純粋・応用数学（含むガロア理論）8

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/13(木) 20:12:42.63 ID:0t/ScuZ1.net] クレレ誌： https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。 (引用終り) そこで 現代の純粋・応用数学（含むガロア理論）を目指して 新スレを立てる（＾＾； ＜前スレ＞ 純粋・応用数学（含むガロア理論）7 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1618711564/ ＜関連姉妹スレ＞ ガロア第一論文及びその関連の資料スレ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/1- 箱入り無数目を語る部屋 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1609427846/ Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 54 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1617170015/ IUTを読むための用語集資料スレ2 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1606813903/ 現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/ ＜過去スレの関連（含むガロア理論）＞ ・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む84 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/ ・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/ 77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/16(日) 17:21:32.45 ID:04xEM0RP.net] ぶっちゃけ、 78 名前：全順序と整列順序の違いも理解できん奴に 正規部分群の定義なんか理解できるわけないよな ガロア理論どころか群論すらムリなので 数学諦めて数学板から失せろ この在阪朝鮮猿め！ [] [ここ壊れてます] 79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/16(日) 17:23:20.46 ID:04xEM0RP.net] このスレも　🐎🦌が悪あがきするせいで あっちゅー間に埋まりそうだなｗｗｗｗｗｗｗ 80 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/16(日) 17:29:30.26 ID:K5qR5NBQ.net] >>67 >列の前半は >-1<-1/2<-1/3<・・<-1/n<・・ >　↓↑ >　1,　　2,　　　3,　・・　,n　, ・・ >の（自然数Nとの）全単射 はい、最後が無いですね。 >列の後半は >・・<1/n<・・<1/3<1/2<1 >　↓↑ >・・, 　n 　,・・, 　3 , 　2, 1 >の（自然数Nとの）全単射 はい、最後が無いですね。 えーっと、０はどこへ行ったのかな？ >このような対応がつくので >列の前半、後半とも >可算無限長です（＾＾ はい。０が無ければ。 でもあなたが<列だと言ってるものには0があるんですけど。 で、私の質問は「0のすぐ右は何か？」なんですけど、あなた答えてませんね。 >なんか、落ちこぼれおサルは >議論に負けたくないと >くさい屁理屈こねて >墓穴を大きくしている >あたま悪すぎｗ（＾＾； 頭が良いはずのあなたはなぜ０のすぐ右を答えられないんですか？ 81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/16(日) 17:36:05.87 ID:04xEM0RP.net] >>78 ＞頭が良いはずのあなた（＝雑談君）は ＞なぜ０のすぐ右を答えられないんですか？ お🐎🦌だからさｗ 背理法で証明 １．雑談君は一応国立の大阪大学を出てるというから頭いいはず。 　　なら、０のすぐ右も答えられる筈 ２．しかし、ちっとも答えられない ３．１と２は矛盾するので、雑談君は実は頭悪いｗ 　　大阪大学卒はフカシか、なんかの手違いで合格しただけかもしれんｗ 82 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/16(日) 17:40:38.07 ID:04xEM0RP.net] 雑談君が大学数学の初歩すら理解できない「論理障害」であることは明らか ここでいう論理障害とは、論理的な思考能力が欠如していることを指す 文章を論理式として読解し、論理的な推論によって結論を導く能力がない だから、具体的な図や式をいじる操作しかできない それじゃ大学数学は全く理解できない いますぐ数学書を全部売り払ったほうがいい　無駄だから 83 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/16(日) 18:51:41.15 ID:K5qR5NBQ.net] >>67 >くさい屁理屈こねて そう思うのはキミが理屈を理解できないからだね。 "＜"の左右が定まっていない＜列など存在しない、この理屈をね。 84 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/16(日) 19:59:09.80 ID:vPH1Cr+L.net] >>67 下記 ”特別な順序型 Q を有理数全体の集合、R を実数全体の集合とし、<Q と <R をそれぞれ Q 上と R 上の通常の大小関係とすると、(Q, <Q) と (R, <R) はともに全順序集合である。通常、type(Q, <Q) は η 、type(R, <R) は λ で表される。” おサルが屁理屈こねても、ムダムダｗ（＾＾； (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E5%9E%8B 順序型 順序型（じゅんじょがた、order type）とは、全順序集合同士の "形" を比較するために、その構造のみに注目することによって得られる概念である。 正式な定義 上の説明では type(A, <A) をきちんと定義したことにはならない。なぜなら、全順序集合の "形" とは何かが定義されていないからである。(※) をみたすようにすべての全順序集合 (A, <A) に対して type(A, <A) を定義する方法として、まず次のようなものが考えられる。それは、(A, <A) と同型な順序集合全体の集合を type(A, <A) と定義する方法である。実際、このように定義すれば (※) が成り立つことが示せるので何の問題もないように思えるかもしれない。だが、この方法には一つ大きな欠点がある。それは、A が空集合でない限り (A, <A) と同型な順序集合全体の集合というものは存在しないことが（集合論の公理から）示されるということである。つまり、そのような集まりはあまりに大きすぎるため集合になることができないのである。したがって上のような仕方で type(A, <A) を定義することはできない。そこで、この方法を少し修正して次のように順序型を定義する 85 名前：： 特別な順序型 Q を有理数全体の集合、R を実数全体の集合とし、<Q と <R をそれぞれ Q 上と R 上の通常の大小関係とすると、(Q, <Q) と (R, <R) はともに全順序集合である。通常、type(Q, <Q) は η 、type(R, <R) は λ で表される。 つづく [] [ここ壊れてます] 86 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/16(日) 19:59:31.38 ID:vPH1Cr+L.net] >>82 つづき 整列順序型と順序数 整列集合の順序型を特に整列順序型と呼ぶ。α を順序数とし ∈α を α 上の所属関係とすると、(α, ∈α) は整列集合なので type(α, ∈α) は整列順序型である。逆に、任意の整列集合は必ずある順序数 α に対する (α, ∈α) と同型なので、整列順序型は必ずある順序数 α に対する type(α, ∈α) の形で表すことができる。以下では type(α, ∈α) を α で表す。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%95%E3%82%B9%E3%82%AD%E5%B4%A9%E5%A3%8A%E8%A3%9C%E9%A1%8C モストフスキ崩壊補題 一般化 全ての整礎的かつ集合状な関係は整礎的かつ集合状かつ外延的な関係に埋め込める。これはモストフスキ崩壊補題の変形を導く：整礎的かつ集合状な関係は、あるクラス上の∈-関係と同型である。(このクラスは一意的でないし、推移的である必要もない。) 応用 ZFの集合モデルは集合状かつ外延的である。 モデルが整礎的なら本補題により、ZFの推移的モデルと一意的に同型である。 ZFのあるモデルの∈-関係が整礎的であるというのは、そのモデル内で正則性公理が成立するという主張よりも強いことに注意。 (引用終り) 以上 87 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/16(日) 20:10:58.19 ID:vPH1Cr+L.net] おサルたち、本当にあたまが悪いのか はたまた、議論に勝ちたいがために、屁理屈をこねくり回して、あたまの悪いまねをしているのか どちらか分からなかったが どうも、前者らしいな (>>82より) ”特別な順序型 Q を有理数全体の集合、R を実数全体の集合とし、<Q と <R をそれぞれ Q 上と R 上の通常の大小関係とすると、(Q, <Q) と (R, <R) はともに全順序集合である。通常、type(Q, <Q) は η 、type(R, <R) は λ で表される。” なんだからさ 屁理屈こねくり回して、どうにもならんぜ しっかり、 　>>82-83を 噛みしめなよ アホなおサルさんよ 88 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/16(日) 20:21:42.48 ID:04xEM0RP.net] >>82 まーだ、Qが通常の＞では整列順序集合でないことが理解できないのかな？ 文章一つ読めないパクチーは数学に興味もつなって　無駄だからｗｗｗ 89 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/16(日) 20:23:21.18 ID:04xEM0RP.net] >>84 ついでにいうと　Rも通常の＞では整列順序集合ではない 文章一つ読めないパクチーは数学に興味もつなって　無駄だからｗｗｗ 90 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/16(日) 20:27:07.42 ID:K5qR5NBQ.net] >>82 誰もQ、Rが全順序集合でないなんて言ってませんが何か？ だからキミは何を指摘されてるかすら理解できない白痴と言われちゃうんだよ 91 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/16(日) 20:35:51.82 ID:K5qR5NBQ.net] >>84 >”特別な順序型 >Q を有理数全体の集合、R を実数全体の集合とし、<Q と <R をそれぞれ Q 上と R 上の通常の大小関係とすると、(Q, <Q) と (R, <R) はともに全順序集合である。通常、type(Q, <Q) は η 、type(R, <R) は λ で表される。” >なんだからさ なんだから何？ えーっと、キミ、何を指摘されてるか分かってるかな？ >屁理屈こねくり回して、どうにもならんぜ どうにもならないのは0の次の有理数、0の次の実数でしょうにｗ 92 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/16(日) 22:47:05.43 ID:vPH1Cr+L.net] >>82 カントールのω解説 下記が参考になるな https://www.jstage.jst.go.jp/article/jpssj/41/1/41_1_1_29/_pdf 科学哲学 41-1（2008） C・S・パースとモデル論的論理学の初期局面 C・S・パースとモデル論的論理学の初期局面 石田正人 C・S・パース（1839-1914） カントールにならい順序数を整列集合の順序型（order type）とみ なすと，順序数の体系は 19 世紀数学のなかへ実に大胆な構造を導入したもの であることが分かる．まず有限数を 2 つ掛け合わせても有限であるから，カ ントールの超限順序数のクラスは非アルキメデス的である 11．また順序数の 算術（ordinal arithmetic）においては，可換性が一般には成り立たないが， これは順序型からの構造的な帰結と言ってもよい．最も単純な例として 2・ ω ＝ ω ≠ ω・2 をとってみると，2・ω は，2 つの点の組をω個並べたに過 ぎないので，その構造はωと同じであるが，ω・2 は，ωが 2 つあるという 意味なので 12，1 つ目の無限なるω構造の後を 2 つ目のω構造が追いかける格 好になる（図 4）13． これは一見してωとは異なるより奇妙な構造である．同様に，1 ＋ω ≠ ω＋ 1 を考えてみると，1 ＋ω ＝ ω は，いわば変哲のない構造であるが，ω＋ 1 の方は，ω構造を追いかける余分な点が 1 つ，無限の自然数列の彼方に存す ることになり，あえて図示すれば風変わりな印象を与える． このように順序数が非アルキメデス的性格を示しながら無限なる上方の超 限順序数に至るまで整然と層化・体系化されているという洞察をもたらした のが，数学史上に輝くカントール無限論の相貌の一つとすると，無限に小さ い下方領域が反転的に層化されていてもよいのではないか，と考えるのは， ある意味で自然なことであろう．とくに ω・2 は，無限の構造を 2 つの点の 位置へ挿入したものと見ることも出来るから，このような意味では，無限の 構造を限りなく微小な領域の内側へ畳み込むというパースの発想は，カントー ルの無限論と本質的に関わっており，このことがパースをして実数論の超準 モデルへと導いた，とみることができる 14． つづく 93 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/16(日) 22:51:59.69 ID:vPH1Cr+L.net] >>89 つづき パースは，カントールの順序数を概ね好意的に解釈するが，それは，カントール自身が確信していたように，このような自然数の構造的延長が，ある意味では自然だからである． 例えば 0 と 1とを両端とする，通常の実数直線の 0 を含む正の部分をみて，{1-10^-n} なる数列，即ち，0，0.9，0.99，0.999，... と展開する数列をこの数直線上に取れば，1 という値に至る前に可算無限の項が続くことになる． この数列の果てに数 1 があることを私たちは（例えば 0.9・・＝ 1 という形で）難なく受け入れているから，可算無限の数列のむこうになお数があるというのは，小さな縮尺のなかで見ればむしろ当然のことでもある． 延々と続くこれら無限の項に順序数を振っていくと，カントールのω，さらに先の ω＋ 1，遙か彼方のω＋ω ＝ ω・2 といった順序数を数え上げることになるが，順序型を数直線上へ投影してみると，超限順序数は意外に自然な直観に基づいているとも言える． だが，このようなことは事後的にみれば自然に見えるだけで，超限順序数の導入がカントールという天才による革新的一歩であったことも明白な事実であり，カントールによる数の概念の革新の意義にパースは直ちに気付いている．順序型を通じて，数というものが本質的に構造である ということ，それゆえ超限数もまた無限の構造であるという観念が，カントールにおいて具体的に示されただけでなく，カントールを通じて 19 世紀数学は非アルキメデス的変域に鮮烈に晒される機会をもった． それに触発されたパースの実数論の超準モデルに対する直観が，モデル論的論理学の発展史に先立って開花しており，この文脈のなかで見られたときに，パースはより明確にモデル論的論理学の源流に立つとは言えまいか，というのが本節の論点である 15． 4. 数学的創造性の論理 超準解析によって無限小を再び解析学のなかへ取り入れたロビンソンは，超準解析が「未来の解析学（analysis of the future）」となると信じる理由がある，というゲーデルの言葉を有名にしたが，実際ゲーデルは，超準解析 対して肯定的な関心を示している（Godel [10], 311, 307-310）． 洗練された形ではないとはいえ，60 年以上前のパースが超準解析的な視点に立って解析学を見据えていたことはいささか驚きに値する (引用終り) 以上 94 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/16(日) 23:27:30.81 ID:K5qR5NBQ.net] >>89-90 いくらコピペして分かってる風を装っても、順序数の一番基本が分かってないから無意味。 「極限順序数は後続順序数ではない」 [] [ここ壊れてます] 96 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/16(日) 23:30:11.26 ID:04xEM0RP.net] >>91 そだね、順序の基本が分かってないから無意味 「全順序集合だが、整列順序集合出ないものがある」（例、Q,R） 97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/16(日) 23:31:19.51 ID:04xEM0RP.net] 雑談 ◆yH25M02vWFhP は変態数学マニア 98 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/17(月) 07:10:08.14 ID:QZBefhAf.net] >>84 追加 下記の定義 6.3 基数, 順序型, 順序数 分かり易い（＾＾ （参考） https://researchmap.jp/read0021045 山口 睦 ヤマグチ アツシ (Atsushi Yamaguchi) www.las.osakafu-u.ac.jp/~yamaguti/ 山口 睦 Atsushi Yamaguchi 大阪府立大 www.las.osakafu-u.ac.jp/~yamaguti/jugyo/jugyo.html 授業関連 幾何学 www.las.osakafu-u.ac.jp/~yamaguti/jugyo/geom/setop.pdf 集合と位相空間についてのプリント (2021年4月23日版) §6. 基数・順序数 注意 6.2 Set を集合全体の集まり, Ord を順序集合全体の集まり, W-ord を整列集合全体の集まりとする. このとき, 命題 6.1 により, 集合の対等 〜 は Set における「同値関係」であり, 命題 5.5 により, 順序同型 ' は Ord, W-ord に おける「同値関係」である. また, W-ord は Ord の「部分集合」とみなされ, 順序構造を忘れる対応 Φ : Ord → Set, Φ(X, ≦X) = X があり, これは「同値関係」を保つ写像である. 定義 6.3 (1) Set, Ord, W-ord をそれぞれ同値関係 〜, ', ' により類別した「商集合」Set/〜, Ord/', W-ord/'の要素をそれぞれ, 基数, 順序型, 順序数と呼ぶ. 　card : Set → Set/〜, T : Ord → Ord/', t : W-ord → W-ord/'をそれぞれ「商写像」とする. 　集合 X に対し, card X を X の基数または濃度, 順序集合 (X, ≦) に対し, T(X, ≦) を(X, ≦) の順序型, さらに (X, ≦) が整列集合ならば t(X, ≦) を (X, ≦) の順序数と呼ぶ. (2) Set/〜 における関係 ≦ を次で定義する. 基数 a, b に対し, card X = a, card Y = b となる集合 X, Y をとり, 「a ≦ b ⇔ X から Y への単射が存在する.」このとき, ≦ は, card X = a, card Y = b となる集合 X, Y の選び方によらない. (3) W-ord/' における関係 ≦ を次で定義する. 順序数 μ, ν に対し, t(W, ≦W ) = μ, t(Z, ≦Z) = ν となる整列集合 (W, ≦W ), (Z, ≦Z) をとり,「μ ≦ ν ⇔ (W, ≦W ) から (Z, ≦Z) への順序単射が存在する.」 　このとき, ≦ は,(W, ≦W ) = μ, (Z, ≦Z) = ν となる整列集合 (W, ≦W ), (Z, ≦Z) の選び方によらない. つづく 99 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/17(月) 07:10:36.76 ID:QZBefhAf.net] >>94 つづき 注意 6.4 (1) Φ : Ord → Set は「同値関係」を保つため φ・T = card・Φ を満たす写像 φ : Ord/' → Set/〜 がただ一つ存在する. (2) W-ord ⊂ Ord であり W-ord/' ⊂ Ord/' とみなされる. φ を W-ord/' に制限したものも φ で表すと, φは関係 ≦ を保つ. 順序数 μ に対し, φ(μ) を μ に対応する基数という. 定理 6.5 (Set, ≦) および (W-ord, ≦) は全順序集合である. 定理 6.6 集合 X に対し, card P(X) > card X である. 従って, いくらでも大きな基数が存在する. 定義 6.7 card N = ?0, card R = ? とおき, それぞれ可算基数, 連続の基数と呼ぶ. また, card X = ?0 である集合を可算集合, card X > ?0 である集合を非可算集合, card X ≦ ?0 である集合をたかだか可算な集合と呼ぶ. 系 6.10 X が無限集合ならば X 〜 Y となる X の部分集合 Y がある. 定理 6.11 card P(N) = ?. 従って, ? > ?0 である. 補題 6.12 μ を順序数とする. このとき W-ord/' の部分順序集合 {ν ∈ W-ord/'| ν < μ} は整列集合である. 定理 6.13 順序数からなる任意の集合は整列集合である. (引用終り) 以上 100 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/17(月) 07:23:35.47 ID:QZBefhAf.net] >>94 追加 渕野先生（＾＾ 定理9 ”R 上の順序型が ω1 の整列順序で R2 の部分集合として見たとき” って、こんなところに「順序型」 （参考） https:// 101 名前：math.cs.kitami-it.ac.jp/~fuchino/notes/nonmeasurable.pdf 非可測集合は存在するのか？ 渕野 昌 (Saka´e Fuchino) 00.12.05(火) (21.02.07(日 17:45(JST)) 微少な加筆／修正) 以下のテキストは，北海道大学大学院理学研究科における 2000 年 10 月 10 日の講演のため のノートに基づくものである． この文章は集合論の非専門家を読者として想定している．そのため，集合論の特別な知 識は仮定せずに読めるような記述になるよう試みたつもりである．いくつかの結果は証明 なしに引用したが，詳細については，[4] を参照されたい． 