- 1 名前：不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ) mailto:sage [2013/03/09(土) 22:14:39.95 .net]
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ！
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ…
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
まとめWiki wiki.livedoor.jp/loveinequality/
過去スレ
・不等式スレッド （第１章）science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第５章 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第６章 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・過去スレのミラー置き場 cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
姉妹サイト（？）
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ２
www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/l50
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- 339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/0
]
- [ここ壊れてます]
- 340 名前：8/13(木) 02:24:14.32 ID:CvhHkOrq.net mailto: こういう不等式って何かの分野で役に立ってる？ []
- [ここ壊れてます]
- 341 名前：１３２人目の素数さん [2015/08/16(日) 19:42:02.94 ID:7Zcz05hp.net]
- 大学入試問題なんだが
(1)
x[1]+x[2]=1のときx[1]^2+x[2]^2≧1/2を示せ
(2)
x[1]+x[2]+x[3]=1のときx[1]^2+x[2]^2+x[3]^2≧1/3を示せ
(3)
x[1]+x[2]+…+x[n]=1のときx[1]^2+x[2]^2+…+x[n]^2≧1/nを示せ
(3)はコーシーシュワルツで一発なんだが(1)(2)の誘導使って解く方法ないかな
- 342 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/08/16(日) 22:43:29.67 ID:+QPM3wJI.net]
- x[1]+x[2]+…+x[k+1]=1 を x[1]/(1-x[k+1])+x[2]/(1-x[k+1])+…+x[k]/(1-x[k+1])=1 として帰納法、でいいんじゃないかな
誘導の意図が帰納法を使えということだとしてだけど
- 343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/10/06(火) 22:51:04.00 ID:1JqVH06W.net]
- 槇書店の不等式、復刊しないかな
- 344 名前：１３２人目の素数さん [2015/11/06(金) 20:29:53.93 ID:OdHYjEZu.net]
- 一応、真面目な代数的不等式論の話です。
Hilbertの第17問題を実閉体を使ってArtinが解決したとき、
Artinは実代数多様体への一般化を考えていた。
でも、実代数多様体はカテゴリー(圏)を形成しないので、うまくいかない。
しかし、半代数的集合を一般化した概念をうまく作ると、
それと正則写像によって圏が形成できて、
その上の線形系の中で代数的不等式錐を考えると、
スキーム論のような、綺麗な理論体系ができるみたい。
長年眠っていた順序体の理論も、実スペクトル(Spec_r)理論でよみがえる。
永田先生の可換体論の順序体(実閉体)の章も、久々に読み返してみたら、
いいことが書いてあった。
- 345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/11/08(日) 23:15:14.46 ID:Ra6N4a1N.net]
- a, b, p, q は実数とする
不等式∫[a→b] sin(x^2+px+q) dx ≦ 4
を示せ
- 346 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/11/18(水) 18:39:42.97 ID:Qfx2C9OA.net]
- >>329
実閉体の話はTarskiあたりを参考に書いたのでしょうかねぇ。
教科書に出典が書いてなくて。
- 347 名前：１３２人目の素数さん [2015/11/24(火) 16:46:32.16 ID:C6eyGVmW.net]
- > 327
そのうち、プレプリを書いて公開します。
一番参考になりそうな文献は
J. Bochnak, M.Coste, M-F.Roy, Real Algebraic Geometry
もちろん、そこには書いてないけど。
- 348 名前：１３２人目の素数さん [2015/11/24(火) 21:24:31.12 ID:Bfc3KxAd.net]
- ちょっとわかりにくいことを書いたので、初心者向けに例題で説明します。
[例題] 6次斉次巡回多項式
f = (x^6+y^6+z^6) + a_1(x^5y + y^5z + z^5x) + ... + a_9 x^2y^2z^2
を考える。
任意の実数 x,y,z に対して f(x,y,z)≧0 が成り立つための必要十分条件を
a_1,...,a_9 の式で表せ。
[考え方]
Hilbertが証明したように、そういう f は多項式の2乗の和に表せるとは限らない。
