- 1 名前：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ) mailto:sage [2013/03/09(土) 22:14:39.95 .net]
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ！
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ…
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
まとめWiki wiki.livedoor.jp/loveinequality/
過去スレ
・不等式スレッド （第１章）science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第５章 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第６章 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・過去スレのミラー置き場 cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
姉妹サイト（？）
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ２
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- 641 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/05(火) 22:42:14.15 ID:zGQUvoYm.net]
- >>593
mについての帰納法で…
・m=2のとき
>>591 >>597
・m>2のとき
H(ａ)＝H(a_1, a_2,…,a_(m-1),a_m)
H0(ａ)＝H(a_1, a_2,…,a_(m-1))
ｓ＝ａ[1] + ａ[2] + …… + ａ[n],
とおく。
m-1について成立したとする。（帰納法の仮定）
H1 = Σ[k=1,n] H0(ａ[k]) ≦ H0(ｓ),
さて
H(ａ) = H(a_1,a_2,･･････,a_(m-1),a_m)
= H(H0(ａ),･･････,H0(ａ),a_m)
= m･a_m･H0(ａ)/{(m-1)a_m + H0(ａ)}
= {a_m + (m-1)H0(ａ)}/m - ((m-1)/m)Σ[k=1,n] {a_m - H0(ａ)}^2 /{(m-1)a_m + H0(ａ)},
なので、
Σ[k=1,n] H(ａ[k]) = {s_m+ (m-1)H1}/m - ((m-1)/m)Σ[k=1,n] {a[k]_m - H0(ａ[k])}^2 /{(m-1)a[k]_m + H0(ａ[k])}
≦ {s_m + (m-1)H1}/m - ((m-1)/m)(s_m - H1)^2 /{(m-1)s_m + H1} (←コーシー)
= m･s_m･H1/{(m-1)s_m + H1}
≦ m･s_m･H0(ｓ)/{(m-1)s_m + H0(ｓ)} (← H1≦H0(ｓ))
= H(ｓ),
>>600 は違うっぽい…
- 642 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/05(火) 22:51:44.60 ID:vlIg6IAS.net]
- 何かみんな難しく考えてない？
>>593
n 以下で成り立つと仮定すると
H(a[1] + … + a[n] + a[n+1])
≧H(a[1] + … + a[n]) + H(a[n+1])
≧H(a[1]) + … + H(a[n]) + H(a[n+1])
- 643 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/05(火) 23:02:59.95 ID:vlIg6IAS.net]
- >>593 において，n=2 としたものが >>591
つまりベクトルの項数ではなく個数が 2 個
>>597 は n=2 で正しく証明してるから，帰納法を使うなら m ではなく n についてやらなきゃダメ
それが >>612
- 644 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/06(水) 08:33:21.29 ID:udLxg5Zs.net]
- 夏 休 み の 友
gathery.recruit-lifestyle.co.jp/article/1146775541637910801
- 645 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/06(水) 20:08:21.77 ID:714K2b8V.net]
- >>612
n=2 の場合を示せば十分だな。
やっぱり、mについての帰納法になるのかな。
H(ａ) + H(ｂ)
= H(H0(a),……,H0(a),a') + H(H0(b),……,H0(b),b')
= m･a'･H0(a)/[(m-1)a' + H0(a)] + m･b'･H0(ｂ)/[(m-1)b' + H0(ｂ)]
= m(a'+b'){H0(a)+H0(b)}/[(m-1)(a'+b')+H0(a)+H0(b)]－{(m-1)/m}[a'･H0(b)－b'･H0(a)]^2 {H(a)/[a'･H0(a)]}{H(b)/[b'･H0(b)
- 646 名前：]}/[(m-1)(a'+b')+H0(a)+H0(b)]
≦ m(a'+b'){H0(a)+H0(b)}/[(m-1)(a'+b')+H0(a)+H0(b)]
≦ m(a'+b')H0(a+b)/{(m-1)(a'+b')+H0(a+b)} {← H0(a)+H0(b)≦H0(a+b)}
= H(H0(a+b),……,H0(a+b), a'+b')
= H(ａ＋ｂ),
>>613 は意味不明… [] - [ここ壊れてます]
- 647 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/07(木) 17:17:18.77 ID:qeaoYgad.net]
- >>608 >>610
CRT（ブラウン管）を使うと、
(XX-XY+YY)/(XX+XY+YY)
= 1 - 2XY/(XX+XY+YY)
≧ 1 - 2XY/(3XY)
= 1/3,
x^3/(xx+xy+yy)
= x - xy(x+y)/(xx+xy+yy)
≧ x - xy(x+y)/(3xy)
= x - (x+y)/3
= (2x-y)/3,
- 648 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/07(木) 18:33:58.42 ID:qeaoYgad.net]
- >>601の類題
a^6 +b^6 +c^6 +2(aa+bc)(bb+ca)(cc+ab) -3(abc)^2 ≧0,
(因数分解できるらしい.)
- 649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/07(木) 18:56:39.91 ID:PHUaneap.net]
- >>617
a^6 +b^6 +c^6 +2(aa+bc)(bb+ca)(cc+ab) -3(abc)^2
= (a^3 + b^3 + c^3 + abc)^2
≧0
ぬるぽビッチの性能とやらを見せてもらおうか？
- 650 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/07(木) 20:32:24.67 ID:o/iOEGvs.net]
- Let a, b, c be three positive real numbers such that a+b+c=1.
Find max of k∈R satisfies (a+b)(b+c)(c+a)≧k√(abc).
