数学基礎論・数理論理学　その14

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/29(土) 02:02:32.80 ] 数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、 19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。 現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、 多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。 （「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。） 応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、 英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。 （数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」 ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html 或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照） 従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。 他のスレで御質問なさるようにお願いします。 前スレ 数学基礎論・数理論理学　その13 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1340469523/ なおSTSあるいはTTTと名乗る者のレスは きちんとした数学的理解に基づかず無意味な内容です。 このことは本人も認めています。（前スレの900以降など） STSあるいはTTTと名乗る者の相手をすることは 荒らし行為に当たりますのでご注意ください。 573 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/02(日) 08:23:39.80 ] 572 ：Mujina2：2014/03/02(日) 07:34:15.41 >>564 ＞ おりがまつがっでだ　ふんどにすまね おはん、言ってることとやってることとが矛盾しているのに 気がついていないのか？ 574 名前：Mujina2 mailto:sage [2014/03/02(日) 08:39:19.84 ] >>573 確かに（〜〜） まあ半分気づいてるんだが2chだとついなあ たぶん人格が破綻しかけてるんだ 笑って許してとは言わんが 生ぬるくスルーしてくんねーかな 575 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/07(金) 03:38:50.58 ] 公理系に矛盾が生じたら既存の定理は全部使えなくなるの？ 576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/07(金) 03:48:11.67 ] 算術の体系に矛盾が見つかったとして 2+3=5は成り立たなくなる、あるいは無意味になると思う？ 極端な話と、それと同じことだ 577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/07(金) 03:49:06.31 ] ×　極端な話と、それと同じことだ ○　極端な話、それと同じことだ 578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/07(金) 10:08:24.41 ] 基礎論の研究はそれ以外の数学の研究と切り離せるとうことでok? 579 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/07(金) 14:49:51.84 ] ネット版のホストみたいなの発見。 イケメンなら稼げるんだろうけど。 話が上手けりゃ稼げるかな。 誰かレポ頼む。 メンガでググると出てくる。 580 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/07(金) 20:23:45.72 ] 基礎論を特別視したがる人もいるけど、 整数論が整数を相手にして、グラフ理論がグラフを相手にしているのと同じく 基礎論は「数学」を相手にしてるだけと思う。 つまり研究対象が違うだけでやっていることは他の分野の数学と同じかと。 581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/07(金) 21:48:26.96 ] >>576 もし仮に、算術の体系に矛盾が見つかったら…どうなる？ チョット想像がつかないが、仮定することはできるか、不可能な仮定か、どうだろう？ その場合でも 2 + 3 = 5 が成り立たなくなることはないが、2 + 3 = 6 も真になるな 論理がつぶれても、現実に２コのものと３コのものを合わせると５コになるという 経験則により強固に支持されているので意味を持つが、数学としてはどうなるか？ その場合、現実を数学では記述できない、ということになるかも。 集合論のときは公理系を変えてリカバーできたが 必ずしもリカバーできるつぶれ方ばかりとは限らないのでは？ 582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/07(金) 22:30:47.60 ] 算術の公理から矛盾が出たら、集合論同様公理を変えるだけ。その公理がうまくいかなきゃやり直す。 どのみち誰もが納得できる絶対的な無矛盾性証明なんてできないんだから。 583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/07(金) 22:43:36.27 ] その変える先の公理が存在するかを問題にしている 公理が底をついてしまうこともあるのでは？ 584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/07(金) 23:06:04.61 ] 仮に矛盾しても、爆発(A∧¬A)→Bを認めなければ大した問題じゃない もしも算術が矛盾するようなら、 古典論理を「数学者が現実に行っている非形式的な推論」の近似とすること自体を見直すべきかもね 585 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/07(金) 23:25:29.73 ] そもそも公理系は有限個しかないと証明されてないんだから心配ご無用 586 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/08(土) 13:40:47.93 ] 矛盾が出て弱める為に公理を変える時は、その公理から出る適当な定理を公理にする 出る定理は無限だから問題ない 強めるときは決定不能な定理が必ずあるからやはり問題ない 587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/08(土) 13:44:51.42 ] 公理のセットではなく、定理のセットが無限個あるのでないと意味ないと思う 588 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/08(土) 16:14:43.23 ] ＞公理が底をついてしまうこともあるのでは？ いや、ないでしょｊｋ 589 名前：予言者 mailto:sage [2014/03/13(木) 12:28:57.43 ] 中国共産党独裁政権は、早晩、崩落する。 尚、余はソ連邦（ＣＣＣＰ）の崩壊を、その遥（はる）か昔に予言せり。 論理的必然性が在るのだ。 590 名前：Mujina2 mailto:sage [2014/03/13(木) 20:49:50.98 ] >>589 ふーん数理を現実の地政学にいとも簡単に拡張するのか？ 預言と予言との異同をどうやってDefineするのか教えてくれんかのう（〜〜） 591 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/14(金) 15:35:08.47 ] CCCP；Союз Советских 以下省略。 592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/14(金) 15:59:51.20 ] ロス亜誤だったんだべか、わす、シーシーシーピーってから、何のこと かさっぱり和漢中田べ 593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/14(金) 16:08:10.30 ] コチ向かば ソチが呆けちょる 春の日だまり 詠み人知らず　圖 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/14(金) 16:34:11.55 ] さっさと半分売れよ北方領土 595 名前：M_SHIRAISHI mailto:eurns@hb.tp1.jp [2014/03/14(金) 20:07:58.53 ] 自然数は０から始まらねばならぬ論理的必然性があえる。例を挙げてそれを示せ。 596 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/14(金) 20:25:09.22 ] 単なる命名に、論理もクソも無い。 0以上の整数でも、1以上の整数でも、 好きな方を「自然数」と呼べば良いだけだ。 他方は「ビアマグ」とでも呼べばいい。 私は、0以上の「自然数」が好きだが、 それに「論理的根拠」を付けてくるような 馬鹿は嫌い。 597 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/14(金) 22:57:02.89 ] あえるって何？料理の方法的なアレですか？ >>596 名前欄に注意 598 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/15(土) 00:02:02.54 ] ソユーズ 599 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/15(土) 02:26:34.96 ] ж 600 名前：M_SHIRAISHI mailto:eurns@hb.tp1.jp [2014/03/15(土) 05:47:43.22 ] >>595 >>596 きみの居る所を、仮に地下一階（＝−１階）だと仮定する。 そうした上で、一階だけ昇った階は何階や？ 一階か？ 　No! ０階や。　その上の階が一階（first floor）や。 以下、同様。 >>597 御免！　入力ミスしてた。ｗ　　ご指摘、ありがとう！ 「あえる」を「在る」に修正してお詫び致します。m(_ _)m # この点、英国（ＵＫ）を始めとする国々は正解。 日*米は愚かなり。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 601 名前：M_SHIRAISHI mailto:eurns@hb.tp1.jp [2014/03/15(土) 06:11:10.90 ] >>595 >>596 きみの居る所を、仮に地下一階（＝−１階）だと仮定する。 そうした上で、一階だけ昇った階は何階や？ 一階か？ 　No! ０階や。　その上の階が一階（first floor）や。 その上の上の階が二階（second floor）以下、同様。 # この点、英国（ＵＫ）を始めとする国々は正解。 日*米は愚かなり。 602 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 06:29:33.82 ] >>601 ＞その上の上の階が二階（second floor）以下、同様。 その上の上の階が二階（second floor）。　以下、同様。 603 名前：M_SHIRAISHI mailto:eurns@hb.tp1.jp [2014/03/15(土) 07:16:52.92 ] >>575 ＞公理系に矛盾が生じたら既存の定理は全部使えなくなるの？ 浮き草になる。つまり、論拠を失ってしまうだけのことであって、 偽になってしまうとは限らない。 604 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/15(土) 07:40:20.66 ] 浮き草---- 浮いたままのものもあれば、沈んでゆくものもある。 605 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 07:46:33.21 ] 確率は？ 