- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/29(土) 02:02:32.80 ]
- 数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）
従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その13
uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1340469523/
なおSTSあるいはTTTと名乗る者のレスは
きちんとした数学的理解に基づかず無意味な内容です。
このことは本人も認めています。（前スレの900以降など）
STSあるいはTTTと名乗る者の相手をすることは
荒らし行為に当たりますのでご注意ください。
- 577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/07(金) 03:49:06.31 ]
- × 極端な話と、それと同じことだ
○ 極端な話、それと同じことだ
- 578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/07(金) 10:08:24.41 ]
- 基礎論の研究はそれ以外の数学の研究と切り離せるとうことでok?
- 579 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/07(金) 14:49:51.84 ]
- ネット版のホストみたいなの発見。
イケメンなら稼げるんだろうけど。
話が上手けりゃ稼げるかな。
誰かレポ頼む。
メンガでググると出てくる。
- 580 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/07(金) 20:23:45.72 ]
- 基礎論を特別視したがる人もいるけど、
整数論が整数を相手にして、グラフ理論がグラフを相手にしているのと同じく
基礎論は「数学」を相手にしてるだけと思う。
つまり研究対象が違うだけでやっていることは他の分野の数学と同じかと。
- 581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/07(金) 21:48:26.96 ]
- >>576
もし仮に、算術の体系に矛盾が見つかったら…どうなる？
チョット想像がつかないが、仮定することはできるか、不可能な仮定か、どうだろう？
その場合でも 2 + 3 = 5 が成り立たなくなることはないが、2 + 3 = 6 も真になるな
論理がつぶれても、現実に２コのものと３コのものを合わせると５コになるという
経験則により強固に支持されているので意味を持つが、数学としてはどうなるか？
その場合、現実を数学では記述できない、ということになるかも。
集合論のときは公理系を変えてリカバーできたが
必ずしもリカバーできるつぶれ方ばかりとは限らないのでは？
- 582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/07(金) 22:30:47.60 ]
- 算術の公理から矛盾が出たら、集合論同様公理を変えるだけ。その公理がうまくいかなきゃやり直す。
どのみち誰もが納得できる絶対的な無矛盾性証明なんてできないんだから。
- 583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/07(金) 22:43:36.27 ]
- その変える先の公理が存在するかを問題にしている
公理が底をついてしまうこともあるのでは？
- 584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/07(金) 23:06:04.61 ]
- 仮に矛盾しても、爆発(A∧¬A)→Bを認めなければ大した問題じゃない
もしも算術が矛盾するようなら、
古典論理を「数学者が現実に行っている非形式的な推論」の近似とすること自体を見直すべきかもね
- 585 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/07(金) 23:25:29.73 ]
- そもそも公理系は有限個しかないと証明されてないんだから心配ご無用
- 586 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/08(土) 13:40:47.93 ]
- 矛盾が出て弱める為に公理を変える時は、その公理から出る適当な定理を公理にする
出る定理は無限だから問題ない
強めるときは決定不能な定理が必ずあるからやはり問題ない
- 587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/08(土) 13:44:51.42 ]
- 公理のセットではなく、定理のセットが無限個あるのでないと意味ないと思う
- 588 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/08(土) 16:14:43.23 ]
- ＞公理が底をついてしまうこともあるのでは？
いや、ないでしょｊｋ
- 589 名前：予言者 mailto:sage [2014/03/13(木) 12:28:57.43 ]
- 中国共産党独裁政権は、早晩、崩落する。
尚、余はソ連邦（ＣＣＣＰ）の崩壊を、その遥（はる）か昔に予言せり。
論理的必然性が在るのだ。
- 590 名前：Mujina2 mailto:sage [2014/03/13(木) 20:49:50.98 ]
- >>589
ふーん数理を現実の地政学にいとも簡単に拡張するのか？
預言と予言との異同をどうやってDefineするのか教えてくれんかのう（〜〜）
- 591 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/14(金) 15:35:08.47 ]
- CCCP；Союз Советских 以下省略。
