不等式への招待　第７章

1 名前：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ) mailto:sage [2013/03/09(土) 22:14:39.95 .net] ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める… 　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 ----- 　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　 　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　 　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ！ 　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ… 　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ まとめWiki　wiki.livedoor.jp/loveinequality/ 過去スレ ・不等式スレッド　（第１章）science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/ ・不等式への招待 第２章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/ ・不等式への招待 第３章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/ ・不等式への招待 第４章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/ ・不等式への招待 第５章　uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/ ・不等式への招待 第６章　uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/ ・過去スレのミラー置き場　cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/ 姉妹サイト（？） キャスフィ 高校数学板 不等式スレ２ www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/l50 Yahoo! 掲示板　トップ > 科学 > 数学 messages.yahoo.co.jp/bbs?action=t&amp;board=1835554&amp;sid=1835554&amp;type=r&amp;first=1 78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/04(金) 17:05:18.87 .net] 安藤さんは数オリの問題を何問も解いた天才だな 79 名前：１３２人目の素数さん [2013/10/07(月) 10:30:44.11 .net] >>77 ご用ですか？ ところで，3変数4次巡回不等式 f(x,y,z) = Σx^4 + A Σx^3 y + B Σ x y^3 + C Σ x^2 y^2 + D Σ x^2 y z が任意の非負整数 x, y, z に対して f(x,y,z) >= 0 を満たすための A, B, C, D についての必要十分条件を求めました． 複雑でここに書けないので，以下のプレプリの Theorem 3.5, Theorem 3.6をご覧下さい． (2ch制限でLinkが貼れないので， [安藤哲哉] → 論文・プレプリコーナー → 論文[9] で探して下さい) 80 名前：１３２人目の素数さん [2013/10/07(月) 10:33:47.42 .net] (直前の続き ---- 長すぎで2chで拒否されるので) 日本語で読みたい方は以下の正誤表の補遺(系2.3.9b, 系2.3.9c)をご覧ください． (Linkを貼ろうとすると2chから怒られるので， [安藤哲哉] → 「不等式」正誤表 で探して下さい) ここで，S_4=Σx^4, S_{3,1}=Σx^3 y, S_{1,3}=Σ x y^3, S_{2,2}=Σ x^2 y^2, US_1 = Σ x^2 y z です． 81 名前：１３２人目の素数さん [2013/10/07(月) 10:44:43.57 .net] すいません。>78 でタイプミスしました。 > が任意の非負整数 x, y, z に対して f(x,y,z) >= 0 を満たすための が任意の非負実数 x, y, z に対して f(x,y,z) >= 0 を満たすための 82 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/08(火) 18:28:27.55 .net] 証明の肝が不等式であることは実際多いんだよ。 君が何を証明したいにしてもね。 83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/13(日) 19:40:49.65 .net] 〔問題〕 0 < A,B,C ≦ π/2（△ABCは鈍角△でない）とき、 　cos(A)cos(A)cos(B) + cos(B)cos(B)cos(C) + cos(C)cos(C)cos(A) ≦ 2/(3√3), 　等号成立は (cosA, cosB, cosC) = (0, √（2/3), √(1/3)）またはその rotation. を示せ。 　ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 095 84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/14(月) 03:23:11.65 .net] >>69-70 　便宜上　C[n,n+1] = 0　としておく。 (1)　Σ_[k=1,n] (-1)^{k+1} C[n,k] (1/nn)^k 　　= C[n,1](1/nn) - Σ_[k=1,[n/2]] {C[n,2k](1/nn)^(2k) - C[n,2k+1] (1/nn)^(2k+1)} 　　= C[n,1](1/nn) - Σ_[k=1,[n/2]] C[n,2k](1/nn)^(2k) {1 - [(n-2k)/(2k+1)](1/nn)} 　　< C[n,1] (1/nn) = 1/n, (2)　Σ_[k=1,n] C[n,k]{1/(nn-1)}^k > C[n,1]{1/(nn-1)} = n/(nn-1), 85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/14(月) 03:26:51.02 .net] >>69-70 (3)　Σ_[k=1,2n] C[2n,k]{1/(nn-1)}^k > C[2n,1]{1/(nn-1)} + C[2n,2]{1/(nn-1)}^2 86 名前： + C[2n,3]{1/(nn-1)}^3 　　> C[2n,1]{1/(nn-1)} + C[2n,2]{1/(nn-1)}^2 + {6(nn-1)(n-2)/3!