606 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 07:50:45.13 ] 統計をとってみなｗ 607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 10:10:11.64 ] >>603 数学でいう真実ってすべてアドホックなものだからなあ。 608 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 10:37:21.79 ] >>607 どういうこと？ 609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 10:40:19.26 ] >>575 Γ:={φ1, φ2, φ3, ......} が矛盾しているということは Γ - φn から¬φnが証明できるということ。 どの公理φnが間違っていたか特定したうえで、 φnを証明に使っていない定理は生き残る。 φnを証明に使っていた定理は、 他の公理から証明できれば使い続けられる。 そうでない場合は切り捨てないといけない。 どの公理もどうしても捨てられない場合、 最後の選択肢として公理系は全部残したまま、 論理部分を改変する手もあるけど、これは最後の手段だと思う。 610 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 11:02:31.97 ] >>608 ナマの事実（有限の記号操作） 前提・仮定（公理や推論規則） 証明されたこと（定理） 結局これだけしかなくて、真理や真実を探し求めてるわけじゃないってこと。 611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 11:15:19.51 ] >>610って、例えば 「位数が素数の有限群は巡回群である」 という定理は生の事実でない群論の公理を使うから 真実ではない、と言ってるのに近くない？ 哲学者はともかく、数学者にこういうこと言ったら多くが反発すると思う。 612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 11:24:00.58 ] >>611 数学は「真実か否か」なんて議論自体をしないだろう。 というか、そういう議論から自由な存在だ。 613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 11:49:06.14 ] >>611 「位数が素数の有限群は巡回群である」という主張を 群論の公理が仮定されていない場所で使うのか？ 614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 11:51:23.21 ] 別に「定理〜〜はこの世における絶対的真理だ」が 数学の命題だなんて言ってる訳じゃないよ。 それに>>610でも数学の定理は真理や真実じゃない、みたいなこと言ってるやん。 真理かどうかはどうでも良いと言えば良いけど、個人的には 「素数は無限に存在する」という定理などが、他の科学的な事実の主張に比べて ad hocだとは全然考えない 615 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 11:54:47.83 ] >>613 群論の公理は証明不要の自明の真理というよりも、ほとんど これこれのものを群と呼びましょう、という定義だから そもそもそれなしに群に関する主張はできない。 またそれを使ったからって、公理の正しさに依存するad hocな真理だ、 というのは無茶だと思う。 616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 13:38:06.02 ] >>615 前半は全くその通りだけど、公理の「正しさ」って何だ？ 617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 13:41:56.98 ] 真理だということは正しいということかと思う 数学の哲学上のかなり極端な立場でもない限り なんで「位数が素数の有限群は巡回群である」 「素数は無限に存在する」がad hocなのか分からんと言ってるだけ 618 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 14:05:14.83 ] そもそも「自然数全体の集合」ですら何か共通の信念を持つことに依存してないでしょ。 その実在を信じない人がレアかどうか、ってのは関係ないよね。 何かを真実と信じることはあっても、その信念を「論拠にして」数学的な結論を導いたりはしないんだからさ。 619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 15:24:29.88 ] >>607 ---- >>618 結局、M.Shiraishi氏（つーか、ＥＵＲＭＳ）の言う、”論階”の差に帰着するなぁ〜。 真実や事実は「０階の真理」。　論理学を除く諸科学の法則（真理）は「１階の真理」。 但し、数学的帰納法の原理とか相対性原理 etc. は「２階の真理」。 論理法則は、すべて、「２階の真理」。 620 名前：↑ mailto:sage [2014/03/15(土) 15:30:20.19 ] 「３階の真理」もあっでよう！（ｗ 621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 15:32:34.85 ] >>619 そういう分類自体を絶対視してね？ そういうのは受け入れ難いんだよ。 その時その時の議論に応じて前提条件を変える。 変えていいんだ、ってのが「アドホック」の意味。 622 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 17:20:24.06 ] >>618 標準自然数の真理述語の一意性はかなり微妙 それは背景の集合論に依存して真理述語1、真理述語2…… と同格の複数のものが考えられる、という立場もあり得るけど あまり明確に主張してる人は聞いたこと無いなあ 623 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 17:27:06.22 ] >>610 ナマの事実（有限の記号操作）って何のこと？ wikiに載ってたけど、そこに書いているような意味なの？ 624 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 18:15:42.64 ] 「証明」とは何か？　何であるべきか？？？ 625 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/15(土) 18:35:54.64 ] >>623 別に大した意味じゃない。 「式　1 + x の変数ｘに4を代入したものと、式　y + 4 の変数yに1を代入したものは同一の式である」 って程度の個別に直接確認できるような事実のことだね。 626 名前：１３２人目の素数さん mailto:sageage [2014/03/16(日) 01:13:25.32 ] pc.watch.impress.co.jp/docs/news/20131125_624993.html 頭ロボ君大学入試でTarski-Saidenbergの定理使うとかまじヤバいｗｗｗ l'Hopitalならまだしも、「Tarskiの量化子除去を行うことにより〜〜」とか 入試答案に書かれたら東大や京大の教授でも顔を顰めるだろうなｗ 627 名前：M_SHIRAISHI mailto:eurns@hb.tp1.jp [2014/03/16(日) 05:41:24.94 ] >>607 >>615 >>621 適切な日本語が在りながら、ラテン語由来の英語（ad hoc）を、わざとらしく使って、 ソチ等は優越感にひたりたいのか、こん馬鹿たれが！ これを「“下衆”の勘ぐり」と言うならば、受けて立つ。 先ず、実名とE-mail address を書け！ 以下、“ad hoc””なる用語は「使用禁止処分」とし、代わって「その場かぎの」」 or「 一時凌ぎの」を用いる。 Follow US！ ##　これに従わざる者には、塗炭(totan)の苦しみが待ち受けていることを覚悟せよ！ 628 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/16(日) 07:32:50.19 ] 隔離スレに帰れよw 629 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/16(日) 08:39:53.40 ] >>625,610 そういうナマの事実と、　「前提・仮定（公理や推論規則）」および「証明されたこと（定理）」 だけで、どれだけ数学を構成できるというんだ？ 630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/16(日) 09:46:36.23 ] >>629 ん？数学を作る人間の直観のことでも言ってんの？ 表に出てくるのはその３つだけで十分。 631 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/16(日) 10:33:53.37 ] >>630 ×表に出てくるのはその３つだけ ○その３つに帰着できる な 632 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/16(日) 10:38:45.34 ] こういう場合よくあるのが「数学」の指してるものが 両者で違って議論になってないというパターン 現代の数学は基本的に形式化できる →数学者の閃きをどうやって形式化できるんだ！みたいな 633 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/16(日) 11:25:48.21 ] Do you mean that the so-called “Completeness Theorem” is a result of an ill-posed problem ? 634 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/16(日) 13:17:43.94 ] >>632 別にそんなことじゃないよ。表に出てくる結果のことだと認識してるよ。 635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/16(日) 19:42:58.06 ] >>633 いわゆる「完全性定理」が不良設定問題の結果であることを意味するか？ ？ 636 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/16(日) 21:35:12.15 ] エーゲ海は大小あわせ約約2,500 の島々が浮かぶ海である。 瀬戸内海は大小あわせ約3,000 の島々が浮かぶ海である。 間違っているのはどっち？ 637 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/16(日) 22:41:09.37 ] 島々が海に浮かんでるなんて初めて知った 内海だから海流に流されないで済んでるんだね 638 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/16(日) 22:48:03.55 ] 風が光ってる 波が光ってる 夢が光ってる 琥珀色に 風が呼んでいる 波が呼んでいる 夢が呼んでいる エーゲ海 639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/16(日) 22:56:57.29 ] ad hoc を日本語にするの難しいわ〜 640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/17(月) 23:00:49.30 ] >>635 完全性定理の証明に（弱い形での）選択公理が必要になること、 可算理論の場合でも少なくとも算術は必要になること。 641 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/18(火) 00:00:27.49 ] 完全性定理は集合論の定理です。 642 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/19(水) 08:42:45.52 ] それは算術級数定理が関数論の定理だと言うようなものだ 643 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/19(水) 09:43:00.90 ] 教えてください． ゲーデルの不完全性定理などの場合は，その意義は一般にも理解し易い （本当に理解できているかは別として）のですが， ZFとAC,CH,V=Lなどとの独立性は，なにを意味していると理解すればよいの でしょうか？「形式体系というものは，．．．なものだ」という意味を もっているに違いないと思うのですが． 