- 1 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/02(日) 22:13:45.79 ]
- 前スレ
高校生のための数学の質問スレPART339
uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1345465851/
【質問者必読！】
まず>>1-3をよく読んでね
数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・970くらいになったら次スレを立ててください。
- 754 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/13(木) 22:32:48.83 ]
- >>750さん
判別式でやるにしても
D : a^4 - 2a^2b^2 + b^4 - 2a^2 - 2b^2 + 1 =0
になって収拾付かないんです
- 755 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/13(木) 22:33:38.03 ]
- >>751
そんなこと言われてもどれが君の書き込みか特定できないし
酉をつける
回答がしばらくなかったら再度お願いする
ようにすれば
- 756 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/13(木) 22:40:32.67 ]
- >>753さん
ありがとうございます
やってみます
- 757 名前：匿名 [2012/09/13(木) 22:40:47.46 ]
- すみません、教えてください。公務員試験の問題です。
周の長さが１６、面積が９のひし形の対角線の長さの和をもとめよ
- 758 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/13(木) 22:46:38.30 ]
- >>754
左辺を因数分解。展開する前の形からの方がやりやすいかも。
- 759 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/13(木) 22:48:24.67 ]
- >>757
>>1
> ・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。
- 760 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/13(木) 22:50:53.55 ]
- >>754
展開してしまってはぶちこわし。
x=-(x-a^2)(x-b^2) から (x-a^2)(x-b^2)+x=0。
これより
x^2-(a^2+b^2-1)x+a^2b^2=0。この2次方程式が正の重解をもつので a^2+b^2-1＞0が必要。
判別式=(a^2+b^2-1)^2-4a^2b^2=0 と a^2+b^2-1＞0、a,b＞0 とから
a^2+b^2-1-2ab=0。これより更に、(a-b)^2=1。 a＜bだったので b-a=1。
よってb=a+1。このとき最初の2次方程式の解はabなので接点Pのx座標はa^2+a
- 761 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/13(木) 23:01:05.58 ]
- >>757
>>759の言う通り
ひし形は各片が等しいので４。
適当にひし形の対角線を引く。
それぞれ交点までの距離をa、bとか置く。
ひし形の面積＝(ab/２)×４＝２ab＝９
４つの直角三角形のうちの１つに着目すると三平方の定理より、
a^２＋b＾２＝４
ここで、
(a＋b)^２＝(a^２＋b^２)＋２ab＝４＋９＝１３
a＋b≧０より、
a＋b＝√１３
でどーですか？
- 762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/13(木) 23:02:49.12 ]
- 数学的帰納法の問題がわからないので教えて下さい
問:1^3+2^3+3^3+・・・+n^3=[n(n+1)/2]^2 を数学的帰納法で証明せよ
自分の途中までの回答
i)n=1の時
左辺=1^3=1
右辺=(2/2)^2=1 よってn=1の時成り立つ
ii)n=kの時、等式が成り立つとすると
1^3+2^3+3^3+・・・+k^3=[k(k+1)/2]^2 と仮定する。
n=k+1の時、左辺は
1^3+2^3+3^3+・・・k^3+(k+1)^3=
ここでどう変形すればいいのかわかりません
そもそもここまであってますでしょうか？指導の方よろしくおねがいします
- 763 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/13(木) 23:04:21.80 ]
- >>760
「a^2+b^2-1＞0が必要。」っていうのは解と係数の関係からですよね？
α+β=-b/a
α>0,β>0 ⇔ b<0
ってことですよね？
- 764 名前：匿名 [2012/09/13(木) 23:04:44.19 ]
- すみません、ありがとうございます。次から気を付けます！
- 765 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/13(木) 23:07:38.97 ]
- >>761
>a^２＋b＾２＝４
アウト
- 766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/13(木) 23:08:59.05 ]
- >>762
仮定したことは使おう。
- 767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/13(木) 23:10:01.00 ]
- >>763
> >>760
>
> 「a^2+b^2-1＞0が必要。」っていうのは解と係数の関係からですよね？
そう。
> α+β=-b/a
>
> α>0,β>0 ⇔ b<0
a>0 ならね
- 768 名前：761 [2012/09/13(木) 23:11:23.54 ]
- >>765
thx
>>757
a^２＋b^２＝１６
したがって、a＋b＝５
- 769 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/13(木) 23:14:21.14 ]
- >>766
すみませんその後 [k(k+1)/2]^2+(k+1)^3を展開したのですが
（k^4+6k^3+13k^2+3k+1)/4となってしまい、どうすればいいのかわかりません・・・
- 770 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/13(木) 23:18:02.46 ]
- >>767
なるほど
ありがとうございます!!