- 651 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/08(金) 04:26:06.83 ID:uwPT+eQg.net]
- >>147
左辺は (x, y, z) = (1, (√5-1)/2, (√5+1)/2) 及びこの巡回置換の時に最小値 11-5√5 = -0.18 を取ります
よって不等式は成り立ちません
- 652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/08(金) 18:04:18.17 ID:+GqLshVo.net]
- >>619
let a+b+c=s, then
(a+b)(b+c)(c+a) ≧ (8/9)s(ab+bc+ca) ≧ (4s/3)^(3/2)･√(abc),
Left:
(a+b)(b+c)(c+a) - (8/9)s(ab+bc+ca)
= (1/9){(a+b+c)(ab+bc+ca) - 9abc}
= (1/18){a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2}
≧0
Right:
(ab+bc+ca)^2 - 3s(abc)
= (ab+bc+ca)^2 - 3(ab･bc + bc･ca + ca･ab)
= (1/2){aa(b-c)^2 + bb(c-a)^2 + cc(a-b)^2}
≧0,
∴k=(4/3)^(3/2).
- 653 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/08(金) 21:28:17.08 ID:uwPT+eQg.net]
- >>621
これはぬるぽビッチの性能を見せつけるための問題ですよ
- 654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/08(金) 22:01:39.85 ID:kth4OotZ.net]
- よし、がんばってみるか
- 655 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/08(金) 22:08:44.28 ID:uwPT+eQg.net]
- 何を
- 656 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/09(土) 19:20:08.37 ID:UxNa1hu5.net]
- >>619 >>622
Soko made iwaretan-ja shooganee na…
y=log(x) は上に凸
log(LHS)
= log(a+b) + log(b+c) + log(c+a)
= 3log(2) + log[(a+b)/2] + log[(b+c)/2] + log[(c+a)/2]
≧ 3log(2) + (3/2)log[(a+b+c)/3] + (1/2){log(a)+log(b)+log(c)}
= (3/2)log(4) + (3/2)log(1/3) + (1/2)log(abc)
= (3/2)log(4/3) + (1/2)log(abc)
= log(RHS),
∴k=(4/3)^(3/2).
equality: a=b=c=1/3
- 657 名前：名無しさん＠そうだ選挙に行こう！ Go to vote! mailto:sage [2016/07/10(日) 17:17:39.96 ID:VlwYS363.net]
- >>620
ありがとう。
〔問題147'〕
正数x,y,z が xyz=1 を満たすとき、
(x^3 + y^3 + z^3) + (1/x^3 + 1/y^3 + 1/z^3) - 6(x/z + y/x + z/y) + (1+5√5) ≧0,
を示せ。
- 658 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/12(火) 20:37:55.08 ID:wu5v/x5V.net]
- >>626
〔問題147"〕
正数X,Y,Z について次を示せ。
(X + Y + Z)(1/X + 1/Y + 1/Z - 6/G) + (-2+5√5) ≧0,
ここに、G=(XYZ)^(1/3).
- 659 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/13(水) 03:54:57.94 ID:16ioO3Ne.net]
- 〔問題147'''〕
k を実数とする。正の数 x, y, z が xyz=1 を満たすとき
(x^3 + y^3 + z^3) + (1/x^3 + 1/y^3 + 1/z^3) + k(x/z + y/x + z/y)
の最小値を求めよ。
実際には最小値を与える x, y, z の条件を求めることになるけど…
k の値にもよるけどこの不等式自体あまり綺麗じゃないね
- 660 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/13(水) 03:56:24.51 ID:K/H8KF/H.net]
- >>441
私は『父親から被害に遭った』ので、だから彼とは事情が違います。それ
にあんな偉い数学者と一緒にしないで下さいまし。彼は歴�
- 661 名前：jに残る偉大な
数学者であり、私みたいな小魚とは違うので。
彼みたいな有能な人でも「人間関係が邪魔になる」んだから、私みたいな
小魚はもっと大変ですわ。かなり有能でなければ、大学に勤務してたらば
『自分が擦り減るだけ』なので。かつて邪魔する芳雄を倒すだけでも大変
な苦労をしたので。
￥ [] - [ここ壊れてます]
- 662 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/13(水) 03:59:24.61 ID:K/H8KF/H.net]
- 日本人の躾けは『大人の都合』、その目的は威厳に屈服させる為：
ある父親：クマが出没する山林に息子を放置、しかも嘘を吐いて保身。
別の父親：勉強の邪魔をして進路を妨害し、学歴を砕く。出世を強要。
ソレでも「親の行為は子供の為」という傲慢な常識を振り回す世間、しかも
「親を尊敬して大切に扱え」という無根拠な思想を押し付ける儒教文化。
お父さん、お母さんを大切にしましょう！！！ソレが世間体というモノ！
ケケケ￥
政治家も、お教授も、権力を振り回すのが大好きな低能人種：
ある男：ボクは都民の為に湯河原で休んでるんだ。知事が信じられんのかっ！
別の男：オレは哲也の為に指導してやってるんだ。父親が信じられんのかっ！
上から目線で強弁すれば、自分の言い分は何でも通る国があるらしい…
ああ、素晴らしき日本文化よ。キミ達も国会議員を見習い給え。何せ多数決で選