SOS methodより、そういう f 全体のなす半代数的凸錐の実代数幾何的特徴を
攻めたほうが早い。
この場合、その凸錐のザリスキー閉包は既約な代数多様体になる。
ただし、4次の場合ですら複雑だったから、6次はもっと複雑だと予想できる。
そこで、まず、代数多様体としての特徴を考察してみましょう、
とかいうのが応用例。
- 349 名前：１３２人目の素数さん [2015/11/24(火) 23:58:39.71 ID:4H5ydjqy.net]
- 自分のマイナンバー入りのTシャツを着るさゆふらっとまうんど（平塚正幸）
マイナンバー通知カード拒否が全国規模で
- 350 名前：起こっていますhttps://m.youtube.com/watch?v=f-zmXEqYyVA
マイナンバー通知カードの受け取りを拒否しようhttps://www.youtube.com/watch?v=xSt6jiOKh_I [] - [ここ壊れてます]
- 351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/11/30(月) 01:52:51.35 ID:5m9vQyAq.net]
- A ： 算術平均
G ： 幾何平均
H ： 調和平均
(A/G)^3 + (G/H)^3 + 1 ≦ (3/4)*(1 + A/H)^2
(1) この不等式の証明はどうやるんでしょうか？
(2) この不等式には名前がついていますか？
- 352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/12/02(水) 09:06:16.61 ID:eDabyYFA.net]
- 重みつき相加平均・相乗平均の関係の積分形って、どっかに載ってないかな？
- 353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/12/02(水) 10:00:00.89 ID:mecfteyP.net]
- 凸不等式。
- 354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/12/05(土) 05:13:34.17 ID:4MS3BH6S.net]
- >>337
なるへそ。やっと理解できたぽよ。
- 355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/12/05(土) 09:00:01.06 ID:0Ltl1TAM.net]
- a^(1/3)b^(1/3)c^(1/3)
=exp((1/3)log(a)+(1/3)log(b)+(1/3)log(c)).
exp(∫log(f(x))dx/∫dx)≦∫f(x)dx/∫dx.
- 356 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2016/01/03(日) 14:14:05.00 ID:Fb5jbWyQ.net]
- 不等式の難問
suseum.jp/gq/question/1596
suseum.jp/gq/question/2080
suseum.jp/gq/question/2353
- 357 名前：１３２人目の素数さん [2016/01/05(火) 21:38:48.22 ID:eCguscT5.net]
- 以下のWEBからCirtoajeの
Mathematical Inequalities Vol.1-5 (のfraft)
がdownloadできるので、興味のある人はどうぞ。
ac.upg-ploiesti.ro/vcirtoaje/vcirtoaje.php
ついでに、書きかけだけど、よかったらこっちも
www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/articles.html の中の[10]
- 358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/05(火) 22:19:00.23 ID:gtddv0gP.net]
- >>341
いただきマンモス！
- 359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/06(水) 00:44:30.20 ID:ZuQt8UeX.net]
- つまんないことだけど、９行目に愛があふれていたり
- 360 名前：１３２人目の素数さん [2016/01/08(金) 19:26:23.02 ID:QUdG1pIk.net]
- すみまんせん
実数xに対して、x^16 + x + 1 > 0 を示せ
というのはどうすればいいでしょうか。
- 361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/08(金) 21:32:00.51 ID:tLrcJQrP.net]
- |x|≧1の時は、x^16≧|x|≧0 なので自明
|x|<1の時は、x^16+x+1≧x^16-|x|+1＞1-|x|≧0
- 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/08(金) 21:54:45.38 ID:5Mf1q4fA.net]
- 平方完成しまくれ
- 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/08(金) 21:58:52.85 ID:5Mf1q4fA.net]
- 任意の実数 x に対して、次式を示せ。
x^16 + x + 1 > 0
x^16 - x + 1 > 0
４平方和になるよな。
- 364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/08(金) 22:14:37.81 ID:s6WpAeq1.net]
- >>347
x^16 ± x +1 = (x^8-1/2)^2 + (x^4 -1/2)^2 + (x^2-1/2)^2 + (x±1/2)^2 > 0
ということ？
- 365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/08(金) 22:35:01.65 ID:5Mf1q4fA.net]
