- 242 名前：イナ mailto:sage [2021/10/03(日) 04:15:54.03 ID:bS7bZlkg.net]
- 前>>239改めて最初からつづき。
>>236
モンシロチョウの蛹のようなx軸方向に細長い、
yz平面について面対称な細長い四面体になる。
xy平面についてかならずしも面対称である必要はないが、
たとえば四面体の最長辺を(-a,-1,0)と(a,-1,0)とすると、
四面体のy方向の最上辺(0,b,0)はピタゴラスの定理により、
a^2+(b+1)^2=(a-1+b)^2
a^2+b^2+2b+1=a^2+b^2+1-2a-2b+2ab
2b=-2a-2b+2ab
b≠1だからa=2b/(b-1)
z軸の正の方向から見て直角三角形の相似より、
最長辺の長さ=2a(b+1+c)/(b+1)
x軸の正の方向から見て四面体の断面積が最小になるのは正三角形のときだから、
1+c=2b
c=2b-1
四面体の体積V(b)は、
V(b)=2(1/3)(3b^2√3)｛2b/(b-1)｝(b+1+2b-1)/(b+1)
=12b^3√3/(b^2-1)^2
微分して、
V'(b)=｛36b^2√3(b^2-1)-24b^3√3・b｝/(b^2-1)^2=0として、
36b^4√3-24b^4√3-36b^2√3=0
12b^2-36=0
b=√3 (あるいはそうかもしれん‼︎)
最長辺の長さ=2a(b+1+c)/(b+1)=2・2b・3b/(b-1)(b+1)
=12b^2/(b^2-1)
=12・3/(3-1)
=18
四面体の体積の最小値は、
V(√3)=12(3√3)(√3)/(3-1)
=54
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