- 771 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/13(木) 23:19:10.10 ]
- >>769
気合い入れて[(k+1)((k+1)+1)/2]^2 と=なことを示せば良いだけ
ちなみにn=k-1で仮定してn=kで成り立つことを示せば、暗算程度の計算で済む
- 772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/13(木) 23:19:23.82 ]
- >>769
展開せずに(k+1)^2をくくれ
- 773 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/13(木) 23:24:56.19 ]
- >>770
君の>>763に書いてなかったことで、あえて追記しなかったことだけど、
α>0かつβ>0⇔α+β>0かつαβ>0 だから、
解と係数の関係のα･βの方にも気をつけておかないといけない。
>>760では定数項がa^2b^2>0なので、成り立っていた。
- 774 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/13(木) 23:33:48.35 ]
- >>769
1^3+2^3+3^3+・・・+k^3=[k(k+1)/2]^2 と仮定する。
｛1^3+2^3+3^3+・・・k^3｝+(k+1)^3=[k(k+1)/2]^2+(k+1)^3=[(k+2)(k+1)/2]^2
(k+1)^3=…が成り立つ。
したがって数学的…
- 775 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/13(木) 23:43:37.29 ]
- beebee2see.appspot.com/i/azuYr7SIBww.jpg
写真の(3)のやり方を教えてください
- 776 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/13(木) 23:43:39.75 ]
- >>773
確かに・・・
ちゃんと書いておきます
- 777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/13(木) 23:47:52.12 ]
- (ab+bc+ca)(a+b+c)
- 778 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/13(木) 23:49:03.63 ]
- www.wolframalpha.com/input/?i=ab%28a%2Bb%29%2Bbc%28b%2Bc%29%2Bca%28c%2Ba%29%2B3abc
- 779 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/13(木) 23:53:57.81 ]
- >>771さんの言うとおりn=k-1としたのですがどうでしょうか
i)n=1の時
左辺=1^3=1
右辺=(2/2)^2=1 よってn=1の時成り立つ
ii)n=k-1の時、等式が成り立つとすると
1^3+2^3+3^3+・・・+(k-1)^3=[(k-1)k)/2]^2 と仮定する。
n=kの時、
左辺=1^3+2^3+3^3+・・・(k-1)^3+k^3=[(k-1)k/2]^2+k^3=(k^4+2k^2+k^2)/4
右辺=[k(k+1)/2]^2=(k^4+2k^2+k^2)/4
よって左辺=右辺となり、n=kの時も成り立つ。
i)ii)より等式はすべての自然数に対して成り立つ。
- 780 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/13(木) 23:56:24.67 ]
- >>777
すいません答えまでの過程を教えていただけませんか？
- 781 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/14(金) 00:01:16.98 ]
- >>780
3abc=abc+abc+abc
ab(a+b)+abc=ab(a+b+c)等々
- 782 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/14(金) 00:08:13.09 ]
- >>773
つ
こまかいことを言うようだが、
α>0かつβ>0⇔α、βは実数でα+β>0かつαβ>0
α、βは実数 は外せない
- 783 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/14(金) 00:18:49.89 ]
- >>782
今回は問題文に一応第一象限で接してるとは書いてありますが
一般的にα、βは実数であると言わなければならないですね
メモメモ・・・
- 784 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/14(金) 00:30:35.50 ]
- >>780
>>781が綺麗(？)なとき方
もし思いつかなければ定石として一つの文字でまとめる
ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc
=(b+c)a^2+(b^2+3bc+c^2)+bc(b+c)
={(b+c)a+bc}(a+b+c)
=(ab+bc+ca)(a+b+c)
- 785 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/14(金) 02:13:58.11 ]
- Σ[k=1,2n]a(k)^2
がΣ[k=1,n]a(2k-1)^2+a(2k)^2
こう変形ができる過程が分かりません 教えてください
- 786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/14(金) 02:21:20.58 ]
- >>785
1+2+3+4=(1+2)+(3+4)
- 787 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/14(金) 02:37:01.86 ]
- >>786
分かりました！ありがとうございます！
- 788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/14(金) 02:57:21.55 ]
- 図形の問題なのですが、図がないものになります。
問：三角形ABCの外心をO,重心をG、垂心をHとしたとき、いつでも成り立つ式は以下のうちどれか？（選択式の問題です）
答えは 3OG=OH になるのですが、解説で（やはり図なし）定理より
① - 3OG=OA+OB+OC 、 ② - OH=OA+OB+OC と出てきてきます。
①は定理だから、そのまま覚えようと思うのですが②に関して
外心Oと三角形の各頂点ABCをつなぐ線分OA OB OCは外接円の半径になると考えるのですが
OH=OA+OB+OC=3OA。外接円の半径の三倍？ということになるのでしょうか？
垂心Hも三角形内にある点になると思うので、三角形内にある線分OHがその三角形の外接円の半径の三倍になるとは思えないのです。
おそらくどこか私がどこか・何かを勘違いしているのだと思うのですが、どこかわからず困っております。
何がおかしいのかわかる方いませんか？
- 789 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/14(金) 03:11:42.40 ]
- ベクトルなら成り立つ
- 790 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/14(金) 03:16:36.08 ]
- >>788
①②はベクトルについての式だよな？
オイラー線という有名な話題で参考書に出ていることも多い