644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/19(水) 19:19:25.63 ] >>635 言語Lの記号が整列されていれば選択公理要らないですよ。 我々が扱う具体的な理論（Peano算術とかZFCとか代数閉体の理論ACFとか）は 全部記号は整列可能ですよね？ 何かを示すのに算術が必要だからill-posed problemだとか言い出したら 数学の大半の問題ははill-posedになると思うんですが。 645 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/19(水) 21:07:54.53 ] >>642 慣習的なことを言ってるの？ 関数論の定理だと言って別に何か困ることないでしょう。 >>644 ill-posedなんじゃなく、必要な前提を明らかにしたうえで「〜論の定理です」と言えばいいだけでしょ？ 646 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/19(水) 22:43:52.26 ] >>643 一般にも理解し易い意味なんて別にないから気にしないで！ 647 名前：644 mailto:sage [2014/03/19(水) 22:55:27.08 ] ごめん>>640へのレスのつもりだった 完全性定理はill-posedか 　→意味が分からない →選択公理が要ったり、少なくとも算術を必要とする という文脈で、算術が言ったってill-posedだとは言えないだろう、 というつもりのレスでした。 648 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/19(水) 22:58:56.64 ] >>646 世の中とは全くつながりがないということ？ そんなこともないでしょ？ 649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/19(水) 23:01:05.18 ] ええ…？ ひょっとして、ZFとAC,CH,V=Lなどとの独立性についても、世の中とつながりのある説明を期待していたの？ 650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/19(水) 23:10:19.41 ] 不完全性定理の「一般」の理解はほぼ誤解だから 651 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/19(水) 23:36:48.61 ] >>645 本当はXではなくてもXと呼ぶことはある。 慣習は守らなきゃ。 甘納豆は甘い納豆ではないし、 焼きソバは蕎麦ではない。 わんこソバは犬ではない 652 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/20(木) 13:34:11.47 ] >>649 >ひょっとして、ZFとAC,CH,V=Lなどとの独立性についても、世の中とつながりのある説明を期待していたの？ もちろんそうです． 「世の中とのつながり」というと，少し通俗的な感じがして，違いますが， >>650 >不完全性定理の「一般」の理解はほぼ誤解だから 誤解（解釈のし過ぎなど）が多いのは知っていますが， 定理をそのまま理解したり，その証明を追うだけで留めておけば 誤解は避けられるでしょうが，それでは，明らかにその意味を 理解したことにはならないわけで． いろんな意味で一般化が必要ですよね． 653 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/20(木) 20:11:28.79 ] いや「世の中とのつながり」ってのはあなた自身が言った言葉だよ。 　そうです。　違いますが。　 とか言われても意味が分からない。 　定理をそのまま理解したのでは、 　明らかにその意味を理解したことにはならない と言うのも意味分からない。 654 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/20(木) 21:24:55.79 ] 653さん 定理をそのまま理解するというのは，定理が真であることが分ること， その証明が追えてかつ自分で再現もできること，定理を適切に適用できること， というようなことを指していました． 通常はこういう理解で満足するのでしょうが，考えてみると，こういう理解は， いってみれば，無矛盾であればよしとする理解，機械でもできる理解，定理の 内部に閉じた理解，受動的な理解ではないかと思います． そうではない理解，特に定理の外部との関係においての理解というものが あり得て，むしろそういう理解をしたいと思っています． これは数学なら数学の内部に閉じこもっている人たちには，何をいっているか 分ってもらいにくいと思いますが． 655 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/20(木) 21:31:25.16 ] 数学の他分野ならともかく、よりにもよって集合論の場合、数学外部との関係と言われると辛いな…ｗ しかも、どうやら社会学的な意義も期待してるみたいだし 656 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/20(木) 21:41:58.17 ] >集合論の場合、数学外部との関係と言われると辛いな…ｗ いやいや独立性の定理なら，その定理の内部に閉じない理解でよいのです． >しかも、どうやら社会学的な意義も期待してるみたいだし そういう期待はまったくないんです．だから「世の中とのつながり」というと， だいたいがそういうふうに誤解されるだろうなと思っていたのですが． 657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/20(木) 21:44:18.93 ] 当然具体例はあるのだろう。 「○○の定理は△△という形で世の中と繋がっている」 みたいな。 なんかあげてみてよ。 658 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/20(木) 21:49:41.83 ] 「世の中とのつながり」というのが不適切な表現だったというのは良いとして、 じゃあどういう意味だったのかが不明 あと、定理の証明を自分で再現できて適切に適用できる、 というレべルに到達するのはそれなりに大変だよ。 ACの独立性について>>654はそのレベルに達しているとは思わない。 その水準の理解に達していない人が、この定理の数学外への影響は…… と言い出すと得てして中途半端なことになる。 659 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/20(木) 21:53:16.08 ] 不完全性定理やレーベンハイムの定理などの場合は，論理や集合論の外部の 一般人にとっても有意味な形で記述することができると思うのですが， それと同じようなことがZFとAC,CH,V=Lなどとの独立性定理についても できないのかな？ということでした． 660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/20(木) 21:57:19.09 ] >>659 そんじゃレーヴェンハイムでいいから、その「有意味な形」ってのを教えてよ。 661 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/20(木) 22:03:20.94 ] >>658 >あと、定理の証明を自分で再現できて適切に適用できる、 >というレべルに到達するのはそれなりに大変だよ。 >ACの独立性について>>654はそのレベルに達しているとは思わない。 >その水準の理解に達していない人が、この定理の数学外への影響は…… >と言い出すと得てして中途半端なことになる。 通常の意味で定理が理解できるとかできないとか（どうもそれが相当 難しいと思っているようですが），そういう話をしているのじゃないんですよ． 662 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/20(木) 22:04:58.95 ] >>659 あと有名どころで、完全性定理とバナ・タルもよろしく 663 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/21(金) 03:57:21.62 ] 悪いけど643にある個々の具体的な独立命題に 「形式体系というものは……なものだ」みたいな意味は無いと思う。 こういう体系が不完全で独立な命題が必ずあることは不完全性定理で既に分かっている。 「集合」という、カントールやツェルメロの時代には明確に把握されていると 思われていた概念が、どこまで行ってもかなり基本的な部分で 不明確な概念であることを示した、とまでは大雑把に言えるけど形式体系一般がどうという話じゃない。 それにそれぞれの個々の独立性にはもっと豊かな数学的意味がある。 単に、レーヴェンハイムの定理は一般の人にも興味をもたれやすい定理だ、 というだけじゃないのかな。それを 「数学の内部に閉じこもっている人たち」には分からんとか、 定理の証明をフォローするのではないような「高度」な理解とか、 なんで一々普通に数学をやってる人をdisるような言い方をするんだろう。 664 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/21(金) 11:05:50.29 ] >>663 >悪いけど643にある個々の具体的な独立命題に >「形式体系というものは……なものだ」みたいな意味は無いと思う。 そうなのですか？そうなら残念です． >こういう体系が不完全で独立な命題が必ずあることは不完全性定理で既に分かっている。 そういえば，不完全性定理は，独立な命題を一つ二つ具体的に構成していますが， 「独立な命題がなぜ生じるのか」については何も言えていませんよね？ >それにそれぞれの個々の独立性にはもっと豊かな数学的意味がある。 たとえばどんな意味でしょうか？（それはまさに定理外部の意味だと思うのですが） >単に、レーヴェンハイムの定理は一般の人にも興味をもたれやすい定理だ、 >というだけじゃないのかな。それを 通常のレーヴェンハイムの定理の表現では，むしろ一般の人は興味をもちにくい と思います． 下は本題でないし，こういう場では結構起きがちな口論？なので 敢えていちいち気にしないことにしているのですが， >「数学の内部に閉じこもっている人たち」には分からんとか、 「内部に閉じている人」はたしかに（結構沢山）存在していて そういう人たちには分かってもらいにくいのは事実ですよね． >定理の証明をフォローするのではないような「高度」な理解とか、 >なんで一々普通に数学をやってる人をdisるような言い方をするんだろう。 「高度な」とは一言も言っていないです．高度か低級かなんてことには 関心がないんです．それに普通に数学することを批難するつもりもないんです． だけど，外部もありますよ，と言ってるだけです． 665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/21(金) 11:16:55.80 ] 単に自分好みの解釈を求めているだけだから。 待ってるのに来てくれないから。 666 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/21(金) 11:31:31.37 ] ＞高度か低級かなんてことには関心がないんです．それに普通に数学することを批難するつもりもないんで >>654の 「機械でもできる理解」とか「受動的な理解」ってのは何なの？ 667 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/21(金) 11:43:25.89 ] >>666 >「機械でもできる理解」とか「受動的な理解」ってのは何なの？ 何なの？ってどういう質問ですか？ まさかここでも，「機械でもできる」や「受動的な」を負の意味（批難の意味）に とらえているのではないでしょうね？そうではないんですよ． 668 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/21(金) 12:07:18.14 ] 避難や批判以前の話として意味不明だということだ。 君には難しすぎて理解不能かも知れないが… 669 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/21(金) 12:18:06.23 ] >>668 >避難や批判以前の話として意味不明だということだ。 >君には難しすぎて理解不能かも知れないが… ここにも現れているように， 結局，あなたは，「難しいことが理解できること」ことが自慢の人の 内部的な人なんでしょうね． 