集合論版の逆数学と言えるような枠組で考えることで，選択公理を放棄することなく，し かも，PD （第 3 節後半を参照）を仮定すれば非可測集合の存在しない楽園での解析学を， 決定性の公理の下での解析学やソロベイモデルでの解析学をある意味で内包する形で，展 開できるではないか，というのがその趣旨であるが，このような考えを支持すると考えら れる射影的集合に関連したいくつかの結果について第 3 節で触れることになる． P1 1 Vitali 集合 P7 3 射影的集合 第 1 節で見たように，選択公理を仮定した場合，Vitali の定理により非可測集合は存在す る．しかし，Vitali の定理の証明の非可測集合の構成は，実数上に存在することが選択公 理によって保証された整列順序を用いる，というきわめて非構成的なものであった．それ ではある意味で構成的とみなせるような実数の集合で非可測なものは存在するのか，とい う自然な疑問がわいてくる．もし，ある意味で構成的な実数の集合からなる十分に大きな クラスについてその元がすべて可測である，という主張が成り立つとすると，そのことか ら，解析学的に自然な集合を扱っている限り非可測集合が現れることはない，ということ の保証が得られることになる．このために，まず射影的集合 (projective sets) について 復習をしておく． つづく [] [ここ壊れてます] 102 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/17(月) 07:23:57.61 ID:QZBefhAf.net] >>96 つづき 定理 9 (K. G¨odel, 1938) V = L （すべての集合は構成的である）を仮定すると，Δ12 集合で，非可測なものが存在する． 証明． V = L を仮定すると R 上の順序型が ω1 の整列順序で R2 の部分集合として見 たとき Δ12 集合となるものが存在する．フビニの定理により，もしこの集合が可測とする と，この集合も，この集合の R2 での補集合も測度 0 となるが，このことから R2 の測度 も 0 であることが帰結されてしまい，矛盾である．QED 一方，定理 3 の証明では実は ZF + DC + “すべての実数の集合はルベーク可測” の成 り立つモデルを構成する過程で，ZFC + “すべての射影的集合はルベーク可測” の成り立 つモデルが構成されていた，したがって， 定理 10 (R. Solovay, 1970) ZFC + IC が無矛盾なら，ZFC + “すべての射影的集合はル ベーク可測である” を満たすようなモデルを構成することができる． 上の結果での Solovay のモデルは連続体仮説も満たすものになっていたが，ここでの 証明に少し変更を加えると，同じ仮定から，ZFC + ¬CH + “すべての射影的集合はルベー ク可測である” のモデルを構成することもできる．言い換えると “すべての射影的集合は ルベーク可測である” という命題からは連続体の大きさは決定できない． 一方，到達不可能基数よりずっと大きな ? つまり，その存在の仮定がずっと大きな無 矛盾性の強さを持つような ? 巨大基数の存在を仮定すると，そのことから，すべての射 影的集合のルベーク可測性が帰結できる： 定理 11 (S. Shelah and H. Woodin, 1990) 超コンパクト基数が存在するなら，すべての射 影的集合はルベーク可測である． 上の結果での超コンパクト基数の存在は，後に，H. Woodin により，定理 6 でも現れた 103 名前： “ 無限個のウディン基数が存在する” という，これより無矛盾性の強さのずっと弱い仮定で 置き換えられている． “すべての射影的集合はルベーク可測である” という命題は，AD を弱めた射影的決定 性と呼ばれる次の命題から導くことができる， (引用終り) 以上 [] [ここ壊れてます] 104 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/17(月) 07:55:08.60 ID:QZBefhAf.net] >>96 追加 こちらの 非可測集合にも 「順序数=整列集合の順序型（順序同型により, 整列集合全体に同値関係を入れたときの同値類）を用いる」と出てくるね （参考） https://researchmap.jp/read0064069 平場 誠示 ヒラバ セイジ (Seiji Hiraba) https://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/sh/pdfdvi/ana1.pdf 解析学 I (Analysis I) Lebesgue 積分論 (Lebesgue Integral Theory) 1 平場　誠示 (Seiji HIRABA) 東京理科大学 P17 6.3 非可測集合 定理 6.3 Ln ? Bn. 証明は ♯Bn = ｱﾚﾌ (連続無限) を認めてもらえば, 以下のように示せる. Cantor 集合のように連続 濃度をもつ Lebesgue 測度 0 の集合があるので, その部分集合も全て Ln の元で, その全体の濃度は ♯2R. 従って, ♯Ln = ♯2R > ♯R = ｱﾚﾌ = ♯Bn. 更に, ♯Bn = ｱﾚﾌ については, 簡単に言えば, n = 1 のとき, 基本集合 (a, b] (?∞ ≦ a ≦ b ≦ ∞) の 全体からなる集合族の濃度は連続で, それらの元の可算回の集合演算で得られる集合全体を考え, 更にそれの可算回操作で, ということを, 無限に繰り返して得られる集合族が Borel 集合体 B1 と なるので, その濃度は, 連続無限となる. (正確な証明は, 次節の最後に与える.) P23 最後に, 前節の E が非可測集合なることと定理 6.3 で用いた ♯Bn = ｱﾚﾌ の証明を与えよう. ♯Bn = ｱﾚﾌ については, 順序数=整列集合の順序型（順序同型により, 整列集合全体に同値関係を入れたときの同値類）を用いる. ちなみに整列集合とは, 全順序集合で, 任意の空でない部分集合が最小元をもつもの. 順序数を表すのに, Φ は 0 として, {1, 2, . . . , n} の同値類を n, N の同値類をω とする. また, 順序数の濃度を, その同値類の元の一つ, 即ち, 代表元の濃度として定義する. 更 に, 濃度が ｱﾚﾌ0 の順序数は無数にあり, 最小のものが ω で, 次が ω + 1, ω + 2, . . . となる. 例えば, N ∪ A の順序数は A = {1}, {1, 2}, N に応じて, ω + 1, ω + 2, 2ω となる. また, N2 = N ∪ N ∪ ・ ・ ・ は, ω2 = ω + ω + ・ ・ ・ となる. (順序は辞書式) [♯Bn = ｱﾚﾌ の証明] 略 (引用終り) 以上 105 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/17(月) 08:00:54.27 ID:QZBefhAf.net] 基数, 順序型, 順序数 全順序 N、Z、Q、R なんにも分かってないサル二匹か（＾＾ 106 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/17(月) 10:45:54.84 ID:1VWltCj+.net] 突然ですが、メモ（＾＾ https://www.nikkei.com/article/DGXZQOUF181EE0Y1A410C2000000/?unlock=1 ゲイツ氏ら注目の核融合発電、京大発スタートアップ挑む 日経産業新聞 2021年5月15日 2:00 [有料会員限定] 核融合発電が世界で熱気を帯びている。水素を燃料にエネルギーを生み出し二酸化炭素（CO2）も出さない夢の技術に、世界でスタートアップが興り米マイクロソフト創業者ビル・ゲイツ氏らが投資する。日本は京都大学発スタートアップが名乗りを上げ、米ゴールドラッシュの「ジーンズ」のビジネスモデルで挑む。 「海外の複数の大型案件へ受注提案を繰り返している」。核融合のスタートアップ、京都フュージョニアリング（KF、京都府宇治市）の長尾昂代表取締役は目を輝かせる。拠点は京大宇治キャンパスの小さな研究室だ。世界有数の核融合発電の研究者である京大の小西哲之教授と外資系コンサル出身の長尾氏は2019年10月、KFを設立した。 KFは核融合炉に不可欠な消耗の激しい部品の開発と生産に特化する。炉の開発に比べ初期投資が安く、炉の運転前から売り上げがたつ。1900年代半ば米国で金の採掘者がこぞって履き、定着したジーンズから着想した。大型の資金調達の計画も進む。 つづく 107 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/17(月) 10:46:27.99 ID:1VWltCj+.net] >>100 つづき 消耗部品に着目 看板商品は炉内部で中性子と反応して熱エネルギーを取り出す「ブランケット」。消耗が大きく2〜3年で交換が必要だ。KFはシリコンカーバイド製の1メートル角のブロックを数百個使い組み立てる。素材合成、設計技術が基本的な競争力だ。開発に必要な真空チャンバーなど京大の設備も使える点を強みにする。 19年5月、小西氏は京大のベンチャーキャピタルが催した起業家向けの会合で、核融合発電が持つ可能性について語った。「面白いでかいことを言う人がいるな」。参加していた京大大学院出身の長尾氏は新電力にもいた経験もあり心にひっかかった。「結構ありかもな」 「論文ばかりではおもしろくない」 19年6月に小西氏は英国の学会に出席して海外の研究者仲間と話すうち、消耗部品に特化するアイデアがひらめいた。「論文ばかりではおもしろくないよね」。起業を決断した。京大ベンチャーキャピタルの仲介で、小西氏と長尾氏が組むことになる。 長尾氏は現在は投資家の対応を担当し、技術や営業は小西氏が受け持つ。20年末、小西氏は米国の業界団体フュージョン・パワー・アソシエイツのオンライン会議でスピーチすると複数のコンサルティングの依頼が舞い込んだ。同時期、長尾氏はコーラル・キャピタル（東京・千代田）などから1億2千万円の出資を引き出した。 (引用終り) 以上 108 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/17(月) 10:55:17.34 ID:HWg8rjhz.net] >>99 あれ？反論は諦めたんですか？ ならさっさと退場願います ここはあなたの来る処ではありません 109 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/17(月) 12:13:53.05 ID:1VWltCj+.net] これも 昨晩、TVみやねやでやっていた https://president.jp/articles/-/44992?page=3 PRESIDENT WOMAN 三つ子の子育てでパートナーが転職 ｢私は女性科学者じゃない｣英国のワクチン開発を率いたオックスフォード大教授がついたため息 冨久岡 ナヲ ジャーナリスト 2021.04.12 ワクチン接種プロジェクトを指揮したビンガム博士 せっかくワクチンが完成しても、迅速に接種を進められなければ意味がない。前代未聞の速さとスケールで集団接種を行うためのプロジェクトを指揮するのに適した人物は誰か。しばらく考え込んでいた英国首相ボリス・ジョンソンは携帯電話を手に取った。 「キミに、人々が死んでいくのを止めてほしいんだ」と、ジョンソン首相が連絡したのはケイト・ビンガム博士。オックスフォード大学で生化学を学んだあと金融分野に転じ、バイオベンチャー相手の投資コンサルタントとして活躍していた。とんでもない大役の指名に迷ったが、22歳の長女に「お母さん！　もし迷っているのが私だったら『自分を卑下するな。自信を持ちなさい』って叱るでしょう？」と激励され、この役目を無償で引き受けた。 ビンガム博士はさっそく特別チームを編成する。「公衆衛生庁を飛び越して民間のコンサルタントを起用」という首相の型破りな人事もさることながら、博士が招集した面々も、製薬業界の裏事情に詳しいビジネスマン、武器輸送の専門家など、まるでアウトローを集めた映画のキャストのようだった。 国防省潜水艦配置局から引き抜かれた女性管理職のルース・トッドさんは、「開発中のワクチンすべてに暗号名をつける」という提案をし、当時120ほどあった開発中ワクチンの中からどれが選ばれるかが外部に漏れないようにした。 