- 592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/14(金) 15:59:51.20 ]
- ロス亜誤だったんだべか、わす、シーシーシーピーってから、何のこと
かさっぱり和漢中田べ
- 593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/14(金) 16:08:10.30 ]
- コチ向かば
ソチが呆けちょる
春の日だまり
詠み人知らず 圖
- 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/14(金) 16:34:11.55 ]
- さっさと半分売れよ北方領土
- 595 名前：M_SHIRAISHI mailto:eurns@hb.tp1.jp [2014/03/14(金) 20:07:58.53 ]
- 自然数は０から始まらねばならぬ論理的必然性があえる。例を挙げてそれを示せ。
- 596 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/14(金) 20:25:09.22 ]
- 単なる命名に、論理もクソも無い。
0以上の整数でも、1以上の整数でも、
好きな方を「自然数」と呼べば良いだけだ。
他方は「ビアマグ」とでも呼べばいい。
私は、0以上の「自然数」が好きだが、
それに「論理的根拠」を付けてくるような
馬鹿は嫌い。
- 597 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/14(金) 22:57:02.89 ]
- あえるって何？料理の方法的なアレですか？
>>596
名前欄に注意
- 598 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/15(土) 00:02:02.54 ]
- ソユーズ
- 599 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/15(土) 02:26:34.96 ]
- ж
- 600 名前：M_SHIRAISHI mailto:eurns@hb.tp1.jp [2014/03/15(土) 05:47:43.22 ]
- >>595
>>596
きみの居る所を、仮に地下一階（＝−１階）だと仮定する。
そうした上で、一階だけ昇った階は何階や？
一階か？ No! ０階や。 その上の階が一階（first floor）や。
以下、同様。
>>597
御免！ 入力ミスしてた。ｗ ご指摘、ありがとう！
「あえる」を「在る」に修正してお詫び致します。m(_ _)m
# この点、英国（ＵＫ）を始めとする国々は正解。 日*米は愚かなり。
- 601 名前：M_SHIRAISHI mailto:eurns@hb.tp1.jp [2014/03/15(土) 06:11:10.90 ]
- >>595
>>596
きみの居る所を、仮に地下一階（＝−１階）だと仮定する。
そうした上で、一階だけ昇った階は何階や？
一階か？ No! ０階や。 その上の階が一階（first floor）や。
その上の上の階が二階（second floor）以下、同様。
# この点、英国（ＵＫ）を始めとする国々は正解。 日*米は愚かなり。
- 602 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 06:29:33.82 ]
- >>601
＞その上の上の階が二階（second floor）以下、同様。
その上の上の階が二階（second floor）。 以下、同様。
- 603 名前：M_SHIRAISHI mailto:eurns@hb.tp1.jp [2014/03/15(土) 07:16:52.92 ]
- >>575
＞公理系に矛盾が生じたら既存の定理は全部使えなくなるの？
浮き草になる。つまり、論拠を失ってしまうだけのことであって、
偽になってしまうとは限らない。
- 604 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/15(土) 07:40:20.66 ]
- 浮き草---- 浮いたままのものもあれば、沈んでゆくものもある。
- 605 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 07:46:33.21 ]
- 確率は？
- 606 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 07:50:45.13 ]
- 統計をとってみなｗ
- 607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 10:10:11.64 ]
- >>603
数学でいう真実ってすべてアドホックなものだからなあ。
- 608 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 10:37:21.79 ]
- >>607
どういうこと？
- 609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 10:40:19.26 ]
- >>575
Γ:={φ1, φ2, φ3, ......} が矛盾しているということは
Γ - φn から¬φnが証明できるということ。
どの公理φnが間違っていたか特定したうえで、
φnを証明に使っていない定理は生き残る。
φnを証明に使っていた定理は、
他の公理から証明できれば使い続けられる。
そうでない場合は切り捨てないといけない。
どの公理もどうしても捨てられない場合、
最後の選択肢として公理系は全部残したまま、
論理部分を改変する手もあるけど、これは最後の手段だと思う。
- 610 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 11:02:31.97 ]
- >>608
ナマの事実（有限の記号操作）
前提・仮定（公理や推論規則）
証明されたこと（定理）