先にも言いましたが，こんな口論みたいなやりとりは私はもう止めますね 670 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/21(金) 13:24:10.47 ] 数学の内部で、他の定理や例や他の数学の分野との関わりにおける 意味と言うのは数学やる人も当然大事だと思っている。 「数学内部に閉じこもっている人」は証明をそのまま追うだけだから 機械でもできる受動的な理解に留まっていて こういう理解の仕方はあまりしないだろう、とか言われても、 普通の数学者はそうではないので、何を言っているんだ？ということになる。 なんか、自分が分かって貰えないのは、レスを返す人が 「数学の内部に閉じこもっている」からだ、と思ってるみたいだけど、 自分のレスが分かりにくかったり実態に即していなかったり、という可能性は考えないの？ 小平邦彦が書いていることだけど、或る定理を理解するには その定理の証明をきちんと理解することが前提になることがある。 >>643で書いてある独立命題についても、 重要なのは定理の内容それ自身よりも、寧ろ強制という証明手法だと思う。 このテクニック自体は集合論以外でも計算可能性理論や証明論などの他分野で応用がある。 >>669は「形式体系とはこういうものだ」という一般論を求めているようなので それじゃ満足しないだろうけどね。 671 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/21(金) 14:13:54.70 ] >>670 最初の３つのパラグラフはもともと同意です． それに，これと同じことは私の方からだって言いたいかもしれない． どちらにしても，私にとっては本題ではないです．こんなことはどうでもよいです． >或る定理を理解するにはその定理の証明をきちんと理解することが前提になることがある 「ことがある」ではなく，ほぼつねにそうでしょうね． ただし，「証明をきちんと理解する」が，証明を（写経するように）追うことで できるのでは必ずしもない（私の経験ではそれはむしろ下手なやりかた）とは 思います． > >>643で書いてある独立命題についても、 >重要なのは定理の内容それ自身よりも、寧ろ強制という証明手法だと思う。 >このテクニック自体は集合論以外でも計算可能性理論や証明論などの他分野で応用がある。 これは貴重なコメントです．ちょっと考えてみます． 「定理の内容よりも、強制という証明手法が重要」？ >それじゃ満足しないだろうけどね そんなことないですよ． 672 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/21(金) 14:54:03.41 ] これだけレスの応酬があって、「一般人が興味を持ちやすい説明」というものを頑なに例示しないのは何故だ 673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/21(金) 16:33:53.87 ] 理由は明白だ。自分でも理解できていないからだよ。 674 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/21(金) 18:27:07.75 ] 「機械”でも”できる」を負の意味に捉えないでくれって言われても、ニュートラルな表現ではないからねえ。 「一般人が興味を持ちやすい説明」ってのは必ずしも自分の言葉じゃなくてもいいんだよねー。 ○○の定理についてこのサイトではこんな説明がされてて、有意義で分かりやすいと感じた、でもいいし。 それすら示してくれないのは残念だね。 675 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/21(金) 19:16:37.13 ] 言うとすれば自分の言葉で言うしかないようなものですが， お分かりのようにここはいろんな意味でその適切な場ではないですね． それに，独立性命題についてなど，まだ見えない部分もありますので． なお，「一般人が興味を持ちやすい説明」というのは， 「一般人のツールになる説明」と言ったほうがいかもしれません． 676 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/21(金) 19:20:13.53 ] >>675 独立性命題の説明じゃなくて、 ＞不完全性定理やレーベンハイムの定理などの場合は，論理や集合論の外部の ＞一般人にとっても有意味な形で記述することができると思うのですが， これら↑について例示してほしいのだけど ＞お分かりのようにここはいろんな意味でその適切な場ではないですね． ここには「数学の内部に閉じこもっている人たち」しかいないから？ｗ 677 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/21(金) 19:36:59.84 ] > なお，「一般人が興味を持ちやすい説明」というのは， >「一般人のツールになる説明」と言ったほうがいかもしれません． 曖昧な言い換えを繰り返してもどこにも到達しないよ。 自分ば言いたいことを、一般人にも理解できる言葉や具体例で説明することから 始めるのが良いでしょう。 678 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/21(金) 19:53:31.47 ] >>675 適切な場所ではない、だって？ 自分が質問するのは構わないが、同じ主題で自分が答えるのは適切でない、と？ 679 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/21(金) 20:32:45.07 ] >>676 >これら↑について例示してほしいのだけど そんなに興味がおありなら，yes/noくらいでなら答えられます． >>678 なにも変ではないと思いますが． 私が質問しているときも，答えられる範囲で答えてくれることを 期待しているだけです． ほら，つまらない口論の場になってるでしょ 680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/21(金) 20:36:13.01 ] 完全に喧嘩腰 もういいわ 681 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/21(金) 20:37:56.99 ] >>679 いや、非常に興味があるし、もしかしたら自分の見識を広められるのかもしれないので、 yes/noくらいでとおっしゃらずに ぜ　ひ　教　え　て　く　だ　さ　い！ 682 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/21(金) 20:39:07.04 ] 結局、口論がしたかっただけなのかもな、この人は。 683 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/21(金) 20:52:36.51 ] とんだアルゼンチン野郎だ！ 684 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/21(金) 21:29:37.63 ] 目標：数学基礎論の諸定理に隠された意義を明らかにする 方法：基礎論・論理学スレでヒアリング 成果：数学の内部に閉じこもった者たちの無理解に阻まれ、当初の目的は達成できず。 評価：設定した目標は達成できなかったが、つまらない口論を避けるためにはやむを得なかった。 　　　　部外者を排除しようとする数学者の動機の存在を確認できた。 685 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/21(金) 22:10:02.37 ] こういう人は、他人から理解されないとその分だけ自身の正しさを確信していくから、この結果に満足してると思うよ。 686 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/22(土) 07:18:29.90 ] おのれのつまらないプライドを守るためには、 おのれの殻に閉じ込もり、 「おれを理解しない奴らが馬鹿」というおまじないを唱え続けるのが ベストです。 矮小なプライドを守る代償として人生を失うことになりますが。 687 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/22(土) 08:43:15.94 ] プライドなのか飯の種なのか。 例示が無いのは持ち駒を潰されることを避けるためだろう。 688 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/22(土) 09:12:07.75 ] その程度じゃ飯を食ってけんよ 689 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/23(日) 06:19:07.35 ] オカズってことじゃないの？ 690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/23(日) 10:35:52.38 ] 村上陽一郎とかそういう人だっけ？ 691 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/23(日) 21:48:50.85 ] せこい人間だったな しょーもない 692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/23(日) 22:01:24.35 ] なんでここで村上陽一郎が出て来るのか分からん 693 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/23(日) 22:04:56.85 ] 南部陽一郎 694 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/23(日) 22:56:15.66 ] ゴールドストン 695 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/28(金) 02:11:44.26 ] 質問です。 数理論理学で修士号を取るためには、専門の数理論理学以外の数学の基礎知識はどこまで必要ですか？ 696 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/28(金) 22:03:11.19 ] 「数理論理学修士」（正確には「修士（数理論理学）」かな？）というものは、 現在の日本ではたぶん存在しない。 あるのは、理学研究科所属の先生が数理論理学をやっていて、その下でとる「修士（理学）」とか、 工学研究科所属の先生が数理論理学をやっていて、その下でとる「修士（工学）」とか、 文学研究科所属の先生が数理論理学をやっていて、その下でとる「修士（文学）」とか、 、、、他同様。 数理論理学以外の知識として何をどれだけ要求するかは、先生に依存する。 697 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/29(土) 00:01:20.71 ] >>696 馬鹿かこいつ 微分幾何学修士も群論修士もないわ 698 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/29(土) 22:09:26.31 ] しかも質問には答えてねえし 699 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/29(土) 22:13:26.65 ] >>695はたぶんこいつ ai.2ch.net/test/read.cgi/math/1395942865/ 700 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/30(日) 03:09:20.17 ] 一番最後で答えてると思うが 701 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/30(日) 08:19:29.07 ] >>695 修士論文を書ける専門能力以外に、必要な学力とは： （１）大学院入試に合格する学力。 （２）大学院修了に必要な授業単位を取得できる学力。 だと思いますが。 702 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/03/30(日) 08:50:16.42 ] 学費を払う経済力は？ 703 名前：１３２人目の素数さん [2014/03/30(日) 23:12:32.06 ] >>701 このご時世、(1)も(2)もほぼゼロだがな 704 名前：名無しさん＠大阪商業大学 [2014/04/02(水) 01:11:45.25 ] Jean van Heijenoortってどのくらい有名ですか？ 705 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/11(金) 23:45:27.90 ] メタ数学って結局数学なの？数学じゃないの? 