- 18 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2013/03/02(土) 15:08:47.48 ]
- 有限マクローリン展開
e^x = Σ[m=0,...,n-1]x^m/m! + e^(θx)/n! (0<θ<1)
だけを使って証明できたよ
（証明）
ae^2 + be + c = 0 (a,b,cは整数,a≠0) と仮定すると ae + b = -ce^(-1)
∴a(Σ[m=0,...,n-1]1/m! + e^θ/n!) + b = -c(Σ[m=0,...,n-1](-1)^m/m! + e^(-θ)/n!)
ここで、P[n] := aΣ[m=0,...,n-1]1/m! + b + cΣ[m=0,...,n-1](-1)^m/m! = -(ae^θ + ce^(-θ))/n!
とおくと |(n-1)!P[n]| = |ae^θ + ce^(-θ)|/n → 0 (n → ∞)
(n-1)!P[n]は整数より、十分大きい任意のnに対して (n-1)!P[n] = 0 ∴P[n] = 0
P[n+1] - P[n] = a(1/n!) + c((-1)^n/n!) = 0 ∴a + (-1)^n c = 0
P[n+2] - P[n+1] = a(1/(n+1)!) + c((-1)^(n+1)/(n+1)!) = 0 ∴a + (-1)^(n+1) c = 0
この２式より a = 0 となり矛盾■
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