- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/24(土) 09:46:09.53 ]
- 数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）
従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その11
uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325513069/
- 347 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/30(月) 20:32:33.21 ]
- ちょっと前に話題になった
スペンサーブラウンの形式の法則を
国会図書館で閲覧してきたけど酷かったよ。
数学的にはちゃんとしたものなんだけど、
この本書かれたのって60年代の終わりで、
再帰理論についての基本的な結果も大体出揃ってた時期なのに
なんで未だにこんな古い論理観なのか疑問に思った。
それから、あとがき読んで訳者と監修者が全然理解してないんだなぁと思った。
監修者は数学系だけど論理学には無知そうな感じ。
しかも訳者の宮台と大澤とかいう人は社会学者らしくてまったくの門外漢。
哀れだね。
- 348 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/01(火) 07:58:46.68 ]
- >>318
Jech の SET THEORY をすすめる。
予備知識なしで強制法が最短でわかる。
他の本よりはるかにシンプルでわかり易い。
- 349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/02(水) 09:14:10.77 ]
- >>348
↓これ?
www.amazon.co.jp/gp/product/toc/3540440852
- 350 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/02(水) 10:43:17.34 ]
- そう。
Kunenの本もあるが
あっちはまとまりが悪いのでおススメしない
Jechは分厚いがはじめから前頁みっちりやる必要はない
- 351 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/02(水) 11:38:35.95 ]
- >>347
>スペンサーブラウンの形式の法則
圏論もそうじゃないのかと思っちまうのだが、違うかな？
- 352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/02(水) 12:23:00.05 ]
- >>350
逆に、初めから読めば予備知識0でもいいってこと?
ZFCは、公理そのものが理解できない(そもそも、理解しようって
ところが間違いなのかもしれませんが)から、殆ど分からない。
- 353 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/02(水) 14:50:26.67 ]
- >>351
全然違う。
>>352
うん、
ただし素朴集合論くらいは少しやっておくべき。
- 354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/02(水) 16:44:30.91 ]
- >>353
ありがとう。高校の数学A程度の知識はある(と信じたい)。
- 355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/02(水) 17:06:46.20 ]
- そのレベルなら
簡単な集合位相の教科書買った方が良いよ
ホントに簡単なのだけで良いから
- 356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/02(水) 21:22:35.75 ]
- 最近のKunen新版だと、構成可能集合の話は
一章を使わずにこれこれの操作で閉じた最小の集合だ、
ということで軽く済ましてあったり、
より新しい話題が追加されたりしてると聞いたけどね
- 357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/02(水) 21:34:09.95 ]
- 値段を考えればKunenはおすすめかもしれない。
初めて集合論をやる人が
Kunenの最初の方の解説を理解できるのか疑問だけど。
少なくとも私はKunenを挫折してJechで強制法を学習しましたね。
- 358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/02(水) 22:28:33.51 ]
- 強制法は、本当は～～がやりたいのだが
論理的にそれを直接やるのは不可能なので
迂回して～～という態で議論する、みたいな話が多くて技術的にやや複雑で
そこらへんの細かいことを一番詳しく書いた本がKunenなので
勉強しやすくはないけど強制法の基礎理論について一番網羅的に詳しく書いた本ではある
あと演習問題がやたら多い
- 359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/02(水) 23:52:15.53 ]
- Kunenってこれ？
ttp://www.nippyo.co.jp/book/3221.html
日本語訳はどうなんだろ？
- 360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/03(木) 00:48:06.21 ]
- 普通に良訳だと思うよ
- 361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/03(木) 08:50:34.08 ]
- 強制法は日本語では
選択公理と数学みたいな緑の本の
最後の方にも書いてあったと思うけど
- 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/03(木) 15:00:44.98 ]
- 田中尚夫の『公理的集合論』にものってた気がする
- 363 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/03(木) 20:13:52.85 ]
- ちなみに私がJechをすすめた理由は
これ1冊に集合論に必要なものはほとんど書いてあるため。
これ1冊買えば、何冊も買わなくて済む。
強制法に必要ない部分、組合せ集合論とか巨大基数とかボレル集合とかは飛ばせばOK。
あとはKunenや選択公理と数学を副読本として
図書館から借りて来ればOK。
Jechを読み終わったらWoodinの本でもKanamoriの本でも
Handbookでも好きなのに入っていくと良いですね。
- 364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/03(木) 21:04:20.29 ]
- >強制法に必要ない部分、組合せ集合論とか巨大基数とかボレル集合とかは飛ばせばOK。
何のために強制法を勉強するの？っていう
- 365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/03(木) 21:16:05.50 ]
- それは俺もツッコもうと思った。
- 366 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/03(木) 21:44:27.61 ]
- それは俺も書いてから思った。
- 367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/03(木) 21:57:02.51 ]
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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- 368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/03(木) 23:45:13.73 ]
- 強制法だけやったら、
河合塾からでてた篠田・倉田とか難波みたいな薄い本でええやん、
要は式をブール代数にのせてしもたらええんやから。
- 369 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/04(金) 01:19:20.85 ]
- test
- 370 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/04(金) 07:11:56.87 ]
- アノ薄いのは絶版だと思ったけど
- 371 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/04(金) 09:44:44.49 ]
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- 372 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/04(金) 15:11:59.98 ]
- 河合塾のほうは品切れか絶版だけど、難波のほうは売ってた。
- 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/04(金) 18:11:49.40 ]
- 学習がすすむと
結局JechやKunenも買い始めることになる
- 374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/04(金) 19:21:31.67 ]
- 読みもしないのにとりあえずで買っちゃう誰かさんみたいになるよりはずっといい
- 375 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/04(金) 21:30:46.08 ]
- 僕の事ですね。
ええ、Kanamori買ってますが
読めていません＾＾；
- 376 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/04(金) 21:32:54.30 ]
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- 377 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/04(金) 21:35:12.26 ]
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- 378 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/04(金) 22:02:52.15 ]