}{1/(nn-1)}^3 　　= C[2n,1]{1/(nn-1)} + n(2n-1){1/(nn-1)}^2 + (n-2){1/(nn-1)}^2 　　= C[2n,1]{1/(nn-1)} + 2(nn-1){1/(nn-1)}^2 　　= 2n{1/(nn-1)} + 2{1/(nn-1)} 　　= 2(n+1)/(nn-1) 　　= 2/(n-1), [] [ここ壊れてます] 87 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/16(水) 16:39:34.30 .net] 　S_{m,n} = a^m･b^n + b^m･c^n + c^m･a^n,　　>>79 [Corollary 2.6] 　f(a,b,c) = S_3 + p･S_{2,1} + q･S_{1,2} + r･U. とおく。任意の a,b,c∈Ｒ_+ に対して f(a,b,c)≧0 が成り立つための条件は、 以下の２つの条件が成り立つことである。 (1)　f(1,1,1) = 3+3p+3q+r ≧ 0. (2)　4p^3 + 4q^3 +27 ≧ (pq)^2 +18pq　or　"p≧0 and q≧0" 　//www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/ineq17.pdf 88 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/16(水) 17:27:41.96 .net] >>78 〔定理2.3.9d.〕 　f(x,y,z) = S_4 + A･S_{3,1} + B･S_{1,3} + C･S_{2,2} + D･U･S_1, は 　f(1,1,1) = 3(1+A+B+C+D) = 0, を満たすとする。任意の非負実数 x,y,z に対して f(x,y,z)≧0 が成り立つための条件は、 以下の(1)〜(6)のいずれかが成立することである。 89 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/16(水) 17:30:44.20 .net] >>78 （続き) (1)　C+2≧0, A+B≧0, A≦-2√(C+2), φ(A,B,C)≦0. (2)　C+2≧0, A+B≧0, B≦-2√(C+2), φ(A,B,C)≦0. (3)　C+2≧0, -√(C+4) ≦ A+B ≦ 0, A≧-2√(C+2), B≧-2√(C+2), φ(A,B,C)≧0. (4)　C+2≧0, A+B≧0, A≧-2√(C+2), B≧-2√(C+2). (5)　C≧0, AA+AB+BB ≦ 3C+3. (6)　C+2≦0, A+B≧0, φ(A,B,C)≦0. ここに、φ(A,B,C) = (ABC)^2 -4(AB)^3 +18(AA+BB)ABC -4(AA+BB)C^3 -(27A^4 +6AABB +27B^4) +16C^4 -80ABCC +144(AA+BB)C -192AB -128CC +256 　//www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/alg_ineq.pdf 90 名前：１３２人目の素数さん [2013/10/19(土) 10:25:56.89 .net] >> 87 その話で，f(1,1,1)=0という条件をはずした場合はどうなるのかというと， 実はかなり難しいのです。 「不等式」正誤表の末尾に，その話を追加しておきました。 長くて難しい話ですので，そちらをご覧下さい。 Linkは>>87の通りです。 91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/19(土) 18:40:21.91 .net] >>86-87 　(A,B,C,D) = (0,-3,2,0）　の場合が >>41-42 92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/20(日) 00:02:09.40 .net] >>41 　和書[8], p.74-75 例題2.3.10 (3) 〔類題〕 a,b,c∈R のとき 　(a^2+b^2+c^2)^2 + (8/√7)(aaab+bbbc+ccca) ≧ 0, 　和書[8], p.77-78 例題2.3.13 (2) 93 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/21(月) 23:40:17.56 .net] 〔問題〕　次式を代数的に示せ。 (1) x≧y≧1 のとき、 　1/(1+x^n) + (n-1)/(1+y^n) ≧ n/(1+x･y^(n-1)), (2) a_1, a_2, ････, a_n ≧ 1 のとき、 　1/(1+a_1) + 1/(1+a_2) + ･･･････ + 1/(1+a_n) ≧ n/(1+G), 　ここに、G = (a_1･a_2･･････a_n)^(1/n), 　和書[8]、p.170 例題3.3.9 (10) 94 名前：ななし mailto:sage [2013/10/22(火) 00:26:11.28 .net] >>91 (1) n=1のときは明らかなので n≧2とする。 移項して分母を払うと 　{n + (n-1)x^n + y^n}{1+x･y^(n-1)} - n(1+x^n)(1+y^n) 　= {x･y^(n-1)}�兩1 - �兩2 　≧ �兩1 - �兩2　　　(← x･y^(n-1) ≧1) 　= (x-y)^2 Σ[k=0,n-2] (k+1){x^k･y^(n-2-k) - x^(n-2-k)･y^k} 　= (x-y)^3 Σ[k=0,n-3] (k+1)(n-2-k) x^k y^(n-3-k) 　≧ 0,　　　　　　(← x-y≧0) ここに 　�兩1 = (n-1)x^n - n･x^(n-1)･y + y^n 　　　 = Σ[k=0,n-1] (x-y)(x^k - y^k)x^(n-1-k) ≧ 0, 　�兩2 = x^n - n･x･y^(n-1) + (n-1)y^n 　　　 = Σ[k=0,n-1] (x-y)(x^k - y^k)y^(n-1-k) ≧ 0, (2) nについての帰納法で。 和書[8] のような解析的な方法もあるが.... 95 名前：１３２人目の素数さん [2013/10/25(金) 13:26:38.30 .net] 確率関連の不等式（Markovの不等式とか，Hoeffdingの不等式とか）が充実してる本やサイトってない？ どの本にも載ってなさげなんだが．．． 96 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/25(金) 15:43:17.57 .net] stochastic inequalities とか probability inequalities でAmazon検索すればいっぱい出てくる 97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/10/30(水) 12:23:26.57 .net] >>64 ｷｬｽﾌｨｰの解答から.... 　