- うむ
- 366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/08(金) 23:01:27.79 ID:5Mf1q4fA.net]
- 平方和で快便スッキリ。
- 367 名前：１３２人目の素数さん [2016/01/08(金) 23:30:11.43 ID:QUdG1pIk.net]
- 平方和だなんて
なんでこんな変態的な解法がそんなに簡単に思い浮かぶのですかあ
- 368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/09(土) 01:03:11.57 ID:9Z0nBfTG.net]
- なんか見たことのある問題と流れだと思ったら
> 高校数学の質問スレPART362
> uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1386957770/511-
だった
- 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/09(土) 02:10:57.44 ID:Mkv80jBo.net]
- >>351
そりゃ不等式ヲタはド変態（←褒め言葉）だからな。
- 370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/09(土) 12:04:31.42 ID:/ERKXySg.net]
- マジレスすると、代数的不等式の常套手段だからとりあえず平方完成を試みただけだと思う
- 371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/09(土) 14:02:20.94 ID:Mkv80jBo.net]
- >>354
きみは実に面白くない人だな。
普段から言わなくてもいい一言で場を凍りつかせていないか？
- 372 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/09(土) 14:20:20.82 ID:/ERKXySg.net]
- いや、ちょっと気持ち悪いノリが続いたからさ
単発で留めておけば気にならなかったのに
- 373 名前：１３２人目の素数さん [2016/01/09(土) 14:21:37.85 ID:ytPTCyVz.net]
- ここって昔からキモさ全開じゃん
- 374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/09(土) 15:15:42.49 ID:Mkv80jBo.net]
- >>356
だからお前はダメなんだよ。
- 375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/15(金) 18:47:00.28 ID:A1LDyDSu.net]
- 俺も>>348は変態的ではないと思うな。
>>348レベルで変態的と思うようでは、不等式ヲタとしては勉強不足だと折れは思うわ。
- 376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/15(金) 20:39:57.18 ID:WmgiiubX.net]
- 得るもののない書き込みしかできない者は黙ってROMれ。
- 377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/15(金) 21:19:02.37 ID:XpQFwryn.net]
- あ、気持ち悪いノリの人だ
- 378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/01/21(木) 09:29:40.74 ID:7y0jK6dG.net]
- 球面上の鋭角三角形ABCについて、
tanAtanBtanC>3√3
が成立することを示せ
- 379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/02/18(木) 20:11:00.29 ID:1twGteVq.net]
- a、b、c を正の実数とする。
a^3・b^6 + b^3・c^6 + c^3・a^6 + 3・a^3・b^3・c^3 ≧ abc・(a^3・b^3 + b^3・c^3 + c^3・a^3) + a^2・b^2・c^2・(a^3 + b^3 + c^3)
- 380 名前：１３２人目の素数さん [2016/03/14(月) 20:18:24.48 ID:rpo94kst.net]
- 大学への数学の3月号宿題ですがお知恵を貸して下さい
特に高校範囲の回答が未だ出てません
高校範囲外の回答も大歓迎です！
---------------------------------------------------------------------------------
（z1，z2，．．．，zn)∈C^n，
（z1，z2，．．．，zn)≠（0，0，．．．，0)，
F＝（|z1−z2|^2＋．．．＋|z(n-1)−zn|^2＋|zｎ−z1|^2）/（|z1|^2＋|z2|^2＋．．．＋|zn|＾2）
とする
(1) m＝1，．．．，n-1 の各場合のおいて
zk＝cos(2ｋmπ/n) ＋i sin(2ｋmπ/n) (1≦k≦n)
のとき F の値を求めよ
(2)さらに z1＋z2＋．．．＋zn＝0 をみたすとき F の最大値と最小値を求めよ
--------------------------------------------------------------------------------
- 381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/14(月) 20:22:55.03 ID:rpo94kst.net]
- 参考スレッド
大学受験_ｓｃ
★【月刊大学への数学】学力コンテスト・宿題23