ばれた『皆の代表』なので。だからある男も別の男もエラいんだよォ～～～んw
コココ￥
終わり良ければ全てヨシ。途中経過はどうでもヨシ。
大学：学生の知能なんてどうでもヨシ。カネが儲かる教室を巧みに運営シロ。
狸研：研究の詳細なんてどうでもヨシ。世間が驚く大論文を外国に発表シロ。
芳雄：学問の中身なんてどうでもヨシ。安易に教授になれる分野を専攻シロ。
学問なんて所詮は出世の道具。周囲に秀才っぽく見せ掛けられたらソレでヨシ。
社会的に高い地位、そして豪華で贅沢な暮らし。世間が羨む大学教授のポスト。
ソレさえ手に入れば学問そのものなんて洋梨よォ～～～ん。
よよよ、よ～～～しお。そやしノ～ベル賞が欲しいよォ～～～んんんwww
シシシ￥
- 663 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/13(水) 19:29:58.45 ID:2uLWSWwd.net]
- >>603
(左辺) = (AA+BB+CC) - (AB+BC+CA)
= {(A-B)^2 + (B-C)^2 + (C-A)^2}/2
≧0,
- 664 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/13(水) 19:34:08.54 ID:2uLWSWwd.net]
- 〔問題〕
a^4 +b^4 +c^4 - p(aaab+bbbc+ccca) - p'(abbb+bccc+caaa) + {(pp+pp'+p'p')/3 -1}(aabb+bbcc+ccaa) + {p+p'-(pp+pp'+p'p')/3}abc(a+b+c)≧0,
を示せ。
x=aa+p'bc-cc-pbc, y=bb+p'ca-aa-pbc, z=cc+p'ab-bb-pca とおくと…
（参考）
安藤：「不等式」数学書房 (2012) p.59-61 §2.3.2 定理2.3.3(1)
- 665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/14(木) 00:45:31.55 ID:JfFkOvJ6.net]
- 以前に見たような気がするけど、過去ログ調べても
- 666 名前：出てこなかった。
もっときつい評価（≦）を証明してくれような気がするんだけど、記憶が曖昧模糊ビッチ。
a, b, c >0のとき、5/3 < (3a+b)/(3b+a) + (3b+c)/(3c+b) + (3c+a)/(3a+c) < 7 [] - [ここ壊れてます]
- 667 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/14(木) 01:12:06.98 ID:EvL3WsYI.net]
- >>446 じゃなくて？
- 668 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/14(木) 01:16:04.23 ID:W/q5qfz4.net]
- 日本人の躾けは『大人の都合』、その目的は威厳に屈服させる為：
ある父親：クマが出没する山林に息子を放置、しかも嘘を吐いて保身。
別の父親：勉強の邪魔をして進路を妨害し、学歴を砕く。出世を強要。
ソレでも「親の行為は子供の為」という傲慢な常識を振り回す世間、しかも
「親を尊敬して大切に扱え」という無根拠な思想を押し付ける儒教文化。
お父さん、お母さんを大切にしましょう！！！ソレが世間体というモノ！
ケケケ￥
政治家も、お教授も、権力を振り回すのが大好きな低能人種：
ある男：ボクは都民の為に湯河原で休んでるんだ。知事が信じられんのかっ！
別の男：オレは哲也の為に指導してやってるんだ。父親が信じられんのかっ！
上から目線で強弁すれば、自分の言い分は何でも通る国があるらしい…
ああ、素晴らしき日本文化よ。キミ達も国会議員を見習い給え。何せ多数決で選
ばれた『皆の代表』なので。だからある男も別の男もエラいんだよォ～～～んw
コココ￥
終わり良ければ全てヨシ。途中経過はどうでもヨシ。
大学：学生の知能なんてどうでもヨシ。カネが儲かる教室を巧みに運営シロ。
狸研：研究の詳細なんてどうでもヨシ。世間が驚く大論文を外国に発表シロ。
芳雄：学問の中身なんてどうでもヨシ。安易に教授になれる分野を専攻シロ。
学問なんて所詮は出世の道具。周囲に秀才っぽく見せ掛けられたらソレでヨシ。
社会的に高い地位、そして豪華で贅沢な暮らし。世間が羨む大学教授のポスト。
ソレさえ手に入れば学問そのものなんて洋梨よォ～～～ん。
よよよ、よ～～～しお。そやしノ～ベル賞が欲しいよォ～～～んんんwww
シシシ￥
- 669 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/14(木) 03:07:24.07 ID:JfFkOvJ6.net]
- >>634
( ﾟ∀ﾟ) ｿﾚﾀﾞ！
さんくす。
- 670 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/14(木) 14:32:01.86 ID:JfFkOvJ6.net]
- 実数x、yに対して、(x^2+12xy+9y^2)^2 ≧ 4y(2x+3y)^3
( ﾟ∀ﾟ) ﾌﾟｩ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ
- 671 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/14(木) 15:24:01.43 ID:EvL3WsYI.net]
- >>637
例えば (x, y) = (1, 1) だと？
- 672 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/14(木) 15:28:55.94 ID:JfFkOvJ6.net]
- >>637
すまん、忘れてくれ…
シュボッ
., ∧＿∧
[]() （・ω・｀ ） ｌ二ヽ
□と ）￣⊃ ) )
⊂ （＿（＿つ ￣⊃ /￣￣￣ヽ
⊂_ .＿⊃ | （＼／） |
⊂＿＿⊃. | > < |
| （／＼）. |
ヽ＿＿＿/
- 673 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/14(木) 15:33:42.95 ID:W/q5qfz4.net]
- ￥
>236 ：１３２人目の素数さん：2016/07/01(金) 13:34:39.39 ID:zLVRVGit
> >>221 たんなる京大とプロ数学者じゃ全然話が違うだろ
> 同列に書くあたり、ほんと、どうしようもないクソ京大コンプだな、じじい
>
