- 1 名前：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ) mailto:sage [2013/03/09(土) 22:14:39.95 .net]
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ！
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ…
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
まとめWiki wiki.livedoor.jp/loveinequality/
過去スレ
・不等式スレッド （第１章）science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第５章 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第６章 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・過去スレのミラー置き場 cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
姉妹サイト（？）
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ２
www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/l50
Yahoo! 掲示板 トップ > 科学 > 数学
messages.yahoo.co.jp/bbs?action=t&board=1835554&sid=1835554&type=r&first=1
- 357 名前：１３２人目の素数さん [2016/01/05(火) 21:38:48.22 ID:eCguscT5.net]
- 以下のWEBからCirtoajeの
Mathematical Inequalities Vol.1-5 (のfraft)
がdownloadできるので、興味のある人はどうぞ。
ac.upg-ploiesti.ro/vcirtoaje/vcirtoaje.php
ついでに、書きかけだけど、よかったらこっちも
www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/articles.html の中の[10]
- 358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/05(火) 22:19:00.23 ID:gtddv0gP.net]
- >>341
いただきマンモス！
- 359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/06(水) 00:44:30.20 ID:ZuQt8UeX.net]
- つまんないことだけど、９行目に愛があふれていたり
- 360 名前：１３２人目の素数さん [2016/01/08(金) 19:26:23.02 ID:QUdG1pIk.net]
- すみまんせん
実数xに対して、x^16 + x + 1 > 0 を示せ
というのはどうすればいいでしょうか。
- 361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/08(金) 21:32:00.51 ID:tLrcJQrP.net]
- |x|≧1の時は、x^16≧|x|≧0 なので自明
|x|<1の時は、x^16+x+1≧x^16-|x|+1＞1-|x|≧0
- 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/08(金) 21:54:45.38 ID:5Mf1q4fA.net]
- 平方完成しまくれ
- 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/08(金) 21:58:52.85 ID:5Mf1q4fA.net]
- 任意の実数 x に対して、次式を示せ。
x^16 + x + 1 > 0
x^16 - x + 1 > 0
４平方和になるよな。
- 364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/08(金) 22:14:37.81 ID:s6WpAeq1.net]
- >>347
x^16 ± x +1 = (x^8-1/2)^2 + (x^4 -1/2)^2 + (x^2-1/2)^2 + (x±1/2)^2 > 0
ということ？
- 365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/08(金) 22:35:01.65 ID:5Mf1q4fA.net]
- うむ
- 366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/08(金) 23:01:27.79 ID:5Mf1q4fA.net]
- 平方和で快便スッキリ。
- 367 名前：１３２人目の素数さん [2016/01/08(金) 23:30:11.43 ID:QUdG1pIk.net]
- 平方和だなんて
なんでこんな変態的な解法がそんなに簡単に思い浮かぶのですかあ
- 368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/09(土) 01:03:11.57 ID:9Z0nBfTG.net]
- なんか見たことのある問題と流れだと思ったら
> 高校数学の質問スレPART362
> uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1386957770/511-
だった
- 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/09(土) 02:10:57.44 ID:Mkv80jBo.net]
- >>351
そりゃ不等式ヲタはド変態（←褒め言葉）だからな。
- 370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/09(土) 12:04:31.42 ID:/ERKXySg.net]
- マジレスすると、代数的不等式の常套手段だからとりあえず平方完成を試みただけだと思う