- 382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/14(月) 20:29:13.54 ID:rpo94kst.net]
- 連投済みません
〆切は過ぎてます！
- 383 名前：１３２人目の素数さん [2016/03/17(木) 12:40:29.21 ID:rjgplTGC.net]
- >>344 実数xに対して、x^16 + x + 1 > 0 を示せ
任意の実数xと任意の自然数nに対して、x^2n + x + 1 ＞ 0 を示せ
ここまで一般化できるよね それだけ
- 384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/17(木) 14:45:14.27 ID:D3bv7jdQ.net]
- x^2n + x^m + 1 ＞ 0 (0≦m≦2n)
- 385 名前：１３２人目の素数さん [2016/03/21(月) 23:28:07.28 ID:1HYPEF6D.net]
- a,b,c,d≧0
a≦1, a+b≦5, a+b+c≦14, a+b+c+d≦30
のとき
sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)+sqrt(d)≦10
を示せ。
- 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/23(水) 05:14:47.27 ID:cBAcmLOd.net]
- a + 4*(b/4) + 9*(c/9) + 16*(d/16) ≦ 30 に、
f(x)=√xとして、凸不等式 (1/n)Σ[f(x_i)] ≦ f((Σx_i)/n) を用いると
(1/30)*{√a + 4*√(b/4) + 9*√(c/9) + 16*√(d/16)} ≦ √[{a+4*(b/4)+9*(c/9)+16*(d/16)}/30]≦1
整理すると
a + 2√b + 3√c + 4√d ≦ 30 ・・・(１)
を得る。同様に、
a + 2√b + 3√c ≦ 14 ・・・（２）
a + 2√b + ≦ 5 ・・・（３）
a ≦ 1 ・・・（４）
{(1)*3 + (2) + (3)*2 + (4)*6}/12 を計算すると目的の式を得る
- 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/23(水) 09:18:52.47 ID:K+BJtY2J.net]
- その閃き方を教えてほしい
- 388 名前：１３２人目の素数さん [2016/03/23(水) 14:46:27.16 ID:pTWUy74g.net]
- 狂気すら感じる思考回路だわｗ
- 389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/24(木) 01:36:53.07 ID:qfgEsb+P.net]
- イェンセンの不等式
- 390 名前：１３２人目の素数さん [2016/03/24(木) 07:45:57.15 ID:rx
]
- [ここ壊れてます]
- 391 名前：JME1YD.net mailto: x,y,a,bが非負のとき sqrt((x+a)(y+b)) ≧ sqrt(xy) + sqrt(ab)
両辺を平方して同値変形してもすぐに示せるのですが
コーシーとかイエンセンとかでもっと華麗に示す方法はないでしょうか。 [] - [ここ壊れてます]
- 392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/24(木) 11:43:02.90 ID:QnvnOXRV.net]
- BF恒等式
(A^2+B^2)(X^2+Y^2)=(AX+BY)^2+(AY-BX)^2
BとXを入れ替えて
(A^2+X^2)(B^2+Y^2)=(AB+XY)^2+(AY-BX)^2
A^2→a (a≧0) 等と置き換えると
(a+x)(b+y)=(√(ab)+√(xy))^2+(√(ay)-√(bx))^2
(a+x)(b+y)≧(√(ab)+√(xy))^2
- 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/24(木) 16:18:34.64 ID:qfgEsb+P.net]
- ベクトル (sqrt(x), sqrt(a)) と (sqrt(y), sqrt(b)) についてコーシーの不等式そのまんまやん
- 394 名前：１３２人目の素数さん [2016/03/24(木) 22:43:49.57 ID:rxJME1YD.net]
- そういわれてみるとそうでした
- 395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/25(金) 15:03:27.51 ID:bQ4Xmm9E.net]
- >>370 はすごいね。
- 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/25(金) 16:33:04.50 ID:TEEe/a1o.net]
- >>370
なんだ、ただの神か
- 397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/03/26(土) 14:57:09.19 ID:iiYdiq+K.net]
- >>375
あえてBF恒等式と書くところに…、いやなんでもない
- 398 名前：１３２人目の素数さん [2016/04/04(月) 17:33:43.64 ID:GEiBx8Vr.net]
- x≧0において √(x+1)+√(3x+9) ≦ √(x+4)+√(3x+4)
- 399 名前：１３２人目の素数さん [2016/04/05(火) 23:04:02.63 ID:nBcOqMq6.net]
- 正の数a,b,c及び0≦x≦y≦zが
a≦x かつ a+b≦x+y かつ a+b+c≦x+y+z
を満たすとき
√a +√b +√c ≦ √x +√y +√z
- 400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/06(水) 07:32:06.00 ID:TK/STlbk.net]