- 791 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/14(金) 03:33:29.25 ]
- >>789-790
ベクトルの話ですね。
わかりました。ありがとうございます
- 792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/14(金) 07:10:37.97 ]
- 部屋に何個のピンポン球が入るかどうやって求めれば良いですか？
- 793 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/14(金) 07:11:59.27 ]
- 「溜める」の概念は数学にはありますか
溜まり方ではなく、溜まる自体です
- 794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/14(金) 11:24:50.76 ]
- √(a^2 + b^2) = a( 1 + (b/a)^2 )^(1/2)
という式変形は近似式
(1 + x)^n ≒ 1 + nx （x は微小値）
を使うためにやることが多いと思うのですが、入試数学でこれを使う機会がありますか？
- 795 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/14(金) 11:31:18.31 ]
- 数学で質問
x^2+x-y^2-y
=x^2-y^2+x-y……1
=(x+y)(x-y)+(x-y)……2
=(x-y)(x+y+1)……3
1から2は因数分解した結果というのは分かるんだが、2から3にどうゆう考えでなるのかが分からん…誰か教えてください。
- 796 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/14(金) 11:48:35.83 ]
- >>795
(x-y)でくくった
- 797 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/14(金) 11:51:10.89 ]
- >>795
補足しておくと
=(x-y){(x+y)+1}
- 798 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/14(金) 11:55:53.90 ]
- x^2+(3+2i)x+2+ki=0
この方程式が実数解を持つような実数kとそのときの解を求めよ
という問題で、判別式の虚数部分が消えるようにkを決めたのですが、実数解が決まりません。
この方針が合っているかどうかと解答お願いします
- 799 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/14(金) 12:11:15.63 ]
- >>798
i は虚数単位だな？
判別式は“実数係数”の方程式の解が実数かどうかを判別するために使うものなのでこの問題では使えない
i でくくって複素数の相当
a + bi = 0 ⇔ a = b = 0
に着目するのが1つの方法である
- 800 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/14(金) 12:29:16.29 ]
- >>796,>>797ありがとうございます。
まだイマイチ理解できないのですが…
(x+y)(x-y)+(x-y)
の(x-y)をAに置きかえて
=(x+y)A+A
=Ax+Ay+A
になってAを戻した結果
=(x-y)(x+y+1)になるんですか？
なぜ…？
- 801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/14(金) 12:30:14.90 ]
- >>800
(x+y)A+A=A(x+y+1)
- 802 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/14(金) 12:31:49.47 ]
- >>799
あーそうなんですか。わかりました。
解答ありがとうございました
- 803 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/14(金) 12:33:04.07 ]
- >>800
(x+y)A+1*A=A{(x+y)+1}
- 804 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/14(金) 12:36:45.60 ]
- >>801,>>803
やっとなぜ１が出てきたのか理解できました！Aに置きかえて、さらにくくるという考えが出てきませんでした！
ありがとうございます！
- 805 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/14(金) 14:03:41.03 ]
- 面積比がわかりません。
空間ベクトルでAR:ASを求めるのにここまで計算したのですが、ここからどうしたらいいですか？beebee2see.appspot.com/i/azuYh8SIBww.jpg
- 806 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/14(金) 14:13:48.23 ]
- 何を求めるか具体的に書け
- 807 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/14(金) 14:21:56.85 ]
- >>805
物理的には3点O，A，Qにそれぞれ3，4，7の加重があるときの重心だから
答えだけなら AR：RS ＝ 11：3 とすぐにわかる
（重心の公式は物理の教科書には書いてある）
数学の答案に使うのは減点されそうで困るというなら
メネラウス，チェバの定理を用いればよい
- 808 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/14(金) 14:24:06.67 ]
- >>807 訂正
AR：RS ＝ 10：4
- 809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/14(金) 14:42:54.89 ]
- >>808
ありがとうございます
- 810 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/14(金) 19:01:31.62 ]
- 平面BEG上に点Rがあるとき
OR=OB+sBE+tBGとおきかたがなぜでてきたか教えてください。
まぁ、始点をOにして
rOB+sOE+tOGとしてr+s+t=1とすれば同じなのは分かりますが、どこからその置き方ができるのか分かりません
- 811 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/14(金) 19:12:38.18 ]
- 自己解決しました。
- 812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/15(土) 09:20:35.25 ]
- >>810
3点BEGは同一直線上にはないので
BE↑とBG↑は平行でないことから平面BEG上の任意の点Rについて
BR↑=sBE↑+ｔBG↑となるスカラーs,tをとることが出来る。
ここでBR↑=OR↑-OB↑であるから
OR↑-OB↑=sBE↑+ｔBG↑
これより
OR↑=OB↑+sBE↑+ｔBG↑
- 813 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/15(土) 10:47:10.67 ]
- age
- 814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/15(土) 11:43:08.44 ]
- 京大2012文系4(p)ですが、以下の解答は可ですか?