リーダーたちの努力は実り、英国は世界に先駆けてドイツのファイザー製ワクチンを承認し、2020年12月3日から全国で一斉接種をスタートさせた。 ワクチン承認の決断を下したのは英医薬品・医療製品規制庁（MHRA）の最高責任者ジューン・レイン博士。薬理学者だ。レイン博士と、集団接種プロジェクトを指揮したビンガム博士の両名とも、ワクチンの手配や接種の開始が早期に実現した理由として、オックスフォード大研究者たちがすばやく開発に着手していたこと、臨床試験の開始と同時に製造の準備を進めたこと、英国がすでにEUを離脱し移行期間に入っていたためこうした決定を自国だけで行うことができたことを挙げている。 https://president.jp/mwimgs/c/5/-/img_c54a1abab2aa60f19629a2104dc90156291489.jpg 110 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/17(月) 12:15:39.76 ID:1VWltCj+.net] >>102 反論？ 不要でしょｗ サルは踊らせるだけでいい 111 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/17(月) 12:19:23.22 ID:S2Qn0/do.net] >>104 自分が理解できないと猿呼ばわりして誤魔化し♪ ダメ人間の典型例ですな。 相手が言っていない事を言われた気になっているあたり、被害妄想とかもあるでしょ。 112 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/17(月) 12:56:32.43 ID:Ka93ClwI.net] >>99 >全順序 おやおや、パクチーの雑談君は 整礎関係が全順序とは全然別ってことが 全く理解できてないんだねぇ 整礎関係 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82 「数学において、二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、 　真の無限降下列をもたないことである。」 「順序集合論では、半順序に対応する真の順序 (strict partial order) が整礎関係となるとき、 　その半順序を整礎（整礎半順序）と呼ぶ。 　全順序がこの 113 名前：意味で整礎であるとき、整列順序と呼ぶ。」 全順序でない整礎関係の例。 ・正整数全体 {1, 2, 3, ...} に a < b ⇔ [a は b を割り切る かつ a ≠ b] となる順序を入れたもの。 ・固定された文字集合上の有限文字列全体に s < t ⇔ s は t の真の部分文字列である、で定まる順序。 ・自然数の順序対全体の集合 N × N 上の、(n1, n2) < (m1, m2) ⇔ n1 < m1 かつ n2 < m2 となる順序。 ・固定された文字集合上の正規表現全体の成す集合に、s < t ⇔ s は t の真の部分表現であるとして定義される関係。 ・集合を要素とする任意のクラスの集合要素関係 ∈ 。これは正則性公理そのものである。 ・任意の有限有向非輪状グラフのノード全体の、a R b ⇔ a から b へいく辺があるとして定義される関係。 整礎でない関係の例。 ・負整数全体 {−1, −2, −3, …} の通常の順序。任意の非有界部分集合が最小元を持たない。 ・有限文字集合上の文字列全体の成す集合上の、通常の順序関係（辞書式順序）。 　列 "B" > "AB" > "AAB" > "AAAB" > ⋯ は無限降鎖になる。 　この関係は、全体集合が最小元（つまり空文字列）を持ったとしても整礎ではない。 ・有理数全体（または実数全体）の標準的な順序（大小関係）。 　たとえば、正の有理数（または正の実数）全体は最小元を持たない。 [] [ここ壊れてます] 114 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/17(月) 12:58:46.47 ID:Ka93ClwI.net] つまり 　全順序：長方形 整礎関係：ひし型 整列順序：正方形 みたいな感じ 雑談君は整礎が全然わかってないねえ┐(´∀｀)┌ﾔﾚﾔﾚ 115 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/17(月) 14:14:36.46 ID:1VWltCj+.net] >>107 違うと思うよ 全順序は、下記 「元を直線に並べた図式によってその集合が表せるということでもあり、それは「線型」順序の名の由来である」 だよ。だから、全順序は１列に並べられるってこと 整列順序は、全順序（１列）かつ「任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう」 ってこと。この最小元は、大小を考えたときの小の方だけ。つまり、大については「最大元の存在要求なし」（だらだら無限に伸びてよし）！ｗ（＾＾ 整礎関係は、全順序を満たさない（1列でなくとも良い）が、「X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう」 ってこと 間違ったことを書かないようにね https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E9%A0%86%E5%BA%8F 全順序 反対称性によって a < b かつ b < a であるという不確定な状態は排除される[1]。完全性を持つ関係は、その集合の任意の二元がその関係で比較可能（英語版）であることを意味する。これはまた、元を直線に並べた図式によってその集合が表せるということでもあり、それは「線型」順序の名の由来である[2]。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88 集合 S 上の整列順序関係 (well­order) とは、S 上の全順序関係 "≦" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82 整礎関係 定義 集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]。（関係 R がさらに集合的であることを仮定する著者もいる[2]。X が集合であればこれは自動的に成り立つ。） 116 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/17(月) 14:27:47.36 ID:HWg8rjhz.net] >>104 >反論？ 不要でしょｗ じゃキミの負け確定なのでとっとと退場してね 117 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/17(月) 14:30:43.56 ID:HWg8rjhz.net] >相手が言っていない事を言われた気になっているあたり、被害妄想とかもあるでしょ。 被害妄想と自己愛でほとんど精神錯乱してると思われる。 会話が成立しません。 118 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/17(月) 14:37:54.81 ID:HWg8rjhz.net] >>108 >全順序は、下記 「元を直線に並べた図式によってその集合が表せるということでもあり、それは「線型」順序の名の由来である」 >だよ。だから、全順序は１列に並べられるってこと キミさあ、落ち着いて考えようね。 直線上のどの点にも「隣の点」は存在しないよ？分る？ どうして >だから、全順序は１列に並べられるってこと になるの？　馬鹿？ 119 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/17(月) 14:51:28.75 ID:1VWltCj+.net] >>111 ふふふ おサルは、そこで躓いているのかな？（＾＾； 120 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/17(月) 15:00:21.98 ID:S2Qn0/do.net] 意味も分からずコピペするだけの人はコメントにも内容が無いですね。 121 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/17(月) 15:16:27.47 ID:HWg8rjhz.net] >>112 え？？？ 直線上の点に隣の点があると言いたいの？ じゃあ点０の隣は何？ 122 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/17(月) 15:17:47.07 ID:HWg8rjhz.net] ふふふ　なんて気持ちの悪い作り笑いしなくていいからちゃんと答えてね。０の隣の点。 123 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/17(月) 15:28:36.87 ID:Ka93ClwI.net] >>108 ＞整列順序は、全順序（１列）かつ ＞「任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう」 ＞ってこと。 Qは、最小元を持たない部分集合が存在する たとえば、0より大きい有理数に最小元はない ＞この最小元は、大小を考えたときの小の方だけ。 ＞つまり、大については「最大元の存在要求なし」 ＞（だらだら無限に伸びてよし）！ｗ なんか根本的にわかってなさそうｗ {1-1/10^n|n∈N}∪{1}　という集合を考える 上記の部分集合である {1-1/10^n|n∈N} には、たしかに最大元はない だ・か・ら、1からまず降りるときに {1-1/10^n|n∈N}のいかなる要素よりも小さくない 最大の元におりることができない そして、１＞ｒとして {1-1/10^n|n∈N}のいかなる要素ｒを選んだところで ｒよりも大きい上記の集合の元は無数にある つまり＞降下列の最初のステップで、 無限個の元をすっとばすしかない 無限個の元を全部経由する＞降下列はつくれない そこが分からない雑談君は 整列集合も＞降下列も定義から理解できない 正真正銘の🐎🦌（つまり人間未満の動物）ってことｗｗｗ 数学ムリだから諦めな 大阪大なんて嘘だろ？ 大阪○〇大の〇〇を省略すんなよｗｗｗ 124 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/17(月) 15:30:42.82 ID:Ka93ClwI.net] >>111 ＞おサルは、そこで躓いているのかな？ パクチーは、整礎性でつまづいてるのかｗｗｗ ほんと言葉が理解できない「動物」には困ったもんだｗｗｗ 125 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/17(月) 15:48:37.17 ID:HWg8rjhz.net] >無限個の元を全部経由する＞降下列はつくれない これを何度説明しても理解しないんだよね彼。 彼の頭蓋骨の中身は豆腐でしょ、脳みそが入ってるとは信じがたい。 126 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/17(月) 17:20:44.41 ID:Ka93ClwI.net] >>118 ＞＞無限個の元を全部経由する＞降下列はつくれない ＞これを何度説明しても理解しないんだよね彼。 核心にふれると、「チャーシュー思考」とかいって 思考放棄する🐎🦌だからね　雑談君はｗｗｗ 127 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/17(月) 18:18:40.98 ID:1VWltCj+.net] サル二匹のうち 一匹は、数学科出身を名乗る（修士卒とか）けど・・ こんなレベルなの？　