABB, AACC, BBCC, BBDD,　　　　　　　各9とおり AABC, AABD, AACD, ABBC, ABBD, ABCC, 　　ABDD, ACCD, ACDD, BBCD,　　　　　各27とおり ABCD,　　　　　　　　　　　　　　　　81とおり 　3*6 + 9*4 + 27*10 + 81 = 405 とおり。 　 ・題意当てはまらない組合せ AAAD, ADDD, BCCC, BDDD, CCCD, CDDD,　各3とおり AADD, CCDD,　　　　　　　　　　　　　各9とおり BCCD, BCDD,　　　　　　　　　　　　　各27とおり 　3*6 + 9*2 + 27*2 = 90 とおり。 ∴　405/495 = 9/11. 287 名前：１３２人目の素数さん [2021/10/17(日) 03:44:39.91 ID:ok9E28lG.net] 以下の記事に13桁のバーコードが１文字の誤りを検出できる仕組みを書いています。 https://news.yahoo.co.jp/articles/da3d66458b3381762f6b4d38177e73bc00aff44d?page=3a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ a₆ a₇ a₈ a₉ a₁₀ a₁₁ a₁₂ a₁₃ とするとき(各aᵢは0から9までの整数)、 3×(a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀+a₁₂) + (a₁+a₃+a₅+a₇+a₉+a₁₁+a₁₃) が10の倍数になるようにa₁₃は定められています。a₁₃はチェックデジット。 この説明は分かったのですが、単に1文字の誤りを検出するだけなら単純に総和を取っても良いように思えます。 なぜ3倍するのでしょうか？ 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/17(日) 03:46:02.64 ID:ok9E28lG.net] >>287 すみません、リンクがおかしくなっていました。 https://news.yahoo.co.jp/articles/da3d66458b3381762f6b4d38177e73bc00aff44d?page=3 289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/17(日) 08:14:52.16 ID:lnhRMsPl.net] >>284 ひたすら列挙する。 すべての組み合わせ 495通り [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] A A A B [2,] A A A B [3,] A A A B [4,] A A A C [5,] A A A C [6,] A A A C [7,] A A A D [8,] A A A D [9,] A A A D [10,] A A B B .... .... [486,] C C D D [487,] C C D D [488,] C C D D [489,] C C D D [490,] C D D D [491,] C C D D [492,] C C D D [493,] C C D D [494,] C D D D [495,] C D D D あてはまる組み合わせ　405通り [1,] A A A B [2,] A A A B [3,] A A A B [4,] A A A C [5,] A A A C [6,] A A A C [7,] A A B B [8,] A A B B [9,] A A B C [10,] A A B C .... .... [396,] B B C C [397,] B B C D [398,] B B C D [399,] B B C D [400,] B B C D [401,] B B C D [402,] B B C D [403,] B B D D [404,] B B D D [405,] B B D D 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/17(日) 08:22:18.64 ID:lnhRMsPl.net] >>289 100万回のシミュレーションで検算 > replicate(1e6,f(sample(c12,4))) |> mean() [1] 0.818103 1000回のシミュレーションを1000回やってリアルワールドのシミュレーション https://i.imgur.com/L8fNtSc.png 尚、> 405/495 [1] 0.8181818 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/17(日) 10:53:54.26 ID:V3dGEYMR.net] >>290 知識自慢でなくて高校数学として価値のある解答をしてください 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/17(日) 11:06:22.62 ID:0RX/tCCV.net] >>290 統計もどき()はいらないんだよ無能チンパン尿瓶が 293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/17(日) 15:07:07.43 ID:3NR7VPPl.net] >>290 n回試行して標本平均をとれば 　平均μ = p = 9/11 = 0.81818182 　標準偏差σ = √{p(1-p)/n} = 3/(110√5) = 0.012196734　(n=1000) 　μ - 1.959964σ = 0.794277 　μ + 1.959964σ = 0.842087 294 名前：１３２人目の素数さん [2021/10/17(日) 15:22:31.43 ID:McZFDXHP.net] >>285 これ答えろ 295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/17(日) 18:41:56.07 ID:lnhRMsPl.net] >>287 クレジットカードだと2倍して計算するみたい https://president.jp/articles/-/17262 暇つぶしに関数を組んでみる。 Luhn=\(x){ v=as.numeric(unlist(strsplit(as.character(x),''))) if(length(v)!=16){ cat("wrong length of",length(v),'\n') stop("16-digits expected!") } y=sum(sapply(2*v[seq(1,15,2)],\(x) x%/%10+x%%10))+sum(v[seq(2,14,2)]) z=(10-y%%10)%%10 if(z==v[16]) cat('correct number : ', as.character(x)) else cat('last digit should be',z) } 円周率の並びは > Luhn(3141592653589793) last digit should be 6 √2は > Luhn(1414213562373095) last digit should be 9 ネイピア数は > Luhn(2718281828459045) correct number : 2718281828459045 クレジットカード番号のチェックディジットに合致。 296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/17(日) 18:45:38.09 ID:Xgt7gya9.net] 意味のある事ひとつも書いた事ないな 誰の役にも立つ事がない 297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/17(日) 18:58:22.06 ID:lnhRMsPl.net] >>293 離散量なので頻度順に足していって0.95を超えるのを探すと 794:941から841までで > sum(dbinom(794:841,n,p)) [1] 0.9507761110810142 正規分布近似での95%CIだと > sum(dbinom(794:842,n,p)) [1] 0.9555661159017697 1000×1000回シミュレーションの方が近似している。 298 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/17(日) 19:00:29.43 ID:lnhRMsPl.net] >>297 794:941から841までで ↓ 794から841までで 299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/17(日) 19:29:26.82 ID:Hmz3ijT0.net] >>298 尿瓶は引っ込んでろ 300 名前：282 [2021/10/17(日) 19:42:10.90 ID:m2jatdYF.net] >>283 どのように言い換えたら充要条件になりますか

---

---

[ 続きを読む ] / [ 携帯版 ]

read.cgi ver5.27 [feat.BBS2 +1.6] / e.0.2 (02/09/03) / eucaly.net products.
担当:undef