- 検索しても２種類の数列の場合しか出てきませんが、並べ替え不等式は、一般化できますか？
- 401 名前：１３２人目の素数さん [2016/04/06(水) 09:58:56.15 ID:y4gN4ddP.net]
- >>383
izumi-math.jp/I_Yanagita/emath_ver1.1ps.pdf
- 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/06(水) 19:18:37.82 ID:TK/STlbk.net]
- >>384
ありがとうございます。ですがサッパリです。
- 403 名前：１３２人目の素数さん [2016/04/07(木) 11:57:36.82 ID:MmBSjqX/.net]
- >>385
384ページに書いてあるでしょ
君の言うとおり２種類の数列以外の場合に一般化できるってこと
各数列を降順（昇順）ソートして対応する要素をかけて足した方が大きい（小さい）
＝の可能性もあるけど
- 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/08(金) 06:40:00.72 ID:fwk06iXt.net]
- >>381
√(x+1)+√(3x+9) ≦ √(x+4)+√(3x+4) において x→12x^2と置き換えると
√(4+12x^2)+√(4+36x^2) ≧ √(1+12x^2) + √(9+36x^2) となる。この式を証明することにする。
なお、x=0の時成立するのは明白なので、以後、x>0とする。
O(0,0) , A(2,(2√3)x) , B(1,(2√3)x) , P(4,(6+2√3)x) とすると この式は
OA + AP ≧ OB + BP
三角形OAPの面積は、△OAP=(1/2)*|2*(6+2√3)-4*(2√3)|x=2√3(√3-1)x
三角形OBPの面積は、△OBP=(1/2)*|1*(6+2√3)-4*(2√3)|x=3(√3-1)x
OP=√(16+(48+24√3)x^2) に注意して |OA-AP|/OP および |OB-BP|/OP を評価すると
0 ≦|OA-AP|/OP < 2-√3 、2-√3 < |OB-BP|/OP ≦ 1/2
ところで、辺長が2a,2b,2cの三角形の面積をSとすると、S^2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) なので
(a+b)^2 = c^2 +S^2*r/c^2 ,ただしr=1/(1-((a-b)/c)^2) という関係がある。
三角形OAPにおいて、OA=a、AP=b、OP=c として、上の関係式を使うと
(OA+AP)^2 = OP^2 + (△OAP/OP)^2 * r_a
r_a=1/(1-(|OA-AP|/OP)^2) ≧1 なので
(OA+AP)^2 ≧ OP^2 + (2√3(√3-1)x)^2/OP^2 *1 = OP^2 + 12(4-2√3)x^2/OP^2
同様に三角形OBPにおいて、OB=a、BP=b、OP=c とすると
(OB+BP)^2 = OP^2 + (△OBP/OP)^2 * r_b
r_b=1/(1-(|OB-BP|/OP)^2) ≦4
- 405 名前：/3 なので (∵ |OB-BP|/OP ≦ 1/2)
(OB+BP)^2 ≦ OP^2 + (3(√3-1)x)^2/OP^2 * (4/3)= OP^2 + 12(4-2√3)x^2/OP^2
最右辺が一致しているので (OA+AP)^2 ≧ OP^2 + 12(4-2√3)x^2/OP^2 ≧(OB+BP)^2 が示され、目的の式が得られる [] - [ここ壊れてます]
- 406 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/08(金) 19:14:29.46 ID:+SeuPjzS.net]
- Logarithmic mean や Identric mean について詳しい本ないですか？
- 407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/09(土) 17:50:00.74 ID:rCyPdl4U.net]
- >>387
工夫はいいがさすがにこれはスマートじゃないでしょう
単に2乗して考える方が
- 408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/10(日) 20:10:47.39 ID:h45MNnYS.net]
- >>388
> Identric mean
対応する日本語あるのん？
- 409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/15(金) 14:22:58.26 ID:NGXVqzKa.net]
- 実数 a, b, c に対して、2(a^4 + b^4 + c^4) + (71+17√17)/2 ≧ 4abc + a^2b^2 + c^2a^2 + 3b^2c^2
- 410 名前：prime132 [2016/04/20(水) 21:59:27.66 ID:cUe+Ipvo.net]
- >>271
ファラデー（電磁誘導の研究で）
- 411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/21(木) 10:17:03.84 ID:/+LZXjJ0.net]
- >>271
貴婦人は不等式ヲタをしげしげと眺め
「あなた、生まれたばかりの赤ん坊の時代から随分年をとったけど
いまだに誰の役にもたってないじゃん」
といったので
「うっせーババア」
と言うしかなかったという。
- 412 名前：prime132 [2016/04/21(木) 16:26:16.73 ID:iheZo7AQ.net]
- >>344 >>347
相加-相乗平均
x^16−16(a^15)x＋15(a^16)＝(x^8-a^8)^2＋2(a^8)(x^4-a^4)^2＋4(a^12)(xx-aa)^2＋8(a^14)(x-a)^2,
