現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22

1 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2016/08/13(土) 19:56:11.02 ID:OzAMei2D.net] 旧スレが500KBオーバー間近で、新スレ立てる このスレはガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレです（最近は、スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。ガロア関連のアーカイブの役も期待して。） 過去スレ 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む21 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/ 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む20 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/ 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む19 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1462577773/ 同18 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1452860378/ 同17 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1448673805/ 同16 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1444562562/ 同15 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1439642249/ 同14 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/ 同13 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/ 同12 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1423957563/ 同11 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/ 同10 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1411454303/ 同9 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1408235017/ 同8 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1364681707/ 同7 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1349469460/ 同6 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1342356874/ 同5 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1338016432/ 同(4) uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1335598642/ 同3 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1334319436/ 同2 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331903075/ 同初代 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/ 古いものは、そのままクリックで過去ログが読める。また、ネットで検索すると、無料の過去ログ倉庫やキャッシュがヒットして過去ログ結構読めます。 445 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/01(木) 20:59:44.12 ID:qfR66kjQ.net] >>381 おっちゃんは、やはり愛すべきキャラだね １．「国語からやり直し」と言いながら、自分の書いている日本語はどうなんだ？ 　　（おっちゃんの書いている証明そっくりだな。何を言いたいのか？） ２．独演会とは一人でやるから独演会だ。ところが、掛け合い漫才のもう一人の当人がおっちゃん、あんたでしょうよ？ 　　つたない英語で何が言いたい？　”私かお前さんのどちらか片方がここに書いた可能性を見落としている”？ 独演会の否定になってないよ （しかし、その英語が日本語よりましだから面白い） ３．”そもそも、「独演」の意味が分かっていれば>>343は書かない。”って、なにが言いたいんだ？？ 結局、「国語からやり直し」って、お互いさま以上の主張になっとらんぜ（＾＾ 446 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/01(木) 21:02:16.77 ID:qfR66kjQ.net] >>413 >頭の有限個以外が一致するという条件なのだから、決定番号は当然有限 証明できないよ 447 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/01(木) 21:04:06.34 ID:qfR66kjQ.net] 例えばな、頭の有限個以外というが、その頭の有限個を仮にｎとしようか ｎに上限はあるのか？　上限があるとすれば、それはいくらだ？ 448 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/01(木) 21:06:29.78 ID:qfR66kjQ.net] 上限は決められない？　 上限がない場合を、数学では無限というんじゃないのかね？ 449 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/01(木) 21:11:22.92 ID:qfR66kjQ.net] >>381 >同値類の代表元は選択公理の適用から非可測集合を経由して得られているから何も問題ない。 "選択公理の適用から非可測集合を経由して"? それが一体どうした？ 選択公理の適用から非可測集合を経由することが、一体数学的にどんな意味があって、どんな正当化の理由付けになるのか？ おっちゃんの数学は、いつもあやしいね（＾＾ 450 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/01(木) 21:29:12.00 ID:qfR66kjQ.net] ￥さんの介入はいつも的確だね（＾＾ 451 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/01(木) 21:36:30.89 ID:qfR66kjQ.net] >>368 >なんでこいつは自分では証明しないのに人にはそれを求めるの？ 反語だよ反語！ ”「シッポ」は必ず無限数列になりさらに「シッポ」を取り除いた「アタマ」は有限数列になるのでその長さも決定できる”は、要証明だな ∞−∞＝有限（＝「アタマ」） を証明することになるが、∞−∞＝有限は証明できない 同じようなことは、>>410に書いたよ 452 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/01(木) 21:37:45.42 ID:N04tXaIF.net] >>416 ＞s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版). この n0 は s と s' に依る s と s' を動かせば、いくらでも大きい n0 を得ることができるが、s と s' を決めれば自然数 n0 が決まり、自然数なのだから当然有限 453 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/01(木) 21:45:44.43 ID:/xa5DlcY.net] ID:qfR66kjQは相手にしないほうがよい 454 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/01(木) 21:47:43.43 ID:qfR66kjQ.net] >>272 >Sergiu Hart氏の”November 4, 2013”の日付が正しいとして >註1 Source unknown. I heard it from Benjy Weiss, who heard it from ..., who heard it from ... . 時枝解法が与太話としても、Sergiu Hart氏がPUZZLES ”Choice Games”として取り上げて 何人もの学者たちに口伝され、時枝がころりと乗せられる 与太話は当然としても、なかなか面白い話だった（＾＾ 455 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/01(木) 21:50:56.15 ID:qfR66kjQ.net] >>421 >自然数なのだから当然有限 それは言えないよ ”いくらでも大きい n0 を得ることができる”と”n0 有限”は、両立しない 数学の常識だよ 456 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/01(木) 21:51:24.70 ID:qfR66kjQ.net] ｃｆ ペアノ 457 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/01(木) 21:51:59.89 ID:qfR66kjQ.net] 自然数が有限集合だったとは、新説かい？ 458 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/01(木) 21:58:13.10 ID:rrvGRLoE.net] 横レスだが、決定番号が有限値に定まることを証明しておく。 完全代表系の定義からきちんと出発する。 完全代表系の構成の仕方： R^N に以下のようにして同値関係〜を定義する。 s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^N に対して、 s〜s' ⇔ ∃n_0≧1, ∀n≧n_0 [ s_n＝s'_n ]. この〜が実際に同値関係になっていることの証明は省略する。 