題意の三角形は対称性から明らかに正三角形で、題意の正n角形は、
正三角形に外接する円の、正三角形の頂点が分割する弦のそれぞれを
等分する点を結んで得られる多角形なので、題意は正しい。
- 815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/15(土) 12:23:15.16 ]
- >>814
問題文ぐらい書けよ
- 816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/15(土) 14:36:23.20 ]
- 正n角形の頂点から3点を選んで内角の1つが60°である三角形を作ることができるならば、nは3の倍数である。
- 817 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/15(土) 14:42:18.92 ]
- >>814
> 京大2012文系4(p)ですが、以下の解答は可ですか?
>
> 題意の三角形は対称性から明らかに正三角形で
なるとはかぎらない。
- 818 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/15(土) 17:33:20.60 ]
- >>814
どんなに甘く採点したとしても、完全無欠パーフェクトな0点
- 819 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/15(土) 19:11:11.78 ]
- 文系とはいえやけに簡単と思ったら、2つのうちのひとつ、命題の真偽判定込みか
意外と出気悪かったんだろうな
- 820 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/15(土) 19:53:06.36 ]
- 円周角-中心角だよなー
- 821 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/15(土) 20:22:36.37 ]
- それが一番簡単だろうけど、頂角60度の二等辺三角形を構成するのもありかな
- 822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/15(土) 21:30:32.77 ]
- つか、底角60度の二等辺三角形がすぐ構成できるな
- 823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/15(土) 21:56:27.24 ]
- 正三角形ABCの内接円O①の半径をrとする。
辺AB,ACと円O①に接する円をO②とし、辺AB,ACと円O②に接する円をO③とする。
このように次々に小さくなる円を作る時、すべての円の面積の和を求めてください。
まず円O①の半径rとO②の半径r②の関係性を式で表そうとしましたが無理でした・・・
どなたかヒントでもいいのでおしえてください。
- 824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/15(土) 22:05:55.27 ]
- 正三角形の内心と重心は同じ
正三角形の頂点から垂線をおろした時その垂線は重心を通り、また重心は垂線を2:1に内分する
このふたつを利用すれば一つ目と二つ目のの正三角形の比はすぐでる
これはもちろん一つ目と二つ目の円の比でもある
あとは等比級数
- 825 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/16(日) 04:49:55.33 ]
- B={x-2≧0},C={x^2+ax+b<0}でC⊂Bになるa,bの条件は何か
2≦(Cの範囲の最小)になればいいのだと考えてみたのですがaとb二つわからない文字が出てきたのでわからなくなりました
- 826 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/16(日) 05:41:46.71 ]
- >>825
(1)グラフで考える。
(2)f(x)=x^2+ax+bとすると、f(2)の符号がどうなるか考える。
(3)f(2)≦0だとハズレ。f(2)＞0の場合はアタリとハズレの２通りのグラフがあるので以下略
- 827 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/16(日) 07:43:51.78 ]
- 放物線はトポロジー的には直線をえいやーっとおりまげてるので、どんなに
がんばっても直線とどこかで交差するから、その点からさきが上にあればokよ。
- 828 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/16(日) 08:35:28.35 ]
- 判定式Dは絶対に0以上ですよね
- 829 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/16(日) 08:39:25.71 ]
- ごめんなさい
上のお二方言ってること全く理解してないかもしれません
- 830 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/16(日) 08:56:59.63 ]
- >>828
>判定式Dは絶対に0以上ですよね
違います
>>827
>放物線はトポロジー的には直線をえいやーっとおりまげてるので、
>どんなにがんばっても直線とどこかで交差する
意味不明
- 831 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/16(日) 08:58:45.20 ]
- >>830
ごめんなさい
- 832 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/16(日) 12:32:59.36 ]
- __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/
- 833 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/16(日) 16:48:00.50 ]
- i.imgur.com/zUlkI.jpg
ふぇぇ…おいたん達、この問題途中式も書いて教えてぇ…
- 834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/16(日) 16:56:18.16 ]
- >>833
こちらへどうぞ
小中学校範囲の算数・数学の問題のスレ Part 45
uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1336793762/
或いは google 先生 wolframalpha 先生に聞け
- 835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/16(日) 17:50:49.95 ]
- 区分求積法を習ったのですが、登校中に近道をしようとした際に
一つの疑問が浮かんだので質問します。
何が分からないのかも少しわかってないような質問なのですみません。
縦の長さx、横の長さyの長方形があるとして対角線上の二点を縦、横と素直に頂点を通った場合
x＋yの道のりを通ってますよね？