|t| > 98 名前：｜tanh(t)| 　(d/dt)arcsin(t) = 1/√(1-tt), 　(d/dt)sinh(t) = cosh(t) = 1/√{1-tanh(t)^2}, から |t|≦1 のとき 　arcsin(t) > sinh(t) > 0, が出る。 　t > sin(sinh(t)) > 0, |t| ≧ 1 でもこの式が成立つことは明らか。 　sinh(t) = x とおくと 　arcsinh(x) > sin(x) > 0, [] [ここ壊れてます] 99 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/07(木) 11:41:28.21 .net] ｷｬｽﾌｨｰから.... 〔問題〕 A,B,C>0, ABC ≧1 のとき 　(A+1)/(A+B+1) + (B+1)/(B+C+1) + (C+1)/(C+A+1) ≦ 2, 　B/(A+B+1) + C/(B+C+1) + A/(C+A+1) ≧ 1, 　等号成立は A=B=C=1. casphy - 高校数学 - 不等式２ - 028(5), 112 100 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/15(金) 01:38:28.47 .net] 幾何的な不等式でもよければ 幾何学大辞典にもけっこう載ってるよね 著者本人が見つけたやつもいっぱい出てるからチェックしてみるといいよ 101 名前：ななし mailto:sage [2013/11/15(金) 15:47:56.27 .net] ｷｬｽﾌｨｰ! 不等式２ の じゅー さんへ。 　まづはWEBで.... 「一般化固有値問題」（明治大） www.math.meiji.ac.jp/~mk/labo/text/generalized-eigenvalue-problem/generalized-eigenvalue-problem.html 「極値としての固有値」（東京大） www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~murota/lect-kisosuri/eigenmax070918.pdf 「§１固有値問題」（早稲田大） www.waseda.jp/ocw/ComputerScience/17-1004345-01NumericalComputationsSpring2003/StudyMaterials/lec6.pdf 「Rayleigh商と2次形式の最大値,最小値」 - Quod Erat Demonstrandum deepwave.web.fc2.com/rayleigh.pdf 102 名前：ななし mailto:sage [2013/11/21(木) 00:38:50.46 .net] 同スレから.... (2) a,b,c >0 のとき 　(ab+bc+ca){1/(a+b)^2 + 1/(b+c)^2 + 1/(c+a)^2} ≧ 9/4, 　等号成立は a=b=c (6) x,y,z >0 のとき 　xxx(yy+zz)^2 + yyy(zz+xx)^2 + zzz(xx+yy)^2 　- xyz{xy(x+y)^2 + yz(y+z)^2 + zx(z+x)^2} ≧ 0, ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 126〜133 103 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/21(木) 01:47:49.32 .net] ここで聞くのはスレチだとは思うがわかる人がいたら教えてほしい 以前は Live2ch で ｷｬｽﾌｨ! を見れていたのだが いつからか読み込めなくなった 同じ症状の人いない？ 104 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/24(日) 14:28:07.16 .net] >>99 〔Schur不等式の拡張〕 x,y,z≧0 で、x,y,z が△の三辺をなすとき 　x(a-b)(a-c) + y(b-c)(b-a) + z(c-a)(c-b) ≧0, 　（じゅー） 　ｷｬｽﾌｨ！ - 高校数学 - 不等式２ - 131〜132 105 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/24(日) 20:20:27.12 .net] >>99 〔Schur不等式の拡張〕 x,y,z≧0 で、x,y,z が a,b,c と同順または逆順のとき 　x(a-b)(a-c) + y(b-c)(b-a) + z(c-a)(c-b) ≧0, 　（じゅー） 　ｷｬｽﾌｨ！ - 高校数学 - 不等式２ - 131〜132 106 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/11/26(火) 20:40:41.50 .net] >>99 (6) 　yはxとzの中間にあるとしてよい。 　(左辺) - (右辺) = A(x-y)^2 + (A-B+C)(x-y)(y-z) + C(y-z)^2, ここに 　A = yz(y^3 +z^3) + x(y-z)(y^3 -z^3) > 0, 　A-B+C = 2{(z+x)y - xz}y^3 ≧ 2{Max(x,z)min(x,z) - xz}y^3 = 0, 　C = xy(x^3 +y^3) + z(x-y)(x^3 -y^3) > 0, より成立。 註)　z+x > Max(x,z) > 0,　y ≧ min(x,z) > 0,　を辺々掛けた。 107 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/12/19(木) 20:54:29.76 .net] >>99 (1)　 a,b,cは相異なる正の実数とする。 　ab･log(a/b)/(a-b) + cyc. ≦ (1/3)(√a + √b + √c)^2, を示せ。log は自然対数です。 (8) 任意の正の実数a,b,cに対し 　a/√(a+b) + b/√(b+c) + c/√(c+a) ≦ (5/4)√(a+b+c), 　等号成立は (a,b,c) = (3,1,0) またはその rotation. 　ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 126 108 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/12/26(木) 01:23:03.85 .net] |Aut(L/K)|≦[ 109 名前：L:K] [] [ここ壊れてます] 110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/01/02(木) 01:31:00.06 .net] >>104 (1) x>0 のとき 　2Log(x)/{x -(1/x)} = (2t)/{exp(t) - exp(-t)} 　= t/sinh(t) 　≦ 1, より 　√(ab)･Log(a/b)/(a-b) = Log(a/b)/{√(a/b) - √(b/a)} ≦ 1, よって 　(左辺) ≦ √(ab) + √(bc) + √(ca) 　　　　 ≦ (1/3)(√a + √b + √c)^2, 111 名前：１３２人目の素数さん [2014/01/05(日) 07:45:41.88 .net] ↓の不等式うまい方法あるかな ？ a[i],b[i],c[i]＞0および a[i],{b[i]/c[i]}は減少列のとき （Σa[i]b[i]）／（Σa[i]c[i]）≧（Σb[i]）／（Σc[i]） 112 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/01/05(日) 11:44:03.96 .net] 別にうまくないけど。 分数が嫌だから、b[i]/c[i]をあらためてb[i]として、式を整理すると、 (Σa[i]b[i]c[i]）(Σc[i]）≧(Σa[i]c[i])(Σb[i]c[i]）. これは (左辺)-(右辺)＝Σ[i<j](a[i]-a[j])(b[i]-b[j])c[i]c[j]≧0 からいえる。 113 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/01/18(土) 19:41:47.51 .net] 〔問題158〕 　a,b,c >0, 　aa+bb+cc + abc = 2(ab+bc+ca), のとき 　(ab+bc+ca) ≦ 3(a+b+c), を示せ。 　ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 158,161 114 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/01/19(日) 12:23:09.17 .net] 〔問題163〕 0≦a,b,c≦1 のとき, 　2(a^3+b^3+c^3) ≦ 3 + aab+bbc+cca, 等号成立は (a,b,c) = (0,1,1) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1) 　ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 163,164 115 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/01/19(日) 20:56:00.76 .net] >>109 　 条件式と aa+bb ≧ 2ab から 　(c+ab)c ≦ (2a+2b)c, c>0 で割って 　ab ≦ 2a+2b -c, 循環的にたす。 >>110 　1 +aab -(aa +b) = (1-aa)(1-b) ≧ 0, から 　(aa+bb+cc) + (a+b+c) ≦ 3 + aab+bbc+cca, が出る。 116 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/04(火) 00:05:10.49 .net] x+y=2のとき、1/(1+x^2) + 1/(1+y^2) のとりうる範囲は？ 普通にやったら泥臭くて吐いた。 (通分してq=xyのみの式に直したもの=kとおき、分母を払って整理した qの2次方程式がqのとりうる範囲内に少なくとも1つの解を持つ云々) きれいな解法求む。 117 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/05(水) 21:27:47.56 .net] >>112 　xx+yy = (x+y)^2 -2xy = 4-2q, 　1/(1+xx) + 1/(1+yy) = (2+xx+yy)/(1+xx+yy+xxyy) 　= (6-2q)/(5-2q+qq) = k, よって 　-(√2 - 1)/2 < k ≦ (√2 + 1)/2, 　最大は q = (√2 - 1)^2　のとき 　最小は q = (√2 + 1)^2　のとき 118 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/05(水) 21:29:49.64 .net] 入試問題や模試や大学への数学などから持ってきますた。（じゅー） [1] 　|z+1/2| < 1/2 のとき 　|1+z+…+z^n| < 1 を示せ。 (東工大前期) [2] xx+yy+zz=1 のとき 　(1) (x-y)(y-z)(z-x) 　(2) (2x-y)(2y-z)(2z-x) の取りうる最大の値を求めよ。 (大数宿題) [3] a,b,c>0, a+b+c+abc=4 のとき 　a+b+c ≧ ab+bc+ca を示せ。(大学宿題) [4] (xx+yy)^2 = xx-yy のとき x+y の取りうる最大の値を求めよ。(早大プレ) ｷｬｽﾌｨｰ! - 高校数学 - 不等式２ - 170 119 名前：ななし mailto:sage [2014/02/05(水) 21:50:26.43 .net] >>114 [3] 　a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。 　s<3 と仮定すると、相加-相乗平均で u<1 となり題意を満たさない。 ∴　3 ≦ s < 4, 　4s(s-t) = -s^3 +4ss -9u + F_1(a,b,c) 　　　　　= -s^3 +4ss -9(4-s) + F_1(a,b,c) 　　　　　= (4-s)(s-3)(s+3) + F_1(a,b,c) 　　　　　≧ 0, ここに 　F_1(a,b,c) = s^3 -4st +9u ≧ 0,　(Schur) 120 名前：ななし mailto:sage [2014/02/07(金) 20:38:22.91 .net] >>114 [1]　zは中心-1/2, 半径1/2 の円内にある。 　　|z| ≦ |z +1/2| + 1/2 < 1, また、|z|^2 = zz~ = (z +1/2)(z~ +1/2) -1/4 -(z+z~)/2 < -(z+z~)/2, ∴　|1 - z^(n+1)| ≦ 1 + |z|^(n+1) 　　< 1 + |z|^2 　　< √(1+3|z|^2) 121 名前： 　　< √{1 -(z+z~) +zz~} 　　= √{(1-z)(1-z~)} 　　= |1-z|, [2]　(1)　x≦y≦z とする。 　(x-y)(y-x) ≦ (1/4)(z-x)^2, 　　　等号は y=(x+z)/2 のとき。 　∴ (x-z)^2 =　2{xx + [(x+z)/2]^2 + zz - (3/4)(x+z)^2} 　　　　　　 ≦ 2{(xx+yy+zz) - (3/4)(x+z)^2} 　　　　　　 =　2{1 - (3/4)(x+z)^2} 　　　　　　 ≦ 2, 　　　等号成立は (x,y,z) = (-1/√2, 0, 1/√2) 　(左辺) ≦ (1/4)(z-x)^3 ≦ 1/√2, 下限も同様に [4]　軸を45ﾟ回す。 　