706 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/11(金) 23:53:08.22 ] 数理論理学では、「理論」とか「モデル」とか、 「数学」のおもちゃのミニチュア模型みたいなものを作って その性質を調べるようなことを良くします。 その際に研究対象のミニチュア模型を調べる時に使う普通の数学のことを、 研究対象となる「数学」と区別してメタ数学と言います。 つまりメタ数学は普通の数学です。 707 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/11(金) 23:55:42.45 ] >>706 調べる対象が「数学」なだけで、実体は普通の数学だと言うの？ 推論規則は同じだよね？ 公理は明示されてないようだけど、算術の公理一式ってこと？ 708 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/12(土) 00:00:16.64 ] それは場合によって違う。 証明論とかは普通の算術であることもあるけど、 モデル理論とかだと集合論を仮定したり、連続体仮説を仮定すると どういうことが言えるかを調べたりとかまでする。 いずれにせよ、最近ではメタ数学は有限の立場じゃないといけないのかどうかとか、 メタ数学で排中律を使って良いのかどうかとか、そういう問題意識はあまり流行らない。 709 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/12(土) 00:05:46.30 ] 「証明論とかのメタ数学は普通の算術であることもあるけど、 モデル理論とかのメタ数学だと集合論を仮定したり、」ってことね 流行らないと書いたけど、そういう研究はそういう研究でちゃんと研究されてるみたい。 ただし数学科というよりも哲学科や情報科学科とかのロジシャンが研究してることが多いけど。 710 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/12(土) 00:08:12.71 ] >>708 よくわかりました。 「○○を仮定すると〜」は数学的でわかるけど、「△△でなければならない」なんてのは 一体何の議論？って感じで馴染めない。 711 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/12(土) 00:26:12.15 ] あーでも証明論はよくわからないな。 実際の数学の証明に応用することがあるんなら、どんな仮定が入ってるのかが問題な気がする。 712 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/12(土) 00:47:23.56 ] >>711 実際の証明に応用される証明論の結果なんてあるの？ 原理的には公理に推論規則を淡々と適用してくだけなんだし。 7+5=3*4を示すのに算術なんていらないのと同じ。 713 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/12(土) 08:00:26.43 ] 前原昭二『記号論理入門 新装版』は入門として良い本ですか？ 714 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/12(土) 12:28:21.98 ] >>711 wikipediaに”不変条件”って項がある。 そこに書いてる、「MUパズルでMU を作ることができないことを示す方法」が有効だってことは認める？ 715 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/12(土) 23:06:42.01 ] >>714 こういうのは一番わからないな。 有効か無効かで答えれば「無効」。 716 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/13(日) 18:55:41.80 ] >>715 算術の命題をMUシステムのメタな言明に翻訳したら「MUパズルでMU を作ることができない」となります。 あくまで算術の応用であり、その適否は各人が自由に判断してください。 と言ったら満足するの？ 717 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/13(日) 19:14:39.82 ] あんたが何を主張してるのか意味不明だな。 証明論が実際に数学の証明に役立つ、という主張をしたいなら MUパズルなんかではなく数学の具体例を出す必要がある。 証明論がおもしろいからやってるだけだ、文句あるか！？ というのであれば誰も文句はない。 718 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/13(日) 19:20:29.26 ] >>717 安価つけろや 719 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/13(日) 20:36:31.86 ] 誰も証明論が実際に数学の証明に役立つなんて言ってないようだけど。 720 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/13(日) 20:55:04.36 ] 発端の>>711がそもそも不明確なレスだからなあ とりあえずMUパズルは直接関係無い気はするけど 721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/13(日) 21:17:54.08 ] wikipediaにあるMUパズルに書いてる考え方ってどういう位置づけなの？ 実際の証明論とはかけはなれたことなのか、それとも典型的で簡単な例と捉えるべきなのか。 722 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/13(日) 21:44:11.80 ] 論理学も数学もあまり知らない 一般の人向けの大雑把な説明としては良いんじゃない？ スマリヤンのゲーデル関係のパズル本とかにも 似たようなもっと複雑なパズルが結構載ってるから 典型的で簡単な例と考えても良いんじゃないかと思う。 良く知らんけど。 723 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/13(日) 23:01:15.24 ] 出題します。 「落ちる」「受かる」を互いの否定命題とする。 このとき、次の２つの命題は互いに否定命題であるか？ Ｐ「Twitterばっかやってたら落ちる。」 Ｑ「Twitterばっかやってても受かる人は受かる。」 724 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/13(日) 23:03:52.47 ] 馬鹿は落ちる 725 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/13(日) 23:35:25.79 ] >>722 MUパズルのとこの説明は非常に簡便だけど、これが何かの証明になっているかと聞かれたらNOだよな。 本格的な証明論の内容はよく知らんけどｗ 726 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/14(月) 04:57:35.58 ] そもそも何のつもりMUパズルなんか持ちだしたのかわからん。 持ちだした本人には何らかの意図があったはずなんだが。 727 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/14(月) 12:10:18.91 ] >>726 >>722の言う通りに典型的で簡単な例として出したんじゃない？ 728 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/14(月) 12:44:26.40 ] >>727 何の例なんだ？ 数理論理学や証明論との関係が見えないのだが。 729 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/14(月) 13:05:07.30 ] 証明論の例だろ 730 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/14(月) 13:25:22.21 ] >>729 証明論について根本的な誤解をしてるようだね。 入門書でも読めばいいんじゃねーの。 731 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/14(月) 14:37:52.38 ] >>730 俺の持ってる入門書ではMUパズルと同じような議論してるぞ。 証明図のdegreeとかrankとか。 どう根本的な誤解なんだよ？ 732 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/14(月) 20:21:27.10 ] このパズルみたいな簡単な不変量じゃないし 厳密にいえば不変量でもないけど、 subformula propertyとかcut除去とかは式の複雑さが 単調に増加していくということだから、似た空気ではあるよね。 逆に順序数の単調減少な量を定義するというのもよくあるテクニック。 ただ証明論についてあまり詳しくないから 「同じような議論」とまで言えるかどうかは分からんけど。 733 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/14(月) 20:28:28.51 ] >>732 > subformula propertyとかcut除去とかは式の複雑さが > 単調に増加していくということだから cut除去ではcut論理式の複雑さを減らしていくことで cut除去プロセスの停止性を保証するのでは？？ 734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/14(月) 20:45:54.28 ] 根本的に誤解してるポイントが何なのか明らかにしてよ>>730 735 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/14(月) 23:12:15.51 ] 結局は算術、そして結局は帰納法。 そこまで言っちゃえば「同じような議論」。 >>730の意図はわからないけど。 発端の>>711と>>715と合わせて全体の意図がよくわからない。 736 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/15(火) 09:37:55.37 ] >>735 > そこまで言っちゃえば「同じような議論」。 そうなんだよな。そこまで言っちゃえば、数学も証明論もMUパズルも全部一緒。 737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/15(火) 23:28:15.17 ] Pour-El=Kripkeの定理って驚愕の定理みたいに書いてあることあるけど、 扱ってるのが本質的に可算で無原子的なブール代数であることを考えると ブール代数として同型になるというのは 当時から良く知られていた事実のはずでどこが驚きどころなのか分からん どっちかというとどういうときに成り立たないかの方が数学的には興味ある内容だと思う 738 名前：科学史・科学哲学 [2014/04/19(土) 05:12:52.35 ] 非常にばかばかしい質問かもしれませんが、お答えください。 数学基礎論・数理論理学で博士号を取るためには、数学基礎論・数理論理学以外の数学をどの程度知る必要があるのでしょうか？ たとえば経済学ならば、経済史で博士号を取ろうと思えば理論経済学の知識は(むろん必要ではありますが)それほど深くは要求されません。 数学基礎論・数理論理学もそのような特殊な分野でしょうか？ 数学基礎論・数理論理学で博士号を取る場合に必要とされる他分野の知識は、 修士なみ 学士なみ 学部教養なみ 学部入試なみ これのどれくらいにあたるかおしえてください。 739 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/19(土) 08:23:03.34 ] 扱っている内容によるし分野による。 たとえば証明論や非古典論理とかをやるなら現代数学より 計算機科学とかの知識の方が役に立つかもしれません。 数学史を研究するときに現代数学の知識が要らないのとは違って 厚生経済学を学ぶのにマクロ経済学の知識があまり要らない （のかどうか知りませんが）というような感じに近いと思います。 