結局これだけしかなくて、真理や真実を探し求めてるわけじゃないってこと。
- 611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 11:15:19.51 ]
- >>610って、例えば
「位数が素数の有限群は巡回群である」
という定理は生の事実でない群論の公理を使うから
真実ではない、と言ってるのに近くない？
哲学者はともかく、数学者にこういうこと言ったら多くが反発すると思う。
- 612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 11:24:00.58 ]
- >>611
数学は「真実か否か」なんて議論自体をしないだろう。
というか、そういう議論から自由な存在だ。
- 613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 11:49:06.14 ]
- >>611
「位数が素数の有限群は巡回群である」という主張を
群論の公理が仮定されていない場所で使うのか？
- 614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 11:51:23.21 ]
- 別に「定理〜〜はこの世における絶対的真理だ」が
数学の命題だなんて言ってる訳じゃないよ。
それに>>610でも数学の定理は真理や真実じゃない、みたいなこと言ってるやん。
真理かどうかはどうでも良いと言えば良いけど、個人的には
「素数は無限に存在する」という定理などが、他の科学的な事実の主張に比べて
ad hocだとは全然考えない
- 615 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 11:54:47.83 ]
- >>613
群論の公理は証明不要の自明の真理というよりも、ほとんど
これこれのものを群と呼びましょう、という定義だから
そもそもそれなしに群に関する主張はできない。
またそれを使ったからって、公理の正しさに依存するad hocな真理だ、
というのは無茶だと思う。
- 616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 13:38:06.02 ]
- >>615
前半は全くその通りだけど、公理の「正しさ」って何だ？
- 617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 13:41:56.98 ]
- 真理だということは正しいということかと思う
数学の哲学上のかなり極端な立場でもない限り
なんで「位数が素数の有限群は巡回群である」
「素数は無限に存在する」がad hocなのか分からんと言ってるだけ
- 618 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 14:05:14.83 ]
- そもそも「自然数全体の集合」ですら何か共通の信念を持つことに依存してないでしょ。
その実在を信じない人がレアかどうか、ってのは関係ないよね。
何かを真実と信じることはあっても、その信念を「論拠にして」数学的な結論を導いたりはしないんだからさ。
- 619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 15:24:29.88 ]
- >>607 ---- >>618
結局、M.Shiraishi氏（つーか、ＥＵＲＭＳ）の言う、”論階”の差に帰着するなぁ〜。
真実や事実は「０階の真理」。 論理学を除く諸科学の法則（真理）は「１階の真理」。
但し、数学的帰納法の原理とか相対性原理 etc. は「２階の真理」。
論理法則は、すべて、「２階の真理」。
- 620 名前：↑ mailto:sage [2014/03/15(土) 15:30:20.19 ]
- 「３階の真理」もあっでよう！（ｗ
- 621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 15:32:34.85 ]
- >>619
そういう分類自体を絶対視してね？
そういうのは受け入れ難いんだよ。
その時その時の議論に応じて前提条件を変える。
変えていいんだ、ってのが「アドホック」の意味。
- 622 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 17:20:24.06 ]
- >>618
標準自然数の真理述語の一意性はかなり微妙
それは背景の集合論に依存して真理述語1、真理述語2……
と同格の複数のものが考えられる、という立場もあり得るけど
あまり明確に主張してる人は聞いたこと無いなあ
- 623 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 17:27:06.22 ]
- >>610
ナマの事実（有限の記号操作）って何のこと？
wikiに載ってたけど、そこに書いているような意味なの？
- 624 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 18:15:42.64 ]
- 「証明」とは何か？ 何であるべきか？？？
- 625 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 18:35:54.64 ]
- >>623
別に大した意味じゃない。
「式 1 + x の変数ｘに4を代入したものと、式 y + 4 の変数yに1を代入したものは同一の式である」
って程度の個別に直接確認できるような事実のことだね。
- 626 名前：１３２人目の素数さん mailto:sageage [2014/03/16(日) 01:13:25.32 ]
- pc.watch.impress.co.jp/docs/news/20131125_624993.html
頭ロボ君大学入試でTarski-Saidenbergの定理使うとかまじヤバいｗｗｗ
l'Hopitalならまだしも、「Tarskiの量化子除去を行うことにより〜〜」とか