u = (x+y)/√2,　v = (x-y)/√2, 与式は 　(uu+vv)^2 - 2uv = 0, ここで、du/dv=0, とおくと、 　2v(uu+vv) -u = 0, 　u = 8v^3 = (√3)v, 　(u, v) = (±√{(3√3)/8}, ±√{(√3)/8}) 　2(uu+vv) = u/v = √3, [] [ここ壊れてます] 122 名前：ななし mailto:sage [2014/02/07(金) 21:06:57.69 .net] >>114 [4] 連珠形とか、Jakob Bernoulli のレムニスケート（Lemniscate） というらしい.... 123 名前：ななし mailto:sage [2014/02/09(日) 18:15:15.66 .net] >>115 出題者によれば ”今のところ、対称性を崩さない綺麗な証明は見つかっていない。” 　Schur不等式にもそのまま言えそう... 124 名前：115 mailto:sage [2014/02/11(火) 22:14:41.65 .net] >>118 F_1(a,b,c) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(c-a) + c(c-a)(c-b) 　　= (ab+ca)(a-b)(a-c)/(b+c) + ･････ 　　= ab{(a-b)(a-c)/(b+c) + (b-c)(b-a)/(c+a)} + ･･････ 　　= {ab(aa-bb)^2 + bc(bb-cc)^2 + ca(cc-aa)^2}/{(a+b)(b+c)(c+a)} 　　≧ 0　　　　　　　　　　　　　　　　　（じゅー） 125 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/11(火) 23:21:48.73 .net] x^3+y^3+z^3=1 (x,y,z>0)の時 xxy+zzxの取りうる最大値を求めよ (東進数学コンクール) 結局スマートな解法が思いつかないまま〆切を迎えてしまいました 126 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/12(水) 22:54:44.26 .net] 過去問でつが…… 〔問題908〕 　正の実数 a,b,c に対して、次を示してくださいです。 　{(a+b+c)(aa+bb+cc)}^2 ≧ 27abc(a^3 +b^3 +c^3), 　2ch - 数学板 - 不等式スレ６ - 908 　ｷｬｽﾌｨｰ! - 高校数学 - 不等式１ - 964 127 名前：１３２人目の素数さん [2014/02/15(土) 12:56:22.22 .net] 120 Chebyshev kills it We could see a Golden Section 128 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/16(日) 15:57:03.91 .net] >>121 　(a+b+c)(aa+bb+cc) = S+p+q, ここに 　S = aaa + bbb + ccc, 　p = aab + bbc + cca, 　q = abb + bcc + caa, 　(左辺) = (S+p+q)^2 　　　≧ 9(Spq)^(2/3) 　　　≧ 9(SS･27SU)^(1/3)　　　　(← 補題) 　　　= 27Su, ここに 　　S = aaa + bbb + ccc, 　　T = (ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3, 　　U = u^3 = (abc)^3, 〔補題〕 　pq ≧ 3(3STU)^(1/3) ≧ 3√(3SU), (略証) 　pq = (aab+bbc+cca)(abb+bcc+caa) 　　 = T + uS + 3uu 　　 ≧ 3(3STU)^(1/3) 　　 ≧ 3√(3SU),　　　{← T≧√(3SU)} 129 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/16(日) 16:05:17.43 .net] >>123 〔補題〕 　pq ≧ T + 2√(3SU) ≧ 3√(3SU), (略証) 　pq = (aab+bbc+cca)(abb+bcc+caa) 　　 = T + uS + 3uu 　　 ≧ T + 2√(3SU) 　　 ≧ 3√(3SU),　　　{← T≧√(3SU)} 130 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/17(月) 18:51:56.53 .net] >>112-113 　0 < k ≦ (√2 + 1), 　極大は q = (√2 - 1)^2 のとき 　下限は q → -∞ のとき 131 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/17(月) 23:49:38.94 .net] (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ… 132 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/02/20(木) 20:58:32.81 .net] 〔問題179〕 x,y,z>0、xyz=1 のとき、 [Easy] 　xx+yy+zz ≧ 3 + 2(x-1)(y-1)(z-1), [Hard] 　xx+yy+zz ≧ 3 + 2(1-x)(1-y)(1-z), を示してくださいです。 [Hard] は [Easy] と比較して難しいかなぁって感じでつ。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　（じゅー） 　ｷｬｽﾌｨｰ! - 高校数学 - 不等式２ - 179 133 名前：ななし mailto:sage [2014/02/20(木) 21:12:45.27 .net] >>127 Easy の方は 　(左辺)−(右辺) = (x+y+z+1)(x+y+z-3) - 2(xyz-1) ≧ 0 だが... 134 名前：ななし mailto:sage [2014/02/21(金) 19:15:17.77 .net] >>127 　x+y+z = s, 　xy+yz+zx = t, 　xyz = u, とおくと Hard の方は 　(左辺)−(右辺) = (ss-2t) -3 +2(u-t+s 135 名前：-1) 　　 = (ss-4t) +2(u-1) +2s -3 　　 = {F_1(x,y,z) -9u}/s + 2(u-1) +2s -3 　　 = {F_1(x,y,z) +(2s-9)(u-1) +(s-3)(2s+3)}/s 　　 ≧ 0,　　　　　　　　　　　（天ぷら） ここに 　F_1(x,y,z) = x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) 　　 = sss -4st +9u ≧ 0,　（Schur） [] [ここ壊れてます] 136 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/01(土) 10:21:13.88 .net] 今年の不等式関連の入試問題 nyushi.yomiuri.co.jp/14/sokuho/tohoku/zenki/sugaku_ri/images/mon6_1.gif