- 1 名前：ひげまろ mailto:sage [2013/02/26(火) 18:26:08.36 ]
- 問.自然対数の底eが任意の整形式の二次方程式の解ではない事を証明せよ。
（ただしeが超越数であるという事実は用いない事）
e自身やe^2やe^3、、e^n（n∈Z）が無理数であるという事実は別の方法で初等的に証明可能なので使っても良いとする。
eが
e=lim(h→∞)(1+1/h)^h=Σ(k=0→∞)1/k!
を満たす数であること
d(e^x)/dx = e^x
であり
e^x=Σ(k=0→∞)x^k/k!
であるという事実だけから
a*e^2 + b*e +c = 0を満たす(a,b,c∈Z)は存在しないことを証明したいのですが可能なんでしょうか?
エレガントな解法がきっとあると思うんです。
e^ix=cosx + i*sinx
や
e^iπ＝-1
は使っても構いません。
eは超越数と言われますが、eはなぜ二次方程式の解ではないのですか?二次方程式の解は一般的に無理数であり、その集合は数直線上に稠密にあってeに限りなく近い無理数も含まれます。その数がなぜeと同じではないと言い切れるのか。
eが超越数であるという与えられた答えから矛盾を得るのではなく、ある整形式の二次方程式の解がeであってはなぜいけないのか簡潔に証明してください。
- 2 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/02/26(火) 18:42:32.80 ]
- ｸｿｽﾚ立てんな
二次方程式の解が√p + q(p,q∈R)であらわされる事を用いたら瞬殺じゃね、
とｵﾓﾀがうまくいかんかった。
- 3 名前：１３２人目の素数さん [2013/02/26(火) 18:44:07.54 ]
- 超易しい
- 4 名前：１３２人目の素数さん [2013/02/26(火) 20:13:17.82 ]
- おまんこ女学院
- 5 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/02/26(火) 20:22:39.43 ]
- > 二次方程式の解は一般的に無理数であり、その集合は数直線上に稠密にあってeに限りなく近い無理数も含まれます。その数がなぜeと同じではないと言い切れるのか。
その理屈は有理数にもあてはまるだろ
有理数の集合は数直線上に稠密にあってeに限りなく近い有理数も含まれます。その数がなぜeと同じではないと言い切れるのか。
- 6 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/02/26(火) 22:35:35.17 ]
- 連分展開でオワ
- 7 名前：１３２人目の素数さん [2013/02/27(水) 00:41:30.26 ]
- もし大学入試の範疇で解けるんなら良問だと思う。
- 8 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/02/27(水) 00:53:13.80 ]
- >>7
無理じゃないか。
- 9 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/02/27(水) 15:11:40.91 ]
- ae^2+be+c=0を満たすa,b,cが存在すると仮定する(a,b,cは整数 a≠0)
D=b^2-4ac とすると、Dは整数である
また、解の公式より
e=(-b±√D)/(2a)
整理すると
2ae+b=±√D
両辺を二乗すると
(2ae+b)^2=D
左辺は明らかに整数ではないがこれは右辺が整数であることに矛盾する
これじゃ駄目なの？
- 10 名前：１３２人目の素数さん [2013/02/27(水) 15:15:06.11 ]
- ラストの左辺が整数でないことを示す問題だろｗ
- 11 名前：１３２人目の素数さん [2013/02/27(水) 16:46:30.17 ]
- eを二乗して有理数倍してe自身の有理数倍を合わしたときそれが無理数である事はeが超越数である前提が無いなら自明ではない。
- 12 名前：1 ◆ZnBI2EKkq. mailto:sage [2013/02/27(水) 17:24:22.28 ]
- >>5
いえいえ有理数でないことは解ってるんですよ。
ウィキペディアにも載ってると思いますが、
e=Σ(k=0→∞)1/k!=p/qとおいて
両辺にq!をかけてやれば示せます。
>>6
さすがですね。目から鱗でした。
しかしながら、
連分数展開形式の違いを示してeの正則連分数展開は循環しない事を示せば証明できそうだけど
この場合の前提では示せねばならない補題が多すぎませんか。
ぱっと思いつく限りで示せねばならない補題は
・二次無理数の正則連分数展開は常に循環する事
・eの連分数展開を求めてそれがe自身の性質を全て満たし循環しない事
これができた時点で証明終わりとできそうですが、「二つの実数の正則連分数表記が一致しない事とその二数が一致しない事が同値」と示すには、あと重要な証明が必要で
「全ての無理数の正則連分数展開が一種類しかない事を示して元の数と一対一で対応する事」を示さなければなりません。
可能でしょうけど、それが示せなければeが複数の正則連分数展開を持つ可能性を潰せないですよね。
方針としては大変ですよね。もう少しエレガントな証明はありませんか?
