- 102 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/17(月) 07:23:57.61 ID:QZBefhAf.net]
- >>96
つづき
定理 9 (K. G¨odel, 1938) V = L （すべての集合は構成的である）を仮定すると，Δ12 集合で，非可測なものが存在する．
証明． V = L を仮定すると R 上の順序型が ω1 の整列順序で R2 の部分集合として見
たとき Δ12 集合となるものが存在する．フビニの定理により，もしこの集合が可測とする
と，この集合も，この集合の R2 での補集合も測度 0 となるが，このことから R2 の測度
も 0 であることが帰結されてしまい，矛盾である．QED
一方，定理 3 の証明では実は ZF + DC + “すべての実数の集合はルベーク可測” の成
り立つモデルを構成する過程で，ZFC + “すべての射影的集合はルベーク可測” の成り立
つモデルが構成されていた，したがって，
定理 10 (R. Solovay, 1970) ZFC + IC が無矛盾なら，ZFC + “すべての射影的集合はル
ベーク可測である” を満たすようなモデルを構成することができる．
上の結果での Solovay のモデルは連続体仮説も満たすものになっていたが，ここでの
証明に少し変更を加えると，同じ仮定から，ZFC + ¬CH + “すべての射影的集合はルベー
ク可測である” のモデルを構成することもできる．言い換えると “すべての射影的集合は
ルベーク可測である” という命題からは連続体の大きさは決定できない．
一方，到達不可能基数よりずっと大きな ? つまり，その存在の仮定がずっと大きな無
矛盾性の強さを持つような ? 巨大基数の存在を仮定すると，そのことから，すべての射
影的集合のルベーク可測性が帰結できる：
定理 11 (S. Shelah and H. Woodin, 1990) 超コンパクト基数が存在するなら，すべての射
影的集合はルベーク可測である．
上の結果での超コンパクト基数の存在は，後に，H. Woodin により，定理 6 でも現れた
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