nyushi.yomiuri.co.jp/14/sokuho/yokohamashiritsu/zenki/sugaku/images/mon2_1.gif nyushi.nikkei.co.jp/honshi/14/gi1-22p.pdf 137 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/01(土) 10:28:30.65 .net] 数オリ www.imojp.org/challenge/old/images/jjmo12mq.jpg www.imojp.org/challenge/old/images/jmo24mq.jpg 138 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/01(土) 12:30:14.33 .net] 　　∧＿∧ 　　( ;´∀｀)　＜興奮してきた… 　 人　Y　/ 　(　ヽ し 　（＿）＿） 139 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/01(土) 18:40:56.44 .net] >>131 (2014年JMO本選) 〔問題5.〕 不等式 　a/{1+9bc+4(b-c)^2}　+ b/{1+9ca+4(c-a)^2} + c/{1+9ab+4(a-b)^2} ≧ 1/2, が a+b+c=1 をみたす任意の非負実数a,b,cに対して成り立つことを示せ。 140 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/03(月) 02:35:18.55 .net] >>130 イェンゼンをそのまま出すってつまらないな 141 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/05(水) 21:41:46.78 .net] >>133 a+b+c=s のとき、コーシーにより、 　{a[ss+9bc+4(b-c)^2] + b[ss+9ca+4(c-a)^2] + c[ss+9ab+4(a-b)^2)]}(左辺) 　　≧ (a+b+c)^2 = ss, よって 　(左辺) ≧ ss/{sss+27abc+4[s(ab+bc+ca)-9abc]} 　　= ss/{sss +4s(ab+bc+ca) -9abc} 　　≧ ss/(2sss)　　(← Schur) 　　= 1/(2s),　　　　(じゅー) 142 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/09(日) 23:29:23.76 .net] この『じゅー』って今年阪大挑戦枠受かった子？ 143 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/10(月) 01:21:57.02 .net] 知らんがなｗ 144 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/10(月) 01:30:38.44 .net] 自己紹介乙！ 145 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/10(月) 08:24:33.61 .net] 阪大の合格発表見たけど 数学挑戦枠の合格者一人だけだった 去年に引き続きなかなかエグい試験だったってことだな 146 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/11(火) 04:31:34.09 .net] この人 https://twitter.com/yjjswm 147 名前：prime_132 mailto:sage [2014/03/15(土) 21:42:02.66 .net] いちょう祭が楽しみ...♪ ちなみに小生は学科違いの S53入、S59院卒 だが何か？ 148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 22:14:50.71 .net] >>136-141 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331245369/ へ　ﾄﾞｿﾞｰ 149 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/17(月) 23:38:33.45 .net] a,b,cは負でない実数でかつab+bc+ca+abc=4を満たす時 a+b+c≧ab+bc+ca 150 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/20(木) 23:49:29.60 .net] >>114 [3] の類題？ >>115 151 名前：ななし mailto:sage [2014/03/24(月) 20:20:36.02 .net] >>143 s,t,u を >>115 のようにおく。 　t<3 と仮定すると、相加-相乗平均で u<1 となり題意を満たさない。 ∴　3 ≦ t < 4, s≧4 のときは明らか。 s<4 のとき 　(4s+9)(s-t) = -s^3 +4ss +9(s-t-u) + F_1(a,b,c) 　　　= -s^3 +4ss +9(s-4) + F_1(a,b,c) 　　　= (4-s)(s-3)(s+3) + F_1(a,b,c) 　　　≧ 0,　　　　(← s≧√(3t)≧3) ここに 　F_1(a,b,c) = s^3 -4st +9u ≧ 0, (Schur) 152 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/29(土) 01:38:18.83 .net] >>120 相加-相乗平均 　axxx + axxx + yyy ≧ (1/k)xxy, 　(1-2a)xxx + zzz/2 + zzz/2 ≧ (1/k)xzz, を辺々たすと 　xxx+yyy+zzz ≧ (1/k)(xxy+xzz), 係数を比べて、 　aa = (1-2a)/4 = 1/(3k)^3, aを消すと、 　k = (1/3)(1+√5)^(2/3) = 0.729273617 casphy - highmath - 不等式２ - 173-174 //twitter.com/Inequaltybot/　[181] 153 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/01(火) 22:21:02.29 .net] 正数x,y,zが 154 名前：xyz = 1 のとき 　x^3 + y^3 + z^3 + 1/x^3 +1/y^3 + 1/z^3 - 6*( x/z + y/x + z/y ) +12 ≧0 って成り立ちますか？ [] [ここ壊れてます] 155 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/02(水) 09:59:59.81 .net] ｘ＾２−ｘ−１＝０。 ｙ＝１。 ｚ＝ｘ−１。 