入試答案に書かれたら東大や京大の教授でも顔を顰めるだろうなｗ
- 627 名前：M_SHIRAISHI mailto:eurns@hb.tp1.jp [2014/03/16(日) 05:41:24.94 ]
- >>607
>>615
>>621
適切な日本語が在りながら、ラテン語由来の英語（ad hoc）を、わざとらしく使って、
ソチ等は優越感にひたりたいのか、こん馬鹿たれが！
これを「“下衆”の勘ぐり」と言うならば、受けて立つ。
先ず、実名とE-mail address を書け！
以下、“ad hoc””なる用語は「使用禁止処分」とし、代わって「その場かぎの」」 or「 一時凌ぎの」を用いる。
Follow US！
## これに従わざる者には、塗炭(totan)の苦しみが待ち受けていることを覚悟せよ！
- 628 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/16(日) 07:32:50.19 ]
- 隔離スレに帰れよw
- 629 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/16(日) 08:39:53.40 ]
- >>625,610
そういうナマの事実と、 「前提・仮定（公理や推論規則）」および「証明されたこと（定理）」
だけで、どれだけ数学を構成できるというんだ？
- 630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/16(日) 09:46:36.23 ]
- >>629
ん？数学を作る人間の直観のことでも言ってんの？
表に出てくるのはその３つだけで十分。
- 631 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/16(日) 10:33:53.37 ]
- >>630
×表に出てくるのはその３つだけ
○その３つに帰着できる
な
- 632 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/16(日) 10:38:45.34 ]
- こういう場合よくあるのが「数学」の指してるものが
両者で違って議論になってないというパターン
現代の数学は基本的に形式化できる
→数学者の閃きをどうやって形式化できるんだ！みたいな
- 633 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/16(日) 11:25:48.21 ]
- Do you mean that the so-called “Completeness Theorem” is a result of an ill-posed
problem ?
- 634 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/16(日) 13:17:43.94 ]
- >>632
別にそんなことじゃないよ。表に出てくる結果のことだと認識してるよ。
- 635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/16(日) 19:42:58.06 ]
- >>633
いわゆる「完全性定理」が不良設定問題の結果であることを意味するか？
？
- 636 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/16(日) 21:35:12.15 ]
- エーゲ海は大小あわせ約約2,500 の島々が浮かぶ海である。
瀬戸内海は大小あわせ約3,000 の島々が浮かぶ海である。
間違っているのはどっち？
- 637 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/16(日) 22:41:09.37 ]
- 島々が海に浮かんでるなんて初めて知った
内海だから海流に流されないで済んでるんだね
- 638 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/16(日) 22:48:03.55 ]
- 風が光ってる
波が光ってる
夢が光ってる
琥珀色に
風が呼んでいる
波が呼んでいる
夢が呼んでいる
エーゲ海
- 639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/16(日) 22:56:57.29 ]
- ad hoc を日本語にするの難しいわ〜
- 640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/17(月) 23:00:49.30 ]
- >>635
完全性定理の証明に（弱い形での）選択公理が必要になること、
可算理論の場合でも少なくとも算術は必要になること。
- 641 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/18(火) 00:00:27.49 ]
- 完全性定理は集合論の定理です。
- 642 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/19(水) 08:42:45.52 ]
- それは算術級数定理が関数論の定理だと言うようなものだ
- 643 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/19(水) 09:43:00.90 ]
- 教えてください．
ゲーデルの不完全性定理などの場合は，その意義は一般にも理解し易い
（本当に理解できているかは別として）のですが，
ZFとAC,CH,V=Lなどとの独立性は，なにを意味していると理解すればよいの
でしょうか？「形式体系というものは，．．．なものだ」という意味を
もっているに違いないと思うのですが．
- 644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/19(水) 19:19:25.63 ]
- >>635
言語Lの記号が整列されていれば選択公理要らないですよ。