- 371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/09(土) 14:02:20.94 ID:Mkv80jBo.net]
- >>354
きみは実に面白くない人だな。
普段から言わなくてもいい一言で場を凍りつかせていないか？
- 372 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/09(土) 14:20:20.82 ID:/ERKXySg.net]
- いや、ちょっと気持ち悪いノリが続いたからさ
単発で留めておけば気にならなかったのに
- 373 名前：１３２人目の素数さん [2016/01/09(土) 14:21:37.85 ID:ytPTCyVz.net]
- ここって昔からキモさ全開じゃん
- 374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/09(土) 15:15:42.49 ID:Mkv80jBo.net]
- >>356
だからお前はダメなんだよ。
- 375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/15(金) 18:47:00.28 ID:A1LDyDSu.net]
- 俺も>>348は変態的ではないと思うな。
>>348レベルで変態的と思うようでは、不等式ヲタとしては勉強不足だと折れは思うわ。
- 376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/15(金) 20:39:57.18 ID:WmgiiubX.net]
- 得るもののない書き込みしかできない者は黙ってROMれ。
- 377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/15(金) 21:19:02.37 ID:XpQFwryn.net]
- あ、気持ち悪いノリの人だ
- 378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/21(木) 09:29:40.74 ID:7y0jK6dG.net]
- 球面上の鋭角三角形ABCについて、
tanAtanBtanC>3√3
が成立することを示せ
- 379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/02/18(木) 20:11:00.29 ID:1twGteVq.net]
- a、b、c を正の実数とする。
a^3・b^6 + b^3・c^6 + c^3・a^6 + 3・a^3・b^3・c^3 ≧ abc・(a^3・b^3 + b^3・c^3 + c^3・a^3) + a^2・b^2・c^2・(a^3 + b^3 + c^3)
- 380 名前：１３２人目の素数さん [2016/03/14(月) 20:18:24.48 ID:rpo94kst.net]
- 大学への数学の3月号宿題ですがお知恵を貸して下さい
特に高校範囲の回答が未だ出てません
高校範囲外の回答も大歓迎です！
---------------------------------------------------------------------------------
（z1，z2，．．．，zn)∈C^n，
（z1，z2，．．．，zn)≠（0，0，．．．，0)，
F＝（|z1−z2|^2＋．．．＋|z(n-1)−zn|^2＋|zｎ−z1|^2）/（|z1|^2＋|z2|^2＋．．．＋|zn|＾2）
とする
(1) m＝1，．．．，n-1 の各場合のおいて
zk＝cos(2ｋmπ/n) ＋i sin(2ｋmπ/n) (1≦k≦n)
のとき F の値を求めよ
(2)さらに z1＋z2＋．．．＋zn＝0 をみたすとき F の最大値と最小値を求めよ
--------------------------------------------------------------------------------
- 381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/14(月) 20:22:55.03 ID:rpo94kst.net]
- 参考スレッド
大学受験_ｓｃ
★【月刊大学への数学】学力コンテスト・宿題23
- 382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/14(月) 20:29:13.54 ID:rpo94kst.net]
- 連投済みません
〆切は過ぎてます！
- 383 名前：１３２人目の素数さん [2016/03/17(木) 12:40:29.21 ID:rjgplTGC.net]
- >>344 実数xに対して、x^16 + x + 1 > 0 を示せ
任意の実数xと任意の自然数nに対して、x^2n + x + 1 ＞ 0 を示せ
ここまで一般化できるよね それだけ
- 384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/17(木) 14:45:14.27 ID:D3bv7jdQ.net]
- x^2n + x^m + 1 ＞ 0 (0≦m≦2n)
- 385 名前：１３２人目の素数さん [2016/03/21(月) 23:28:07.28 ID:1HYPEF6D.net]
- a,b,c,d≧0
a≦1, a+b≦5, a+b+c≦14, a+b+c+d≦30
のとき
sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)+sqrt(d)≦10
を示せ。
- 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/23(水) 05:14:47.27 ID:cBAcmLOd.net]
- a + 4*(b/4) + 9*(c/9) + 16*(d/16) ≦ 30 に、
f(x)=√xとして、凸不等式 (1/n)Σ[f(x_i)] ≦ f((Σx_i)/n) を用いると
(1/30)*{√a + 4*√(b/4) + 9*√(c/9) + 16*√(d/16)} ≦ √[{a+4*(b/4)+9*(c/9)+16*(d/16)}/30]≦1
整理すると
a + 2√b + 3√c + 4√d ≦ 30 ・・・(１)
を得る。同様に、
a + 2√b + 3√c ≦ 14 ・・・（２）
a + 2√b + ≦ 5 ・・・（３）
a ≦ 1 ・・・（４）