>>7
問題がシンプルなんで大学入試の範疇でも証明できそうな気がするんですが、なかなか難しいです。
- 13 名前：1 ◆9bDYe58ke6 mailto:sage [2013/02/27(水) 17:25:44.97 ]
- ↑のトリップはテストです。こっちがホンモノ
- 14 名前：１３２人目の素数さん [2013/02/28(木) 11:25:08.06 ]
- 意外に難問だ。e^2が無理数である事すら証明できない。
- 15 名前：１３２人目の素数さん [2013/02/28(木) 14:53:30.87 ]
- eが超越数であることの証明
mathematics-pdf.com/pdf/e_transnum.pdf
これを少しいじれば・・・・・
- 16 名前：あのこうちやんは始皇帝だった mailto:shikoutei@chine.co.jp [2013/02/28(木) 19:13:03.68 ]
- ＞＞１５
２０代の、無職の、ごくつぶしがあああああああああああああ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
- 17 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/02/28(木) 22:07:44.01 ]
- >>12
eの連分展開の証明で簡単なものは1ページくらい（まあ
計算全部書くと大変だがｗ）で、高校数学でもできる話。
君の言う補題を「大変」と思うなら、大変だろうな。
なお、連分展開つかって、eの超越性は比較的簡単に
示せるので、その意味では二次方程式の解にないことを
示せる人は超越数であることまですぐにわかるという意味では、
簡単でないというのは確か。
- 18 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/02(土) 15:08:47.48 ]
- 有限マクローリン展開
e^x = Σ[m=0,...,n-1]x^m/m! + e^(θx)/n! (0<θ<1)
だけを使って証明できたよ
（証明）
ae^2 + be + c = 0 (a,b,cは整数,a≠0) と仮定すると ae + b = -ce^(-1)
∴a(Σ[m=0,...,n-1]1/m! + e^θ/n!) + b = -c(Σ[m=0,...,n-1](-1)^m/m! + e^(-θ)/n!)
ここで、P[n] := aΣ[m=0,...,n-1]1/m! + b + cΣ[m=0,...,n-1](-1)^m/m! = -(ae^θ + ce^(-θ))/n!
とおくと |(n-1)!P[n]| = |ae^θ + ce^(-θ)|/n → 0 (n → ∞)
(n-1)!P[n]は整数より、十分大きい任意のnに対して (n-1)!P[n] = 0 ∴P[n] = 0
P[n+1] - P[n] = a(1/n!) + c((-1)^n/n!) = 0 ∴a + (-1)^n c = 0
P[n+2] - P[n+1] = a(1/(n+1)!) + c((-1)^(n+1)/(n+1)!) = 0 ∴a + (-1)^(n+1) c = 0
この２式より a = 0 となり矛盾■
- 19 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/02(土) 19:52:50.35 ]
- >>18
訂正
有限マクローリン展開の最終項に x^n かけるの忘れてた
なので e^(-θ)/n! のところ (-1)^n e^(-θ)/n! に変更
証明の５行目は
|(n-1)!P[n]| = |ae^θ + (-1)^n ce^(-θ)|/n ≦ { |a| e^θ + |c| e^(-θ) }/n→ 0 (n → ∞)
に変更
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