>250 名前：１３２人目の素数さん ：2016/07/01(金) 18:07:16.21 ID:/KsaK/zz
> >>221
> ＞解ってると思うが、悪質なネット民は絶対に許さんのでナ。低能は低能だ
> けで遊べや。ほんでや、頭の悪いアホが京大とかプロの数学者とか、そう
> いうモンを話題にすんなや。解りもセンくせにいい加減な事を言うてや、
> ほんでプロに迷惑なんて掛けるなや。許さんのでナ。
>
>
> 本当のエリートは有象無象の言うことなど、ハナから眼中にない。
> アンタが有象無象の言うことが癇に障ってしかたがないのは、アンタ自身が
> （アンタがヘドがでるほど嫌悪する）有象無象の一人に過ぎない証拠。
>
>> 217 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/07/01(金) 11:07:44.51 ID:Hb6rl5wG
>> 解ってると思うが、悪質なネット民は絶対に許さんのでナ。低能は低能だ
>> けで遊べや。ほんでや、頭の悪いアホが京大とかプロの数学者とか、そう
>> いうモンを話題にすんなや。解りもセンくせにいい加減な事を言うてや、
>> ほんでプロに迷惑なんて掛けるなや。許さんのでナ。
>>
>> そもそも他人のプライバシーなんかに興味を持つんじゃねェんだよ。こう
>> いう匿名無責任糞板はケシカラン連中が跋扈してるやろ。そやし壊滅する
>> まで焼くさかいナ。エエな。馬鹿は馬鹿だけで閉じて遊べや。京大を話題
>> になんてスナ。焼き払ってやる。アホは絶対に許さんのでナ。糞野郎共め。
>>
>> ￥
>>
- 674 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/14(木) 15:53:11.16 ID:EvL3WsYI.net]
- a[1], …, a[n]; b[1], …, b[n] を正の実数とし，M[1], m[1] をそれぞれ a[1], …, a[n] の最大値，最小値，M[2], m[2] をそれぞれ b[1], …, b[n] の最大値，最小値とする。
(a[1]^2+…+a[n]^2)(b[1]^2+…+b[n]^2) / (a[1]b[1]+…+a[n]b[n])^2
の最大値および等号成立条件を求めよ。
【THE USER OLYMPIAD PROBLEM BOOK, problem 299, pp.70-71.】
- 675 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/14(木) 16:13:56.03 ID:W/q5qfz4.net]
- ￥
>236 ：１３２人目の素数さん：2016/07/01(金) 13:34:39.39 ID:zLVRVGit
> >>221 たんなる京大とプロ数学者じゃ全然話が違うだろ
> 同列に書くあたり、ほんと、どうしようもないクソ京大コンプだな、じじい
>
>250 名前：１３２人目の素数さん ：2016/07/01(金) 18:07:16.21 ID:/KsaK/zz
> >>221
> ＞解ってると思うが、悪質なネット民は絶対に許さんのでナ。低能は低能だ
> けで遊べや。ほんでや、頭の悪いアホが京大とかプロの数学者とか、そう
> いうモンを話題にすんなや。解りもセンくせにいい加減な事を言うてや、
> ほんでプロに迷惑なんて掛けるなや。許さんのでナ。
>
>
> 本当のエリートは有象無象の言うことなど、ハナから眼中にない。
> アンタが有象無象の言うことが癇に障ってしかたがないのは、アンタ自身が
> （アンタがヘドがでるほど嫌悪する）有象無象の一人に過ぎない証拠。
>
>> 217 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/07/01(金) 11:07:44.51 ID:Hb6rl5wG
>> 解ってると思うが、悪質なネット民は絶対に許さんのでナ。低能は低能だ
>> けで遊べや。ほんでや、頭の悪いアホが京大とかプロの数学者とか、そう
>> いうモンを話題にすんなや。解りもセンくせにいい加減な事を言うてや、
>> ほんでプロに迷惑なんて掛けるなや。許さんのでナ。
>>
>> そもそも他人のプライバシーなんかに興味を持つんじゃねェんだよ。こう
>> いう匿名無責任糞板はケシカラン連中が跋扈してるやろ。そやし壊滅する
>> まで焼くさかいナ。エエな。馬鹿は馬鹿だけで閉じて遊べや。京大を話題
>> になんてスナ。焼き払ってやる。アホは絶対に許さんのでナ。糞野郎共め。
>>
>> ￥
>>
- 676 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/15(金) 14:41:59.04 ID:sSKBu+X8
]
- [ここ壊れてます]
- 677 名前：.net mailto: 今年のIMOは不等式の問題出なかったね []
- [ここ壊れてます]
- 678 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/15(金) 16:38:30.80 ID:402uibiN.net]
- >>237
> a、b、c、x、y、z ∈R が、
> (a-1)^2 + (b-2)^2 + (c-3)^2 = 1
> x^2+y^2+z^2=1
> をみたすとき、ax+by+czのとりうる値の範囲
>
> ＣＳ不等式を２回使ったけど、他の解法ありますか？
( ﾟ∀ﾟ) ﾜｸﾜｸ ﾜｸﾜｸ …
- 679 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/15(金) 19:04:34.16 ID:qKj/pzjF.net]
- >>644
OP=(a,b,c) OX=(x,y,z) とおくと OX=1 だから、
|ax+by+cz| = OP･OX |cosφ| ≦ OP,
P=(a,b,c) は中心 C=(1,2,3) 半径1の球面上の点だから、△不等式より
OP ≦ OC +1 = √14 +1,
- 680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/15(金) 20:27:28.25 ID:qKj/pzjF.net]
- >>296 >>335
(A/G)^3 = {(a+b+c)/3}^3 /(abc) = s^3/(27u),
(G/H)^3 = abc{(1/a+1/b+1/c)/3}^3 = t^3/(27uu),
(A/H) = (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)/9 = st/(9u),
ここに、s=a+b+c, t=ab+bc+ca, u=abc.