s∈R^N に対して、sの同値類を C(s) と書くことにする。すなわち、 C(s)＝{ t∈R^N｜s〜t } と定義する。C(s)⊂R^N である。次に、 M＝{ A⊂R^N｜∃s∈R^N [ A＝C(s) ] } ( ＝ R^N/〜 ) と置く。次が成り立つことに注意する。 (1) ∀A,B∈M [ A≠B ⇒ A∩B＝φ ]. (2) ∪[A∈M] A ＝ R^N. (3) ∀A∈M [ A≠φ ]. I_A＝A (A∈M) と置けば、A∈M を添え字とする集合族 (I_A｜A∈M) が得られる。 (3)から、I_A≠φ (A∈M) である。よって、選択公理が使えて、 写像 f：M → ∪[A∈M] I_A (＝R^N) であって ∀A∈M [ f(A) ∈ I_A (＝A) ] を満たすものが存在する。このような f を1つ取って固定する。 集合 { f(A)｜A∈M } は、「 R^N の、〜に関する完全代表系」と呼ばれる。 次が成り立つことに注意する。 (4) ∀A∈M [ C(f(A))＝A ]. 459 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/01(木) 22:02:23.27 ID:rrvGRLoE.net] 決定番号の定義の仕方： 写像 g：R^N → M を以下のように定義する。 s∈R^N を任意に取る。(2)より、s∈R^N＝∪[A∈M] A であるから、 s∈A を満たす A∈M が存在する。また、(1)より、そのような A∈M は一意的である。 その A に対して、g(s)＝A と定義する。こうして g：R^N → M を定義すると、 明らかに次が成り立つ。 (5) ∀s∈R^N [ s∈g(s)∈M ]. 次に、P(N)をNのベキ集合として、写像 h：R^N → P(N) を以下のように定義する。 s∈R^N を任意に取る。(5) より、g(s)∈M である。 特に、f(g(s)) が定義できて、f(g(s))∈R^N である。そこで、 h(s) ＝ { m≧1｜∀n≧m [ s_n＝f(g(s))_n ] } ⊂ N と定義する。こうして h：R^N → P(N) を定義すると、次が成り立つ。 (6) ∀s∈R^N [ h(s)≠φ ]. 以下でこのことを示す。s∈R^N を任意に取る。 h(s)≠φ を示したい。背理法を使う。h(s)＝φと仮定する。 よって、任意の m≧1 に対して ¬(m∈h(s)) が成り立つ。 すなわち、任意の m≧1 に対して ∃n≧m [ s_n≠f(g(s))_n ] が成り立つ。これが任意の m≧1 で言えるから、 ∀m≧1, ∃n≧m [ s_n≠f(g(s))_n ] が成り立つことになる。すなわち、 ¬(∃m≧1, ∀n≧m [ s_n＝f(g(s))_n] ) … (*) が成り立つことになる。さて、(5)より、s∈g(s)である。 また、(4)より、C(f(g(s)))＝g(s) である。 よって、s∈C(f(g(s))) である。よって、s 〜 f(g(s)) である。 〜の定義から、次が成り立つ。 ∃n_0≧1, ∀n≧n_0 [ s_n＝f(g(s))_n ]. これは(*)に矛盾する。以上より、h(s)≠φ である。 以上より、(6)が成り立つ。 最後に、写像 d：R^N → N を以下のように定義する。 d(s)＝ min g(s). (6)に注意して、この定義は well-defined であり、確かに d(s)∈N が成り立つ。 460 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/01(木) 22:08:49.25 ID:rrvGRLoE.net] 訂正： ×　d(s)＝ min g(s). ○　d(s)＝ min h(s). 写像 d の性質： d(s) の well-defined な定義により、d(s)∈N かつ d(s)∈h(s) である。 h(s)の定義から、 ∀n≧d(s) [ s_n＝f(g(s))_n ] が成り立つ。よって、この d(s) は決定番号の意味をきちんと持っており、 しかも d(s) は有限値である。(終わり) 461 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/01(木) 23:03:44.05 ID:qfR66kjQ.net] >>427 タテレスだが、決定番号が有限値に留まらないことを証明しておく。 背理法による １．決定番号が有限値に留まると仮定する。すると、決定番号に最大値が存在する。それをdmとする ２．dmに対応する同類に属する数列s"が存在する。s"= (s1，s2，s3 ，x x x，sdm，sdm+1・・・)としよう ３．ここで、sdm≠s'dmなる s'dmを取ることができて、数列s'''= (s1，s2，s3 ，x x x，s'dm，sdm+1・・・)を構成することができる ４．数列 s'''= (s1，s2，s3 ，x x x，s'dm，sdm+1・・・)の決定番号は、明らかにdm+1。当然、dm＜dm+1だ ５．これは、dmが最大値であることに反する （蛇足でいうまでもないが、・・・は数列のシッポが一致していることを意味する） QED 補足 上記数列s'''= (s1，s2，s3 ，x x x，s'dm，sdm+1・・・)からの決定番号dm+1の構成法からも明らかなように（これはペアノ算法そのもの） また、無限長数列のシッポで同値類をとるという構成法からも、明らかなように、同値類の 462 名前：頭の最大値は有限ではありえない （当たり前だが、当たり前が分からない人がいるので強調しておく） [] [ここ壊れてます] 463 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/01(木) 23:04:24.20 ID:aXlkYQfx.net] >>410-412 >>415 >>420 >>424 再度書くが 「1. 順序数について調べよう」 自然数全体の集合の順序数をωと書くことにするとωは可算無限集合の順序数のなかで最小の順序数である 任意の有限集合の順序数をnと書くことにすると n < ω であり n + ω = ω ≠ ω + ω よって自然数全体の集合は必ず「アタマ」=有限数列かつ「シッポ」=無限数列になる 464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/01(木) 23:15:42.19 ID:rrvGRLoE.net] >>430 ＞１．決定番号が有限値に留まると仮定する。すると、決定番号に最大値が存在する。それをdmとする ダウト。d(s)はsごとに決まる自然数であり、集合 { d(s)｜s∈R^N } ⊂ N は 上に有界とは限らない。というか、上に有界ではない。 この時点でスレ主の背理法は間違い。 スレ主は>>427-429をきちんと読め。 周囲の人間に証明を要求しておきながら、いざ証明が貼り付けられても、 その証明そのものには何もツッコミを入れず、違う方向から反論 (しかも間違った反論)をしてくるのは正しい態度ではない。 まずは>>427-429をきちんと読み、>>427-429の論法に沿った形で、 >>427-429に不備がないかを確認し、不備があれば指摘しなさい。 それが正しい態度である。 465 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/01(木) 23:17:51.43 ID:qfR66kjQ.net] ぼく数学科か？　何年生？ 466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/01(木) 23:20:05.42 ID:rrvGRLoE.net] >>433 その手には乗らん。煽りで返答するような局面では無い。 周囲の人間に証明を要求しておきながら、いざ証明が貼り付けられても、 その証明そのものには何もツッコミを入れず、違う方向から反論 (しかも間違った反論)をしてくるのは正しい態度ではない。 まずは>>427-429をきちんと読み、>>427-429の論法に沿った形で、 >>427-429に不備がないかを確認し、不備があれば指摘しなさい。 それが正しい態度である。 スレ主の背理法が間違っていることは既に指摘した。 今度はそっちの晩。>>427-429をきちんと読み、 不備があるなら指摘しなさい。 467 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/01(木) 23:20:49.02 ID:qfR66kjQ.net] >>432 それは、独自数学だな あなたの説なら、自然数は有限集合になってしまうよ 468 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/01(木) 23:22:16.55 ID:rrvGRLoE.net] >>435 ＞あなたの説なら、自然数は有限集合になってしまうよ 「なる」というなら、そのことを証明してみなさい。 そこで改めて、スレ主の勘違いが露呈する。 だから、そのことを証明してみなさい。 469 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/01(木) 23:24:29.53 ID:qfR66kjQ.net] >>432 >d(s)はsごとに決まる自然数であり、集合 { d(s)｜s∈R^N } ⊂ N は >上に有界とは限らない。というか、上に有界ではない。 発狂してんじゃないか？ 自然数の集合で上に有界ではないなら、それは無限だよ 470 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/01(木) 23:25:19.44 ID:qfR66kjQ.net] >>436 ペアノの公理とか基礎論を勉強したらどうだ？ 471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/01(木) 23:27:51.42 ID:/xa5DlcY.net] >>437 本気で∞∈Nだと思ってるだろ 472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/01(木) 23:27:58.10 ID:rrvGRLoE.net] >>437 そこがスレ主の勘違い。 たとえば、a_n＝n (n≧1) という数列を考えると、{ a_n｜n∈N } ⊂ N という 集合は上に有界ではないが、どの a_n も有限値であり、a_n＝＋∞ が 成り立っているような n は存在しない。 