156 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/05(土) 21:17:36.82 .net] 正変数a_1, a_2, ・・・, a_n について A_n = (a_1+a_2+・・・+a_n)/n , G_n = (a_1*a_2*・・・*a_n)^(1/n) とするとき 　n(A_n-G_n) ≧ (n-1)(A_(n-1) - G_(n-1)) が成り立つそうなのですがどう示されるのでしょう 157 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/07(月) 20:05:40.74 .net] (a^4+b^4+c^4)^3≧(a^3+b^3+c^3)^4ってどうやって示せばいいんだっけ 158 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/07(月) 20:26:10.23 .net] 頭わるそうなやり方だけどlog取って12で割って増減調べりゃいいんじゃない 159 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/07(月) 22:52:36.08 .net] a=b=cの時成り立たなさそうなんだがどうなの 160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/14(月) 01:07:10.40 .net] 〔問題〕 a,b,c>0 に対して、次を示してくださいです。 　(a+b+c)^2･(a+b)(b+c)(c+a) ≧ 24abc(aa+bb+cc), 　//twitter.com/Inequalitybot/ [196] 161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/19(土) 11:15:48.14 .net] sothear.files.wordpress.com/2010/03/topics-in-inequalities-hojooleetin0508251.pdf#search='x%5E2y%5E2z%5E22xyz%3D1' (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ… 162 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 08:45:13.02 .net] √2 + √3 > π を証明せよ、ゆとり向けに。 163 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/05/04(日) 03:05:01.23 .net] 　2sinθ + tanθ > 3θ, これは Snellius-Huygensの不等式として知られている。 この不等式で θ= π/4 - π/6 = π/12 として 　sinθ = sin(π/4 -π/6) = (√3 -1)/(2√2), 　tanθ = tan(π/4 -π/6) = 2-√3, を使えば 　4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)} > π, √2 + √3 = 4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)} + (√2 -1)^2･(2-√3)^2･(√3 -√2) > 4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)} > π, 　　　　　　　　　　　　　　　　　　ぬるぽ 164 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/05/04(日) 03:24:20.18 .net] >>149 a_n = a と略記する。 n･A_n = (n-1)A_(n-1) + a, n･G_n = n･{G_(n-1) ^(n-1)･a}^(1/n) 　≦ (n-1)G_(n-1) + a,　(←相乗･相加平均) 辺々引く。 　　　　　　　　　　　　　　　　ぬるぽ 165 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/05/04(日) 04:15:33.55 .net] >>114-116 [1] ･･･ [183] [2] ･･･ [182] [3] ･･･ [184] [4] ･･･ [178] https://twitter.com/Inequalitybot/ 166 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/05/07(水) 00:25:04.63 .net] >>143-145 (別解) a,b,c の2つが1以上、または2つが1以下。 a,b をその2つとすると 　4 = (a+b+c) + abc = (a+b)(1+c) + (1-a)(1-b)c ≧ (a+b)(1+c), 　(a+b+c) - (ab+bc+ca) = (a+b){4-(a+b)(1+c)}/4 +(a-b)^2･(1+c)/4 +(1-a)(1-b)c ≧0, //www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式２ - 170[3] 〜172 //twitter.com/Inequalitybot/ [184] 167 名前：１３２人目の素数さん [2014/05/12(月) 21:26:52.73 .net] > 154 f(a,b,c) = (a+b+c)^2 (a+b)(b+c)(c+a) - 24a b c(a^2+b^2+c^2) とおく。x ≧ 0 のとき、 f(x,1,0) = x (1 + x)^3 ≧ 0 f(x,1,1) = 2(x+1)^2(x-2) ≧ 0 よって、安藤哲哉「不等式」定理2.3.1(2)より f(a,b,c) ≧ 0. ところで、同書の記号で f(a,b,c) = T_{4,1} + 3T_{3,2} + 10 US_{1,1} - 18 US_2 なので、定理2.4.1が使えない。そこで、次の定理を提案する。 定理2.4.1b f(a,b,c) = T_{4,1} + p T_{3,2} + q US_2 - (2+2p+q) US_{1,1} とおく。任意の非負実数 a,b,c に対して f≧0 となるための必要十分条件は 次の(1)と(2)が成立することである。 (1) p ≧ -1 (2) 2p+q+4 ≧ 0 または (2p+q)^2 + 8q ≦ 0 168 名前：１３２人目の素数さん [2014/05/12(月) 21:27:39.56 .net] > 154 f(a,b,c) = (a+b+c)^2 (a+b)(b+c)(c+a) - 24a b c(a^2+b^2+c^2) とおく。x ≧ 0 のとき、 f(x,1,0) = x (1 + x)^3 ≧ 0 f(x,1,1) = 2(x+1)^2(x-2) ≧ 0 よって、安藤哲哉「不等式」定理2.3.1(2)より f(a,b,c) ≧ 0. ところで、同書の記号で f(a,b,c) = T_{4,1} + 3T_{3,2} + 10 US_{1,1} - 18 US_2 なので、定理2.4.1が使えない。