{(1)*3 + (2) + (3)*2 + (4)*6}/12 を計算すると目的の式を得る
- 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/23(水) 09:18:52.47 ID:K+BJtY2J.net]
- その閃き方を教えてほしい
- 388 名前：１３２人目の素数さん [2016/03/23(水) 14:46:27.16 ID:pTWUy74g.net]
- 狂気すら感じる思考回路だわｗ
- 389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/24(木) 01:36:53.07 ID:qfgEsb+P.net]
- イェンセンの不等式
- 390 名前：１３２人目の素数さん [2016/03/24(木) 07:45:57.15 ID:rx
]
- [ここ壊れてます]
- 391 名前：JME1YD.net mailto: x,y,a,bが非負のとき sqrt((x+a)(y+b)) ≧ sqrt(xy) + sqrt(ab)
両辺を平方して同値変形してもすぐに示せるのですが
コーシーとかイエンセンとかでもっと華麗に示す方法はないでしょうか。 [] - [ここ壊れてます]
- 392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/24(木) 11:43:02.90 ID:QnvnOXRV.net]
- BF恒等式
(A^2+B^2)(X^2+Y^2)=(AX+BY)^2+(AY-BX)^2
BとXを入れ替えて
(A^2+X^2)(B^2+Y^2)=(AB+XY)^2+(AY-BX)^2
A^2→a (a≧0) 等と置き換えると
(a+x)(b+y)=(√(ab)+√(xy))^2+(√(ay)-√(bx))^2
(a+x)(b+y)≧(√(ab)+√(xy))^2
- 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/24(木) 16:18:34.64 ID:qfgEsb+P.net]
- ベクトル (sqrt(x), sqrt(a)) と (sqrt(y), sqrt(b)) についてコーシーの不等式そのまんまやん
- 394 名前：１３２人目の素数さん [2016/03/24(木) 22:43:49.57 ID:rxJME1YD.net]
- そういわれてみるとそうでした
- 395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/25(金) 15:03:27.51 ID:bQ4Xmm9E.net]
- >>370 はすごいね。
- 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/25(金) 16:33:04.50 ID:TEEe/a1o.net]
- >>370
なんだ、ただの神か
- 397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/26(土) 14:57:09.19 ID:iiYdiq+K.net]
- >>375
あえてBF恒等式と書くところに…、いやなんでもない
- 398 名前：１３２人目の素数さん [2016/04/04(月) 17:33:43.64 ID:GEiBx8Vr.net]
- x≧0において √(x+1)+√(3x+9) ≦ √(x+4)+√(3x+4)
- 399 名前：１３２人目の素数さん [2016/04/05(火) 23:04:02.63 ID:nBcOqMq6.net]
- 正の数a,b,c及び0≦x≦y≦zが
a≦x かつ a+b≦x+y かつ a+b+c≦x+y+z
を満たすとき
√a +√b +√c ≦ √x +√y +√z
- 400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/06(水) 07:32:06.00 ID:TK/STlbk.net]
- 検索しても２種類の数列の場合しか出てきませんが、並べ替え不等式は、一般化できますか？
- 401 名前：１３２人目の素数さん [2016/04/06(水) 09:58:56.15 ID:y4gN4ddP.net]
- >>383
izumi-math.jp/I_Yanagita/emath_ver1.1ps.pdf
- 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/06(水) 19:18:37.82 ID:TK/STlbk.net]
- >>384
ありがとうございます。ですがサッパリです。
- 403 名前：１３２人目の素数さん [2016/04/07(木) 11:57:36.82 ID:MmBSjqX/.net]
- >>385
384ページに書いてあるでしょ
君の言うとおり２種類の数列以外の場合に一般化できるってこと
各数列を降順（昇順）ソートして対応する要素をかけて足した方が大きい（小さい）
＝の可能性もあるけど
- 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/08(金) 06:40:00.72 ID:fwk06iXt.net]
- >>381
√(x+1)+√(3x+9) ≦ √(x+4)+√(3x+4) において x→12x^2と置き換えると
√(4+12x^2)+√(4+36x^2) ≧ √(1+12x^2) + √(9+36x^2) となる。この式を証明することにする。
なお、x=0の時成立するのは明白なので、以後、x>0とする。
O(0,0) , A(2,(2√3)x) , B(1,(2√3)x) , P(4,(6+2√3)x) とすると この式は
OA + AP ≧ OB + BP
三角形OAPの面積は、△OAP=(1/2)*|2*(6+2√3)-4*(2√3)|x=2√3(√3-1)x
三角形OBPの面積は、△OBP=(1/2)*|1*(6+2√3)-4*(2√3)|x=3(√3-1)x
OP=√(16+(48+24√3)x^2) に注意して |OA-AP|/OP および |OB-BP|/OP を評価すると
0 ≦|OA-AP|/OP < 2-√3 、2-√3 < |OB-BP|/OP ≦ 1/2
ところで、辺長が2a,2b,2cの三角形の面積をSとすると、S^2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) なので