473 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/01(木) 23:29:22.64 ID:qfR66kjQ.net] >>434 >>430に書いた証明の手法は、ごくありふれたどこにでもあるやり方だよ これを否定するのは、勉強不足だよ 474 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/01(木) 23:31:30.78 ID:qfR66kjQ.net] >>440 別にかまわんが、じゃ ”箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.”の「可算無限個ある.箱」ってどういう意味なんだ？　説明してみな 475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/01(木) 23:32:35.69 ID:rrvGRLoE.net] >>441 手法がありふれているかどうかではない。 d(s)はsごとに決まる自然数であり、 集合 { d(s)｜s∈R^N } ⊂ N は上に有界ではないのだから、 これが上に有界だと主張しているスレ主はこの時点で間違っており、 反論として成立していない。すなわち、 「スレ主はありふれた手法を使ったが、しかし間違えている」 ということ。 476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/01(木) 23:34:46.30 ID:rrvGRLoE.net] >>442 まずは俺の>>427-429 をマジメに読みなさい。 そして、どの行にも間違いがないことを確認しなさい。 そのときスレ主は初めて 「あれ？自分がおかしかったのかな？」 と気づくであろう。 もしくは、>>427-429 に具体的な間違いを発見したならば、 その部分を具体的に 477 名前：指摘しなさい。 なぜ読まないのだ。まずは読みなさい。 周囲の人間に証明を要求したのはスレ主である。 スレ主は、そのような証明を読みたがっていたからこそ、 証明を要求したのである。にも関わらず、読まないで 別の方面から反論してくるのは不誠実である。 まずは読みなさい。 [] [ここ壊れてます] 478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/02(金) 00:54:13.55 ID:Fta2HIsX.net] >>444 メンター氏だろうか。参戦感謝。 スレ主の相手は楽しいだろうか？ それが終わったら、ほんの少しだけでも構わないので、 私のお相手もして頂けると有難い。 /// もはや説明の必要はないと思うが、 時枝氏の記事の内容はSergiu Hart氏の公開論文の内容 www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf と同じであり、そこでは混合戦略の意味で、 "確率1-εで箱の中身を当てられる"とする戦略が述べられている。 俺は"戦略は成立する"という意見を持っている（>>256）。 もちろんそれを『確率(測度)99/100で箱の中身を当てられる』などと言うつもりはない。 ・非可測な対象（Hart氏のGame1） または ・確率空間を定義できない対象（Hart氏のGame2） に対して確率測度を考えることはできない。 そのような対象を扱うとき、確率的な直感が通らないのは不思議ではないと、 理屈の上では理解しているつもりである。 繰り返すと、私の立場は 『戦略は成立する（ただし確率測度を考えることはできない）』 というものだ。 貴方はどのような考えを持っているだろうか、率直に知りたいと思う。 それをもとに理解を深めていきたい。 479 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/02(金) 07:46:34.19 ID:p3ksXUdG.net] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ''';;';';;'';;;,.,　　　　ザッザッザ・・・ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　''';;';'';';''';;'';;;,.,　　　ザッザッザ・・・ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　;;''';;';'';';';;;'';;'';;; 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　;;'';';';;'';;';'';';';;;'';;'';;; 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 vy;vy;v:yy;vy;v;yv;yv、 　　うんこスレと聞いて　　　　　　　λVv vλ v;y v Vv vλv;y λv、 　　　　参りました　　　　　　　λ　Λ __ λ_ Λ _ﾍ λ　λ ﾍ__ λ_ﾍ λ λ 　　　　　　　　 　　　　　　　　人　人　λ　人　 人　人 __λ人　　人　 人 　　　　　　　　　　　　　　 人　　 人　人 　人　 人　 人　　 人　人　　人 　　　　　　　　　　　　人（＿_人（＿人　） 人　（人.人_＿）.人___）　人（　人 　　　　　　　　　　　（＿_）__（＿_）_（＿_）（＿_）（＿_）__）　（＿_）__（＿_）（＿_） 　　　　　　　　　　 （＿＿）（＿＿（＿＿）＿__（＿＿）__）（＿＿）（＿＿）＿＿） 　　　　　　　　　　（ ・∀・ （ ・∀（ ・∀・ ）∀（ ・∀・ ）・（ ・∀・ ） ・∀・ ）∀・ ） 480 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/02(金) 09:55:22.61 ID:QRLQWkWZ.net] ここにきてさらに低レベルっぷりを晒してきてワロタ 481 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/02(金) 17:30:41.86 ID:DbRNG5d4.net] レベルが低過ぎると会話すら成立しないいつものパターン 482 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/02(金) 19:39:40.53 ID:lJMQNL4g.net] >>430 >>442 > 当たり前だが、当たり前が分からない人がいるので強調しておく スレ主は無限数列のシッポの全ての数字を変えた段階で「無限数列が属する同値類が変わること」を考慮しなくちゃいかんよ 形式的に書くとスレ主はシッポの全ての数字を変えれば d = ＋∞ だと言いたいのだろうが新しい無限数列のシッポで 求めた決定番号は有限なので d < ＋∞ 483 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/02(金) 21:30:24.88 ID:2O3NO53v.net] >>445 ヨコだが、www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf の GAME2 について考えて このパラドクスの源泉がわかったような気がする。 GAME2は、選択公理も非可測集合も出てこないので、それらはパラドクスに関係ない。 おそらく確率も関係ない。なぜなら、事前に代表系を定めておけば、プレーヤー２の番の前に部分数字列、同値類、決定番号、 その他諸々定まっていて、確率は開けないで残す列を選ぶことのみに関わるからだ。 GAME2 は、ほとんどを� 484 名前：ﾀ際に行えるようになっているので、それらを実行してみて変なところがないか探してみる。 代表系を構成的に作るには、代表元を循環節のみからなっている有理数の中で最小のものとすればよい。 プレーヤー１（アリスとしよう）は、[0,1]内の有理数つまり可算集合から選ぶので、ちゃんと確率分布（ポアソン分布とか）を設定できる。 （このことはちゃんと確率を計算できることを言っているだけで、パラドクスとは無関係。） プレーヤー２（ボブとしよう）が、箱を分けることも問題なく実行できる。 しかし、次にボブが箱を開けて部分数字列を得たとき、それからその同値類を決定できるだろうか？ 通常の数学では、同値類の定義から（超越的に）決定できる（とする）。 だが、実際（構成的）には、無限個を見渡すことができないのだから、決定はできない。 頭の方から順に見ていって循環が始まったように見えても、それがいつ破れるかもしれないのだ。 ここに、このパラドクスの源泉があると思われる。 もし同値類を決定できるならば、決定番号を求めることなどは構成的にできるので、この後も戦略はうまくいって、 確率 1-εで当てることができることが計算できる（はず）。 面白いのは、アリスは部分数字列の同値類を構成的に決定できること。 それは、もともとの有理数を知っているから、部分数字列の有理数を決定することができるからだ。 つまり、正解を知っているアリスは戦略を実行でき、知らないボブは実行できない。 なんとも皮肉であるが、常識的だといえる。 GAME1 でも、構成的にできることはほとんどなくなるが、やはり「数列の同値類が決定できるとするか否か」が ポイントなのではないだろうか。 [] [ここ壊れてます] 485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/02(金) 22:36:31.19 ID:Fta2HIsX.net] >>450 コメントありがとうございます。 2点レスします。 --- [1] 『実際的』『構成的』を要件にする場合、貴方の見解に異論はありません。 これについて、下記のページを紹介しておきたい。 https://cornellmath.wordpress.com/2007/09/13/the-axiom-of-choice-is-wrong/ ここではinfinite hat problemについて議論を交わしているが、 この中で下記Charles Siegel氏のコメントから始まる一連の議論がある。 Charles Says: September 13, 2007 at 3:23 pm | Reply 要約すれば（意訳を含むので実際に原文を読んでほしいが）、 infnite hat problemが『実際に』成立するためには、 無限の人間が無限の記憶力を持ち、 無限の計算量を有限時間で行う能力をもつ、 ことを仮定する必要がある。 そのようなことはもちろん『実際には』不可能である。 --- 私はこの問題が『実際に行えるかどうか』を争うつもりはない。 『infinite hat problemが成立する』という数学的事実を認めた場合、 そしてもちろん上記事実を導く数学的仮定を認めた場合、 時枝の戦略は成立すると貴方は考えている、と読みました。 私が誤解していたら訂正してください。 （次レスに続く） 486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/02(金) 22:40:57.90 ID:Fta2HIsX.net] （前レスの続き） [2] >>450 > おそらく確率も関係ない。なぜなら、事前に代表系を定めておけば、プレーヤー２の番の前に部分数字列、同値類、決定番号、 > その他諸々定まっていて、確率は開けないで残す列を選ぶことのみに関わるからだ。 これについては少し議論させてほしい。 貴方が2行目で言う『確率』は、勝ち負けを決める『確率測度』のことではないと思うがどうだろうか？ 『開けないで残す列を選ぶ』選び方に関わる『確率』とは、混合戦略の意味での"確率"ではないだろうか？ プレーヤー2は各列の同値類、決定番号を知らない。 勝ち負けはr_kに対応する決定番号d(r_k) (d：決定番号，r_k；k番目の無限列）の大小で決まる。 d(r_k)の確率分布が分かれば勝つ確率が計算できる。 しかし実際にはd(r_k)は規格化できず確率変数にはなり得ないと思う。 したがって確率空間を定義できず、測度の文脈では 487 名前：確率を考えることはできない、と私は思う。 全く違う問題だと突っ込まれるかもしれないが、 上記ページの下記コメントは、可算選択公理でパラドックスが生じる別の問題について、 その原因はパラドックスと感じる根本原因が『非可測であること』から 『規格化できないこと』にシフトしたためである、とコメントしている。 Terence Tao Says: September 13, 2007 at 9:58 pm | Reply 以上の意見は、貴方の意見と対立するものではないと考えている。 パラドックスの源泉として貴方は『構成的でない』ことを挙げた。 私もそれには同意する。 一方、たとえ『構成的』を要件から外した場合でも、 依然としてこの問題は直感に反するように思う（そう思う人間がきっといる。私も含めて）。 その理由は、確率空間が定義できない対象に、確率的直感を当てはめてしまうからではないか？ 確率的直感を当てはめれば、R^Nのinfinite hat problemにおいて、無限の人間が 非可算無限の色の中から、自分の帽子の色をただ1つ選び出せるとは考えづらいからである。 [] [ここ壊れてます] 488 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/03(土) 09:11:34.41 ID:PeRmcQf6.net] >>414 >>418 どうも、愛すべきキャラのおっちゃんです。+∞が自然数だと思っていたのか…。 +∞が実数だったとしよう。x＝+∞ とおく。有理直線Qを全体集合とする。 xは実数直線R上の点で x∈R。また、Q⊂R。従って、実数の定義から、 xは、Qの或る空ではない部分集合 A＝{r∈Q|r＜x} を用いて、 有理直線Qのデデキント切断により、x＝<A,A'> A'はAのQについての補集合 と表される。 1は有理直線Q上の点で 1∈Q。定義から、有理直線Qの部分集合 A+1 は A+1＝{r+1|r∈Q} と表される。AはQの真部分集合だから、A+1 はQの真部分集合である。 従って、実数の定義から、xと1の実数の加法+についての和 x+1 は、 有理直線Qのデデキント切断により、x+1＝<S,S'> S＝A+1 S'はSについての補集合 と表される。点 r∈A を任意に取ると、A⊂Q から r⊂Q であって r-1∈Q であり、 r-1∈A だから、定義から、(r-1)+1＝r+((-1)+1)＝r+0＝r∈S。従って、A⊂S であり、 x＜x+1。x+1∈R だから、定義からxは上に有界である。しかし、+∞の定義から、 xは上に有界ではない。従って、矛盾が導けた。故に、+∞は実数ではない。 自然数の全体Nと、実数直線Rの間には N⊂R の包含関係があるから、+∞は自然数ではない。 これで分からなかったら、やはり微分積分以前の問題だな。 それ以前に、どうせスレ主は読まないと思うが。 489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/03(土) 09:16:31.15 ID:PeRmcQf6.net] >>414 >>418 >>453の訂正： 「x+1＝<S,S'> S＝A+1 S'はSについての補集合」 → 「x+1＝<S,S'> S＝A+1 S'はSのQについての補集合」 490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/03(土) 09:16:31.60 ID:PeRmcQf6.net] >>414 >>418 >>453の訂正： 「x+1＝<S,S'> S＝A+1 S'はSについての補集合」 → 「x+1＝<S,S'> S＝A+1 S'はSのQについての補集合」 491 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/03(土) 09:18:39.33 ID:PeRmcQf6.net] 同じ内容のレスを2回続けて投稿してしまった。 492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/03(土) 09:33:55.22 ID:SvFkb7h1.net] >>450 訂正 >もし同値類を決定できるならば、決定番号を求めることなどは構成的にできるので、この後も戦略はうまくいって、 決定番号を構成的に求めるには、同値類では足りなくて、部分数字列に対応する有理数まで必要。 これも通常の数学では決定できる。 >>451 私も、構成的手法に限定しなければ、時枝の戦略は成立すると考えてますよ。 >>452 >貴方が2行目で言う『確率』は、勝ち負けを決める『確率測度』のことではないと思うがどうだろうか？ はい、そうではありません。 >『開けないで残す列を選ぶ』選び方に関わる『確率』とは、混合戦略の意味での"確率"ではないだろうか？ 「混合戦略の意味での"確率"」の意味がわかりませんが、単に『開けないで残す列を選ぶ』確率のことです。 d(r_k)の確率分布とは、どんなものかいまいちわかりません。 プレーヤー１の有理数を選ぶ確率分布から決まるものですか？ それを考える意味が私にはわかりません。 >パラドックスの源泉として貴方は『構成的でない』ことを挙げた。 それだと「構成的でない」即パラドクスみたいに聞こえますね。そうではなく、 主張はもっとずっと特定的で「パラドクスの源泉は数列からその同値類を決定できるとするところ」です。 開けていない箱の数の情報をいつどのようにプレーヤー２が得るのかが私の関心事です。 残しといた列を部分的に開けたところまでは、開けていない箱の数の情報は得ていないでしょう。 その後、残しといた列の同値類が決定できたところでは得ることができるようになってます。 なので、同値類の決定がクリティカルである、と考えました。 人間は構成的なことしかできなくて、非構成的なことは神様がやってくれるとするならば、 数列からその同値類を決定することを神様がやってくれる、 つまり神様が情報をくれるのだ、と思うことができます。 493 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/03(土) 09:46:56.67 ID:PeRmcQf6.net] >>414 >>418 >>453の >点 r∈A を任意に取ると、A⊂Q から r⊂Q であって r-1∈Q であり、 の部分の「r⊂Q」は「r∈Q」に訂正。 494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/03(土) 11:52:11.99 ID:pbkV/Chw.net] >>457 > 「混合戦略の意味での"確率"」の意味がわかりませんが、単に『開けないで残す列を選ぶ』確率のことです。 了解です。 100列のR^Nがあるとき、どの列を選ぶかで100の選択肢（純粋戦略）がある。 それら選択肢のどれを選ぶかを確率を付して決めることができる（混合戦略）。 これを100面のサイコロで決めるとすれば、開けないで残す列は1/100の確率で選ばれる。 しかしこの確率は、貴方も理解されているように 『選んだ無限列r_k∈R^Nに対応するd_kが唯一の最大値になる確率"測度"』ではない。 あくまで100列からある1列を選ぶ確率測度に過ぎない。 このことを表すために『混合戦略の意味での"確率"』と言いました。 > d(r_k)の確率分布とは、どんなものかいまいちわかりません。 > プレーヤー１の有理数を選ぶ確率分布から決まるものですか？ > それを考える意味が私にはわかりません。 はい、有理数を選ぶ測度分布から決まるものです。 --- 『考える意味が分からない』という意見は興味深い。 どういう意味でそう言っているのか？推測だけれども 『100列のうち1列を選ばなければ勝てることが論理的に示される以上、 プレイヤーの勝ち負けは箱の選択如何で決まる。よって勝つ確率は99/100である。』 そういう意味であれば、 （※１）プレイヤー２が『勝つ確率』＝100面サイコロがある特定の目を出さない"確率" を意味することになると思う。 ところで数学的に厳密に記述できる確率とは一般に確率測度のことであると思う。 そこで（※１）の左辺にある『勝つ確率』は確率測度であってほしい。 サイコロで決まる確率測度99/100でゲームに勝てるというならば、 （※２）『選んだd(r_k)が唯一の最大値とならない確率測度は99/100である』 ことを示す必要があるのではないか？ 確率とは確率測度のことであるとすれば、それはその通りではないかと思う。 以上が確率分布d(r_k)を得ようとする動機となる。 （続く） 495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/03(土) 11:57:26.78 ID:pbkV/Chw.net] （前レスの続き） >>457 > プレーヤー１の有理数を選ぶ確率分布から決まるものですか？ はい。 たとえば1つの推測としてポアソン分布を仮定する。 また100列は独立等分布とする。 これで前レスの（※２）が示せればいいのだが、game1,2ともに示すことはできないと思われる。 確率測度P(d_k>max({他の99個のd}))が計算できないにも関わらず、 そうなる確率（負ける確率）は1/99以下である、と言っているに等しい。 それは少し気持ち悪く感じるが、貴方はそうでもないだろうか？ 今のところ私は『測度論的確率論も万能じゃないんだな。』で納得することにしています。 > 主張はもっとずっと特定的で「パラドクスの源泉は数列からその同値類を決定できるとするところ」です。 私の理解が浅かったようです。改めて考えてみます。ご指摘感謝。 