次に縦に半分、横に半分、また縦に……という風にジグザグに行っても2*x/2+2*y/2=x+yですよね？
つまり次に三分の一、四分の一とやっていってもn*x/n+n*y/n=x+yになりますよね？
でもそうやってジグザグを限りなく多くしたら、直感的には斜めに進むのに限りなく近くなるように感じます。
しかし斜めに進む場合(x^2+y^2)^1/2ですよね？
この違いというのはどこから来るのでしょうか？
どこから？というのが質問になってない気もするのですが、お答えいただければ嬉しいです。
- 836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/16(日) 17:57:14.17 ]
- x+y=√(x^2+y^2)
- 837 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/16(日) 19:23:43.53 ]
- そのギャップを飛び越えるのが無限なのだよ
- 838 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/16(日) 19:25:24.67 ]
- なかなか面白い発想ね、でも
(x+y)^2=x^2+2xy+y^2≧x^2+y^2
ほら、もう見えたでしょう？
- 839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/16(日) 19:59:26.27 ]
- π=2の証明を思い出した
- 840 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/16(日) 20:16:25.76 ]
- 測度論みたいな
- 841 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/16(日) 20:58:26.93 ]
- ・経路（曲線）
・経路長（曲線長）
を混ぜこぜにして議論しているのが原因。
別の良い方をすれば、経路が似ていて（？）も経路長が全然違う良い例。
- 842 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/16(日) 21:12:57.08 ]
- 835の疑問というのは、
面積ではそういう近似の極限がうまくいくのに、
長さではどうして駄目なのか、ということでは無いかと思われ。
- 843 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/16(日) 21:19:44.33 ]
- >>835
1/nの断片をn個合わせれば、nがなんであっても合計は1。
断片の一つ一つはnを大きくすればどんどん小さくなるが、
個数もどんどん増えていっている。
- 844 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/16(日) 21:54:53.56 ]
- 逆に物理での保存力であるかは1/n(n→∞)に区切った時にその1/nの断片で斜めにいくのと直角に曲がるのとで仕事量が同じかで判断するよね
>>835
区分求積法を学んだ時にこの疑問が浮かんだみたいだから区分求積法の場合は挟み撃ちが出来るけど
今回の場合挟み撃ちが出来ないからって理解するのがいいんじゃない？
- 845 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/16(日) 23:51:53.76 ]
- 直線に近づくようには見えるけど滑らかさが伴わない…みたいな
「長さ」の定義が曖昧なのが根本的な原因では？
- 846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 00:24:22.51 ]
- 命題（？）：曲線がなんとなく似ていれば、当然曲線長も似たりよったりだろ？
が「偽」ということだな
大きくなれば「似た曲線」、「曲線長」を明確に定義できるが
- 847 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 00:28:46.32 ]
- イギリスの海岸線の話にも似ているな
イギリスの海岸線はかなりジグザグだからより細かい定規で測れば測るほど計測結果が長くなってしまう
だからイギリスの海岸線は1.25次元なんだってさ
表面積もデコボコにすると増えるよね
そこらへんと話は繋がってるんじゃない？
まああまり考えない方がいい
- 848 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 01:32:45.04 ]
- 大学入試で三文字の相加相乗って
使ったら減点くらいますか？
- 849 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 03:23:56.02 ]
- 問 a,b,c が正の実数の時 (a+b+c)/3 >= (abc)^(1/3) を示せ
解 三文字の相加相乗で当たり前
みたいなことをやらなければ良いんでね？
- 850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 15:34:40.75 ]
- sinx+siny=8/5より
cos{(x-y)/2}≠0のとき・・・①
2sin{(x+y)/2}cos{(x-y)/2}=8/5
なぜ①をいう必要があるのでしょうか？
- 851 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 15:49:04.38 ]
- 0で割っちゃ駄目だから
- 852 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 15:51:51.71 ]
- >>850
問題の全体が書いてないからなんもイえねえ
- 853 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 15:53:29.11 ]
- >>852
sinx+siny=8/5のとき、sin(x+y)のとりうる値の範囲を求める問題です。
- 854 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 16:17:51.28 ]
- sinx+siny=8/5 → 2sin{(x+y)/2}cos{(x-y)/2}=8/5
①の仮定はいらないような
解答にそう書いてあるの？
- 855 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/17(月) 16:20:52.95 ]
- >>854
あ、自己解決しました。
すみません。
- 856 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 19:42:32.68 ]
- >>853
質問者は解決した、と書いているけど、おれにはムズイ。
これどうやるんだ？
- 857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 19:56:45.79 ]
- >>856
前に他所で上げたやつ
図は省略
和積公式は使わないほうがやりやすいんじゃないかな
ttp://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org3432134.jpg