(a+b)^2 = c^2 +S^2*r/c^2 ,ただしr=1/(1-((a-b)/c)^2) という関係がある。
三角形OAPにおいて、OA=a、AP=b、OP=c として、上の関係式を使うと
(OA+AP)^2 = OP^2 + (△OAP/OP)^2 * r_a
r_a=1/(1-(|OA-AP|/OP)^2) ≧1 なので
(OA+AP)^2 ≧ OP^2 + (2√3(√3-1)x)^2/OP^2 *1 = OP^2 + 12(4-2√3)x^2/OP^2
同様に三角形OBPにおいて、OB=a、BP=b、OP=c とすると
(OB+BP)^2 = OP^2 + (△OBP/OP)^2 * r_b
r_b=1/(1-(|OB-BP|/OP)^2) ≦4
- 405 名前：/3 なので (∵ |OB-BP|/OP ≦ 1/2)
(OB+BP)^2 ≦ OP^2 + (3(√3-1)x)^2/OP^2 * (4/3)= OP^2 + 12(4-2√3)x^2/OP^2
最右辺が一致しているので (OA+AP)^2 ≧ OP^2 + 12(4-2√3)x^2/OP^2 ≧(OB+BP)^2 が示され、目的の式が得られる [] - [ここ壊れてます]
- 406 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/08(金) 19:14:29.46 ID:+SeuPjzS.net]
- Logarithmic mean や Identric mean について詳しい本ないですか？
- 407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/09(土) 17:50:00.74 ID:rCyPdl4U.net]
- >>387
工夫はいいがさすがにこれはスマートじゃないでしょう
単に2乗して考える方が
- 408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/10(日) 20:10:47.39 ID:h45MNnYS.net]
- >>388
> Identric mean
対応する日本語あるのん？
- 409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/15(金) 14:22:58.26 ID:NGXVqzKa.net]
- 実数 a, b, c に対して、2(a^4 + b^4 + c^4) + (71+17√17)/2 ≧ 4abc + a^2b^2 + c^2a^2 + 3b^2c^2
- 410 名前：prime132 [2016/04/20(水) 21:59:27.66 ID:cUe+Ipvo.net]
- >>271
ファラデー（電磁誘導の研究で）
- 411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/21(木) 10:17:03.84 ID:/+LZXjJ0.net]
- >>271
貴婦人は不等式ヲタをしげしげと眺め
「あなた、生まれたばかりの赤ん坊の時代から随分年をとったけど
いまだに誰の役にもたってないじゃん」
といったので
「うっせーババア」
と言うしかなかったという。
- 412 名前：prime132 [2016/04/21(木) 16:26:16.73 ID:iheZo7AQ.net]
- >>344 >>347
相加-相乗平均
x^16−16(a^15)x＋15(a^16)＝(x^8-a^8)^2＋2(a^8)(x^4-a^4)^2＋4(a^12)(xx-aa)^2＋8(a^14)(x-a)^2,
で、16(a^15)＝−１とおくと
a＝−0.8312379
x^16＋x＋1≧1＋(15/16)a＝0.220714
- 413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/21(木) 16:54:58.77 ID:QoWZFuzY.net]
- >>393
＿|＿ ＼. ｀ヽ､｀ヽ､｀ヽ､ ＿＿＿_＼＼
_|＿. ｀ヽ､｀ ヽ､ ／
／ | ヽ ｀ヽ､｀ヽ､ ∧∧ （
＼ノ ノ ｀ヽ､ ( ). ＼
｀ヽ､/ 三つ
ﾊ,,ﾊ ／// ｀ヽ､
(ﾟωﾟ)／｀ヽ､ | | ←貴婦人
,..‐''"ii " ./ | ｀ヽ､｀ヽ｀ヽ､
lヽ│/ ／ | ┝ ||-┨/ | ｀ヽ､｀ヽ ｀ヽ､
!ｰ┼‐ |‐┬ / ∧ || | ｀ヽ､∪ヽ､｀ヽ､｀ヽ､｀ヽ､ ＿＿|＿
|./│ヽ l | ヽ,''i|口=彡'i | ｜|｀ヽ､ ｀ヽ､｀ヽ､ ＿|
.└── .ｌ | ヽ' || 'i ｀ヽ､|｀ヽ､｀ヽ､｀ヽ､ （＿|
|ノ|| 'i |｀ヽ､ ｀ヽ､ ノ
| || ｀ヽ｀ヽ|｀ヽ|｀ヽ､
'i || ｀ヽ|, ∪∪
'i￣|i｀`'''‐｀ヽ､
l | 'i | 'i｀ヽ､｀ヽ､｀ヽ､｀ヽ､｀ヽ､ ┏┓┏┓
レ | |_._| 'i_ 'i_｀ヽ､｀ヽ､ ｀ヽ､｀ヽ､ ┃┃┃┃
l ／__,.| |￣＼ ｀ヽ､｀ヽ､｀.ヽ､ ┗┛┗┛
_ノ. ￣ ￣￣ ┏┓┏┓
- 414 名前：prime132 [2016/04/21(木) 18:26:19.65 ID:iheZo7AQ.net]
- >>391
等号成立は
a=(3+√17)/2,
b=c=±√{(19+5√17)/2},
abc=(71+17√17)/2,
のとき。
- 415 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/21(木) 19:05:20.42 ID:iheZo7AQ.net]
- >>369
コーシーで
（√a＋√b＋√c＋√d)^2≦(1+2+3+4){a+(b/2)+(c/3)+(d/4)},
＝10･{(1-1/2)a＋(1/2-1/3)(a+b)＋(1/3-1/4)(a+b+c)＋(1/4)(a+b+c+d)}
≦100.
ぐらいしか思いつかぬ…
- 416 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/21(木) 19:35:06.66 ID:iheZo7AQ.net]
- >>367
相加-相乗平均
x^(2n)−2n･a^(2n-1)x＋(2n-1)a^(2n)＝{x^(2n-2)＋2a･x^(2n-3)＋…＋(2n-2)a^(2n-3)x＋(2n-1)a^(2n-2)}(x-a)^2,
で、2n･a^(2n-1)＝−１とおく。
a＝−(1/2n)^[1/(2n-1)],
x^(2n)＋x＋1≧1−{(2n-1)/2n}|a|.