我々が扱う具体的な理論（Peano算術とかZFCとか代数閉体の理論ACFとか）は
全部記号は整列可能ですよね？
何かを示すのに算術が必要だからill-posed problemだとか言い出したら
数学の大半の問題ははill-posedになると思うんですが。
- 645 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/19(水) 21:07:54.53 ]
- >>642
慣習的なことを言ってるの？
関数論の定理だと言って別に何か困ることないでしょう。
>>644
ill-posedなんじゃなく、必要な前提を明らかにしたうえで「〜論の定理です」と言えばいいだけでしょ？
- 646 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/19(水) 22:43:52.26 ]
- >>643
一般にも理解し易い意味なんて別にないから気にしないで！
- 647 名前：644 mailto:sage [2014/03/19(水) 22:55:27.08 ]
- ごめん>>640へのレスのつもりだった
完全性定理はill-posedか
→意味が分からない
→選択公理が要ったり、少なくとも算術を必要とする
という文脈で、算術が言ったってill-posedだとは言えないだろう、
というつもりのレスでした。
- 648 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/19(水) 22:58:56.64 ]
- >>646
世の中とは全くつながりがないということ？
そんなこともないでしょ？
- 649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/19(水) 23:01:05.18 ]
- ええ…？
ひょっとして、ZFとAC,CH,V=Lなどとの独立性についても、世の中とつながりのある説明を期待していたの？
- 650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/19(水) 23:10:19.41 ]
- 不完全性定理の「一般」の理解はほぼ誤解だから
- 651 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/19(水) 23:36:48.61 ]
- >>645
本当はXではなくてもXと呼ぶことはある。
慣習は守らなきゃ。
甘納豆は甘い納豆ではないし、
焼きソバは蕎麦ではない。
わんこソバは犬ではない
- 652 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/20(木) 13:34:11.47 ]
- >>649
>ひょっとして、ZFとAC,CH,V=Lなどとの独立性についても、世の中とつながりのある説明を期待していたの？
もちろんそうです．
「世の中とのつながり」というと，少し通俗的な感じがして，違いますが，
>>650
>不完全性定理の「一般」の理解はほぼ誤解だから
誤解（解釈のし過ぎなど）が多いのは知っていますが，
定理をそのまま理解したり，その証明を追うだけで留めておけば
誤解は避けられるでしょうが，それでは，明らかにその意味を
理解したことにはならないわけで．
いろんな意味で一般化が必要ですよね．
- 653 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/20(木) 20:11:28.79 ]
- いや「世の中とのつながり」ってのはあなた自身が言った言葉だよ。
そうです。 違いますが。
とか言われても意味が分からない。
定理をそのまま理解したのでは、
明らかにその意味を理解したことにはならない
と言うのも意味分からない。
- 654 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/20(木) 21:24:55.79 ]
- 653さん
定理をそのまま理解するというのは，定理が真であることが分ること，
その証明が追えてかつ自分で再現もできること，定理を適切に適用できること，
というようなことを指していました．
通常はこういう理解で満足するのでしょうが，考えてみると，こういう理解は，
いってみれば，無矛盾であればよしとする理解，機械でもできる理解，定理の
内部に閉じた理解，受動的な理解ではないかと思います．
そうではない理解，特に定理の外部との関係においての理解というものが
あり得て，むしろそういう理解をしたいと思っています．
これは数学なら数学の内部に閉じこもっている人たちには，何をいっているか
分ってもらいにくいと思いますが．
- 655 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/20(木) 21:31:25.16 ]
- 数学の他分野ならともかく、よりにもよって集合論の場合、数学外部との関係と言われると辛いな…ｗ
しかも、どうやら社会学的な意義も期待してるみたいだし
- 656 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/20(木) 21:41:58.17 ]
- >集合論の場合、数学外部との関係と言われると辛いな…ｗ
いやいや独立性の定理なら，その定理の内部に閉じない理解でよいのです．
>しかも、どうやら社会学的な意義も期待してるみたいだし
そういう期待はまったくないんです．だから「世の中とのつながり」というと，
だいたいがそういうふうに誤解されるだろうなと思っていたのですが．
- 657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/20(木) 21:44:18.93 ]
- 当然具体例はあるのだろう。
「○○の定理は△△という形で世の中と繋がっている」
みたいな。
なんかあげてみてよ。
- 658 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/20(木) 21:49:41.83 ]