やれやれｗ（＾＾； 128 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/17(月) 18:45:36.53 ID:HWg8rjhz.net] と、学部一年4月に落ちこぼれた馬鹿が申しております 129 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/17(月) 19:53:41.38 ID:Ka93ClwI.net] チャーシュー君、頑張って整礎関係、理解しようねｗｗｗｗｗｗｗ 130 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/17(月) 21:15:46.42 ID:/7E7xUz8.net] 新訂版序文の人 大類昌俊@Ohrui_math_bass 弟は俺より頭が悪く「次男は頭が悪いもん」とか言ってたし俺も勉強を教える時に苦労したが、鉄道に関しては職業に就く適性はあったみたいで、頭の良し悪しより適性がないと解けない問題は得意だったようだし、実際今運転手をやってる。偏差値はせいぜい学力試験の成績の振り分けに過ぎない。 131 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/17(月) 22:54:27.40 ID:QZBefhAf.net] >>108 追加 英語版 https://en.wikipedia.org/wiki/Well-order Well-order Examples and counterexamples Natural numbers The standard ordering ≦ of the natural numbers is a well ordering and has the additional property that every non-zero natural number has a unique predecessor. Another well ordering of the natural numbers is given by defining that all even numbers are less than all od 132 名前：d numbers, and the usual ordering applies within the evens and the odds: 0 2 4 6 8 ... 1 3 5 7 9 ... This is a well-ordered set of order type ω + ω. Every element has a successor (there is no largest element). Two elements lack a predecessor: 0 and 1. Reals The standard ordering ≦ of any real interval is not a well ordering, since, for example, the open interval (0, 1) ⊆ [0,1] does not contain a least element. From the ZFC axioms of set theory (including the axiom of choice) one can show that there is a well order of the reals. Also Wac?aw Sierpi?ski proved that ZF + GCH (the generalized continuum hypothesis) imply the axiom of choice and hence a well order of the reals. Nonetheless, it is possible to show that the ZFC+GCH axioms alone are not sufficient to prove the existence of a definable (by a formula) well order of the reals.[1] However it is consistent with ZFC that a definable well ordering of the reals exists?for example, it is consistent with ZFC that V=L, and it follows from ZFC+V=L that a particular formula well orders the reals, or indeed any set. つづく [] [ここ壊れてます] 133 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/17(月) 22:56:20.24 ID:QZBefhAf.net] >>124 つづき An uncountable subset of the real numbers with the standard ordering ≦ cannot be a well order: Suppose X is a subset of R well ordered by ≦. For each x in X, let s(x) be the successor of x in ≦ ordering on X (unless x is the last element of X). Let A = { (x, s(x)) | x ∈ X } whose elements are nonempty and disjoint intervals. Each such interval contains at least one rational number, so there is an injective function from A to Q. There is an injection from X to A (except possibly for a last element of X which could be mapped to zero later). And it is well known that there is an injection from Q to the natural numbers (which could be chosen to avoid hitting zero). Thus there is an injection from X to the natural numbers which means that X is countable. On the other hand, a countably infinite subset of the reals may or may not be a well order with the standard "≦". For example, ・The natural numbers are a well order under the standard ordering ≦. ・The set {1/n : n =1,2,3,...} has no least element and is therefore not a well order under standard ordering ≦. Examples of well orders: ・The set of numbers { - 2-n | 0 ≦ n < ω } has order type ω. ・The set of numbers { - 2-n - 2-m-n | 0 ≦ m,n < ω } has order type ω2. The previous set is the set of limit points within the set. Within the set of real numbers, either with the ordinary topology or the order topology, 0 is also a limit point of the set. It is also a limit point of the set of limit points. ・The set of numbers { - 2-n | 0 ≦ n < ω } ∪ { 1 } has order type ω + 1. With the order topology of this set, 1 is a limit point of the set. With the ordinary topology (or equivalently, the order topology) of the real numbers it is not. References 1＾S. Feferman Some applications of the notions of forcing and generic sets Fundamenta Mathematicae (1964) matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm56/fm56129.pdf つづく 134 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/17(月) 22:56:38.17 ID:QZBefhAf.net] >>125 つづき 日本語版 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88 整列集合 例と反例 自然数の全体 N （0 を含む）自然数全体の成す集合 N は通常の大小関係 ≦ が整列順序を与える。この整列集合の順序型は ω で表される。さらに、0 でない任意の自然数は唯一の直前元を持つ。 N における別な整列順序としては、例えば、どの偶数もどんな奇数よりも小さいものとし、偶数同士あるいは奇数同士では通常の大小関係を適用すること� 135 名前：ﾅ得られる順序 0, 2, 4, 6, 8, …, 1, 3, 5, 7, 9, … が挙げられる。この順序に関する整列集合の順序型は ω + ω である。任意の元が直後の元を持つ（したがって最大元は存在しない）が、直前の元を持たない元が 0 と 1 の二つ存在する。 実数からなる集合 正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≦ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]。ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である。例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う。 つづく [] [ここ壊れてます] 136 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/17(月) 22:57:03.69 ID:QZBefhAf.net] >>126 つづき R の非可算部分集合に通常の大小関係を入れたものが整列集合にならないことは、実数直線 R を互いに交わりを持たない区間の和に分割するとき、そのような区間の数が高々可算であることからわかる。可算無限集合ならば、通常の大小関係 ≦ が整列順序となることも、ならないこともありうる。整列順序となる例としては次のようなものが挙げられる。 ・集合 {-2-n | 0 ≦ n < ω} は ω を順序型に持つ。 ・集合 {-2-n - 2-m-n | 0 ≦ m, n < ω} は順序型 ω2 を持つ。一つ前の例に挙げた集合は、この集合に集積点の集合として含まれる。実数全体の成す集合 R の中では（通常の位相でも順序位相でも）0 も集積点に含まれる（これは集積点全体の成すの集合の集積点にもなっている）。 ・集合 {-2-n | 0 ≦ n < ω} ∪ {1} は順序型 ω + 1 である。この集合に順序位相を考えれば、1 は集積点であるが、R に通常の位相（順序位相でも同じことだが）を入れても 1 は集積点にはならない。 