740 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/19(土) 09:18:48.60 ] 証明論も非古典も数学使うよ 計算機の側がそれらを道具として使うだけで どっちも学部程度の数学知らないと研究できない （見かけは数学を使ってないように見えるだろうけど 741 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/19(土) 13:16:38.26 ] 学部程度の数学っていうか、帰納法だけでやっていけるような、、、、 742 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/19(土) 13:18:17.50 ] 応用数学だけどね 743 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/19(土) 14:37:40.00 ] 基本的には数理論理も数学なので 他の数学の分野と大きく違うということは無いとは思う まあ非古典論理の研究とかは数学的に高度なことをしたから 良い研究と言う訳でもないとは思うけど 744 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/19(土) 14:55:27.21 ] 一般教養レベルの数学は最低限必要ですね。 微積分、関数論、線型代数、集合、位相。 これくらいは常識レベルとしてください。 数学基礎論や数理論理学を専攻するのであれば 実数論とかガロア理論も知っておく必要があるし、 また、測度論についても知っておく必要があるでしょう。 上記以外については研究動機やテーマによりますので 指導教官に相談してください。 745 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/19(土) 22:56:34.78 ] 実数論って微積分の一部じゃないの 746 名前：科学史・科学哲学 [2014/04/19(土) 23:01:08.05 ] >>744 「一般教養レベル」とは学部2年修了レベルですか？ 747 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/19(土) 23:56:22.24 ] ちょっとでも余計なことは意地でもしたくないみたいだな 748 名前：科学史・科学哲学 [2014/04/20(日) 01:05:37.88 ] >>747 そりゃあそうでしょう。数学基礎論・数理論理学をやりたいのだから、それ以外のことは最低限必要な範囲にとどめたい。 749 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/20(日) 01:09:39.71 ] なら師事する先生に尋ねるしかないな 750 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/20(日) 07:17:58.39 ] 研究に向いてないと思う 数学基礎論・数理論理学やるのに 学部程度の数学やりたくないとか話にならないから 哲学系の林さんも幾何学なんかまで知ってるから 751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 07:29:25.17 ] 式遊びでもやってろ。 752 名前：科学史・科学哲学 [2014/04/20(日) 08:11:40.35 ] >>750 >数学基礎論・数理論理学やるのに >学部程度の数学やりたくないとか話にならないから なんで？専攻範囲以外は必要最低限にとどめたいというのは当たり前でしょ？ たとえば、日本経済史の研究で経済学博士を取りたい場合、ミクロ経済学の知識は学部レベルですらいらないよね。 それと同じようなこと。いらないことはしたくない、早く本丸に取りかかりたいということ。 753 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 08:53:11.52 ] こんなところで油売ってないで さっさと本丸にとりかかってください。 754 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 08:58:27.67 ] その必要最低限の範囲ってやつが事前に確定できると思ってんのか？ 755 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 09:04:58.18 ] ゆとりなんだろう（笑） 756 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 09:16:16.70 ] ＞>>747 そりゃあそうでしょう。数学基礎論・数理論理学をやりたいのだから、それ以外のことは最低限必要な範囲にとどめたい。 違うな。お前は数学基礎論・数理論理学をやりたいのではない。 「博士号」という称号が欲しいだけなのだ。 数学が好きで好きでしょうがない人間でなければ、 博士号まで息が持たない。 お前には無理だよ。 757 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 09:27:36.92 ] >>756 それは 数学基礎論・数理論理学が数学に含まれることを前提としてるね。 多分>>752の認識は違うんだろう。 758 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 10:44:10.03 ] なんで>>752が経済史を例に出すのか分からんけど 数理論理というのがあくまで数学の一分野であって 16世紀数学史とかそういう歴史の研究とは全然違うというのは分かってる？ 数学史をやりたいならここじゃなくて数学史やってる人のところで聞いた方が良いよ 759 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 10:50:19.25 ] それどころか一種の応用数学。 数学のあらゆる分野が必要になる可能性あり。 760 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 15:26:35.58 ] 必要になったら勉強するという態度でも何とかなると思うけど、 勉強する範囲を限定するのはムリだろ。 特に数学基礎論・数理論理学なんて適用範囲広いんだし。 761 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 15:36:06.74 ] 必要になったらその都度勉強します というスタンスの人は>>738みたいなことを書かないもんな 762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 22:35:32.06 ] >>752 > なんで？専攻範囲以外は必要最低限にとどめたいというのは当たり前でしょ？ > たとえば、日本経済史の研究で経済学博士を取りたい場合、ミクロ経済学の知識は学部レベルですらいらないよね。 > それと同じようなこと。 全然違う。 今でも日本だけが数学基礎論って時代遅れで哲学っぽい（裏を返せば数学っぽくない）呼び方をしてるが 世界中での常識的な呼び方としてのMathematical Logicつまり数理論理学は 論理学で現れる諸概念を研究の題材としてるだけで道具立ても手法も 代数学や幾何学などの通常の数学とほとんど何も変わらない。 それらの道具を適用する対象が違うだけ。 だから現代において数理論理学で良い仕事をしようとすれば現代数学のさまざまな道具を身に着けておくのが不可欠。 時代遅れの哲厨くずれな人間が基礎論屋を気取って棲息する余地なんてのは現代の高度に技術化され抽象化された 数理論理学には残ってないんだよ。 日本から数理論理学で良い仕事が出ない理由は相も変わらず「数学基礎論」なんて哲厨な名前を有難がってるから。 海外で数理論理学の教科書のタイトルに"Foundations of Mathematics"なんてのを使って出版するなんてのは今や有り得ない.。 日本だけだよ、「基礎論」とか"Foundations"って言葉を今でも素人ファンじゃなくてプロの数理論理学屋が有難がって使うのは。 763 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 23:12:17.02 ] 大したロジックだね 764 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 23:22:19.40 ] 「数学基礎論」という字面に哲学臭さなんてあるか？ 教養課程の科目名みたいだとは思うけど 765 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/20(日) 23:54:36.44 ] >>762 素人ファンはどうすりゃいいんだよ？ 766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/21(月) 00:12:08.42 ] おかしいと分かっていても一度普及した呼び方は変え難いんだよね 適切な呼び方を新しく考えだしても相手に通じなければ意味がないし、 逆に変な呼び方であっても相手に通じるのであれば問題ない 昔の化学では「質量作用の法則」という奇妙な訳語があったのを覚えてる人もいるだろう マスゲームを「質量ゲーム」と訳すようなもんだ 今ではまともな訳語に直ってるけどね 767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/21(月) 00:18:46.01 ] 完全性定理と不完全性定理では「完全」の意味は異なるが呼び方を使い分けようとは誰もしてない 768 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/21(月) 01:33:09.02 ] 完備性定理ぐらいにして欲しいよね。 769 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/21(月) 07:38:54.20 ] ＞海外で数理論理学の教科書のタイトルに"Foundations of Mathematics"なんてのを使って出版するなんてのは今や有り得ない.。 Kunenがつい最近出してたけど…… 770 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/22(火) 08:45:24.79 ] 岩波文庫の「不完全性定理」って今、 書店で手に入れることできますか？ 771 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/22(火) 17:14:02.61 ] 絶版にはなってないから、売ってるところでは売ってるだろ だが、そもそも岩波なので最初から入荷してないトコロもおおいし 取り寄せもへたすりゃ断られるかもよ おとなしく amazon で買ったほうがいい 772 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2014/04/24(木) 19:16:42.98 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　私は死なないわよ。 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　 でも最近一寸太ったかしら。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　 　　　　Windows ver.10 で　　　　 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　元の痩せた姿にしてよね。 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼　　　　　　　　　　 　　　 .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 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23:48:49.75 ] 再帰的可算な理論の全てを解釈できるような再帰的理論ってありますか？ 781 名前：１３２人目の素数さん [2014/04/27(日) 10:43:49.70 ] 解釈できる、とは、どういう意味ですか？ 782 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/04/27(日) 22:06:30.07 ] >>770-771の岩波文庫が丸善にあったので買ってみた。 第6章にこうある。 また、多くの数学者は、彼らの「社会基盤」である共通言語としての集合論に、認識論的な安全性などは求めていない。 集合論が数学の本質とも考えていない。多くの数学者は、集合論を数学を記述しやすい言語、つまり、道具と考えており、 数学の本質はそれ以外にあると思っている。集合論は、いわば価値に対する貨幣である。 それが「表現」する価値にあたる「真の数学」は、どこか別のところにある。これが多くの数学者のメンタリティーであり、 そのことは、第二次世界大戦に公理的集合論を数学の基礎の実質標準とすることに貢献したフランスの数学者集団 ブルバキの見解に、見事に表れている。 