- 「世の中とのつながり」というのが不適切な表現だったというのは良いとして、
じゃあどういう意味だったのかが不明
あと、定理の証明を自分で再現できて適切に適用できる、
というレべルに到達するのはそれなりに大変だよ。
ACの独立性について>>654はそのレベルに達しているとは思わない。
その水準の理解に達していない人が、この定理の数学外への影響は……
と言い出すと得てして中途半端なことになる。
- 659 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/20(木) 21:53:16.08 ]
- 不完全性定理やレーベンハイムの定理などの場合は，論理や集合論の外部の
一般人にとっても有意味な形で記述することができると思うのですが，
それと同じようなことがZFとAC,CH,V=Lなどとの独立性定理についても
できないのかな？ということでした．
- 660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/20(木) 21:57:19.09 ]
- >>659
そんじゃレーヴェンハイムでいいから、その「有意味な形」ってのを教えてよ。
- 661 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/20(木) 22:03:20.94 ]
- >>658
>あと、定理の証明を自分で再現できて適切に適用できる、
>というレべルに到達するのはそれなりに大変だよ。
>ACの独立性について>>654はそのレベルに達しているとは思わない。
>その水準の理解に達していない人が、この定理の数学外への影響は……
>と言い出すと得てして中途半端なことになる。
通常の意味で定理が理解できるとかできないとか（どうもそれが相当
難しいと思っているようですが），そういう話をしているのじゃないんですよ．
- 662 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/20(木) 22:04:58.95 ]
- >>659
あと有名どころで、完全性定理とバナ・タルもよろしく
- 663 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/21(金) 03:57:21.62 ]
- 悪いけど643にある個々の具体的な独立命題に
「形式体系というものは……なものだ」みたいな意味は無いと思う。
こういう体系が不完全で独立な命題が必ずあることは不完全性定理で既に分かっている。
「集合」という、カントールやツェルメロの時代には明確に把握されていると
思われていた概念が、どこまで行ってもかなり基本的な部分で
不明確な概念であることを示した、とまでは大雑把に言えるけど形式体系一般がどうという話じゃない。
それにそれぞれの個々の独立性にはもっと豊かな数学的意味がある。
単に、レーヴェンハイムの定理は一般の人にも興味をもたれやすい定理だ、
というだけじゃないのかな。それを
「数学の内部に閉じこもっている人たち」には分からんとか、
定理の証明をフォローするのではないような「高度」な理解とか、
なんで一々普通に数学をやってる人をdisるような言い方をするんだろう。
- 664 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/21(金) 11:05:50.29 ]
- >>663
>悪いけど643にある個々の具体的な独立命題に
>「形式体系というものは……なものだ」みたいな意味は無いと思う。
そうなのですか？そうなら残念です．
>こういう体系が不完全で独立な命題が必ずあることは不完全性定理で既に分かっている。
そういえば，不完全性定理は，独立な命題を一つ二つ具体的に構成していますが，
「独立な命題がなぜ生じるのか」については何も言えていませんよね？
>それにそれぞれの個々の独立性にはもっと豊かな数学的意味がある。
たとえばどんな意味でしょうか？（それはまさに定理外部の意味だと思うのですが）
>単に、レーヴェンハイムの定理は一般の人にも興味をもたれやすい定理だ、
>というだけじゃないのかな。それを
通常のレーヴェンハイムの定理の表現では，むしろ一般の人は興味をもちにくい
と思います．
下は本題でないし，こういう場では結構起きがちな口論？なので
敢えていちいち気にしないことにしているのですが，
>「数学の内部に閉じこもっている人たち」には分からんとか、
「内部に閉じている人」はたしかに（結構沢山）存在していて
そういう人たちには分かってもらいにくいのは事実ですよね．
>定理の証明をフォローするのではないような「高度」な理解とか、
>なんで一々普通に数学をやってる人をdisるような言い方をするんだろう。
「高度な」とは一言も言っていないです．高度か低級かなんてことには
関心がないんです．それに普通に数学することを批難するつもりもないんです．
だけど，外部もありますよ，と言ってるだけです．
- 665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/21(金) 11:16:55.80 ]
- 単に自分好みの解釈を求めているだけだから。
待ってるのに来てくれないから。
- 666 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/21(金) 11:31:31.37 ]
- ＞高度か低級かなんてことには関心がないんです．それに普通に数学することを批難するつもりもないんで
>>654の
「機械でもできる理解」とか「受動的な理解」ってのは何なの？
- 667 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/21(金) 11:43:25.89 ]
- >>666
>「機械でもできる理解」とか「受動的な理解」ってのは何なの？
何なの？ってどういう質問ですか？
まさかここでも，「機械でもできる」や「受動的な」を負の意味（批難の意味）に
とらえているのではないでしょうね？そうではないんですよ．
