- 99 名前：現代数学の系譜 雑談 mailto:sage [2021/05/17(月) 07:10:36.76 ID:QZBefhAf.net]
- >>94
つづき
注意 6.4
(1) Φ : Ord → Set は「同値関係」を保つため φ・T = card・Φ を満たす写像 φ : Ord/' → Set/〜 がただ一つ存在する.
(2) W-ord ⊂ Ord であり W-ord/' ⊂ Ord/' とみなされる. φ を W-ord/' に制限したものも φ で表すと, φは関係 ≦ を保つ. 順序数 μ に対し, φ(μ) を μ に対応する基数という.
定理 6.5 (Set, ≦) および (W-ord, ≦) は全順序集合である.
定理 6.6 集合 X に対し, card P(X) > card X である. 従って, いくらでも大きな基数が存在する.
定義 6.7 card N = ?0, card R = ? とおき, それぞれ可算基数, 連続の基数と呼ぶ. また, card X = ?0 である集合を可算集合, card X > ?0 である集合を非可算集合, card X ≦ ?0 である集合をたかだか可算な集合と呼ぶ.
系 6.10 X が無限集合ならば X 〜 Y となる X の部分集合 Y がある.
定理 6.11 card P(N) = ?. 従って, ? > ?0 である.
補題 6.12 μ を順序数とする. このとき W-ord/' の部分順序集合 {ν ∈ W-ord/'| ν < μ} は整列集合である.
定理 6.13 順序数からなる任意の集合は整列集合である.
(引用終り)
以上
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