- 858 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/17(月) 20:00:03.47 ]
- >>857
そっちの方が良さそうですね
- 859 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 20:09:02.33 ]
- x^2+2xy+y^2+4x=8の整数解を求めよという問題がわかりません。
自分のやったこととしては，
与式を平方完成して {x+(y+2)}^2 =4(y+3)
ここから，y≧-3
さらに，xについて解くと，x=-(y+2)±2√(y+3)
というところまで計算しましたが，ここからどのように求めていけば
よいかご教示ください。
- 860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 20:21:33.87 ]
- >>859
√の中身が平方数 …☆ となればよい
（このとき x も整数になる）
解をすべて表現しようと思ったら，☆を文字を使って表現して，
その文字を使って表現するしかないだろう
- 861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 20:23:40.11 ]
- >>857
ありがとう。
- 862 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 20:35:15.26 ]
- (x+y)^2 = 4(2-x)
- 863 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 20:40:00.10 ]
- ｘ＋ｙ＋２＝２ｚ。
ｙ＝ｚ＾２－３。
ｘ＝－ｚ＾２＋２ｚ＋１。
- 864 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 21:21:18.95 ]
- ∫[0,π/6] (cosx+sinx)/(1+cosxsinx) dx
解答では
t=sinx-cosxとおくと、dt=(cosx+sinx)dxであり、
t^2=(sinx-cosx)^2
∴sinxcosx=(1-t^2)/2
合成公式より、t=√2sin(x-π/4)であり、tは0≦x≦π/6 において増加関数である。
あとは計算
となっているのですが、この問題でt増加関数であることを確認している理由はなぜですか？
www.dotup.org/uploda/www.dotup.org3432505.jpg
www.dotup.org/uploda/www.dotup.org3432512.jpg
- 865 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/17(月) 21:25:07.27 ]
- >>860, >>862, >>863さん
ありがとうございます。
>>863さんの解答で，
ｘ＋ｙ＋２＝２ｚ とありますが，±はどこへ消えてしまったのでしょうか？
xもyも自然数とは限らないので，
ｘ＋ｙ＋２＝±2ｚ
となるべきだと思うのですが。
よろしければご教示お願いします。
- 866 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 21:33:53.89 ]
- >>865
zも自然数とは限らない
- 867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 21:44:13.74 ]
- >>864
変数変換による積分区間の確定のため。
- 868 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 21:57:21.34 ]
- >>864
置換積分したいからじゃね？
- 869 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 21:57:43.03 ]
- ありゃ、リロードしてなかった。すまん。
- 870 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 22:18:46.57 ]
- a,bを互いに素な自然数とするとき、ak+bl（k,lは０以上の整数）の形で表せない自然数の個数をa,bを用いて表せ
ab以上の数はこの形で表せることは解ったのですが（一応証明もできました）、そこからまったく手が付きません…どなたかよろしくお願いします
- 871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 22:18:47.41 ]
- 加法定理の
sin195度のやり方教えて下さい
全くわかりません..
- 872 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 22:24:18.63 ]
- sin 195(degree)とか教科書読めで終了のはずだがなあ
- 873 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 22:24:56.35 ]
- sin15°を半角で求めてsinπと下方低位r
- 874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 22:45:20.46 ]
- y軸上の2点A(0,1) B(0,2)とx軸上の正の部分を動く点P(a,0)を考える。
また、θ=∠APBとおく。
(1)cosθをaで表せ。
(2)θが最大になるaを求めよ。
(2)でcosθの最大値をもとめてやってもいいですかね？
- 875 名前：864 mailto:sage [2012/09/17(月) 22:48:44.36 ]
- >>867
うーんいまいちよくわかりません
増加関数であることを確認せず
x:0→π/6のときt:-1→1/2-√3/2としてはダメなんですか？
- 876 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 22:52:24.15 ]
- 最初の積分区間が0から7π/6だったらどうなる？
- 877 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 23:45:54.67 ]
- >>874
0°＜θ＜90°だからcosθの最小値かと
- 878 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/18(火) 00:10:29.52 ]
- >>864>>875
t = g(x) と置換するときを考える
ここで，関数 g(x) は閉区間 [ a ， b ] で “連続な導関数をもつ” “連続”関数で
x ： a → b のとき， t ： α = g(a) → β = g(b)
と対応するものとする
このとき
∫_[α→β] f(t) dt ＝ ∫_[a→b] f(g(x))・g’(x) dx
高校レベルでここまで書いてある本はあまりない（黒大数には書いてあった）が
厳密には上のようになる
無用な混乱を避けるために関数 g(x) が区間 [ a ， b ] で単調となるように
置換するのが普通であるが，別に単調である必要はない