ブルバキは、公理的集合論を数学の基礎としながらも、 「もし、未来にそれが破綻しても数学は必ずや新しい表現を見つけるだろう」という信念が、数学者を落ち着いた 気持ちで仕事に専念させるのだと書いたのである。 783 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2014/04/28(月) 17:58:04.93 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　　私は死なないわよ。 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　 でも最近一寸太ったかしら。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　 　　　　Windows ver.10 で　　　　 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　元の痩せた姿にしてよね。 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼　　　　　　　　　　 　　　 .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 784 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/05/01(木) 14:05:40.75 ] 体の理論を含む体系において∀x(inv(x)=inv(x)⊃¬(x=0))は証明可能ですか？ 785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/05/16(金) 18:32:42.38 ] RCFは完全だそうですが，加法単位元の定項記号0，逆元の関数記号^{-1}に対して，0^{-1}=0は証明可能ですか？ 786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/05/17(土) 08:48:32.89 ] RCFは環論の言語L_ringで書かれた公理系で x≠0→∃y. x・y = 1 などの公理を満たすもの、 というふうにモデル論の教科書には書いてあるよ。 785が参照した本ではどうなってる？ 787 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/05/20(火) 22:43:07.22 ] お返事遅れてすみません． わたしが見た本にも関数記号^{-1}を使ったものはありませんでした． つまり，これ使って公理を∀x. x≠0→x・x^{-1} = 1 と書くのはまずいということですか？ 788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/05/21(水) 21:23:55.41 ] そのように書いても理論にはなるけど、 そう書いたら0＾(-1)の値については公理系で一切言及されず、 どう決めてもどうでも良い、ということになる。 本質的には一つに定まるはずのモデルが、0の逆元を 便宜上どう決めるかだけの為の不定性のために 互いに同型でないいろんな構造が出来たりしてしまうので、 モデル理論的には相当都合が悪いと思う。 普通の代数学として考えても気持ち悪いし。 789 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/05/21(水) 23:28:26.54 ] ∀x. x≠0→x・x^{-1} = 1 に加えて 例えば0^{-1}=0も公理とすれば完全性は保たれますね． 790 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/05/22(木) 21:27:25.66 ] 完全性ってどういう意味での完全性？ 791 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/05/22(木) 22:28:08.46 ] 任意の閉論理式またはその否定が証明可能という方です． 792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/06/30(月) 01:27:09.48 ] イラストレーターで収入が少ないからと30代後半で漫画家になろうとする、ひきこもりのバカ発見。 足立区に住んでいるそうだ inumenken.blog.jp/archives/6609090.html 793 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/01(火) 15:20:47.40 ] 数学や論理学は絶対的な確実さを持ってるよね ただ科学は帰納をその基礎に置いてる それを自覚する頭のいい人間なら その観点で断定的な話はあまりしないだろうね 自然科学 →実験データの結果 社会科学 →客観的な事実の集合 論理学 →論理的な整合性 数学 →論理的な証明による実証 バカ →論拠なしの妄想？ 学のなさってこういうところで出るよね 論外って言葉を知らないらしい 794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/01(火) 20:44:59.51 ] 数や図形や論理の概念は、「合理的」、 つまり生物の生き残りのために有利な道具になるからこそ生じて 発展してきたんじゃないの？それを正しいと言って良いんだろうか 数学や論理学の真理はなぜ正しいのかと言うと、 それを正しいと規約するからとしか言えないんじゃないか あと自然科学と社会科学を793のように風に区別するのは変だと思う 795 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/01(火) 21:11:47.31 ] 社会科学を客観的な事実の集合と思っているのなら、認識を改めるべき。 アンケート調査なんて文面の解釈に幅があるし、国勢調査でもない限り、必ず調査対象に漏れがある。 さらに、これらの不備の大元には人間の心理的・文化的・世相的・etc...な曖昧で捉えどころのないファクターが絡んでおり、 確率的に予測することすら不可能ときてる。 796 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/01(火) 21:27:31.03 ] >>795 実証的学問としての社会科学を舐めてはいけない。 一つ一つは僅かな手掛かりを膨大に積み重ねて事実を確定していく作業はそんなにあやふやなものではない。 797 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/01(火) 21:32:48.75 ] それってつまり一つ一つは客観的ではないってことでは 798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/01(火) 21:33:14.24 ] 憲法解釈を変更して集団的自衛権の行使を容認する 799 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/01(火) 21:59:44.28 ] >>797 数理パズルの大部分は客観的ではないことになるな 800 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/01(火) 22:01:02.96 ] なんでそうなる 801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/01(火) 22:43:08.13 ] 社会科学だから 802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/02(水) 06:45:28.03 ] Nik WeaverのForcing for mathematicians面白そうだね forcingの理論についてはどれくらいself-containedなんだろう？読んだ人居る？ 803 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/02(水) 18:53:11.00 ] 神戸大学のサマースクールで強制法の講座があるみたいだね。 kurt.scitec.kobe-u.ac.jp/~fuchino/set-theory2014/kisoron-summerschool-14.html 804 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/07(月) 22:52:57.70 ] 強制法って、なんか無理矢理やらされるっていう語感がやよね 805 名前：学習院の学部生 [2014/07/28(月) 21:10:10.76 ] Graham Priest教授の論文(dialetheism)を読んで衝撃を受けました。 数理論理と哲学的論理をきっちり勉強したいと思います。 806 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/28(月) 23:24:50.74 ] 最近Jechの強制法のところを証明はほぼ全て飛ばして眺めてて やっと強制法が何をしているか大体のところが（数年越しに！）分かって来た。 ブール値モデルとかを齧りもしないで （Cohenのオリジナルじゃなくて現代的な）nameの超限再帰的定義とかを 始めて読んで何をやりたいのかピンとくる人は天才だと思う。 genericityは未だに謎。どうも代数位相幾何とか代数幾何にも 同じgenericという似た概念があるらしいけど、そっち方面は知識無いから分からん。 807 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/31(木) 07:53:32.64 ] 俺もかれこれ強制法の名を聞いてから4年は立つのだが いまだにジェネリックフィルターの後がついていけない 難儀なものである しかし強制法は今や現代数学最大の武器、使わざるをえまい！ 808 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/31(木) 08:02:29.38 ] >>805 すまぬが、具体的にプリーストのどの論文に衝撃をうけたのか 御教示願いえないだろうか？ わしはプリーストの非古典論理を安価で手に入れ勉強した記憶があるのでな >>804 強制法はForcingどうやら本来はゴリ押しという言葉に近いそうじゃ >>803 注目しておる >>799 文章題に関しては複数に問題を解釈ができるものである 809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/07/31(木) 08:21:07.60 ] お薬ジェネリックにしますか？ 810 名前：１３２人目の素数さん [2014/07/31(木) 12:25:15.27 ] >>808 >>799へのコメントは意味不明だ 811 名前：806 mailto:sage [2014/08/14(木) 20:45:19.05 ] >>809 田中一之先生が、米国留学したらデカイ看板に generic filterの宣伝がされていてさすがはロジックの先進国だと思ったら ノーブランドの煙草のフィルターのことだったとか冗談を書いてたね。 でも集合論のgenericってのも割とそういうニュアンスっぽいんだよね。 体の超越拡大の超越元とかと似たような感じで、 Mのある要素との関連が別の元との関連より深いようなことがなくて、 "ノーブランド"だ、みたいな雰囲気。 あとどうも強制概念の実例を色々勉強して、 それぞれの場合でgenericであることから何が言えるか 見てみるのが理解の早道っぽい。 JechにCohen forcingでGがgenericであることから Cohen実数∪Gがω上の全域関数であることが結論する、 とか書いてあるのはそういう意味だと思う。 812 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/15(金) 23:31:41.97 ] では強制法について解説しよう！ 連続体仮説はω1＝2^ω0だった。 ω0の次に大きなものが2^ω0であることはわかっている。 ω1は非可算である。 さて、ω0とω1の間の無限を取り出すとしよう！ 813 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/15(金) 23:35:31.91 ] つまるところ ω0とω1を使ってω0.5をつくってみよう、 だだし直接表現できないので間接的にやりたいがためである。 