参考文献 1^ S. Feferman: "Some Applications of the Notions of Forcing and Generic Sets", Fundamenta Mathematicae, 56 (1964) 325-345 (引用終り) 以上 137 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/18(火) 07:18:10.81 ID:4SccZpT/.net] >>124 補足 (引用開始) https://en.wikipedia.org/wiki/Well-order Well-order Examples and counterexamples Reals The standard ordering ≦ of any real interval is not a well ordering, since, for example, the open interval (0, 1) ⊆ [0,1] does not contain a least element. From the ZFC axioms of set theory (including the axiom of choice) one can show that there is a well order of the reals. Nonetheless, it is possible to show that the ZFC+GCH axioms alone are not sufficient to prove the existence of a definable (by a formula) well order of the reals.[1] However it is consistent with ZFC that a definable well ordering of the reals exists-for example, it is consistent with ZFC that V=L, and it follows from ZFC+V=L that a particular formula well orders the reals, or indeed any set. References 1＾S. Feferman Some applications of the notions of forcing and generic sets Fundamenta Mathematicae (1964) matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm56/fm56129.pdf (引用終り) これだね S. Feferman Some applications of the notions of forcing and generic sets Fundamenta Mathematicae (1964) (抜粋) P1 The most interesting of these are the following: (1) No set-theoreticallydefinable well-ordering of the continuum can be proved to exist fromthe Zermelo-Fraenkel axioms together with the axiom of choice andthe generalized continuum hypothesis. P9 4.11 THEOREM. If s=1 there is no set-theoretically definable well-ordering of the continuum in M*. Proof. What comes to the same thing, there is no formula F(X, Y)of L which establishes a well-ordering relation in the set of all subsetsFundamenta Mathematicae, T. LVI 略 つづく 138 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/18(火) 07:18:27.88 ID:4SccZpT/.net] >>128 つづき P10 Thus, from 4.9 (ii) we obtain: it is consistent with Z-F, AC and GCH,that there is no set-theoretically definable well-ordering of the continuum. (That is, it is consistent to adjoin to these axioms the statement, foreach formula ? of L with two free variables, which expresses that Fdoes not determine a well-ordering of the continuum.) This bears onquestions dealt with by Myhill and Scott [13] (1). (*). The following result of Scott, which will appear in that paper, is of specialinterest in this connection: it is provable in Z-F that there is a definable well-orderingA with field I a subset of the continuum, such that any other well-ordering 4, of thissort has field TiCr. A simple explicit definition of this A can be given. (引用終り) 以上 139 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/18(火) 08:27:27.31 ID:rb9GigYc.net] >>126 >正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≦ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。 じゃダメじゃんｗ 通常の大小関係では整列順序でないんでしょ？ はい、終了。とっとと退場して下さい。 140 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/18(火) 08:28:26.19 ID:rb9GigYc.net] 得意のコピペで自らの首を絞める哀れな落ちこぼれ　 141 名前：瀬田 [] [ここ壊れてます] 142 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/18(火) 08:43:10.14 ID:W8fi4PC4.net] >>130 ＞選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、 ＞実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。 雑談君は、この文章を誤解してるね おそらく 「＞選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、 　実数全体の成す集合 R 上の通常の順序が整列順序だと示せる。」 ってね 全然違うよ　ほんと日本語読めないんだな　在阪朝鮮人はｗ 143 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/18(火) 08:44:53.81 ID:4SccZpT/.net] >>130-131 >>正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≦ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。 >じゃダメじゃんｗ >通常の大小関係では整列順序でないんでしょ？ 意味分からん 「正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≦ を考えたものは整列順序ではない」 は、初等的な結果だよ。中高校レベル 一方で、「選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる」 は、大学レベル 何の反論にもなっていないぞ！ｗ（＾＾； お茶目な おサルだねぇ〜！！ｗ（＾＾ 144 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/18(火) 08:46:54.42 ID:4SccZpT/.net] >>132 ははは 　>>128-129 をどぞ 何のための 　>>128-129だと思ったの 　>>128-129を嫁め！ｗ 145 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/18(火) 08:50:39.12 ID:rb9GigYc.net] >>133 まさかとは思うが、ZFCなら通常の大小関係で整列順序になると思ってる？ それって「選択公理を仮定すれば最小の正実数が存在する」と言ってるのと同じことだよｗ もちろん大間違い、0点で落第ですｗ はい、終了。とっとと退場して下さい。 146 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/18(火) 08:52:59.77 ID:W8fi4PC4.net] N∪{∞}　という集合を考える 0を起点として１，２，３と順々にたどる「自然数電鉄」がある しかし∞は自然数電鉄の終点ではない ∞には、１，２，３・・・の各駅から 「リミット・エアライン」の飛行機で飛ぶしかない 安達氏は、飛行機嫌いだから「∞なんていけるわけない！」という まあ、文明嫌いのお爺ちゃんだから仕方ない で、雑談君は 「いや、リミット・エアラインなんか使わなくても、自然数電鉄だけで∞に行ける！ 　で、∞から自然数電鉄にのれば、無限個の駅を通過して０に戻れる！」 といって駄々こねる鉄ヲタ いや、だめなんだってｗ ０から∞にいくには、どこからでもいいけど 最後はリミット・エアラインで飛ぶ必要がある 逆も同様 ∞から最初にリミット・エアラインで 自然数電鉄のどこかの駅に行く必要がある だから乗り物にのるのは有限回 147 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/18(火) 08:55:09.43 ID:W8fi4PC4.net] >>134 なるほど　理解できなかったから英語のままコピペでごまかした、とｗ 雑談君　数学以前に英語もダメだったんだね　 ま、そもそも国語がダメだけどｗｗｗ 148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/18(火) 09:02:20.71 ID:W8fi4PC4.net] >>136の比喩で考えると、 たんなる飛行機嫌いの安達老人より 鉄道万能主義の雑談君のほうが はるかに精神的にヤヴァイとわかる 149 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/18(火) 09:06:56.68 ID:W8fi4PC4.net] >>138 安達氏と雑談君は飛行機を認めない点では同じ しかし安達氏は∞が鉄道でいけないことは理解してる 雑談君は∞も自然数同様、鉄道で行けると何の根拠もなく盲信狂信してる ここの読者は 「∞は鉄道ではいけないけど、飛行機使えば行ける」 と分かってる 150 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/18(火) 09:26:53.49 ID:rb9GigYc.net] はっきり差が付きましたな 安達＞瀬田 瀬田よ だから言ってるだろ？キミは口では無限と云いつつ実際は有限しか認めてないと。 