496 名前：460 mailto:sage [2016/09/03(土) 21:41:52.11 ID:hpt/5Vwk.net] >>460 >そうなる確率（負ける確率）は1/99以下である、と言っているに等しい。 1/100以下の間違いです。 スレ主と議論中だったのに話の腰を折ってしまった。申し訳ない。 497 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/04(日) 22:21:11.09 ID:FlB/9kH2.net] >>450-461 どうもみなさん、盛り上がっているようですね じゃましないようにします 498 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/04(日) 22:21:38.50 ID:FlB/9kH2.net] >>450の視点はなかなか面白いですね。 Tさんもようやく、覚醒に近づいたかも （そろそろ、Choice Games / puzzle Written by Sergiu Hart だと気付いてほしい。） 時枝記事はそのソースが、puzzleなんだと。まっとうな、数学理論にあらずだよ（数学者はだれもまっとうな数学理論として取り上げていないよと） 499 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/04(日) 22:21:53.68 ID:FlB/9kH2.net] これだけの人が（時枝を含め）、Choice Games / puzzle Written by Sergiu Hart に引っかかっているとすれば、このスレで延々長期にわたって取り上げた意味はあったというものだろう まあ、さらにどんどん議論を深めて下さい 500 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/04(日) 22:22:14.41 ID:FlB/9kH2.net] さて、関連して重要なポイントを、２つ指摘しておこう 501 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/04(日) 22:23:04 ] [ここ壊れてます] 502 名前：.50 ID:FlB/9kH2.net mailto: １． >>442 >”箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.”の「可算無限個ある.箱」ってどういう意味なんだ？ ここね、>>444,>>449、（それにおっちゃんの>>453）のレスがあるが全部外れだ ＜可算無限個についての正しい理解＞ １．まず、自然数の集合Nがcard(N)=アレフ0(=可算無限)であることを確認しておく ２．可算無限個に、頭から番号付けをすることでできる。1,2,3,・・・・、n,n+1,・・・（つまり、全単射の存在） ３．さて、自然数の集合が可算無限とはどういうことか？　一言で言えば、任意のnに対して必ず後者 (successor) の自然数n+1が存在するってこと（下記参照） 　（詳しくは、 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0 自然数 - Wikipedia ご参照。なお、同様の数学的記述は検索すれば基礎論のPDFから見つかるだろう ） ４．つまり任意のnに対して必ず後者 (successor) の自然数n+1が存在し、これを繰り返すことで、無限集合の公理により可算無限の自然数の集合Nできるのだ 　（なお、ここでは∞を集合の元として導入する必要なし。これが、正しい可算無限個の理解。（もちろん、∞を導入することも可）） [] [ここ壊れてます] 503 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/04(日) 22:25:32.25 ID:FlB/9kH2.net] ２． >>444 （これは、明らかにメンター氏ではない） 以下コメントをしておく >>430の決定番号が無限大の可能性があるという証明が理解できないと宣う方々 それは、先に書いた「可算無限個ある.箱」（つまりは自然数の集合Nがcard(N)=アレフ0(=可算無限)であること）の理解があやふやってことだよ それで、>>430よりもっと分かり易い説明（証明）を与える。ポイントは”数列コピー＋１箱取り替え法”だ ＜命題：決定番号の可能な範囲は、１から無限大（上記の自然が無限あるという意味で）まである（決して有限の範囲ではありえない！）＞ （証明） １．問題のある数列 s = (s1，s2，s3 ，・・・) とする。このある数列 sから作られる完全代表系の同値類の集合をUとする ２．数列 s のコピーを作る。当然、s ∈ U （∵完全代表系だから） ３．数列 s の d番目の数 sdを、なにかsd≠s'dなるs'dに取り替える ４．つまり、s = (s1，s2，s3 ，・・・, sd,sd+1, ・・・) に対し、s' = (s1，s2，s3 ，・・・, s'd,sd+1, ・・・)となる。明らかに、s' ∈ U （∵完全代表系だから） ５．ここで、s' はsとは、しっぽがd+1から一致する。つまり、s'を代表元とすれば決定番号はd+1 ６．ここで、d+1に対して、自然数の性質から後者d+2が存在する ７．上記同様に、s = (s1，s2，s3 ，・・・, sd+1,sd+2, ・・・) に対し、s'' = (s1，s2，s3 ，・・・, s'd+1,sd+2, ・・・) （但し、sd+1≠s'd+1）とできるから、この場合は、決定番号はd+2 ８．上記の決定番号の構成法から、明らかに、決定番号は任意の（つまりは全ての）自然数を取ることが出来る ９．従って、決定番号の集合をDとすると、N ⊆ D。つまり、card(D)=アレフ0(=可算無限)以上 QED なお、蛇足だが、上記証明には、記号∞はあえて使わなかった。使った方が記述は簡素だが、それでは理解できない人が出そうだからだ また、「無限大」の理解があやふやな人から、つっこみがありそうだが、つっこみの前に、冒頭の＜可算無限個についての正しい理解＞と”自然数の集合Nがcard(N)=アレフ0(=可算無限)であること”の説明をよく読むようお願いする 504 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/04(日) 22:27:33.28 ID:FlB/9kH2.net] >>467 この証明なら、レベルの高い高3なら理解できるだろう 505 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/04(日) 22:39:46.40 ID:HthSw4l9.net] >>467 > >>430の決定番号が無限大の可能性があるという証明 になっていませんｗ 506 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/04(日) 22:42:37.70 ID:FlB/9kH2.net] なっているよ 可算無限＝自然数の集合が理解できていないね（＾＾ 507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/04(日) 22:47:14.40 ID:HthSw4l9.net] >>470 > ８．上記の決定番号の構成法から、明らかに、決定番号は任意の（つまりは全ての）自然数を取ることが出来る Nの任意の元は有限値なので決定番号も有限値。 おしまい。 508 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/04(日) 22:47:55.29 ID:ywUbjGr/.net] >>467 決定番号dが「無限大」というのは決定番号が「全ての自然数より大きい」こと つまり決定番号dが自然数全体の集合の要素でないことを示さないといけないよ d < m < ＋∞ となる自然数mが存在する場合は決定番号dは「無限大」ではない 任意の自然数d 509 名前：に対して m = d + 1 とすればdは「無限大」ではない [] [ここ壊れてます] 510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/04(日) 22:51:15.44 ID:HthSw4l9.net] >>468 > この証明なら、レベルの高い高3なら理解できるだろう たぶんレベルの低い高1でもお前の間違いを理解できるぞ 511 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/04(日) 23:00:48.16 ID:gw1pXNln.net] >>467 スレ主のそのような反応にはウンザリする。スレ主の反論の仕方は 「お前の説が正しいなら矛盾が起きるから、自動的に間違いだ」 というものばかりであるが、これは論法として危なっかしいばかりか、 俺の要求に答えてすらいないので、極めて不誠実である。 まず、論法としての危うさについて説明する。 スレ主は、俺の説が正しいとすると矛盾が出ると言うが、 それはスレ主の勘違いである可能性がある。 というか、実際にスレ主の勘違いであり、反論になってない。 それゆえに、そのような反論の仕方は危なっかしい。 次に、俺の要求に答えてないことについて。 「お前の説が正しいなら矛盾が起きる」という反論の仕方は、 結局のところ、俺の証明を全く読んでいないことを意味する。 俺が要求しているのは、俺の証明をきちんと読み、その上で、 間違っている箇所があるなら具体的に指摘しろということである。 スレ主は周囲の人間に証明を要求したのだから、 スレ主がそのような指摘作業の責任を負うのは当然のことである。 が、現状では、スレ主はマジメに証明を読もうとしておらず、 「その主張が正しいなら矛盾する」という危うい論法を盾にして耳を塞いでいる。 これは不誠実な態度である。しかも、スレ主が主張する矛盾は、スレ主の勘違いであり、 スレ主はその勘違いに気づいてすらいないのだから、これは根が深いのである。 このような勘違いをスレ主が自覚する第一歩は、とにかく、>>427-429 をマジメに読むことだ。 そして、どの行にも間違いがないことを確認することだ。もしくは、>>427-429 に 具体的な間違いを発見したならば、その部分を具体的に指摘することだ。 それが誠実な態度というものだ。 512 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/04(日) 23:03:52.29 ID:gw1pXNln.net] >>467 話が進まないので、とりあえず、スレ主の認識を確認しておきたい。 写像 D：R^N → N を任意に取る。 このとき、任意の s∈R^N に対して D(s)∈N であるから、 任意の s∈R^N に対して「 D(s)は有限値 」である。 すると、スレ主の認識によれば、 { D(s)｜s∈R^N } ⊂ N という集合は必ず上に有界になるんだよな？ そういう認識でいいんだよな？ 513 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/04(日) 23:34:24.71 ID:gw1pXNln.net] 一応、>>467そのものへのコメントも書いておく。 まず、R^Nの〜に関する完全代表系を何でもいいから1つ固定して T と書く。 x∈R^N に対する決定番号 d(x) は、T の元との比較によって決定される。 具体的には、任意の x∈R^N に対して、x〜t を満たす t∈T がただ1つ存在し、しかも ∃n_0≧1, ∀n≧n_0 [ x_n＝t_n ] が成り立っているので、そのような n_0 のうち最小のものを d(x) と定義することになる。 ここまでを話の前提として、>>467にコメントする。 >>467 ＞１．問題のある数列 s = (s1，s2，s3 ，・・・) とする。このある数列 sから作られる完全代表系の同値類の集合をUとする 言ってることが滅茶苦茶である。「sから作られる完全代表系の同値類の集合をUとする」が日本語として意味不明。 この文章をそのまま読むと、Uは同値類の集合ということになる。すなわち、何らかの集合 ∧⊂R^N が存在して、 U＝{ C(x)｜x∈∧ } という形をしていることになる。特に U ⊂ P(R^N) でなければならないが、 一方で、２．以降の文章では s∈U や s'∈U という記述があるので、 U ⊂ R^N でなければならない。ということは、Uは同値類の集合ではないことになる。 であるならば、「sから作られる完全代表系の同値類の集合をUとする」とは一体なんなのか？ ２．以降の記述を見ると、s∈U や s'∈U という記述はスレ主の主張において本質的に重要であるため、 U の定義が何であれ、U ⊂ R^N が成り立っていることは確定する。しかし、この場合、４．の末尾にある 「明らかに、s' ∈ U （∵完全代表系だから）」という記述が支離滅裂となる。 たとえば、U そのものが R^N の〜に関する完全代表系なのであれば、s'〜t を満たす t∈U は 必ず存在するが、s' 自身が s'∈U を満たすとは限らないのである。 (続く) 514 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/04(日) 23:41:36.18 ID:gw1pXNln.net] (続き) ＞５．ここで、s' はsとは、しっぽがd+1から一致する。つまり、s'を代表元とすれば決定番号はd+1 ここでの決定番号とは、おそらく s に対する決定番号のことを言っているものと思われる。 であるならば、決めるべきは d(s) である。よって、>>476 の冒頭で書いた完全代表系 T の中から、 515 名前： s と同値なものを見つけて(これを t とする)、 ∀n≧n_0 [ s_n＝t_n ] を満たす n_0∈N のうち最小のものを取るとき、それが d(s) となる。 T は予め固定されているので、あとから変更することは出来ない。スレ主は 「 s'を代表元とすれば 」 と言っているが、これはすなわち 「 T の元を差し替えて s'∈T が成り立つように変更すれば 」 という意味である。もしそのように変更するならば、変更するごとに d(s) の値も更新され、 一般的には d(s) の値が大きくなっていくので、確かに d(s)＝＋∞ であるかのような 勘違いに陥ってしまうことになる。しかし、実際には、T は予め固定されているので、 自分勝手に取ってきたイジワルな s' をいつでも s'∈T として採用することは出来ない。 よって、ここがスレ主の勘違いとなり、ここでスレ主の主張は破綻する。 ちなみに、どうもスレ主は U 自身を「完全代表系」として扱っているように見える。 この場合、既に述べたように、s'〜t を満たす t∈U は存在するものの、 s' 自体が s'∈U を満たすとは限らないので、やはりスレ主の主張は破綻している。 一方で、U が同値類の集合であるならば、もし C(s)∈U である場合、s'∈C(s) であるから、 T の元を差し替えるような作業は必要ない。そういえば、スレ主が主張するところの U は、 「sから作られる完全代表系の同値類の集合をUとする」 という滅茶苦茶な定義なのであった。となれば、どうもスレ主は、「完全代表系」について 大きな勘違いをしているように見受けられる。とりあえず、U がどんな集合なのか、 スレ主は日本語ではなく論理式できっちり書くべきである。 [] [ここ壊れてます] 516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/05(月) 21:33:40.05 ID:DvGyCbWg.net] >主張はもっとずっと特定的で「パラドクスの源泉は数列からその同値類を決定できるとするところ」です。 言いたい意味は同じなんだけど、明確にするために 「パラドクスの源泉は数列『だけ』からその同値類を決定できるとするところ」 に修正します。 数列がどのように作られてるのかの情報があって、その情報を使って同値類が決定できるなら、 同値類が決定できるとして問題ない。 >>450 の以下の部分が、それ。 >面白いのは、アリスは部分数字列の同値類を構成的に決定できること。 >それは、もともとの有理数を知っているから、部分数字列の有理数を決定することができるからだ。 このとき、同値類が決定されることから数列に関する新たな情報が得られることはないので、 情報の問題は起きない。 >>459 d(r_k)の確率分布を考える意味がわからないといったのは、それを使わずに勝率を計算できるからです。 また、それはちゃんとした確率分布になるからパラドクスの理由にならないだろう、とも思いました。 >>452 の >その原因はパラドックスと感じる根本原因が『非可測であること』から >『規格化できないこと』にシフトしたためである、とコメントしている。 これは、Haar測度を使おうと、つまり可算個のものの選び方を一様にしようとしたためではないですか？ 別の確率測度を使えば、パラドクスは生じつつ、確率は計算できると思います。（下のGAME2の定式化のように） また、非可測などで確率が計算できないことは「当てれるのに、当てれないと思ってしまう」ことの説明にはなりえても、 「当てれる」ことの説明にはならないように思います。 私は納得できる「当てれる」理由を探しています。 517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/05(月) 21:34:20.50 ID:DvGyCbWg.net] >>460 GAME2はプレーヤー１の有理数を選ぶ確率分布を指定すれば、知りたい確率は求められる、と私は主張します。 意見が対立しているところなので、きちんとやりましょう。 GAME2を次のように定式化してみる。 Ｔ: [0,1]内の有理数全体の集合 = {t_1, t_2, …} （ファレイ数列でも使って適当に並べる） 〜を件の同値関係として、Ｔ/〜の代表系は代表元が循環節のみの有理数とする。 （例えば、0.99123123…を含む同値類の代表元は 0.23123123…。>>450の「最小」は勘違い。これに訂正する。） Ｋ:={1, 2, …, K} （ K は分ける列の本数） Ω:=Ｔ×Ｋ Ｅ:=2^Ω P:Ｅ→[0,1], P({(t_i,k)}) = Poisson(i) / K （Poisson(i)は正定数λのポアソン分布）を満たす確率測度 とすると (Ω,Ｅ,P) は確率空間になる。 つまり、すべてのΩの部分集合Ａは可測で P(Ａ)が計算できる。……★ T:Ω→Ｔ, T(t_i,j) := t_i (プレーヤー１が選ぶ有理数) J:Ω→Ｋ, J(t_i,j) := j (プレーヤー２が選ぶ列の番号) d_k:Ω→Ｎ, d_k(t_i,j) := (有理数 t_iに対応する数字列を K列に分けたときの k番目の数字列の決定番号) w:Ω→{1,2}, w(t_i,j) := (プレーヤー１が有理数 t_iを選び、プレーヤー２が j番目の数字列を選んだときに勝つプレーヤーの番号) w(t_i,j)=1 ⇔ d_j(t_i,j) > max[k≠j]{d_k(t_i,j)} d_kの確率分布は P(d_k=n) 私は★から、計算の詳細によらず、勝率やd_kの確率分布が求められると考えますが、あなたはどう考えますか？ (1)この定式化のやり方自体が変 (2)この定式化のやり方はよいが、★が変 (3)★もよいが、T,J,d_k,w などの確率変数の定義などが変 (4)確率変数の定義などもよいが、勝率やd_kの確率分布は求められない どれでしょうか？ 518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/05(月) 23:12:07.90 ID:2WNNFP4J.net] >>478 > また、非可測などで確率が計算できないことは「当てれるのに、当てれないと思ってしまう」ことの説明にはなりえても、 > 「当てれる」ことの説明にはならないように思います。 > 私は納得できる「当てれる」理由を探しています。 >>450 > 通常の数学では、同値類の定義から（超越的に）決定できる（とする）。 > だが、実際（構成的）には、無限個を見渡すことができないのだから、決定はできない。 > 頭の方から順に見ていって循環が始まったように見えても、それがいつ破れるかもしれないのだ。 > ここに、このパラドクスの源泉があると思われる。 貴方は通常の数学では戦略が成立することを認めています。 いまは『実際（構成的）には』どうか？を考えているものと理解しています。 私は実際には成り立たないと思っています。 （この『実際には』の定義も私にはあやふやだけれども） その理由は>>451で引用した『無限』に対するほとんど一切が実際には実現不可だからです。 貴方自身が述べているように、実際には無限個を見渡すことができない。 だから同値類の決定もできない。 一方、『通常の数学では同値類を決定できる』としている。 それこそが直感的には起こりえない数字を当てる奇跡の理由であり、 パラドックスを生じさせる唯一の源であると貴方は考えている、という理解で合っていますか？ それに対して私は『確率空間が定義できないこともパラドックスの一因ではないか？』と言いました。 それに対して貴方は『定義できる』と言う。そこをはっきりさせようというわけですね(>>479)。 まずは論点をはっきりさせようと思い、この文章を書きました。 間違っていたら指摘してください。 519 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/05(月) 23:21:00.34 ID:cIX3urTl.net] ようするに、神様には当てられるが、人間には到底できっこないということ？ ラプラスの悪魔の親戚かなにかかな 520 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/06(火) 07:25:01.53 ID:79eTR5wy.net] >>479へのレスを考えていたのだけれど、 > これは、Haar測度を使おうと、つまり可算個のものの選び方を一様にしようとしたためではないですか？ この行がまだ消化できてないです。 申し訳ないけれど説明を追加してもらえないでしょうか。 なお>>479の★は問題ないです。 521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/06(火) 21:28:24.42 ID:aj9CFcNm.net] >>480 わたしも「構成的に」を適当に使っていて、厳密に正しく使えているのかわかりませんが、 わたしが「実際に」とか「構成的に」といったら「コンピュータでできる」くらいの意味だと思ってください。 構成的に、「無限整数列{a_n}がある」とは、「任意の自然数 n に対して、整数 a_n を計算するアルゴリズムがある」、 「無限実数列{a_n}がある」とは、「任意の自然数 n に対して、任意の精度の a_n の近似有理数を計算するアルゴリズムがある」 みたいな感じです。 つまり、いっぺんに全部並べたり、調べたりはできないが、ずっと並べ続けたり、端から順に調べたりすることはできます。 >一方、『通常の数学では同値類を決定できる』としている。 >それこそが直感的には起こりえない数字を当てる奇跡の理由であり、 >パラドックスを生じさせる唯一の源であると貴方は考えている、という理解で合っていますか？ >それに対して私は『確率空間が定義できないこともパラドックスの一因ではないか？』と言いました。 >それに対して貴方は『定義できる』と言う。そこをはっきりさせようというわけですね(>>479)。 まさに、その通りです。要領を得ない私の発言をうまく要約してくれました。 実を言うと、確率がパラドクスの発生に関与しないというのは確信ではないのです。 「>>450 おそらく確率も関係ない。」と「おそらく」を付けたのは、そのため。 でも、議論するには、立場を極端にした方がいいと思うので、 同値類の決定が唯一の源との立場を取らせてもらいます。 522 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/06(火) 21:33:09.46 ID:aj9CFcNm.net] >>482 >> これは、Haar測度を使おうと、つまり可算個のものの選び方を一様にしようとしたためではないですか？ >申し訳ないけれど説明を追加してもらえないでしょうか。 すみません。タオの発言をもう一回読んだら、話が逆でした。 ハール測度を使いたいわけではなく、「選び方が一様 → 群なのでハール測度になる」ですね。 そして、この場合それは規格化できない（コンパクトでないから）、という流れでした。 ハール測度は言葉だけ出てきた感じですね。 群でなくても、可算集合には一様な確率測度を入れることができないので、ハール測度は無視してくれて構いません。 可算集合には一様な確率測度を入れることができません。 なぜなら、可算集合を X={x_1,x_2,…}、測度を 523 名前：m とすると、 一様性から定数 a があって、すべての元 x_i に対して m(x_i)=a で、 測度のσ加法性から、m(X) = Σ[i=1,∞]m(x_i) = Σ[i=1,∞]a となり、 a=0 なら m(X)=0、a>0 なら m(X)=∞ となるので、m(X)=1 に規格化できないからです。 念のため、lim[n→∞]Z_2^n についても、解説になってない解説をすると： タオは最初 Z_2^N を考えていたわけですが、これは位数が連続無限なので、選択公理が必要。 そこで選択公理が必要ない例を作るために、有限群 Z_2^n の帰納極限 lim[n→∞]Z_2^n を考えることにしました。 Z_2^nの位数は有限なので、その極限 lim[n→∞]Z_2^n の位数は可算無限、したがって選択公理は必要ありません。 ハール測度は左または右移動に関して不変（ルベーグ測度で言ったら平行移動不変）な測度で、 lim[n→∞]Z_2^nに対しては、一様である（すなわち、すべての元の測度が等しいこと）が必要十分条件。 したがって、規格化されたハール測度を入れることができないことが、上のことからわかります。 [] [ここ壊れてます] 524 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/06(火) 22:07:09.87 ID:iWxULaCz.net] 体積の定義できない球 確率の定義できない数字当て 525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/06(火) 23:33:02.03 ID:79eTR5wy.net] >>483-484 分かりやすい説明ありがとうございます。 理屈の上ではほとんど貴方の意見に傾いているのですが、 まだ自分に対して納得できる説明ができない部分があり、 そこはできれば自力で解決したいです。 （と言いつつバカな質問をしてしまうかもしれませんが） 少し時間をください。 526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/08(木) 01:14:58.84 ID:jvxwGRnf.net] >>484 結論として、規格化できないqの分布を暗に考えてしまったことが 私の誤解のもとだったのかなと思います。 dが確率変数にならないことを示すには、Taoが考えたように可算無限の事象 （全事象とは限らない）が等測度で現れること、あるいは別のなんらかの 規格化できない分布を仮定しないといけないかもしれない、と思いました。 正直言うと心から納得できたわけではなく、部分集合の可測性が保証されているという 事実をもとに論理で納得しているだけなのですが。 ----- 　確率が計算できないから数学的に戦略は不成立（または成立不成立を議論できない） という意見が以前にあった（確率という単語に惑わされた部分もあった）。 貴方はそれとは真逆で、 　数学的には戦略は成立する。 　実際にはできない『同値類の決定』が人間の直感を狂わせる"パラドックス"の本質。 　確率測度が計算できないことは付随的なものである（cf.Game2） と考えているように見える。この意見はとても面白く、本質を突いているかもしれない。 これまで私はGame1でもし確率測度が計算できるとしたら（この仮定に意味があるのか 分からないが）、おそらくその結果は戦略不成立を示すだろうと考えていた。 しかしその想像の根拠は失われたように思う。 ----- 527 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/08(木) 22:15:06.78 ID:5mhte3hE.net] >>487 >　実際にはできない『同値類の決定』が人間の直感を狂わせる"パラドックス"の本質。 に関しては、「他の箱から情報は得られない」という人間の直感を反映するモデルを数学側が作れていない、 という方が近いかな。 通常の数学は、情報が得られたら、それをいつでもだれでも十全に使えるものとしているでしょう。 これは、ゲームで言ったらプレーヤー１と２で情報を共有している、あるいは一人遊びをしている状況。 （>>450 「つまり、正解を知っているアリスは戦略を実行でき、知らないボブは実行できない。」） つまり、数学は「プレーヤー１と２を区別してない」から「同値類を決定できる」としちゃう、と考えてます。 >　確率測度が計算できないことは付随的なものである（cf.Game2） そう思うのだけれど、前も言った通り、確信はないです。 確率測度が一様でないときは、箱（確率変数）の独立性がなくなって、情報を得られるようになったりするのかも？ 528 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/09(金) 20:26:52.28 ID:5QtvElNM.net] スレ主へ またアホなこと書いてこの流れを妨害するのはやめてくれないか？ 529 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/09(金) 22:12:05.30 ID:+p+yyndB.net] どうも。スレ主です。 私の立場は、>>464の通り「さらにどんどん議論を深めて下さい」ってことで 議論としては、みなさん覚醒の方向に進んでいると思う ￥さんも、ウォッチ状態なので、いいんじゃないですかね 但し、＜命題：決定番号の可能な範囲は、１から無限大（上記の自然が無限あるという意味で）まである（決して有限の範囲ではありえない！）＞ は、当面保留で良いけど（いま進行の議論が進めば自然に解決するだろうが＊））、教育的見地から、「有限」などとアホな主張を繰り返さないようにクギをさしておきます では、どんどんお願いします ＊）>>484 で”lim[n→∞]”とかの議論をやって、そっちはスルーしておいて、「有限」などとアホな主張を繰り返さないようにね（＾＾ 530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/09(金) 22:12:22.30 ID:LASCbKjZ.net] >>488 週末はスレ主対応で忙しいだろうから一旦引きます。 --- 今、いろいろ思いを巡らせてます。 アリスが有理数qを選び、無限小数に直して一列の箱に詰める。 ボブはアリスが選んだqを当てる。箱は1箱目から順次、すべて開けてよい。 しかし無限小数に変換されたが最後、もはやqがなんの有理数かを認識できなくなる・・ 同値類を決定できないという以前に、こんな簡単なこともできなくなりそう。 こう考えると何だか不思議な気がしてくる。 表示を変えただけなんだからそれくらい認識してもらわなきゃ困るという気もしてくるし、 無限個すべてを実際に認識することはできない、という気もするし。 531 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/09(金) 22:35:44.77 ID:+p+yyndB.net] だれかがアホを書かない限り、おれも書かない。￥さんと同じだよ 532 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/09(金) 23:13:06.58 ID:AmjRU62I.net] >>490 ＞教育的見地から、「有限」などとアホな主張を繰り返さないようにクギをさしておきます 決定番号は有限値だとクギをさしておく。 s∈R^N を取るごとに決定番号 d(s) は有限値である。 ただし { d(s)｜s∈R^N } ⊂ N は有界ではない。 そして、このことは何の矛盾も引き起こさない。 