だよね。ただそれだけ
- 417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/21(木) 22:
]
- [ここ壊れてます]
- 418 名前：01:56.86 ID:QoWZFuzY.net mailto: >>396
どうやるのん？ [] - [ここ壊れてます]
- 419 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/21(木) 23:10:05.41 ID:iheZo7AQ.net]
- >>381 >>389
では単に2乗して考える。
{(右辺)^2−(左辺)^2}/2＝√{(x+4)(3x+4)}−√{(x+1)(3x+9)}−１
＝(4x+7)／[√{(x+4)(3x+4)}＋√{(x+1)(3x+9)}] −１
≧(4x+7)／[(2x+4)＋(2x+3)] −１
＝0,
- 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/22(金) 00:07:49.91 ID:qfYR5MNf.net]
- >>397
ぐぬぬ…。なかなか思いつかんなあ。
- 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/22(金) 04:24:48.44 ID:in8T91Zq.net]
- >>391
f = 2(a^4 + b^4 + c^4) - ( 4abc + a^2b^2 + c^2a^2 + 3b^2c^2 )
= (a^2+2a-bc)^2 + 2(b^2-c^2)^2 - a^2(b-c)^2 + a^4 - 4a^3 - 4a^2
fはbとcの入れ替えに対し不変なので、b=c上で極値を持つ
従って、g(a) = a^4 - 4a^3 - 4a^2 の最小値が、fの最小値になる
(最小値を取るときのaの値を用いて、b=c=±√(a^2+2a)の時)
g'(a) = 4a^3-12a^2-8a = 4a(a^2-3a-2) 等から、最小値を取るときのaは a=(3+√17)/2
g(a) = a^4 - 4a^3 - 4a^2 = （a^2-3a-2)(a^2-a-5) -17a-10
g((3+√17)/2) = -17 * (3+√17)/2 -10 = (-71-17√17)/2
- 422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/22(金) 10:07:06.42 ID:KRm4h22p.net]
- 絶対値が1未満の任意の複素数α,β,γに対して、以下が成立するための正の実数λの最小値を求めよ。
・α+β+γ=0ならば、|αβ+βγ+γα|^2+|αβγ|^3<λが成立する
- 423 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/22(金) 18:28:52.31 ID:RdqVAiN1.net]
- >>402
f＝g(a)＋{(aa+2a)−(bb+cc)/2}^2＋2a(b-c)^2＋(7/4)(bb-cc)^2≧g(a).
等号成立は b=c=±√(aa+2a) のとき。
- 424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/23(土) 00:58:07.85 ID:lKzrVXQh.net]
- >>404
f_(b=1,c=0)= 2 a^4 -a^2 +2 = f_10(a) とすると、
f_10(-2)=2*16-4+2=30
g(-2)=16-4*(-8)-4*4=32
f≧g が常に成り立つわけではない。
- 425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/23(土) 07:32:00.59 ID:iIo4nVsk.net]
- rは実数、a>1、f(r) = [ (a^(r+1)-1) / { (r+1)(a-1) } ]^(1/r) が単調増加することを証明するにはどうすればいいですか？
- 426 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/23(土) 07:46:12.96 ID:iIo4nVsk.net]
- >>404
> f＝g(a)＋{(aa+2a)−(bb+cc)/2}^2＋2a(b-c)^2＋(7/4)(bb-cc)^2≧g(a).
a<0 のとき 2a(b-c)^2 < 0 だから、上の不等式は常には成り立たんよな。
- 427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/23(土) 09:21:29.81 ID:lKzrVXQh.net]
- >>407
a<0の時、2a(b-c)^2 ≦0となるのは、一目瞭然。
しかし、他の項との兼ね合いで、全体で結果的には不等式が成立する という可能性は残されていて、
それを否定するために、具体例を挙げた。
- 428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/23(土) 11:00:53.07 ID:iIo4nVsk.net]
- >>408
なるほど。
- 429 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/23(土) 18:09:51.16 ID:5r1UlAr6.net]
- >>405 >>407-409
2|a|(bb+cc)−4abc＝(|a|+a)(b-c)^2＋(|a|-a)(b+c)^2≧0,
f＝g(|a|)＋{(aa+2|a|)−(bb+cc)/2}^2＋2|a|(bb+cc)−4abc＋(7/4)(bb-cc)^2≧g(|a|)
- 430 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/23(土) 18:20:18.97 ID:5r1UlAr6.net]
- >>405 >>407-409
2|a|(bb+cc)−4abc≧4(|abc|-abc)≧0,
g(a)＋(71+17√17)/2＝{[a＋(-1+√17)/2]^2＋√17−1}{a−(3+√17)/2}^2≧0,
等号成立は a＝(3+√17)/2.