∴ (右辺)－(左辺)
= (3/4)(1 + st/9u)^2 - s^3/(27u) - t^3/(27uu) -1
= {(9u+st)^2 -4s^3･u -4t^3}/(108uu) -1
= ⊿⊿/(108uu)
≧0,
ここに⊿ = (a-b)(b-c)(c-a), …差積
- 681 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/16(土) 21:55:48.73 ID:PABwwLAI.net]
- >>235
aa=xy/2, bb=2yz/3, cc=3zx,
とか置くと、
x=2ca/(3b), y=3ab/c, z=bc/(2a), xyz=abc,
よって
(与式) = abc/{6(aa+1)(bb+1)(cc+1)},
(aa+1)-2a =(a-1)^2 ≧0.
>>632
(左辺) = (1/6){(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2}
≧0,
>>641
ラグランジュさんの恒等式
（a[1]^2+…+a[n]^2）（b[1]^2+…+b[n]^2）-（a[1]b[1]+…+a[n]b[n])^2＝Σ[1≦i<j≦n]（a[i]b[j]-b[i]a[j])^2
が最大になるのは…
- 682 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/16(土) 23:37:56.62 ID:60UMVyJM.net]
- >>637
> 、(x^2+12xy+9y^2)^2 ≧ 4y(2x+3y)^3
因数分解できるね ( ﾟ∀ﾟ)
- 683 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/17(日) 21:09:20.11 ID:0qSKZ1Xz.net]
- >>637
実数 x,y に対して (xx+12xy+9yy)^2 ≧ 12xy(2x+3y)(x+6y),
因数分解できまつ…
- 684 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/17(日) 21:22:27.74 ID:0qSKZ1Xz.net]
- >>637 >>648-649
ついでに…
(xx+12xy+9yy)^2 ≧ 12xy(2x+3y)(x+6y),
(xx+12xy+9yy)^2 ≧ 12xy(xx+9xy+9yy),
(xx+12xy+9yy)^2 ≧ 36xy(xx+3xy+9yy),
- 685 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/17(日) 23:42:09.72 ID:0qSKZ1Xz.net]
- >>628
(x^3 + y^3 + z^3) + (1/x^3 + 1/y^3 + 1/z^3) + k(x/z + y/x + z/y)
= {x^3 + 1/z^3 + (-k/3)^3 + kx/z}
+ {y^3 + 1/x^3 + (-k/3)^3 + ky/x}
+ {z^3 + 1/y^3 + (-k/3)^3 + kz/y}
+ kkk/9
= (x +1/z -k/3){ … } + (y +1/x -k/3){ … } + (z +1/y -k/3){ … } + kkk/9
≧ kkk/9,
綺麗でもねぇし、(k≠-3では）最小値も出ねぇし…
- 686 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/20(水) 21:56:45.67 ID:tgs7YrRF.net]
- 〔演習問題1.96〕
x,y,zを非負実数とするとき、次を示せ。
x^3 +y^3 +z^3 -3xyz ≧ ｋ|(x-y)(y-z)(z-x)|,
(a) k = 4
(b) k = √(9+6√3) = 4.403669475
ルーマニア 2007年(改)
佐藤（訳）§1.6 演習問題1.96
- 687 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/20(水) 22:37:49.58 ID:tgs7YrRF.net]
- >>652
(左辺) = (x+y+z)(xx+yy+zz-xy-yz-zx),
yはxとzの中間にあるとしてよい。
xx+yy+zz-xy-yz-zx = (x-y)^2 + |x-y||y-z| + (y-z)^2
(a)の方は
x+y+z ≧ |x-y| + |y-z| + min{|x-y|, |y-z|}
(左辺) ≧ (|x-y|+|y-z|)^3 = |x-z|^3 ≧ 4|(x-y)(y-z)(z-x)|,
- 688 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/21(木) 04:37:28.80 ID:pItodR5J.net]
- >>652
(b)
LHS - RHS の最小値は (x, y, z) = (0, c*(3+sqrt(6(sqrt(3)-9)), c*(3-sqrt(6(sqrt(3)-9))) (c は任意の実数) およびこの任意の置換で起こるってとこだね
- 689 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/21(木) 04:39:33.36 ID:pItodR5J.net]
- >>652
(b) LHS- RHS の最小値は
(x, y, z) = (0, c*(3+sqrt(6sqrt(3)-9)), c*(3-sqrt(6sqrt(3)-9))) (c は任意の実数)
およびこの任意の置換で起こる
- 690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/21(木) 15:41:03.72 ID:pItodR5J.net]
- >>655
c は実数ではなく任意の非負実数っていうのと，最小値は x = y = z でも起こることを付け足しておきます
【問題648'】
非負実数 x, y, z に対し，次の最小値を求めよ
(x^3+y^3+z^3-3xyz) - abs(x*(x-y)*(x-z))
- 691 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/21(木) 15:57:20.47 ID:MLLBocxJ.net]
- >>656
右辺のabsってのは、絶対値ですか？ Excelか何かで使う記号ですか？
- 692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/21(木) 16:10:58.48 ID:pItodR5J.net]
- 解いてはないけどあってると思う
【問題648''】
非負実数 x, y, z に対し，次の不等式を示せ
・x^3+y^3+z^3+xyz ≧ 1/2 (x+y)(y+z)(z+x)
・x^3+y^3+z^3+1/4 (x+y)(y+z)(z+x) ≧ xyz
- 693 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/21(木) 16:12:09.88 ID:pItodR5J.net]
- >>657
絶対値です
texやmaximaなど，色々なところで使えます
- 694 名前：648-649 mailto:sage [2016/07/21(木) 16:49:03.75 ID:NpEdeMjc.net]
- >>656
正解です!