- 668 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/21(金) 12:07:18.14 ]
- 避難や批判以前の話として意味不明だということだ。
君には難しすぎて理解不能かも知れないが…
- 669 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/21(金) 12:18:06.23 ]
- >>668
>避難や批判以前の話として意味不明だということだ。
>君には難しすぎて理解不能かも知れないが…
ここにも現れているように，
結局，あなたは，「難しいことが理解できること」ことが自慢の人の
内部的な人なんでしょうね．
先にも言いましたが，こんな口論みたいなやりとりは私はもう止めますね
- 670 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/21(金) 13:24:10.47 ]
- 数学の内部で、他の定理や例や他の数学の分野との関わりにおける
意味と言うのは数学やる人も当然大事だと思っている。
「数学内部に閉じこもっている人」は証明をそのまま追うだけだから
機械でもできる受動的な理解に留まっていて
こういう理解の仕方はあまりしないだろう、とか言われても、
普通の数学者はそうではないので、何を言っているんだ？ということになる。
なんか、自分が分かって貰えないのは、レスを返す人が
「数学の内部に閉じこもっている」からだ、と思ってるみたいだけど、
自分のレスが分かりにくかったり実態に即していなかったり、という可能性は考えないの？
小平邦彦が書いていることだけど、或る定理を理解するには
その定理の証明をきちんと理解することが前提になることがある。
>>643で書いてある独立命題についても、
重要なのは定理の内容それ自身よりも、寧ろ強制という証明手法だと思う。
このテクニック自体は集合論以外でも計算可能性理論や証明論などの他分野で応用がある。
>>669は「形式体系とはこういうものだ」という一般論を求めているようなので
それじゃ満足しないだろうけどね。
- 671 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/21(金) 14:13:54.70 ]
- >>670
最初の３つのパラグラフはもともと同意です．
それに，これと同じことは私の方からだって言いたいかもしれない．
どちらにしても，私にとっては本題ではないです．こんなことはどうでもよいです．
>或る定理を理解するにはその定理の証明をきちんと理解することが前提になることがある
「ことがある」ではなく，ほぼつねにそうでしょうね．
ただし，「証明をきちんと理解する」が，証明を（写経するように）追うことで
できるのでは必ずしもない（私の経験ではそれはむしろ下手なやりかた）とは
思います．
> >>643で書いてある独立命題についても、
>重要なのは定理の内容それ自身よりも、寧ろ強制という証明手法だと思う。
>このテクニック自体は集合論以外でも計算可能性理論や証明論などの他分野で応用がある。
これは貴重なコメントです．ちょっと考えてみます．
「定理の内容よりも、強制という証明手法が重要」？
>それじゃ満足しないだろうけどね
そんなことないですよ．
- 672 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/21(金) 14:54:03.41 ]
- これだけレスの応酬があって、「一般人が興味を持ちやすい説明」というものを頑なに例示しないのは何故だ
- 673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/21(金) 16:33:53.87 ]
- 理由は明白だ。自分でも理解できていないからだよ。
- 674 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/21(金) 18:27:07.75 ]
- 「機械”でも”できる」を負の意味に捉えないでくれって言われても、ニュートラルな表現ではないからねえ。
「一般人が興味を持ちやすい説明」ってのは必ずしも自分の言葉じゃなくてもいいんだよねー。
○○の定理についてこのサイトではこんな説明がされてて、有意義で分かりやすいと感じた、でもいいし。
それすら示してくれないのは残念だね。
- 675 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/21(金) 19:16:37.13 ]
- 言うとすれば自分の言葉で言うしかないようなものですが，
お分かりのようにここはいろんな意味でその適切な場ではないですね．
それに，独立性命題についてなど，まだ見えない部分もありますので．
なお，「一般人が興味を持ちやすい説明」というのは，
「一般人のツールになる説明」と言ったほうがいかもしれません．
- 676 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/21(金) 19:20:13.53 ]
- >>675
独立性命題の説明じゃなくて、
＞不完全性定理やレーベンハイムの定理などの場合は，論理や集合論の外部の
＞一般人にとっても有意味な形で記述することができると思うのですが，
これら↑について例示してほしいのだけど
＞お分かりのようにここはいろんな意味でその適切な場ではないですね．
ここには「数学の内部に閉じこもっている人たち」しかいないから？ｗ
- 677 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/21(金) 19:36:59.84 ]
- > なお，「一般人が興味を持ちやすい説明」というのは，
>「一般人のツールになる説明」と言ったほうがいかもしれません．
曖昧な言い換えを繰り返してもどこにも到達しないよ。
自分ば言いたいことを、一般人にも理解できる言葉や具体例で説明することから
始めるのが良いでしょう。
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