で、16(a^15)＝−１とおくと
a＝−0.8312379
x^16＋x＋1≧1＋(15/16)a＝0.220714
- 413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/21(木) 16:54:58.77 ID:QoWZFuzY.net]
- >>393
＿|＿ ＼. ｀ヽ､｀ヽ､｀ヽ､ ＿＿＿_＼＼
_|＿. ｀ヽ､｀ ヽ､ ／
／ | ヽ ｀ヽ､｀ヽ､ ∧∧ （
＼ノ ノ ｀ヽ､ ( ). ＼
｀ヽ､/ 三つ
ﾊ,,ﾊ ／// ｀ヽ､
(ﾟωﾟ)／｀ヽ､ | | ←貴婦人
,..‐''"ii " ./ | ｀ヽ､｀ヽ｀ヽ､
lヽ│/ ／ | ┝ ||-┨/ | ｀ヽ､｀ヽ ｀ヽ､
!ｰ┼‐ |‐┬ / ∧ || | ｀ヽ､∪ヽ､｀ヽ､｀ヽ､｀ヽ､ ＿＿|＿
|./│ヽ l | ヽ,''i|口=彡'i | ｜|｀ヽ､ ｀ヽ､｀ヽ､ ＿|
.└── .ｌ | ヽ' || 'i ｀ヽ､|｀ヽ､｀ヽ､｀ヽ､ （＿|
|ノ|| 'i |｀ヽ､ ｀ヽ､ ノ
| || ｀ヽ｀ヽ|｀ヽ|｀ヽ､
'i || ｀ヽ|, ∪∪
'i￣|i｀`'''‐｀ヽ､
l | 'i | 'i｀ヽ､｀ヽ､｀ヽ､｀ヽ､｀ヽ､ ┏┓┏┓
レ | |_._| 'i_ 'i_｀ヽ､｀ヽ､ ｀ヽ､｀ヽ､ ┃┃┃┃
l ／__,.| |￣＼ ｀ヽ､｀ヽ､｀.ヽ､ ┗┛┗┛
_ノ. ￣ ￣￣ ┏┓┏┓
- 414 名前：prime132 [2016/04/21(木) 18:26:19.65 ID:iheZo7AQ.net]
- >>391
等号成立は
a=(3+√17)/2,
b=c=±√{(19+5√17)/2},
abc=(71+17√17)/2,
のとき。
- 415 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/21(木) 19:05:20.42 ID:iheZo7AQ.net]
- >>369
コーシーで
（√a＋√b＋√c＋√d)^2≦(1+2+3+4){a+(b/2)+(c/3)+(d/4)},
＝10･{(1-1/2)a＋(1/2-1/3)(a+b)＋(1/3-1/4)(a+b+c)＋(1/4)(a+b+c+d)}
≦100.
ぐらいしか思いつかぬ…
- 416 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/21(木) 19:35:06.66 ID:iheZo7AQ.net]
- >>367
相加-相乗平均
x^(2n)−2n･a^(2n-1)x＋(2n-1)a^(2n)＝{x^(2n-2)＋2a･x^(2n-3)＋…＋(2n-2)a^(2n-3)x＋(2n-1)a^(2n-2)}(x-a)^2,
で、2n･a^(2n-1)＝−１とおく。
a＝−(1/2n)^[1/(2n-1)],
x^(2n)＋x＋1≧1−{(2n-1)/2n}|a|.
だよね。ただそれだけ
- 417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/21(木) 22:
]
- [ここ壊れてます]
- 418 名前：01:56.86 ID:QoWZFuzY.net mailto: >>396
どうやるのん？ [] - [ここ壊れてます]
- 419 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/21(木) 23:10:05.41 ID:iheZo7AQ.net]
- >>381 >>389
では単に2乗して考える。
{(右辺)^2−(左辺)^2}/2＝√{(x+4)(3x+4)}−√{(x+1)(3x+9)}−１
＝(4x+7)／[√{(x+4)(3x+4)}＋√{(x+1)(3x+9)}] −１
≧(4x+7)／[(2x+4)＋(2x+3)] −１
＝0,
- 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/22(金) 00:07:49.91 ID:qfYR5MNf.net]
- >>397
ぐぬぬ…。なかなか思いつかんなあ。
- 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/22(金) 04:24:48.44 ID:in8T91Zq.net]
- >>391
f = 2(a^4 + b^4 + c^4) - ( 4abc + a^2b^2 + c^2a^2 + 3b^2c^2 )
= (a^2+2a-bc)^2 + 2(b^2-c^2)^2 - a^2(b-c)^2 + a^4 - 4a^3 - 4a^2
fはbとcの入れ替えに対し不変なので、b=c上で極値を持つ
従って、g(a) = a^4 - 4a^3 - 4a^2 の最小値が、fの最小値になる
(最小値を取るときのaの値を用いて、b=c=±√(a^2+2a)の時)
g'(a) = 4a^3-12a^2-8a = 4a(a^2-3a-2) 等から、最小値を取るときのaは a=(3+√17)/2
g(a) = a^4 - 4a^3 - 4a^2 = （a^2-3a-2)(a^2-a-5) -17a-10
g((3+√17)/2) = -17 * (3+√17)/2 -10 = (-71-17√17)/2
- 422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/22(金) 10:07:06.42 ID:KRm4h22p.net]
- 絶対値が1未満の任意の複素数α,β,γに対して、以下が成立するための正の実数λの最小値を求めよ。
・α+β+γ=0ならば、|αβ+βγ+γα|^2+|αβγ|^3<λが成立する
- 423 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/22(金) 18:28:52.31 ID:RdqVAiN1.net]
- >>402
f＝g(a)＋{(aa+2a)−(bb+cc)/2}^2＋2a(b-c)^2＋(7/4)(bb-cc)^2≧g(a).