自然数鉄道で行けるのは有限だけ。∞へも自然数鉄道で行けると思ってるキミは有限しか認めてないんだよ。分かる？ 151 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/18(火) 12:08:40.55 ID:rb9GigYc.net] 安達　有限との違いを理解した上で無限を拒絶 瀬田　そもそも違いを理解していない 文学部に負けた阪大工学部ｗ 152 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/18(火) 12:09:25.73 ID:MmiRs6gm.net] 突然ですが https://www.nikkei.com/article/DGXZQOUC106KY0Q1A510C2000000/?unlock=1 GoogleがOS開発に新言語　背景にサイバー戦争の影 日経 （日経クロステック/日経コンピュータ　中田敦） 2021年5月18日 5:00 [有料会員限定] 米グーグルが2021年4月、基本ソフト（OS）を開発するプログラミング言語に「Rust（ラスト）」を採用すると明らかにした。米マイクロソフトも既に採用を始めている。CやC++の独壇場だったOS開発に、15年に「バージョン1」になったばかりの新世代言語であるRustが採用される背景には、サイバー戦争の深刻化がある。 グーグルは4月6日（米国時間）に、OS「Android（アンドロイド）」の開発言語にRustを採用すると発表した。 また同社は8日後の4月14日（同）に、Android のベースとなるLinux（リナックス）カーネルの開発にRustが適していると公式ブログで主張すると共に、Linuxカーネル開発へのRustの採用を目指す団体である「Rust for Linux」に参加したことを明らかにしている。 マイクロソフトはグーグルよりも早い19年7月の時点でOS開発にはRustが適しているとのブログを発表しているほか、19年11月にはOS「Windows（ウィンドウズ）」の一部のコンポーネントをRustによって実装し始めたことを明らかにしている。 カーネルなど中核部分に採用 1970年代初めにOS「UNIX（ユニックス）」の開発にC言語が採用されて以来、OS開発はCやその後継であるC++の独壇場だった。 グーグルはこれまでもAndroidの開発にJava（ジャバ）やKotlin（コトリン）を採用していたが、中核となるカーネルやデバイスドライバーなどの開発にはC/C++しか使ってこなかった。RustはC/C++と同様にカーネルなどの開発に使用する。 つづく 153 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/18(火) 12:09:54.45 ID:MmiRs6gm.net] >>142 つづき グーグルは数千万行にも及ぶ既存のC/C++のコードを書き換えるのは不可能としており、新規のコードの開発にのみRustを適用する方針だ。それでもOS開発の常識が数十年ぶりに変わるのだけは間違いない。 Rustはウェブブラウザー「Firefox（ファイアフォックス）」を開発する米モジラ財団が開発を主導するプログラミング言語だ。開発が始まったのは06年で、安定版であるバージョン1がリリースされたのが15年のことだ。まだ新しい言語をグーグルやマイクロソフトがOS開発に採用する理由は、OSのセキュリティー強化にある。 Rustは、プログラムに必要なメモリーの確保や解放に関連するバグが生じない「メモリー安全」が保証されたプログラミング言語である。それに対してこれまでのOS開発に使われてきたC/C++は「大規模な開発においてメモリー安全なコードを記述することがほぼ不可能」（マイクロソフトのブログより）なのだという。 脆弱性の70%がメモリー管理バグに起因 グーグルによればAndroidに存在した深刻なセキュリティー脆弱性の70%近くがメモリー安全に関するバグに起因するという。マイクロソフトも脆弱性の70%がメモリー安全に関するバグに起因すると述べている。C/C++を使う限りセキュリティー脆弱性を根絶するのは不可能と考えて、Rustを採用するに至ったというわけだ。 今日のアプリケーション開発における主流の言語であるJavaやC#もメモリー安全が保証されている。しかしJavaやC#はメモリー安全を実現するために、プログラムが稼働するランタイムがメモリーの割り当てや解放を管理するガベージコレクション（GC）を採用している。 つづく 154 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/18(火) 12:10:21.14 ID:MmiRs6gm.net] >>143 つづき GCを採用する言語はメモリー管理の挙動をプログラマーが厳格に制御できず、処理のオーバーヘッドも発生するため、カーネルやデバイスドライバーなどの開発（システムプログラミング）には不向きである。またカーネルを稼働するのに適した小型のランタイムを実装するのも難しい。 それに対して 155 名前：RustはGCを使わない。プログラマーはRustの「所有権」という概念に基づいてメモリーを管理する。 グーグルやマイクロソフトによるOS開発へのRust採用は、プログラミング言語を変えなければならないほどOS開発者が追い詰められている現状も物語る。 OSのセキュリティー脆弱性は、サイバー戦争の当事者にとって喉から手が出るほど欲しい「兵器」になり得る。中国やロシアといった強権的な国家の政府機関だけでなく、米国など西側諸国の政府機関もOSの脆弱性を見つけては報告せずに隠しておき、未知の脆弱性を狙う「ゼロデイ攻撃」のツールとして悪用している。 米国政府も脆弱性を悪用 米メディア「MIT Technology Review（MITテクノロジーレビュー）」は21年4月、グーグルが20年4月までに発見したWindowsなどに存在する複数のセキュリティー脆弱性について、西側諸国の政府機関が攻撃手段として使っていたものだったと報じた。 WannaCryのケースからも明らかなように、脆弱性という兵器の流通が野放しになることで被害を受けるのは、罪の無い一般市民だ。OS開発言語のRustへの移行によって兵器の生産に終止符が打たれ、市民の被害が減ることを願うばかりである。 ［日経クロステック2021年4月30日付の記事を再構成］ (引用終り) 以上 [] [ここ壊れてます] 156 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/18(火) 17:31:53.50 ID:MmiRs6gm.net] >>133 追加 下記、極限における無限の問題、無限小、超準解析、アキレスと亀のパラドックス、 実数の連続性（連続だが間に無限小が（＾＾； ） （付録：層＆茎と無限小近傍） （参考） https://www.nagaitoshiya.com/ja/2012/infiniteness/ 永井俊哉ドットコム 無限性のコペルニクス的転回 2012年4月8日2021年5月2日 目次 1.極限における無限の問題 2.ε-δ 論法による問題の解決 3.超準解析による問題の解決 4.アキレスと亀のパラドックス 5.無限に対応する対象はあるのか 1. 極限における無限の問題 無限とは何かという問題は、古代ギリシャのゼノンが提起して以来、重要な哲学的問題であったが、アイザック・ニュートンやゴットフリート・ライプニッツが17世紀に微積分学を創設したことで、改めて考えられることになった。もっとも当時は、関数の極限を求める際の無限小（infinitesimal）や無限大（infinity）の扱い方は粗雑であった。 2. ε-δ 論法による問題の解決 ε-δ 論法は、オーギュスタン＝ルイ・コーシー[2]、ベルナルト・ボルツァーノ[3]の試みを経て、1861年にカール・ワイエルシュトラス[4]によって完成された。ε-δ 論法では、無限小の概念を用いずに極限を求めることができるというのが一般的な認識である。 略 ε-δ 論法の開発者自身が自覚していたことではないが、ε-δ 論法の意義は、極限における有限と無限を分割し、後者を認識対象の属性から認識作用の属性へと振り替えたところにある。 ε-δ 論法の開発者あるいは解説者が、ε-δ 論法によって極限から無限概念を排除することに成功したと信じていたのも、真理とは認識主体とは独立に認識対象に帰属するという素朴な客観主義を前提にしていたからだということができる。無限を認識対象から認識作用へと排除することで、無限を目立たなくさせることはできるが、無限はなくなったわけではない。ε-δ 論法は有限と無限を区別した点で正しかったが、無限が排除されたのではない以上、有限と無限の区別を維持しつつ、無限を再び可視化する必要が出てくる。1960年代から登場した超準解析の意義はそこにある。 3. 超準解析による問題の解決 二つの実数間に存在する超実数は有限の超実数（finite hyperreal number）と呼ばれる。 無限小は有限の超実数ではあるが、0 以外は実数ではない。0 ではない有限の超実数 hは、限りなく 0 に近く、h=~ 0 と表記される。 つづく 157 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/18(火) 17:32:38.14 ID:MmiRs6gm.net] >>145 つづき https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7 実数の連続性 実数の連続性(continuity of real numbers)とは、実数の集合がもつ性質である。 実数の連続性は、実数の完備性(completeness of the real numbers)とも言われる。また、実数の連続性を議論の前提とする立場であれば実数の公理と記述する場合もある。 また、実数の連続性における連続性とは関数の連続性とは別の概念である。 目次 1 実数の連続性と同値な命題 2 デデキントの公理 3 上限性質 4 有界単調数列の収束定理 実数の連続性と同値な命題 実数の連続性と同値な命題は多数存在する。順序体において、実数の公理は 1.デデキントの公理 2.上限性質を持つ 3.有界単調数列の収束定理 4.アルキメデス性と区間縮小法の原理を満たす 5.ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理 6.次の２条件を満たす ・アルキメデス性を持つ ・コーシー列は収束する 7.中間値の定理 8.最大値の定理 9.ロルの定理 10.ラグランジュの平均値の定理 11.コーシーの平均値の定理 12.ハイネ・ボレルの定理 と同値である。 赤摂也『実数論講義』 には、これらの命題を含めて22個の同値な命題とその証明が記されている。 デデキントの公理 詳細は「デデキント切断」を参照 (A,B)を実数の集合Rの切断とすれば、Aに最大元があってBに最小元がないか、Bに最小元があってAに最大元がないかのいずれかである。 リヒャルト・デーデキントが提示した。 つづく 158 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/18(火) 17:33:16.94 ID:MmiRs6gm.net] >>146 つづき 下記 P43 「その場合, 層の系列が完全であるとは, 全ての点での茎が完全, つまり各点の無限小近傍において加群の系列が完全であることを意味している」 つまり、「無限小近傍」に思い至らないと、層や茎が分からないんだよね（＾＾； （参考） https://forcing.nagoya/ The Dark Side of Forcing 既刊同人誌 https://forcing.nagoya/book_C86.pdf 2014/08/17 The Dark Side of Forcing Vol.3(C86) PDF 足立真訓, 倉永崇, 才川隆文, 鈴木佑京, 淡中圏, 宮崎達也 1変数複素関数論の見直しによる層係数コホモロジー入門、可述算術の解説、線形代数の多元的見方、企業との公理的集合論共同勉強会事始め、数学短歌 P40 *26 現代数学において, 何度も観察される現象に, 幾何的対象と関数環の双対性がある. 