- 431 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/23(土) 19:03:41.02 ID:lKzrVXQh.net]
- なるほど、aの符号に注目するのなら、
f = 2(a^4 + b^4 + c^4) - ( 4abc + a^2b^2 + c^2a^2 + 3b^2c^2 )
≧ 2(a^4 + b^4 + c^4) - ( 4|abc| + a^2b^2 + c^2a^2 + 3b^2c^2 )
= 2(|a|^4 + |b|^4 + |c|^4) - ( 4|a|*|b|*|c| + |a|^2*|b|^2 + |c|^2*|a|^2 + 3|b|^2*|c|^2 )
となるので、fの最小値を調べるときは、a,b,c が非負の範囲だけを調べれば十分
として、>>404へ至るのもありですね
- 432 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/23(土) 19:45:23.68 ID:5r1UlAr6.net]
- >>363
abb=x、bcc=y、caa=zとおくと、
(左辺)−(右辺)＝(x^3+y^3+z^3)＋3xyz−(zxx+xyy+yzz)−(zzx+xxy+yyz)
＝x(x-y)(x-z)＋y(y-z)(y-x)＋z(z-x)(z-y)
＝F_1(x y z)
≧0. (Schur)
- 433 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/24(日) 18:45:52.58 ID:qRA+Gwsm.net]
- >>295
- 434 名前：
f(x)＝log(x)/xはx>eで単調減少。
log(p)/p＜log(q)/q≦1/e,
∴log{log(p)}−log{log(q)}＜log(p)-log(q)＜(p-q)log(q)/q≦(p-q)/e. []- [ここ壊れてます]
- 435 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/24(日) 19:50:25.33 ID:qRA+Gwsm.net]
- >>301
a^4＋b^4＋c^4＋d^4−4|abcd|＝{(aa-bb)^2＋(aa-cc)^2＋(aa-dd)^2＋(bb-cc)^2＋(bb-dd)^2＋(cc-dd)^2＋2(|ab|-|cd|)^2＋2(|ac|-|bd|)^2＋2(|ad|-|bc|)^2}/3≧0,
>>303 >>306
|sin(x)^5|≦sin(x)^4≦sin(x)^2、|cos(x)^5|≦cos(x)^2.
>>309
{1+sin(x)}{1+cos(x)}＝１＋{sin(x)+cos(x)}＋sin(x)cos(x)
＝１＋(√2)C＋(CC−1/2)
＝(C＋1/√2)^2,
ここに C＝cos(x-π/4).
>>311
(1+a)(1+b)＝(1+ab)＋(a+b)
{(1+a)(1+b)}^2≧4(1+ab)(a+b)
{(1+a)(1+b)}^4≧16(4ab)(a+b)^2
>>312
(左辺)＝a/a^(1-p)＋b/b^(1-p)＋c/c^(1-p)
≧a/(a+b+c)^(1-p)＋b/(a+b+c)^(1-p)＋c/(a+b+c)^(1-p)
＝(a+b+c)/(a+b+c)^(1-p)
＝(右辺).
- 436 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/24(日) 20:06:11.29 ID:qRA+Gwsm.net]
- >>313
左辺を2乗して >>291-294 を参照.
>>316 改
1/{(1+xx)(1+yy)(1+zz)}^2＋1/{(1+x)(1+y)(1+z)}^2
≧{(1-xx)(1-yy)(1-zz)}^2＋1/{(1+x)(1+y)(1+z)}^2
≧2(1-x)(1-y)(1-z) (相加-相乗平均)
>>318
0≦{f(x)･y＋x･f(y)}{f(x)･y−x･f(y)}^2
＝f(x)^3･y^3−xf(x)^2･yyf(y)−xxf(x)･yf(y)^2＋x^3･f(y)^3,
これを 0<x<1、0<y<1 で積分する。
>>319
x+y+z＝sとして
左辺＝(xx-x+1)＋(yy-y+1)＋(zz-z+1)
＝{ss＋(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}/3−s＋3
≧ss/3−s＋3
＝sss/9＋(1＋ss/9)(3-s)
≧sss/9
≧3xyz.
>>320
中辺−左辺＝(ss-3t)＋(aab+bbc+cca-3abc)＋(tt-3su)≧0
右辺−中辺＝(aaa+bbb+ccc-abb-bcc-caa)＋(aaab+bbbc+ccca-abcs)＋(aabbb+bbccc+ccaaa-abct)≧0
>>321
1/(a+1)=A、1/(b+1)=B、1/(c+1)=Cとおくと A+B+C=1,
abc＝(1-A)/A･(1-B)/B･(1-C)/C
＝(B+C)/A･(C+A)/B･(A+B)/C≧8
佐藤(訳)、例1.7.1
- 437 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/24(日) 21:16:30.41 ID:qRA+Gwsm.net]
- >>301
a^4＋b^4＋c^4＋d^4−4|abcd|＝(aa-bb)^2＋(cc-dd)^2＋2(|ab|-|cd|)^2≧0
で十分だ....