等号成立は b=c=±√(aa+2a) のとき。
- 424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/23(土) 00:58:07.85 ID:lKzrVXQh.net]
- >>404
f_(b=1,c=0)= 2 a^4 -a^2 +2 = f_10(a) とすると、
f_10(-2)=2*16-4+2=30
g(-2)=16-4*(-8)-4*4=32
f≧g が常に成り立つわけではない。
- 425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/23(土) 07:32:00.59 ID:iIo4nVsk.net]
- rは実数、a>1、f(r) = [ (a^(r+1)-1) / { (r+1)(a-1) } ]^(1/r) が単調増加することを証明するにはどうすればいいですか？
- 426 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/23(土) 07:46:12.96 ID:iIo4nVsk.net]
- >>404
> f＝g(a)＋{(aa+2a)−(bb+cc)/2}^2＋2a(b-c)^2＋(7/4)(bb-cc)^2≧g(a).
a<0 のとき 2a(b-c)^2 < 0 だから、上の不等式は常には成り立たんよな。
- 427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/23(土) 09:21:29.81 ID:lKzrVXQh.net]
- >>407
a<0の時、2a(b-c)^2 ≦0となるのは、一目瞭然。
しかし、他の項との兼ね合いで、全体で結果的には不等式が成立する という可能性は残されていて、
それを否定するために、具体例を挙げた。
- 428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/23(土) 11:00:53.07 ID:iIo4nVsk.net]
- >>408
なるほど。
- 429 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/23(土) 18:09:51.16 ID:5r1UlAr6.net]
- >>405 >>407-409
2|a|(bb+cc)−4abc＝(|a|+a)(b-c)^2＋(|a|-a)(b+c)^2≧0,
f＝g(|a|)＋{(aa+2|a|)−(bb+cc)/2}^2＋2|a|(bb+cc)−4abc＋(7/4)(bb-cc)^2≧g(|a|)
- 430 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/23(土) 18:20:18.97 ID:5r1UlAr6.net]
- >>405 >>407-409
2|a|(bb+cc)−4abc≧4(|abc|-abc)≧0,
g(a)＋(71+17√17)/2＝{[a＋(-1+√17)/2]^2＋√17−1}{a−(3+√17)/2}^2≧0,
等号成立は a＝(3+√17)/2.
- 431 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/23(土) 19:03:41.02 ID:lKzrVXQh.net]
- なるほど、aの符号に注目するのなら、
f = 2(a^4 + b^4 + c^4) - ( 4abc + a^2b^2 + c^2a^2 + 3b^2c^2 )
≧ 2(a^4 + b^4 + c^4) - ( 4|abc| + a^2b^2 + c^2a^2 + 3b^2c^2 )
= 2(|a|^4 + |b|^4 + |c|^4) - ( 4|a|*|b|*|c| + |a|^2*|b|^2 + |c|^2*|a|^2 + 3|b|^2*|c|^2 )
となるので、fの最小値を調べるときは、a,b,c が非負の範囲だけを調べれば十分
として、>>404へ至るのもありですね
- 432 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/23(土) 19:45:23.68 ID:5r1UlAr6.net]
- >>363
abb=x、bcc=y、caa=zとおくと、
(左辺)−(右辺)＝(x^3+y^3+z^3)＋3xyz−(zxx+xyy+yzz)−(zzx+xxy+yyz)
＝x(x-y)(x-z)＋y(y-z)(y-x)＋z(z-x)(z-y)
＝F_1(x y z)
≧0. (Schur)
- 433 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/24(日) 18:45:52.58 ID:qRA+Gwsm.net]
- >>295
- 434 名前：
f(x)＝log(x)/xはx>eで単調減少。
log(p)/p＜log(q)/q≦1/e,
∴log{log(p)}−log{log(q)}＜log(p)-log(q)＜(p-q)log(q)/q≦(p-q)/e. []- [ここ壊れてます]
- 435 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/24(日) 19:50:25.33 ID:qRA+Gwsm.net]
- >>301
a^4＋b^4＋c^4＋d^4−4|abcd|＝{(aa-bb)^2＋(aa-cc)^2＋(aa-dd)^2＋(bb-cc)^2＋(bb-dd)^2＋(cc-dd)^2＋2(|ab|-|cd|)^2＋2(|ac|-|bd|)^2＋2(|ad|-|bc|)^2}/3≧0,
>>303 >>306
|sin(x)^5|≦sin(x)^4≦sin(x)^2、|cos(x)^5|≦cos(x)^2.
