- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/06/24(日) 01:38:43.25 ]
- 数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）
従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その12
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332549969/
- 784 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/16(日) 18:23:02.31 ]
- ZFCだったら∃ｘ(ｘ＝ｘ)が純粋な論理的帰結であろうとなかろうと
無限公理Infと分出公理から空集合の存在は示せるので空集合公理は冗長。
集合論の入門書ではZF(C)-Infなども考えるから入れているんだと思う。
それでも∃ｘ(ｘ＝ｘ)がいえれば不要な訳で
∀xA(x) -> ∃xA(x) が論理的帰結になる自然演繹やヒルベルト流体系の入門書とは
異なる立場に立っているというか、
少なくとも∃ｘ(ｘ＝ｘ)の身分に関して中立であろうとしているといえると思う。
- 785 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/16(日) 21:53:42.62 ]
- __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
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| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
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- 786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 05:38:24.54 ]
- ∀xA(x) -> ∃xA(x) が論理的帰結にならないような証明体系ってどんなのがあるの？
- 787 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/17(月) 08:44:05.78 ]
- レベル堕ちたなこのスレ
- 788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 14:32:19.88 ]
- >>786
∀xA(x) -> ∃xA(x) や、同じことだけど∃ｘ(ｘ＝ｘ)を妥当式にしない流儀は
空な構造も含めたいっていうモデル理論的観点からの場合が多い。
だから証明体系と言っていいのかだけど、
空構造を許す意味論での妥当式はすべて公理というようなモデル理論的に定義した体系が
「よく出てくる例」になるんじゃないかな。
- 789 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 16:06:19.02 ]
- >>72
＞形式体系ZFCを外側から見たメタレベルでは
＞１、φが証明可能である
＞２、φの否定が証明可能である
＞３、φは独立である
＞４、ZFCが矛盾している
＞のいずれかである。
４が正しいなら１も２も正しくなるがね
逆にいえば、４でない場合に限り、任意の命題φについて
１，２，３の３つの場合がありえるというわけだ。
ところで実は、４でない場合、４を示すつもりのZFCの命題が３になる。
ここでわざわざ「つもり」と書いたのは、ZFC内では、ZFCの無矛盾性を
完全に表現できないのである。つまり、ZFCが無矛盾であっても、
それを表わしたつもりの式が偽となるモデルが存在し得るわけだ。
- 790 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 16:20:49.38 ]
- 「PAはモデルをもつ。したがって、完全性定理により無矛盾である。」
これって正しいですか？
- 791 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 17:26:00.91 ]
- 話題を無理やり切り替えるために昔のネタを引っ張り出してきた？
- 792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 18:53:44.41 ]
- >>786
きっとTTTが、君の求めるような体系について
半分正しくて半分勘違いに基づいた解説をしてくれるだろうよ。
色んな体系の解説を沢山読んではいるようだから。
読んだからって勘違いだらけなのは見ての通りだがｗｗ
- 793 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/17(月) 19:11:55.00 ]
- 人を貶すしか能のない792みたいなのはどうにかならんのかなあ
786の質問のどこに792みたいに言われなきゃならない要素があるんだか
- 794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/18(火) 16:45:31.20 ]
- >>784 >>788
集合論やモデル理論の人は∀xA(x)→∃xA(x)や∃ｘ(ｘ＝ｘ)を恒真とは考えないってことですか？
- 795 名前：TTT [2012/09/18(火) 22:53:11.57 ]
- >>794
∀xA(x)→∃xA(x)は恒真になる。
∃ｘ(ｘ＝ｘ)は述語論理の式なので恒真じゃない。
- 796 名前：１３２人目の素数さん [2012/09/18(火) 23:00:50.33 ]
- 韓国を国際司法裁判所へ引きずり出す署名へご協力ください
staff.texas-daddy.com/
半角英数で本名でお願いします、漢字とかイニシャルはNGです
違うアドレスで家族の名前でもおkです ステアドでもおｋ
台湾の人も署名してくれてます
日本政府に圧力をかけましょう
- 797 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/18(火) 23:29:34.53 ]
- いくら署名したって韓国政府の同意がなきゃ駄目なんじゃ
- 798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/18(火) 23:30:41.02 ]
- >述語論理の式なので恒真じゃない。
？
- 799 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/19(水) 00:54:29.17 ]
- ZFCGってなに？
- 800 名前：800 mailto:sage [2012/09/19(水) 01:10:44.35 ]
- うそ 800
- 801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/19(水) 04:21:11.13 ]
- どこに書いてあったの？
たぶんその本なり論文なりに定義してあると思うよ
- 802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/19(水) 05:16:04.23 ]
- generalized Cantor hypothesis
- 803 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/09/19(水) 06:15:57.18 ]
- >>794
集合論者はZFCの公理（上で言われているように弱めることはよくあるが）の下でしか考えない。
集合論の公理を全部取っ払うことはまずないので「数学的な公理なのか純粋に論理的な帰結なのか」なんて気にしない。
- 804 名前：TTT [2012/09/19(水) 09:31:04.95 ]
- >>798
恒真ってのは命題論理で個々の原始論理式の真偽値と無関係に式全体が真になることだから。
∃ｘ(ｘ＝ｘ)が真になるには、モデルの領域中にこの式を満たす個体がないと駄目。
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