スレ主の論法のキモは、s と比較されるべき s' を次々と取り替えて d(s) の値を更新することで、あたかも d(s) が発散するかのように 見せかけているところにある。しかし、「 s' を次々と差し替える」 という行為そのものが不可能なので、スレ主の論法は破綻する。実際、 1. R^N の 〜 に関する完全代表系を1つ取って固定する。これを T とする。 2. x∈R^N を任意に取る。T の定義から、x〜t を満たす t∈T がただ1つ存在する。 3. ∃n_0≧1, ∀n≧n_0 [ x_n＝t_n ] が成り立つ。 4. そのような n_0 のうち最小のものを d(x) と置く。 5. こうして、決定番号 d(x) が定義されて、写像 d：R^N → N が定まる。 この流れにおいて、x と比較される t は T 内に1つしかないからだ。 次々と別の s' に差し替えることは出来ない。 533 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/09(金) 23:22:21.39 ID:AmjRU62I.net] ちなみに、>>493の 1〜5 から分かるように、 d は T を固定するごとに決まるので、d は T に依存している。 よって、本来なら d ではなく d_T と書き、 d(s) のことは d_T(s) と書くのが望ましいと思われる。 ここで、T に依存しないように d を構成することは不可能である。 なぜなら、もし T に依存せずに d が作れたならば、 この場合にはスレ主の論法が使えて、s と比較されるべき s' を 次々と取り替えることが可能になり、d(s) の値が well-defined に 決まらないからだ。 しかし、実際には、T ごとに d_T が定義されて、d_T は well-defined に決まり、 もちろん任意の s∈R^N に対して d_T(s) は有限値となる。 そして、{ d_T(s)｜s∈R^N } ⊂ N は有界ではない。 そして、これらのことは何の矛盾も引き起こさない。 534 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/10(土) 00:14:54.32 ID:1RTeFNgE.net] そこまでしてスレ主に構うとかお前バファリンかよ 535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/10(土) 01:46:56.82 ID:oiQyPxlq.net] >>491 > 無限小数に直して一列の箱に詰める > 箱は1箱目から順次、すべて開けてよい 無限小数を一列の箱に順次詰める場合にアリスはボブに全ての数字を提示できますか？ たとえば箱を使わずに数字を直接ボブに示すことを考えた場合はどうですか？ 箱を使う場合のバリエーションとしてボブはアリスが選んだqを当てる前に箱の中身の 全てが正しい数字かどうかを 536 名前：アリスに1箱目から順次すべて開けて確認させれば良い アリスの確認終了後にボブはアリスが選んだqを当てる [] [ここ壊れてます] 537 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/10(土) 01:50:07.30 ID:1RTeFNgE.net] 人間には無限小数を一列の箱に詰めることすらできないな 538 名前：491 mailto:sage [2016/09/10(土) 02:42:56.65 ID:y7oy2hRC.net] >>496 箱をわざわざ持ち出したのはGame2と対比したかったからです。 無限個の箱を使おうが、無限個の数字を直接一つ一つ伝えていこうが、 ボブはいつまでたっても無限小数を最後まで見通せない。 （なぜか？　見通せないという仮定で>>491を書いているからですｗ） 有理数q（の分母分子）を直接伝えないかぎりボブにはqが分からない。 ある無限小数が目の前にあり、それが有理数だと教えられても、 小数の桁すべてを見通すことができないので、人間はその有理数を確定できない。 そういう『現実性』を仮定すればGame2は成り立たないことになる。 しかしその現実性は普段親しんでいる数学とはあまりにもかけ離れている。 だけど現実世界を考えれば逆だよね。 無限の実在をそうやすやすと認めるわけにはいかない。 我々は無限の概念には慣れっこになっているけど、 しかしその無限はGame2のような信じがたい事実も導く。 その戸惑いを>>491で吐露したまでです。 > 箱を使う場合のバリエーションとしてボブはアリスが選んだqを当てる前に箱の中身の > 全てが正しい数字かどうかをアリスに1箱目から順次すべて開けて確認させれば良い > アリスの確認終了後にボブはアリスが選んだqを当てる "全て"の確認を終了する、なんてことは出来ないと>>491では仮定しているのです。 539 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/10(土) 12:41:01.62 ID:4WoMFUrX.net] パチンコの箱に玉が何個入るか当てられない。 大気中の酸素分子の数もわからない。 人間は自分たちの身の回りのことさえ何もわかっていないのだ。 540 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/10(土) 13:30:02.31 ID:1RTeFNgE.net] 金玉袋の玉の数ならわかるよ 541 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/10(土) 13:58:06.96 ID:q7Skbg74.net] >>500 500ゲットか、狙ったのか？ 金玉袋か こてこての関西ギャグかい？ 542 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/10(土) 13:59:07.44 ID:q7Skbg74.net] >>493-494 どうも。スレ主です。 Tさん、代数だけでなく、もう少し広く集合論、基礎論とか解析を勉強した方が良いね >決定番号は有限値だとクギをさしておく。 >s∈R^N を取るごとに決定番号 d(s) は有限値である。 >ただし { d(s)｜s∈R^N } ⊂ N は有界ではない。 そういう訳の分からんことを書くと、院試では首が飛ぶだろうよ そもそもが、＜命題：決定番号の可能な範囲は、１から無限大（上記の自然が無限あるという意味で）まである（決して有限の範囲ではありえない！）＞ で、”決定番号の可能な範囲”とは値域だよ つまりは、dom(d(s))だよ そして、N⊆dom(d(s))だ ∵>>467で示したように、任意のn∈Nに対して、決定番号がnとなる数列s' | s' ∈ U の存在が示せる（>>467の３項において、d=n-1とおけばよい） そして、この文脈において、決定番号→自然数と言い換えてみな 「自然数は有限値だとクギをさしておく」って主張になっちまう（＾＾ それはおかしいだろうよ（＾＾ 543 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/10(土) 13:59:59.38 ID:q7Skbg74.net] >>493 細かいが、証明のロジックもおかしい(重箱の隅ですまんが、教育的見地からゆるせ) > 1. R^N の 〜 に関する完全代表系を1つ取って固定する。これを T とする。 > 2. x∈R^N を任意に取る。T の定義から、x〜t を満たす t∈T がただ1つ存在する。 ・先に”完全代表系を1つ取って固定”したら、任意x∈R^N でx∈Tは言えないだろう ・任意x∈R^N でx∈Tが言えないとすれば、x〜t を満たす t∈T の存在も言えない ∵完全代表系だから ・”1つ存在”もおかしい。x∈Tで、かつ、いくつかt1,t2,t3,・・・ti∈Tとすれば、x〜t1,t2,t3,・・・tiだろ？　というか、任意のt∈Tでx〜t ∵完全代表系だから （こういう記述が答案の冒頭にあると、答案採点者としては”不合格の推定”が働く。「こいつ分かってないな」と。答案書き出しの表現は、誤解されないように特に気を付けた方がいいな。（この記載が修正可能なのか、はたまた、修正して証明のロジックが成り立つのかまでは見てないがね）） 544 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/10(土) 14:02:19.43 ID:q7Skbg74.net] >>502 補足 そこらの勘違いが、この問題のキモだと思うよ (後述の英文サイトなどもご参照) 決定番号 d(s) の確率を考えようとすると、自然に決定番号 d(s) の分布が問題になる 例えば、 d(s) が仮に一様分布だとしよう。https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E6%A7%98%E5%88%86%E5%B8%83 一様分布 - Wikipedia （引用） 確率変数を x ( α ? x ? β ) とする。 x が整数であるときの離散型の一様分布の確率分布 Pr ( x = X )、 一様分布の確率密度関数は以下の式で定義される。 1/(β ? α) またいずれの場合も確率の期待値は以下で表される。 (α + β)/ 2 （引用おわり） つまり、決定番号 d(s) に上限がないとすれば、β→∞を考えなければならないということ が、d(s) は明らかに一様分布ではない。d(s) が大きいほど、出現頻度は大きい ここで、確率分布に詳しい人がすぐ気付くことは、普通考える確率分布では、確率変数 x ( α ? x ? β ) で、βが有限か、あるいはβが有限でない場合βが大きくなると分布はゼロになるんだと 例えば、 ベータ分布は前者の例 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%BF%E5%88%86%E5%B8%83 正規分布は、後者の例 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E5%88%86%E5%B8%83 しかし、普通考える確率分布と比較すると、d(s)の確率分布がおかしい（d(s)が増大してもゼロに収束しない）ことは、確率分布に詳しい人ならだれでも気付く 545 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/10(土) 14:04:03.78 ID:q7Skbg74.net] >>504 訂正文字化け 確率変数を x ( α ? x ? β ) 　↓ 確率変数を x ( α＜ x ＜ β ) 1/(β ? α) 　↓ 1/(β −α)

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