- 438 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/24(日) 23:41:46.77 ID:qRA+Gwsm.net]
- >>317
これはムズイが、未定乗数を使わないでやるなら、
√(ab)＝g≦c+d として{a,b,c,d}と{g,g,c,d}を比べる。
1/a＋1/b＋9/(a+b+c+d)−2/g−9/(2g+c+d)＝{1/ab−9/[(a+b+c+d)(2g+c+d)]}(√a−√b)^2≧{1/gg−9/(2g＋c+d)^2}(√a−√b)^2≧0。{←(2g+c+d)≧3g}
∴{g,g,c,d}の方が左辺は小さい。
∴左辺が最小のときは、小さい方の３つは等しいはず。
｛a、a、a、1/a^3｝のとき、
{左辺−25/4}a(3a^4＋1)＝3a^8−(75/4)a^5＋19a^4−(25/4)a＋3
＝g(a)(1-a)^2≧0,
ここに、g(a)＝3a^6＋6a^5＋9a^4−(27/4)a^3−(7/2)a^2−(1/4)a＋3,
極小値：g(0.567317)=1.88411147556
とでもするか、う〜む。
[35] CGMO-2011 問4
- 439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/25(月) 00:02:11.91 ID:V9CJZU3J.net]
- なんだ、不等式神が光臨してたのか
- 440 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/25(月) 02:17:12.36 ID:1zw10KMQ.net]
- >>317
1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 9/(a+b+c+d)
= 4*1/(4a) + 4*1/(4b) + 4*1/(4c) + 4*1/(4d) + 9*1/(a+b+c+d)
≧25*1/{{(4*4a+4*4b+4*4c+4*4d+9*(a+b+c+d)}/25}=25/(a+b+c+d)
≧25/(4*[4]√(abcd))=25/4
第一の不等式は、1/xの凸不等式、第二の不等式は相加相乗平均の関係
- 441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/25(月) 03:16:03.56 ID:1zw10KMQ.net]
- >>420 不等号の向き、逆でした。間違いました。
- 442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/2
]
- [ここ壊れてます]
- 443 名前：5(月) 18:02:36.24 ID:V9CJZU3J.net mailto: 対数平均を一般化したものを２つ。
(1) r(b^{r+1} - a^{r+1}) / {(r+1)(b^r - a^r)}、r≠0,-1 が単調増加することを示せ。
(2) [(b^{r+1} - a^{r+1}) / {(r+1)(b-a)}]^{1/r}、r≠0,-1 が単調増加することを示せ。 [] - [ここ壊れてます]
- 444 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/25(月) 19:38:27.89 ID:9bCodAUH.net]
- >>290
|f(0)|＝|c|≦1,
|f(-1)|＝|a-b+c|≦1より
-1≦a-b+c≦1,
|f(1)|＝|a+b+c|≦1より
-1≦a+b+c≦1
∴ |a+c|＋|b|≦1,
また、|a|≦|a+c|+|c|≦2,
|xxf(1/x)|＝|a+bx+cxx|＝…
- 445 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/25(月) 19:45:19.89 ID:9bCodAUH.net]
- 0<p≦x_i≦qとし、｛x_1、x_2、……、x_n｝の相加平均をA、調和平均をHとすると
1≦A/H≦1＋(1/4pq)(q-p)^2,
- 446 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/25(月) 19:55:19.98 ID:9bCodAUH.net]
- 【Johnstonの不等式】
0<p≦x_i≦qとし、｛x_1、x_2、……、x_n｝の相加平均をA、相乗平均をGとすると
A≧G≧{p^(q-A)･q^(A-p)}^[1/(q-p)],
(略証)
y=log(x)は上に凸だから、
log(x_i)≧{(q-x_i)log(p)＋(x_i-p)log(q)}/(q-p)
i=1〜nでたしてnで割ると、
log((1/n)Σx)≦(1/n)log(Πx)≧{(q-A)log(p)＋(A-p)log(q)}/(q-p),
- 447 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/26(火) 23:08:45.36 ID:XSjTtKsA.net]
- >>418
g(a)＝3(x-0.567317455622392)^2･{(x+1.18748893643)^2＋2.74219081934}{(x+0.37982851920)^2＋0.134057954257}＋1.8841114755587
≧1.8841114755587
- 448 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/26(火) 23:53:39.43 ID:XSjTtKsA.net]
- >>418
a≧0に限定すれば
g(a)＝3a^6＋6a^5＋(27/16)(3a^4−4a^3＋1)＋(63/16)(aa−1/2)^2＋(3/16)a^2＋(1/4)(a−1/2)^2＋17/64
＞17/64,
- 449 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/27(水) 22:15:30.43 ID:iO9YGMzp.net]
- >>418
a〜1/√3 の辺りに極小があるので…
g(a)＝3(a-1/√3)^2･{aa(a+1+1/√3)^2＋(2/3)(4+√3)(a−a1)^2＋c}＋[(7√3-11)/3]a＋11(1+√3)/18
≧3c(a-1/√3)^2＋[(7√3-11)/3]a＋11(1+√3)/18
＝3c(a−a2)^2＋d
≧d.