(x,y,z) = (0, C*(k+√3), C*(k-√3)) C≧0
でもいい…
>>658
x^3 +y^3 +z^3 -(x+y)(y+z)(z+x) +5xyz = x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) = F1(x,y,z) ≧0,
(Schur) と
(x+y)(y+z)(z+x) - 8xyz = x(y-z)^2 + y(z-x)^2 + z(x-y)^2 ≧0,
を使えば出そう…
- 695 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/23(土) 22:53:41.28 ID:vBFJLUiR.net]
- もう変形問題は十分かな？
【問題648'''】
λを実数とする。任意の非負実数 x, y, z に対し次の不等式が成り立つ実定数 k が存在するような λ を求め，その時の k の最大値を求めよ。
x^3 +y^3 +z^3 +λxyz ≧ k|(x-y)(y-z)(z-x)|,
- 696 名前：１３２人目の素数さん [2016/07/23(土) 23:35:47.80 ID:vBFJLUiR.net]
- ところでみんなはどんな感じに不等式コレクションしてるの？
- 697 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/24(日) 00:49:56.31 ID:KzbjbpQs.net]
- とりあえずTeXで問題と証明をまとめて、不等式フォルダにブチ込む。
時間のあるときに覗いてﾊｧﾊｧしながら、適当に分類する。
昔は出典（入試問題なら出題年と大学名、webならURL）を記録していなかったことを後悔。
一度HDDが壊れて失われたことがあるので、今は殆ど残っていない。
最近は時間がないので、TeXでまとめずに、urlだけメモって終わり。
- 698 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/24(日) 14:35:35.94 ID:fbilIAGJ.net]
- >>663
そのフォルダ見たいぜ！
任意の実数 x, y, z に対し，次の不等式を示せ。
x^4 + y^4 + z^4 + 2xyz(x + y + z) ≧ x^3y + y^3z + z^3x
【VASILE CIRTOAJE】
- 699 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/07/24(日) 14:42:01.38 ID:ntolEbC+.net]
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- 700 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/24(日) 15:19:18.27 ID:ntolEbC+.net]
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- 701 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/24(日) 15:19:37.80 ID:ntolEbC+.net]
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- 702 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/24(日) 15:19:57.45 ID:ntolEbC+.net]
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- 703 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/24(日) 15:20:16.98 ID:ntolEbC+.net]
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- 704 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/24(日) 15:20:36.53 ID:ntolEbC+.net]
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- 705 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/24(日) 15:20:55.29 ID:ntolEbC+.net]
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- 706 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/24(日) 15:21:14.42 ID:ntolEbC+.net]
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- 707 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/24(日) 15:21:33.17 ID:ntolEbC+.net]
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- 708 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/24(日) 15:21:53.72 ID:ntolEbC+.net]
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- 709 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/24(日) 21:49:10.16 ID:vPY226Dk.net]
- >>664
>>632 で p=1、p'=0 とすると、
X = xx-zz-pxy,
Y = yy-xx-pyz,
Z = zz-yy-pzx,
により
(左辺)－(右辺)＝{(X+Y)^2+(Y+Z)^2+(Z+X)^2}/2 ≧0,
等号成立は
(x,y,z) = (1, (0.8019377358), 1/(-2.2469796037)) とその rotation.