集合の特性関数や, 論理学の命題と外延の関係や, 位相空間におけるウリゾーンの距離化定理などは全てその初等的な現れで ある. 高等数学においては, 多様体など, 幾何的対象を直接考えるのではなく, その上の, その対象と双対 的になるような適切な関数の層を考えることが多い, すると, 関数は環をなすので, 線形代数やその拡張で ある環上の加群の議論が使え, 後で述べる, 層のコホモロジー論などが, この対象の幾何的性質をうまく抽 出するのだ. これがグロタンディークがコホモロジー論によって, 線形でない対象の議論も全て, 線形代 数に帰着させてしまう手法である. またこの双対性によって, 本来幾何的対象の上の関数環として導入されたわけではない任意の環を, 何 らかの幾何学的対象の上の関数環だと見なそうという手法が, scheme 159 名前： 論であり, 詳しくは [3] を参照. 体 K に対応する scheme である Spec(K) は位相空間としては実際に点になる. ただし局所環付き空間 と呼ばれるものになるので, 位相空間としての単なる一点よりは複雑な構造を持つ P43 この議論は環上の加群に限らず, 任意の対象が入射的対象の部分対象になっているよう な（入射的対象を十分に持つ, と呼ばれる）アーベル圏から, 別のアーベル圏の関手に対し て使える*32. もっとも重要な例は, 各種多様体や scheme や解析空間などの局所環付き空 間 X 上の, 加群の層から加群もしくは加群の層への関手である. その場合, 層の系列が完全であるとは, 全ての点での茎が完全, つまり各点の無限小近傍 において加群の系列が完全であることを意味している. (引用終り) 以上 [] [ここ壊れてます] 160 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/18(火) 17:45:41.16 ID:rb9GigYc.net] いくらコピペしても 「選択公理を仮定すれば最小の正実数が存在する」 なんて考えてるようじゃ無意味。 161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/18(火) 22:22:57.15 ID:W8fi4PC4.net] >>142-144　雑談君　全く反論できず　遁走ｗｗｗｗｗｗｗ 162 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/18(火) 22:24:15.08 ID:W8fi4PC4.net] >>145-147 雑談君　整礎関係が全く理解できず　爆死ｗｗｗｗｗｗｗ 163 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/18(火) 22:26:15.56 ID:W8fi4PC4.net] 大阪朝鮮学校卒の🐎🦌　雑談　ここに死すｗｗｗ 164 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/18(火) 22:29:32.98 ID:W8fi4PC4.net] 雑談は日本語が全く読めない🐎🦌ｗｗｗ 165 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/18(火) 22:30:02.78 ID:W8fi4PC4.net] 文章が読めないのでコピペで誤魔化すテイタラクｗｗｗ 166 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/18(火) 22:30:38.26 ID:W8fi4PC4.net] 述語論理は全く理解できないパクチーｗｗｗ 167 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/18(火) 22:31:16.17 ID:W8fi4PC4.net] 必要条件と十分条件の違いも判らず、全て同値と誤解ｗｗｗ 168 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/18(火) 22:31:54.58 ID:W8fi4PC4.net] 条件文が理解できないので条件を省略する🐎🦌ｗｗｗ 169 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/18(火) 22:33:01.06 ID:W8fi4PC4.net] さっさとピョンヤンに帰れ　朝鮮猿ｗｗｗ 170 名前：１３２人目の素数さん [2021/05/18(火) 23:57:16.66 ID:rb9GigYc.net] えーっと サル並みの頭脳の瀬田くんに数学は無理 が結論でいいのかな？ 171 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/05/19(水) 05:56:17.94 ID:U53l80ep.net] >>158 ＯＫ牧場ｗｗｗｗｗｗｗ 172 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/19(水) 07:53:54.77 ID:H7LP/xSH.net] サル二匹 まあ、隔離スレで放し飼いする方が 世間のスレにご迷惑をかけなくていいなｗ（＾＾； 173 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/19(水) 07:54:22.17 ID:H7LP/xSH.net] >>128 補足 ”選択公理⇔整列可能定理”について （下記が分かり易いね） paiotunoowari.hatenadiary.jp/entry/2015/12/03/133610 整列可能定理 2015-12-03 ぱいおつ日記 ひかるさんのアドベントカレンダー企画の3日目の記事です. (抜粋) Nは普通の大小関係で整列集合になってます. Zとかも普通の大小関係は整列順序じゃないけど0<?1<1<?2<2<...<?n<n<...と並べ直したら整列集合になってます. こんなふうに,ある順序で整列集合でないような集合でも別の順序では整列集合になっていたりします. 有名ですが,じつは,どんな集合にも整列順序が入れられるというのは選択公理と同値です. 選択公理 任意の集合族{Xα|α∈A}に対して,各α∈Aでφ(α)∈Xαとなる写像φ:A→∪α∈A Xα(選択関数)が存在する. 整列可能定理 任意の集合はある順序で整列集合になる. じゃあ,証明していきます. (選択公理⇒整列可能定理の証明) 任意の集合Xを考える. φ:2X:Xを選択関数とする.つまり,各Y⊆Xでφ(Y)∈Yとする. X の各部分集合Yに関する次の2つの性質を合わせてPと呼ぶことにする. (P1)Yは整列順序を入れられる. (P2)任意のy∈Yでy=φ(X?Y<y>)である. 性質Pをみたす集合全体をAで添え字づけて{Yα|α∈A}としておく. また,Y:=∪α∈A Yαとする. 次の3つのステップに分けて証明を進めていきます. ステップ１ 各α,β∈Aについて次のいずれかひとつが成り立� 174 名前：ｿ,成り立つのはひとつだけである. (ア)Yα=Yβ. (イ)Yα<a>=Yβ(∃a∈Yα). (ウ)Y alpha=Yβ<b>(∃b∈Yβ). ステップ２ Yは性質Pをみたす. ステップ３ じつはY=Xである. 略 つづく [] [ここ壊れてます] 175 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/19(水) 07:54:45.62 ID:H7LP/xSH.net] >>161 つづき じゃあ逆向きも示していきます. 選択公理から整列定理を導くのは少し長かったけど,逆はわりとスッキリ示せます. (整列可能定理⇒選択公理の証明) 任意の非空集合族{Xα|α∈A}を考える. 整列可能定理を用いて∪α∈A Xαに整列順序を入れる. すると,各α∈AでXαは最小元mαを持つ. そこで,写像φ:A→∪α Xαをφ(α)=mα(∀α∈A)で定める. するとこのφが選択関数となっている.■ 参考文献 『集合論入門』(ちくま学芸文庫)赤攝也著 つづく 176 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/19(水) 07:55:02.59 ID:H7LP/xSH.net] >>162 つづき （下記は本格的） www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/ 東北大学大学院情報科学研究科 システム情報科学専攻 尾畑研究室 www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-13_WellOrdered.pdf 第13章 整列集合 GAIRON-book : 2018/6/21(19:23) すべての自然数を小さいものから順に一列に並べれば, 1 2 3 4 . . . のような見慣れた配列が得られる. これは, 自然数に通常の大小による順序関係 を与えて得られる全順序集合 (N, >=<) の一つの簡便な表示である. 一般の全順序 集合に対しても, 任意の 2 元が比較可能であることから, すべての元が一列に並 んでいるとは言えるが, 自然数の配列にはいろいろと特異な点がある. 本章で は, この自然数の配列の特徴を抽象化した概念である整列順序を導入して, すべ ての集合に整列順序を定義できること (整列可能定理) を証明する. 13.1 整列集合 順序集合 (X, ≦) は, すべての空でない部分集合が最小元をもつとき, 整列集 合であるといい, そのような順序を整列順序という. 定義から整列集合は必ず全 順序集合であることに注意しよう. 実際, a, b ∈ X に対して集合 {a, b} は X の 空でない部分集合になるから, それは最小元をもつ. 最小元は a または b であ るが, それが a であれば a ≦ b となるし, それが b であれば b ≦ a となる. これは, 任意の a, b ∈ X が比較可能であることを意味し, X は全順序集合である ことがわかる. 定義から空でない整列集合 X それ自身は最小元 min X をもつ. つづく 177 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/19(水) 07:55:25.17 ID:H7LP/xSH.net] >>163 つづき 定 理 13.1 自然数 (N, >=<) は整列集合である. 一方, 実数 R, 有理数 Q, 整数 Z は通常の大小関係 >=< によって全順序集合で あるが, いずれも整列集合ではない. それらには最小元がないからである. だか らと言って, 実数や有理数を 0 以上のものに限っても整列集合にはならない. た とえば, X = [0, +∞) の部分集合 A = (0, +∞) には最小元が存在しない. ここで, 自然数を並び替えて得られる順序の例をいくつか考えておこう. 例 13.2 自然数 x, y ∈ N に対して, x ≧ y のとき x ≦' y と定義すれば, 全順序 集合 (N, ≦') が得られる (問 12.6). 要は, . . . 4 3 2 1 のように, 自然数を通常とは逆順に並べることに相当する. この配列には min N が存在しないから, (N, ≦') は整列集合ではない. 例 13.4 自然数を偶数と奇数を分けて, 偶数同士, 奇数同士では通常の大小を考 え, 偶数と奇数では奇数の方が小さいとする順序関係 ≦1 を導入する. この順序 に関して自然数を書き並べれば, 1 3 5 . . . 2 4 6 . . . (13.2) のような配列が得られる. こうして得られる全順序集合 (N, ≦1) は整列集合に なる. 実際, 任意の空でない部分集合 A ⊂ N が与えられたとき, A が奇数を含 めば A に含まれる奇数のうち最小のものが min A を与え, A が偶数のみから なるときは, A に属する偶数のうち最小のものが min A を与える. 次に, 整列集合の簡単な

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