途中で不連続となるような置換さえしなければよい
よって >>864 で t が増加関数であることは確認しなくても大丈夫
- 879 名前：864 mailto:sage [2012/09/18(火) 00:12:45.54 ]
- >>876
0<x<3π/4,3π/4<x<7π/6と分けて考えなければいけないということですか？
- 880 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/18(火) 00:17:31.79 ]
- >>878
条件をひとつ忘れていた
f(g(x)) は x の連続関数
- 881 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/18(火) 00:25:48.99 ]
- >>879
>0<x<3π/4,3π/4<x<7π/6と分けて考えなければいけないということですか？
その必要は（理論上は）ありません．
>>878 さんの指摘の通り．
- 882 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/18(火) 00:41:04.45 ]
- >>874
a≠0ならθが最大になるaってなくね
俺がおかしい？
- 883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/18(火) 00:46:21.14 ]
- あるけど
- 884 名前：864 mailto:sage [2012/09/18(火) 00:48:58.63 ]
- 結局増加関数であることの確認は必要ないのですね
みなさんありがとうございました
- 885 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/18(火) 01:47:43.59 ]
- >>883
教えてください
- 886 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/18(火) 02:30:33.67 ]
- >>874
2定点と動点なので円周角に着目する手がある
ttp://www.dotup.org/uploda/www.dotup.org3433903.png
- 887 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/18(火) 08:44:06.90 ]
- >>874
cosθを「最小」にする a の値を求めてもよいし，
tanθ=a/(a^2+2)=1/(a+2/a) を「最大」にする a の値を求めてもよい．
- 888 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/18(火) 08:44:32.22 ]
- α,βを正の定数とする
全ての自然数nに対して
(1^α+2^α+…+n^α)^2=1^β+2^β+…+n^β
が成立するとき,α,βを求めよ
α,βを『正の定数』です
よろしくお願いいたします
- 889 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/18(火) 08:48:59.21 ]
- 代入
- 890 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/18(火) 08:51:27.22 ]
- 存在しないんじゃね？
- 891 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/18(火) 09:14:32.54 ]
- >>890
>存在しないんじゃね？
α=1, β=3.
- 892 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/18(火) 09:29:33.34 ]
- α=1, β=3だけって示すのムズいな
- 893 名前：891 [2012/09/18(火) 10:01:56.77 ]
- >>888 >>892
n→∞ のときの
(1^β+2^β+…+n^β)/n^(β+1)
={(1^α+2^α+…+n^α)/n^(α+1)}^2 ×{n^(2α+2)/n^(β+1)}
の両辺の極限を考えることにより，必要条件として，
2(α+1)=β+1 かつ β+1=(α+1)^2
が得られます．
- 894 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/18(火) 10:07:58.53 ]
- >>893
８８８８８８８８８
- 895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/18(火) 14:12:59.41 ]
- n=2を考えるとα=1, β=3が出てくる
- 896 名前：893 [2012/09/18(火) 15:28:27.08 ]
- >>895
>n=2を考えるとα=1, β=3が出てくる
α,βを自然数に限定していませんか？
(1+2^α)^2=1+2^β を満たす「正の実数」の組 (α,β) は無数にあります．
- 897 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/18(火) 20:09:32.82 ]
- P(x)=x^5+6x^4+8x^3+5x^2+13x+1
Q(x)=x^2+4x-1
α=√(9-4√5)←二重根号
のときP(α)の値を求めろという問題です。
自分は
α=√5-2
P(α)=Q(α)+2α+4
と考えP(α)=2√5 となったのですが、これであってますか？
- 898 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/18(火) 20:21:41.29 ]
- ∫dx/√(x^2+A)を求めるとき、√(x^2+A)＝t-xとおくとうまくいくのはなぜですか？
- 899 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/18(火) 20:29:33.39 ]
- >>898
両辺を二乗したらx^2の項が消えることによりx=f(t)で表すことができる
これによりdx=f'(t)dtとできxを見事消去することができるため
- 900 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/18(火) 20:35:42.14 ]
- すいません先輩方、中三で白チャートを使って勉強しているんですが、ちょっと教えてください。
簡単な問題なのですが、
(3a-b＋2)（3a-b-1）を展開しろって問題で、僕は答えが９a2－６ab＋b2＋3a－b－2だと思うのですが、
答えではケツの－２の部分が＋２になってます・・・間違えていたらなぜ＋２になるのか教えてください
- 901 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/18(火) 20:44:14.70 ]
- >>898
√（a^2 - x^2） は（ = y とすれば）円周の式だからそのパラメータ表示を用いて置換した
√（x^2 + A） は双曲線の式だから双曲線関数のパラメータ表示を用いて置換する
といったことが大学初年級の微積の本に書いてある