t^3 +2tt -t-1=0 の根。
【問題660'】
任意の実数x,y,zに対し
x^4 + y^4 + z^4 + (√3 -1)xyz(x+y+z) ≧ (√3)(x^3･y + y^3･z + z^3･x),
- 710 名前：は成り立つか？ []
- [ここ壊れてます]
- 711 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/25(月) 07:24:39.66 ID:kzohBiLJ.net]
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- 712 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/25(月) 07:24:56.82 ID:kzohBiLJ.net]
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- 713 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/25(月) 07:25:15.52 ID:kzohBiLJ.net]
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- 714 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/25(月) 07:25:34.61 ID:kzohBiLJ.net]
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- 715 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/25(月) 07:25:55.42 ID:kzohBiLJ.net]
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- 716 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/25(月) 07:26:16.14 ID:kzohBiLJ.net]
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- 717 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/25(月) 07:26:34.78 ID:kzohBiLJ.net]
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- 718 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/25(月) 07:26:54.79 ID:kzohBiLJ.net]
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- 719 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/25(月) 07:27:15.01 ID:kzohBiLJ.net]
- ￥
- 720 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/07/25(月) 07:27:36.02 ID:kzohBiLJ.net]
- ￥
- 721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/25(月) 19:42:43.05 ID:DgzBjBOv.net]
- >>632
(1/6)(p-p')^2･(ab+bc+ca)^2 ≧0 を足すと…
〔系〕
a^4 +b^4 +c^4 - p(aaab+bbbc+ccca) - p'(abbb+bccc+caaa) + {(pp+p'p')/2 -1}(aabb+bbcc+ccaa) + (p+p'-pp')abc(a+b+c)≧0,
- 722 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/25(月) 20:02:06.87 ID:DgzBjBOv.net]
- >>632 >>686
x = aa-cc-pab+p'bc,
y = bb-aa-pbc+p'ca,
z = cc-bb-pca+p'ab,
とおくと、
(628の左辺) = {(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2}/6 ≧0,
(682の左辺) = (xx+yy+zz)/2 ≧0,
- 723 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/27(水) 22:29:50.52 ID:iPJXlDFo.net]
- f(x) をｎ次多項式
M = max |f(x)| (1≦x≦1)
m = max |f’(x)| (1≦x≦1)
とおくとき、m’≦(n^2)・Ｍ
- 724 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/28(木) 04:53:00.74 ID:yd5KkHjM.net]
- そういや昔、日本の高校教師がAM-GM inequalityの新証明を発見したよ（ドヤ顔）ってニュースがあって、
数セミにも記事が載ってたけど、どの辺が新証明なのか分からなかった。サルにも分かるように説明キボンヌ！
- 725 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/28(木) 05:08:15.85 ID:yd5KkHjM.net]
- >>689
不等式への招待 第５章
536 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/08/25(木) 16:54:26.26
そういや３年位前に、高校の先生が相加相乗平均の新証明の記事があったけど、いまさらながら、その論文のリンクを貼っておく
www.emis.de/journals/JIPAM/images/080_08_JIPAM/080_08.pdf
並べ替え不等式を使うのか…
541
その方法と 全 く 同 じ 方 法 で、色々な不等式(もちろん相加相乗平均も)を証明した記事が、数学セミナーに掲載されている。
数学セミナー 2004.2
ttp://www.nippyo.co.jp/magazine/4352.html
＞対称性を有する不等式の統一的証明について 仁平政一 52
↑この記事。2004年だから、例の高校の先生より早い。
545
記事名をキーワードにググってみたら、数研通信とかいうサイトに まるごと載ってるじゃねーか(＾o＾)
数研通信 47号2003年8月
不等式の証明の統一的方法（仁平政一）
ttp://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/47/47-5.pdf
>545と若干タイトルが違うが、著者は同じ。で、こっちの方がさらに年月が古く、2003年8月となっている。
>545のやつは、この記事の加筆修正なのかもしれん(俺の手元に数セミが無いので、確認できない＾o＾)。
546
数蝉の年２回のNOTEは、コピーしてファイルしてるので見たけど、数検通信の記事から抜粋したものですな
で、この方法は >>2 参考文献[1] P.25の方法と同じな希ガス…
547
ということは、並べ替え不等式を使う方法はずっと昔から知られていたと。
548
所謂, Rearrangememt Inequalityですな。
583
x_(n-1) ≦ G ≦ x_n,
を仮定して
x_(n-1) + x_n - {x_(n-1)･x_n /G + G} = (x_n - G){G - x_(n-1)}/G ≧ 0,
x_(n-1) + x_n ≧ {x_(n-1)･x_n /G} + G,
を導いています。
584
つまり
- 726 名前：既出の証明でも専門誌に発表できるということですね
585
対称性に注目って不等式考える上では突飛なアイデアじゃないよね
ってか定跡やん。これを「新証明」と主張することに不安は感じなかったのだろうか。 [] - [ここ壊れてます]
- 727 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/29(金) 06:20:06.49 ID:qniiitz9.net]
- 論文って、民間人が投稿できるの？数学者かつ、その雑誌の会員になってないとダメなんじゃないん？
しかも掲載してもらうのに金がかかるのでは？
- 728 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/07/30(土) 16:41:14.11 ID:Dzi09bPm.net]
- >>686 に (1/2)(p-p')^2･(ab+bc+ca)^2 = (1/2)(x+y+z)^2 ≧0 を足すと…
〔系〕
a^4 +b^4 +c^4 -p(aaab+bbbc+ccca) -p'(abbb+bccc+caaa) +(pp-pp'+p'p'-1)(aabb+bbcc+ccaa) +(p+p'+pp-3pp'+p'p')abc(a+b+c)
= {(x+y)^2 +(y+z)^2 +(z+x)^2}/2
≧0,
p=1、p'=0 とおけば >>664
(略証)
(x+y)^2 + (y+z)^2 + (z+x)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + (x+y+z)^2,
3(x^2 + y^2 + z^2) = (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 + (x+y+z)^2,
より