a1＝−(361√3-300)/624＝−0.521266573
a2＝(9883-4788√3)/(3108+731√3)＝0.363487378
c＝(3108+731√3)/4992＝0.8762277925
d＝(40898191√3−63973937)/3718422＝1.845892626
- 450 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/27(水) 23:35:27.38 ID:iO9YGMzp.net]
- >>194
相加-相乗平均で(n-1)a^n＋b^n≧na^(n-1)･b,
∴(a^n)/b≧{n･a^(n-1)−b^(n-1)}/(n-1),
>>214-217
Lagrangeさんもびっくり！ですね。
>>283
dがnの約数ならn/dも約数で（d、n/d）のペアになっている。（√n以外は）
f(n)＝√n ぢゃね？
>>314
右側は >>155-156
- 451 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/28(木) 17:41:13.28 ID:+XWwkT1H.net]
- >>214
(ad-bc)^2＋(ac+bd)^2＝(aa+bb)(cc+dd),
もよく使うよ。
>>268
6cos(A)＋3cos(B)＋2cos(C)
＝4cos(A)＋cos(B)＋2{cos(A)+cos(B)+cos(C)}
＝4cos(A)＋cos(B)＋2＋8sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) (←補題)
≦4cos(A)＋cos(B)＋2＋8{sin(A/2)}^2＋2{sin(B/2)}^2
＝4cos(A)＋cos(B)＋2＋4{1−cos(A)}＋{1−cos(B)}
＝7.
>>283
間違いますた...
>>314
左側は >>155-156
- 452 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/28(木) 17:52:13.57 ID:+XWwkT1H.net]
- >>268
【補題】
A+B+C=πのとき、
cos(A)＋cos(B)＋cos(C)＝1＋4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2).
(略証)
A/2=α、B/2=β、C/2=γとおくと、cos(α+β)−sinγ＝0,
(左辺)−(右辺)＝cos(2α)＋cos(2β)＋cos(2γ)−1−4sinα･sinβ･sinγ
＝2cos(α+β)cos(α-β)−2(sinγ)^2−4sinα･sinβ･sinγ
＝2{cos(α+β)−sinγ}{cos(α-β)＋sinγ}
＝0.
- 453 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/28(木) 19:48:40.92 ID:+XWwkT1H.net]
- >>324
n=2、3
- 454 名前：については等号成立。
y=tan(x)は下に凸だから、n≧4のとき
tan(π/2n)≦(4/n)tan(π/8)
＝4(√2−1)/n
＜1.671811536/n
≦2/{(n-1)･n^[1/(n-1)]}, [] - [ここ壊れてます]
- 455 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/29(金) 19:32:34.67 ID:aknhMslS.net]
- 〔第17問題の多項式版〕
ｆは実係数、n変数、d次斉次の多項式（n≧2、d≧2）でかつ半正値とする。
ｆが次のいずれかである場合は、ｆは何個かの多項式の2乗の和として表わせる。(Hilbert)
・2変数
・2次式
・3変数かつ4次式
ここで半正値とは、
任意の実数x1,x2,……,xnに対して、ｆ(x1,x2,……,xn)≧0.
>>255-260
- 456 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/29(金) 19:44:38.17 ID:aknhMslS.net]
- >>433
・2次式の場合は、線型代数学の教科書を参照。
//www.amazon.co.jp/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E6%96%B0%E8%A3%85%E7%89%88-%E6%95%B0%E5%AD%A6%E9%81%B8%E6%9B%B8-%E4%BD%90%E6%AD%A6-%E4%B8%80%E9%83%8E/dp/4785313161
//www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-1301-2.htm
- 457 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/30(土) 22:57:13.70 ID:F01tFwBb.net]
- >>330
x+p/2＝X，a+p/2＝a'，b+p/2＝b'，q-pp/4＝q' とおくと、
∫[a〜b] sin(xx+px+q)dx＝∫[a'〜b'] sin(XX+q')dX
＝sin(q')∫[a'〜b'] cos(XX)dX＋cos(q')∫[a'〜b'] sin(XX)dX
＝sin(q'){C(b')−C(a')}＋cos(q'){S(b')−S(a')}.
ここに
C(x)＝∫[0〜x] cos(tt)dt、S(x)＝∫[0〜x] sin(tt)dt
（フレネル積分と云うらしい。）
ここで次を使う。
|sin(q')|≦1,
|cos(q')|≦1,
|C(x)|≦|C(√(π/2))|＝0.977451424291
|S(x)|≦|C(√π)|＝0.894831469484
ぬるぽ
|
 |