>>309
{1+sin(x)}{1+cos(x)}＝１＋{sin(x)+cos(x)}＋sin(x)cos(x)
＝１＋(√2)C＋(CC−1/2)
＝(C＋1/√2)^2,
ここに C＝cos(x-π/4).
>>311
(1+a)(1+b)＝(1+ab)＋(a+b)
{(1+a)(1+b)}^2≧4(1+ab)(a+b)
{(1+a)(1+b)}^4≧16(4ab)(a+b)^2
>>312
(左辺)＝a/a^(1-p)＋b/b^(1-p)＋c/c^(1-p)
≧a/(a+b+c)^(1-p)＋b/(a+b+c)^(1-p)＋c/(a+b+c)^(1-p)
＝(a+b+c)/(a+b+c)^(1-p)
＝(右辺).
- 436 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/24(日) 20:06:11.29 ID:qRA+Gwsm.net]
- >>313
左辺を2乗して >>291-294 を参照.
>>316 改
1/{(1+xx)(1+yy)(1+zz)}^2＋1/{(1+x)(1+y)(1+z)}^2
≧{(1-xx)(1-yy)(1-zz)}^2＋1/{(1+x)(1+y)(1+z)}^2
≧2(1-x)(1-y)(1-z) (相加-相乗平均)
>>318
0≦{f(x)･y＋x･f(y)}{f(x)･y−x･f(y)}^2
＝f(x)^3･y^3−xf(x)^2･yyf(y)−xxf(x)･yf(y)^2＋x^3･f(y)^3,
これを 0<x<1、0<y<1 で積分する。
>>319
x+y+z＝sとして
左辺＝(xx-x+1)＋(yy-y+1)＋(zz-z+1)
＝{ss＋(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}/3−s＋3
≧ss/3−s＋3
＝sss/9＋(1＋ss/9)(3-s)
≧sss/9
≧3xyz.
>>320
中辺−左辺＝(ss-3t)＋(aab+bbc+cca-3abc)＋(tt-3su)≧0
右辺−中辺＝(aaa+bbb+ccc-abb-bcc-caa)＋(aaab+bbbc+ccca-abcs)＋(aabbb+bbccc+ccaaa-abct)≧0
>>321
1/(a+1)=A、1/(b+1)=B、1/(c+1)=Cとおくと A+B+C=1,
abc＝(1-A)/A･(1-B)/B･(1-C)/C
＝(B+C)/A･(C+A)/B･(A+B)/C≧8
佐藤(訳)、例1.7.1
- 437 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/24(日) 21:16:30.41 ID:qRA+Gwsm.net]
- >>301
a^4＋b^4＋c^4＋d^4−4|abcd|＝(aa-bb)^2＋(cc-dd)^2＋2(|ab|-|cd|)^2≧0
で十分だ....
- 438 名前：prime132 mailto:sage [2016/04/24(日) 23:41:46.77 ID:qRA+Gwsm.net]
- >>317
これはムズイが、未定乗数を使わないでやるなら、
√(ab)＝g≦c+d として{a,b,c,d}と{g,g,c,d}を比べる。
1/a＋1/b＋9/(a+b+c+d)−2/g−9/(2g+c+d)＝{1/ab−9/[(a+b+c+d)(2g+c+d)]}(√a−√b)^2≧{1/gg−9/(2g＋c+d)^2}(√a−√b)^2≧0。{←(2g+c+d)≧3g}
∴{g,g,c,d}の方が左辺は小さい。
∴左辺が最小のときは、小さい方の３つは等しいはず。
｛a、a、a、1/a^3｝のとき、
{左辺−25/4}a(3a^4＋1)＝3a^8−(75/4)a^5＋19a^4−(25/4)a＋3
＝g(a)(1-a)^2≧0,
ここに、g(a)＝3a^6＋6a^5＋9a^4−(27/4)a^3−(7/2)a^2−(1/4)a＋3,
極小値：g(0.567317)=1.88411147556
とでもするか、う〜む。
[35] CGMO-2011 問4
- 439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/04/25(月) 00:02:11.91 ID:V9CJZU3J.net]
- なんだ、不等式神が光臨してたのか
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