- 902 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/18(火) 20:45:02.73 ]
- >>900
問題か答のどちらかが誤植。
- 903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/18(火) 20:48:35.15 ]
- >>902
問題が誤植でない場合、僕の答えであってますか？
- 904 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/18(火) 20:51:05.92 ]
- はい。
- 905 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/18(火) 20:52:11.99 ]
- a=b=0とすれば、どっちに分があるかすぐわかるだろ
- 906 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/18(火) 21:03:34.32 ]
- >>902・904
ありがとうございます。これで眠れます＾＾
- 907 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/18(火) 23:02:11.53 ]
- 次の関数の値域を求めよという問題で
答えが見つからないのであってるか見て欲しいです
1.z=√(4-(x^2)-(y^2))
A.{z|0≦z≦2}
2.z=log(2-(x^2)-(y^2))
A.{z|z≦log2}
- 908 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/18(火) 23:10:44.05 ]
- 合ってる。
- 909 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/18(火) 23:43:24.26 ]
- √(ax-b)とy=bx^2 (b≠0)
が交点を持つ時、a,bの範囲を図示せよ。
分かりません。実際に図示はここじゃできないので
式でお願いします。
- 910 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/19(水) 00:05:41.45 ]
- >>908
ありがとうございました
- 911 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/19(水) 02:10:26.36 ]
- ∞^(1/∞)は1でしょうか。
すみませんが証明法を教えてください。
- 912 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/19(水) 02:50:27.76 ]
- lim[n→∞](n^(1/n))なら1
- 913 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/19(水) 09:39:00.17 ]
- >>911
>∞^(1/∞)は1でしょうか。
このままでは「数学」にならないので，たとえば次のように言い換えたとします．
〈問〉n→∞ のとき a_n→∞, b_n→∞ であるとする．このとき，
lim_[n→∞](a_n)^(1/b_n)=1
と言えるだろうか？
答は「否」です．1以上の任意の実数 c に対し，
lim_[n→∞](a_n)^(1/b_n)=c
となるように，数列 {a_n}, {b_n} を定めることができます．
c>1 の場合の例：a_n=c^n, b_n=n.
また，lim_[n→∞](a_n)^(1/b_n)=∞ となることもあります．
例：a_n=e^n, b_n=log(n).
(a_n)^(1/b_n)の挙動は，log((a_n)^(1/b_n)) の挙動から判断できます．
>>912 さんの例では
log(n^(1/n))=log(n)/n→0 により n^(1/n)→1
というわけです．
- 914 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/19(水) 09:46:54.14 ]
- >>909
>>1
> ・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
> （特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
問題文も正確に。
- 915 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/19(水) 10:32:48.63 ]
- >>898
y=√(x^2+A) は，双曲線 y^2-x^2=A の一部を表す．
この双曲線と（漸近線に平行な）直線 x+y=t との交点を求めると，
双曲線の媒介変数表示 (x,y)=((t-A/t)/2,(t+A/t)/2) が導かれる．
（まず，(x+y)(x-y)=-A と x+y=t から，x-y=-A/t を導くとよい．）
被積分関数が √(x^2+A) を含むとき，√(x^2+A)＝t-x とおくのは，
この媒介変数表示に基づいています．
>>901 さんの言う「双曲線関数によるパラメータ表示」とは，
(x,y)=(√(A)(e^(θ)-e^(-θ))/2,√(A)(e^(θ)+e^(-θ))/2) （A>0 の場合）
のことで，これに基づいて「x=√(A)(e^(θ)-e^(-θ))/2 とおく」という手もあるということです．
- 916 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/19(水) 10:55:21.86 ]
- >>911
このままでは馬鹿なの、言い換えましょう
勉強しましょう
- 917 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/19(水) 15:58:53.32 ]
- >>836～>>847
返答ありがとうございます。
そもそもが違うもの二つを比べているので
限りなく近づいていくわけではないってことでいいんですかね
直感に裏切られていてそれが正しいのは
数学って面白いとおもう瞬間で楽しかったです
- 918 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/19(水) 20:56:21.67 ]
- f(x)=∮[1,x](x+t)e^t dt
これをxについて微分する問題です
(毎度のことながら周回積分？とやらではない...。また、下端1,上端xの意)
f(x)=∮[1,x]x*e^x dt + ∮[1,x]t*e^t dt
xは定数として扱えるので
f(x)=x∮[1,x]e^xdt + ∮[1,x]t*e^t dt
この後、右辺前者を積の微分でやるわけですが、
xの関数なのに、xをなぜ定数として扱えるのか？
なぜ、積の微分なのか？
g(x)=x*(e^x+2x)を微分するなら積の微分なら分かりますが、今定数なのになぜ積の微分？って感じです。
いまいちよく分かりません。教えてください。
あと、周回積分？だとかは知りません。
インテグラルがそれしか出ません故。
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