そこで、次の定理を提案する。 定理2.4.1b f(a,b,c) = T_{4,1} + p T_{3,2} + q US_2 - (2+2p+q) US_{1,1} とおく。任意の非負実数 a,b,c に対して f≧0 となるための必要十分条件は 次の(1)と(2)が成立することである。 (1) p ≧ -1 (2) 2p+q+4 ≧ 0 または (2p+q)^2 + 8q ≦ 0 169 名前：１３２人目の素数さん [2014/05/13(火) 05:50:13.76 .net] ついでに、S_5 と T_{4,1} の係数が 0 の場合は以下の通りです。 定理2.4.1c f(a,b,c) = T_{3,2} + q US_2 - (2+2p+q) US_{1,1} とおく。任意の非負実数 a,b,c に対して f≧0 となるための必要十分条件は q ≧ -2 ここで(上の投稿を含めて) T_{i,j} = Σ a^i b^j (6項対称和) S_{i,j} = Σ a^i b^j ( 170 名前：3項巡回和) U = abc [] [ここ壊れてます] 171 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/05/28(水) 03:56:36.47 .net] B4638、B4640、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201405&t=mat&l=en A616、B4626、B4628、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201404&t=mat&l=en B4620、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201403&t=mat&l=en A609、B4606、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201402&t=mat&l=en A605、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201401&t=mat&l=en B4585、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201312&t=mat&l=en A593、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201309&t=mat&l=en C1168、www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201304&t=mat&l=en ＿|　::|＿ ￣|　::|／|　　　　　　　　　　 ┌──┐ 　 |　::|　 |　　　　　.┌──┐| ∧＿∧　　いいな、俺たちの誰かが殉職したら･･ ／|＿|　 |┌──┐| ∧＿∧|(・ω・｀ ) 　 |文|　 | |　∧＿∧（　　　　）⊂　　　） 　 |￣|　 | | （　　　　）⊂　　　） （＿Ο Ο　::: 　 |　::|　 | | ⊂　　　） （＿Ο Ο　わかってる、生き延びた奴が 　 |　::|／ .|_　（＿Ο Ο　::::::::: :::::: 不等式を収集し、証明する ! 　 |　::|　:::::::::::::::::::::::::::::::: 俺たちゃ死んでも仲間だぜ !! 172 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/06/22(日) 22:34:45.87 ID:7o1BupPuA] C.1168 　Prove that a√(1-bb) + b√(1-aa) ≦ 1, (略解) 相乗-相加平均から 　a√(1-bb) ≦ {aa+(1-bb)}/2, 　b√(1-aa) ≦ {(1-aa)+bb)/2, 辺々たす。 あるいは 　(左辺)^2 + {ab - √[(1-aa)(1-bb)]}^2 = 1, 173 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/06/22(日) 22:51:50.47 ID:7o1BupPuA] C.1168 三角函数とかは、おくび（曖）にも出さないこと。 174 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/06/22(日) 23:02:24.42 ID:7o1BupPuA] [104] a+b+c=s, ab+bc+ca=t, (a-b)(b-c)(c-a)=�� とおく。このとき 　(ss-2t)^2 - t^2 ≧（3√3 /2)|�處s を示せ。　 　(CbM)改　☆9 　//twitter.com/Inequalitybot/ [104] 　//www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式２ - 196〜198 175 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/06/23(月) 22:50:07.63 ID:AzExtY9jm] B.4626 　Prove that (1+a)^4･(1+b)^4 ≧ 64ab(a+b)^2　for all a,b≧0. (略証) 相加-相乗平均より 　(1+a)(1+b) = (1+ab) + (a+b) 　≧ 2√(ab) + (a+b) 　≧ 2(4ab)^(1/4)･√(a+b), 176 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/06/26(木) 06:32:02.80 ID:h4WLeUXAQ] >>166 s≧0, t≧0 が抜けてました。 　(左辺) = (ss-t)(ss-3t) 　≧ {ss+(ss-3t)}/2・(ss-3t)　 　≧ s(ss-3t)^(3/2), なので 　(ss-3t)^3 ≧ (27/4)�刧� を示せばOK 177 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/06/27(金) 02:17:03.22 .net] 不等式の本が出たな。受験生向けだが… ( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！ www.tokyo-s.jp/products/d_zoukan/futoushiki/index.html 178 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/06/27(金) 23:17:34.18 .net] >>169 ジュンク堂にあったので買ってきた。 大学入試問題から題材を取っているので、 このスレの不等式の囚人どもには目新しいものはないけど、 考え方や知識の整理にはちょうどよいかな。 おすすめ。 >>2 に追加 [9] 思考力を鍛える不等式（大学への数学・別冊）、栗田哲也、東京出版、2013

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