やっぱ挫折 このサイトがわかりやすい samidare.halfmoon.jp/mathematics/Forcing/index.html 814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/15(金) 23:45:08.03 ] (･∀･) 815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/16(土) 00:12:47.74 ] そのサイト、3ページ目みて何でこんなに分かってないのに 自分が強制法の解説できるつもりになれるのかと小一時間（ｒｙ なんか圏論スレとかでも似た奴居たけど 816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/16(土) 05:30:22.89 ] 強制法についてちょっと面白いのは、基礎論嫌いだった Bourbakiが考えたfilterという概念が集合論で一番活きているということ （尤もfilterの考案者のCartanはさほど嫌いじゃなかったようだが）。 それからもっと面白いのは、 Cohenは最初かなり構文論的なものとして考えていたのを Solovayとかがブール代数値モデルを使ったものとして整備して、 さらにShoenfieldがブール代数を経由せず直接モデルを拡大する （その代わり何をやってるのか大変分かりにくい・但し 半順序の自由度を最後まで殺さないので使いやすい） 方法を考え出した。つまり内包→外延という順序になっている。 Cohenは後年にあれはもう自分が考え出した強制法じゃない、という態度であったらしいが、 面白いのが、実はCohen自身がGoedelのLの理論は 公理から要請される操作の閉苞を取っているだけで、数学ではよくある議論なのに 無意味に構文論的にごちゃごちゃした議論をしている、という （正に的確な）感想を当時から持っていたと言うこと （"The discovery of forcing"だったか"The origins of forcing"だったかに書いてある）。 つまりどちらも最初に内包的手法で見出されて後に外延的に明快に理解されている。 普通、現代数学では先駆者の幾何学的な明快なイメージがあって あとから代数学的・構文論的で厳密な証明が付いてくるという 数学観を持っている人が多いが、最先端の茫漠とした未知の世界で 真に新しいものを探求するときは案外逆のパターンが多い、と言う一例になっている。 これは他の分野でも同じことだと思うけどね。 817 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/16(土) 05:58:07.27 ] >>816 最後の段落は数学をよく知らない人の印象でしかない。 「数学者の名声は、その人の行ったまずい証明の数に比例する」って言葉もあるくらい、先駆的な論文はゴチャゴチャとしている。 竹内外史はソロヴェイのブール代数値モデルを「天才のアイデアの平凡化」と言っている。 818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/16(土) 06:57:16.40 ] 本当に、Cohenがどうしてあんな驚異的なテクニックを思いついたのかが知りたくて 色々Cohenの書きものなんか読んだりしたけど、未だに良く分からないんだよね ただ、Cohenは代数位相幾何（ジェネリック性）とか Bourbakiの位相の理論（フィルターとか）とかの いわゆる「普通の」数学の素養がロジックの専門家よりずっとあったから forcingに到達することができたのではないか、という気はしてるけどね。 819 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/16(土) 07:02:19.98 ] >>805 こんなのがあるよ、きちんと到着して、まだ読んでない状態だけど。 www.amazon.co.jp/dp/product/1848900406/ www.amazon.co.jp/dp/product/1848900414/ >>816 idealを代数で、近傍を位相で使っていればfilterがでてくるのが自然。 ブルバキ同人は基礎論ぎらいでなく 基礎論に詳しいエルブランが早逝したから基礎論が不得意。 820 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/16(土) 07:11:52.17 ] ヴェイユとデュドネが基礎論嫌いだったのは割と大きいと思うよ 彼らの書きものには、数学基礎論は他の数学の分野とは 全然関係ない分野で、まともな数学者はこういうことには煩わされない、 みたいな（俺らが読むとプチンと来ちゃうようなｗ）記述が結構ある 821 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/16(土) 07:19:45.26 ] >>817 数学の勉強が、既にある山道を登山するようなものだとしたら 数学の研究は、草ボウボウの道無き道を藪漕ぎして新しい道を切り開くようなものなんだよね。 真っ暗闇の中で目的物を探して手探りで進むようなものだ、とか言う人も居るけど。 実はこの二つはかなり別のもので、 それを理解できないで大学院を終えてしまう人は東大にも京大にも多い、 ということだと思う。 822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/16(土) 07:28:57.51 ] >>817 未解決予想を立てる人は、しばしば定理の証明以外の 全てを完璧に見通している、みたいな文章もみたことあるけどね。 幾何化予想とかは割とそんな感じだと思う。 先駆者の直観は、後世の整理された理解より 遥かに混沌に満ちている、ということなんだろうか。 823 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/16(土) 08:02:20.62 ] >>822 「偉い人は全てお見通し史観」ってあるよね おかげでヒルベルトは哀れなピエロ扱いだ 824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/16(土) 08:18:49.04 ] 不完全性定理発見あたりの時代の歴史について 良く勉強するとヒルベルトが恐ろしく偉大な学者だったことが分かるんだけどね 林晋さんもそのクチだと思う 825 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/16(土) 08:36:29.26 ] あれか、先駆者・開拓者は問題と一見大して関係が深くなさそうでいて うっすら関係があるようなちょっと離れた周辺事項について 山のような知識を持っていて、そういう非常に重層的な視点から 定理や証明のあり方を探っている、ということなんだろうか 826 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/16(土) 22:00:28.26 ] 大学受験生です。証明論や計算論と其の周辺や、数理論理学に興味があります。 京都大学を志望しているのですが、工学部情報学科と理学部のどちらがカリキュラムが適しているでしょうか。 827 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/16(土) 22:03:18.02 ] そういうはっきりした目的があるなら、京理は除外を考えた方が良いでしょう 828 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/16(土) 22:41:56.46 ] >>826 東日本なら東北大 西日本なら神戸大 をお奨めします 829 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/17(日) 00:52:15.30 ] まだ大学以前なんだから、大学で色々学んで 少し興味の方向が変わるということもあると思うけど 数理論理で有名なのは寧ろ神戸の kurt.scitec.kobe-u.ac.jp/index-jp.html このグループだと思うけどね（ただ、計算論の専門家は居ないけど） 数学じゃなくて計算機科学に重点を置くのならまた違うんだと思うけどね 830 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/17(日) 08:33:09.44 ] >>813 の強制法の解説って正確なのでしょうか？ 831 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/17(日) 10:11:19.20 ] >>815を見よ 832 名前：826 [2014/08/17(日) 23:31:47.48 ] >>827-829 ありがとうございます。西日本に住んでいます。京都大学が近いです。 推論と計算の構造、論理の限界、計算量の質の違いなど理論的なことが気になりますが、 プログラミングやソフトウェアや人工知能などの工学的なことは殆ど興味がありません…。 工学的なことを勉強するくらいなら寧ろ、整数論やトポロジーや微分方程式などのほうが好きです。 情報学科に入って、実用的な授業ばかりだったらどうしよう、と悩んでいます。 役に立たない、とは思いませんが、興味がないとツラそうです。 理学部数理論理学科があれば理想なんですが…。 833 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/18(月) 00:15:16.02 ] いちおうRIMSには照井先生っていう それなりに有名な偉い先生も居る 京大出身じゃないから学部時代からどれくらい関わりが持てるのかは知らんけど 834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/18(月) 13:14:35.62 ] >>826 工じゃ数学の勉強は無理。 計算論も今や数学の基礎体力養わないと厳しい。 835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/19(火) 12:25:55.23 ] ぐだぐだ言わんと理学部行け 836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/19(火) 14:21:43.50 ] 数学科に行って勝手に本読みまくればええんやで 837 名前：826 [2014/08/19(火) 17:09:14.09 ] みなさん意見ありがとうございました。 判断しかねるので照井先生にも訊いてみることにします。 838 名前：狸 ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2014/08/20(水) 10:09:11.28 ] 狸 >20 ：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/08/17(日) 08:52:07.23 > 自然数の 0, 整数の 0, 有理数の 0, 実数の 0, 複素数の 0, ring の 0 を述べなくてはなるまい. > >25 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/08/19(火) 21:45:08.56 > 自然数の公理が知られている今は 0 は自明である. > Ring の範囲で自然数から複素数に拡大できる. > 公理的集合論で 0 をどう定義するかは集合論の事であり本来の数学の話ではない. > >27 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/08/19(火) 23:55:07.47 > 公理的集合論より前にも数学はある. > >29 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/08/20(水) 00:53:06.14 > Re:>>28 零の法則を満たす. a+0=0+a=a. > 839 名前：１３２人目の素数さん [2014/08/20(水) 22:15:14.55 ] 独立命題とは、その公理系から真偽決定不可能な命題で、 より高度な数学を用いれば解けるかもしれないんですよね？ それとも、どんな数学を使っても絶対に解けないのですか？ 840 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/20(水) 22:25:24.67 ] まずは真偽と証明可能反証可能の区別から 841 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/24(日) 04:56:56.22 ] 数理論理学の初心者です。 ShoenfieldのMathematical LogicとEndertonのA Mathematical Introduction to Logicとではどちらがおすすめですか？ 842 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/24(日) 08:43:48.84 ] Endertonの方が新しい分良いんじゃないの

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