- 729 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/08/01(月) 00:28:09.98 ID:qfoqfHkv.net]
- 日本人ってホンマに『人を舐めてる』よね。こういう糞みたいな奴ばっか
りだから国家も腐るし、そして学問もダメになる。だからとにかく馬鹿板
は焼きます。こういう場所でカキコする低能が苦悩する様に。
￥
>335 名前 :１３２人目の素数さん：2016/07/31(日) 12:42:35.54 ID:eoIQzfwB
> 反論できないってことは読んでないんだなｗ
> なのに数学談義大好きｗ馬鹿の考えてることはよくわからんｗ
>
- 730 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/08/01(月) 16:15:46.52 ID:qfoqfHkv.net]
- 日本人ってホンマに『人を舐めてる』よね。こういう糞みたいな奴ばっか
りだから国家も腐るし、そして学問もダメになる。だからとにかく馬鹿板
は焼きます。こういう場所でカキコする低能が苦悩する様に。
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>335 名前 :１３２人目の素数さん：2016/07/31(日) 12:42:35.54 ID:eoIQzfwB
> 反論できないってことは読んでないんだなｗ
> なのに数学談義大好きｗ馬鹿の考えてることはよくわからんｗ
>
- 731 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/08/01(月) 16:21:17.67 ID:qfoqfHkv.net]
- 日本人ってホンマに『人を舐めてる』よね。こういう糞みたいな奴ばっか
りだから国家も腐るし、そして学問もダメになる。だからとにかく馬鹿板
は焼きます。こういう場所でカキコする低能が苦悩する様に。
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>335 名前 :１３２人目の素数さん：2016/07/31(日) 12:42:35.54 ID:eoIQzfwB
> 反論できないってことは読んでないんだなｗ
> なのに数学談義大好きｗ馬鹿の考えてることはよくわからんｗ
>
- 732 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/08/01(月) 16:21:41.72 ID:qfoqfHkv.net]
- 日本人ってホンマに『人を舐めてる』よね。こういう糞みたいな奴ばっか
りだから国家も腐るし、そして学問もダメになる。だからとにかく馬鹿板
は焼きます。こういう場所でカキコする低能が苦悩する様に。
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>335 名前 :１３２人目の素数さん：2016/07/31(日) 12:42:35.54 ID:eoIQzfwB
> 反論できないってことは読んでないんだなｗ
> なのに数学談義大好きｗ馬鹿の考えてることはよくわからんｗ
>
- 733 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/01(月) 18:18:26.53 ID:CDqeLcE8.net]
- 任意の実数 x, y, z に対し，次の不等式を示せ。
(x^2 + y^2 + z^2)^2 ≧ 3(xxxy + yyyz + zzzx)
また，等号成立は（厳密に）いつか。
【VASILE CIRTOAJE】
- 734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/01(月) 19:41:16.69 ID:1+D1r8o8.net]
- 巡回式は難しい…
- 735 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/08/02(火) 11:58:10.59 ID:PwIO2J7h.net]
- ￥
>1 ：名無しさん ：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
>
>5392 ：kmath1107★ ：2016/07/31(日) 11:53:29 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5393 ：kmath1107★ ：2016/07/31(日) 11:58:25 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5394 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/07/31(日) 12:06:23 ID:???
> ￥
>
>5395 ：kmath1107★ ：2016/07/31(日) 13:24:11 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
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>5396 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/07/31(日) 17:23:53 ID:???
> ￥
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>5397 ：kmath1107★ ：2016/08/01(月) 15:59:13 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5398 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/01(月) 16:06:01 ID:???
> ￥
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- 736 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/08/02(火) 12:50:30.83 ID:PwIO2J7h.net]
- 日本人ってホンマに『人を舐めてる』よね。こういう糞みたいな奴ばっか
りだから国家も腐るし、そして学問もダメになる。だからとにかく馬鹿板
は焼きます。こういう場所でカキコする低能が苦悩する様に。
￥
>335 :１３２人目の素数さん：2016/07/31(日) 12:42:35.54 ID:eoIQzfwB
> 反論できないってことは読んでないんだなｗ
> なのに数学談義大好きｗ馬鹿の考えてることはよくわからんｗ
>
- 737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/04(木) 14:16:14.46 ID:0OpmwG2h.net]
- サノバビッチの不等式
- 738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/05(金) 10:30:24.66 ID:paKrRuwY.net]
- 欲しかったけど高すぎたわｗ
page12.auctions.yahoo.co.jp/jp/auction/p522823978
- 739 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/06(土) 09:35:04.11 ID:iu7LMiQH.net]
- a、b、c > 0 のとき、
(a + bc/a)*(b + ca/b)*(c + ab/c) ≧ a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc
///////
///////＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿_
/////// ￣￣￣￣￣￣￣￣￣|￣￣
/////// ＿＿＿ (~) ﾁﾘﾝﾁﾘﾝ
/////// ／ ≧ ＼ ﾉ,,
/////// |::::: (● (● |
/////// ヽ::::... .ワ.....ノ 日本の夏
/////// （つ へへ つ 不等式の夏
/////// //△ ヽλ ） ） 旦
////// l￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣l
///// ￣| .|￣￣￣￣￣￣￣| .|￣
//// ^＾^ ^＾^
- 740 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/06(土) 22:49:34.50 ID:S/4UAYpT.net]
- xyz=1を満たす、x,y,zに対し、
s=(x/y,y/z,z/x,y/x,z/y,x/z), t=(z,x,y,1/z,1/x,1/y) を考え、|
- 741 名前：s|^2*|t|^2≧(s,t)^2 より
(x/y)^2+(y/x)^2+(y/z)^2+(z/y)^2+(z/x)^2+(x/z)^2 ≧ x^2 + 1/x^2 + y^2 + 1/y^2 +z^2 + 1/z^2
が得られる。x^2=a/b,y^2=b/c,z^2=c/a と置くと、
a^2/(bc) + bc/a^2 + b^2/(ca) + ca/b^2 + c^2/(ab) + ab/c^2 ≧ a/b + b/a + b/c + c/b + c/a + a/c
(1+bc/a^2)(1+ca/b^2)(1+ab/c^2) - 2
≧ (a^2+b^2)/(ab) + (b^2+c^2)/(bc) + (c^2+a^2)/(ca) = (a-b)^2/(ab) + (b-c)^2/(bc) + (c-a)^2/(ca) + 6
となり、以下、>>703の式が得られる。 [] - [ここ壊れてます]
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