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- 379 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/04(金) 22:08:52.00 ]
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- 380 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/05(土) 11:23:16.98 ]
- ふと疑問になったんだが、
λxλy.Pxy から λy.Pay を作るには、(λxλy.Pxy)a とやればよいが、
λxλy.Pxy から λx.Pxb を作るのは、直接にはできない。よね？
これはちょっと不便ではないんかな？
λ計算の規則ってどうしてこうなってるんだっけ？
知ってる人いる？
- 381 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/05(土) 12:04:08.31 ]
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- 382 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/05(土) 12:44:15.70 ]
- >>380
最も左のλを簡約すれば
有限回で正規形に到達する。
そうでなければ一般には簡約が終わらない。
- 383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/05(土) 13:00:02.96 ]
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- 385 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/05(土) 14:17:25.22 ]
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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- 386 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/05(土) 18:07:33.72 ]
- >>382
答えになってないと思われ
- 387 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/05(土) 18:16:36.56 ]
- >>380
λ計算では、このような場合はカリー化という技法を使います。
なぜ多変数関数を直接に扱えない不便な定義にしたか、というと、
λ計算は現実のプログラミング言語ではなく数学理論なので
単純さを良しとしたからでしょう。
- 388 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/05(土) 18:30:49.95 ]
- >>387
もとの λxλy.Pxy も λxλy.(Px)y のつもりで書いたものであり、
これはすでにカリー化されています。
多変数関数を直接に扱える便利な（変わった？）定義法はどこかで提案されているのでしょうか？
- 389 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/05(土) 19:59:20.57 ]
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- 390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/06(日) 00:00:01.68 ]
- >>388
圏論系のラムダ計算は引数をタプルで渡す形式化だよ。
そっちが自然で、それでなければ嫌だと思えばそっちで勉強すれば?
ダダこねても仕方ないよ。
- 391 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/06(日) 08:20:08.17 ]
- 質問なんですが
Jech Set Theory の
p33の定理3.11のｋが無限基数ならｋ＜ｋ^(cfｋ)の証明が良くわかりません。
Proofを読んでもなぜｋ＜ｋ^(cfｋ)が出てくるのかよくわかりません。
- 392 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/06(日) 08:40:06.18 ]
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- 393 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/06(日) 10:34:22.91 ]
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- 394 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/06(日) 18:18:00.10 ]
- 数学基礎論の世界―ロジックの雑記帳から [単行本]
竹内 外史 (著)
www.amazon.co.jp/dp/4535781265
来てるわ。
基礎論ブーム完全に来てるわ。
- 395 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/06(日) 18:25:58.49 ]
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- 396 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/06(日) 18:45:37.42 ]
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- 397 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/06(日) 21:13:52.77 ]
- >>390
圏論系のラムダ計算って、引数をタプルで渡すその形式のまま
チャーチロッサーとか最左簡約定理とかを、論じるのですか？
- 398 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/06(日) 21:17:53.58 ]
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- 399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/07(月) 21:05:55.09 ]
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- 400 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/09(水) 01:24:06.48 ]
- >>399
おやすみ
- 401 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/09(水) 02:29:35.84 ]
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- 402 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/09(水) 18:00:27.19 ]
- >>390
たぶん答えになっていないと思われ
- 403 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/09(水) 20:08:29.04 ]
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- 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/11(金) 03:25:50.90 ]
- >>397
圏論は性的な意味論しか与えてくれないよ。
そういう胴的な性質は圏論系では扱わない。
- 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2012/05/11(金) 14:41:32.39 ]
- 基底の巣窟
- 406 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/11(金) 14:51:49.29 ]
- 竹内外史著「数学基礎論の世界」（日本評論社）
のp.53には
「．．．しかし現在までゲンツェンの証明に対して数学界は誤解で充満しているようである。
たとえば、ある高名な数学者は’ゲンツェンとは、数学的帰納法の無矛盾性の証明を超限
帰納法を用いて証明した奴(guy)である’といっている。こういう発言はたいていの場合、
身勝手な偏見に基づいて、ろくに物を考えないで感情的な発言をしているのだから、別に
とりあげる必要はないが、じつは誤解の原因はわれわれ有限の立場側のほうにも責任があ
るのである。もっとくわしくいえば、定理４の証明が有限の立場で遂行できるということ
が、ゲンツェンの証明においてはあまりキチンと説明されていないし、．．．」
とありますが、結局は、「ゲンツェンの示した自然数論の無矛盾性の証明というのは有限の
立場でなされた」といっているのでしょうか？本当でしょうか？
- 407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/11(金) 14:55:48.25 ]
- 読んだ本人の解釈を他人がとやかく言う必要は無い。
- 408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/11(金) 15:12:30.99 ]
- その後に「有限の立場」について説明してあるでしょ。
- 409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/11(金) 16:20:13.35 ]
- ZFCで∫e^(ix^2)dxを計算せよ
が分かりません、よろしくお願いします。
- 410 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/11(金) 17:39:44.01 ]
- 数理論理学が学べる大学を探してます。
筑波大、千葉大、金沢大、富山大、埼玉大、理科大あたりの大学で悩んでます。
何か情報下さい。
よろしくお願いします。
- 411 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/11(金) 18:52:56.40 ]
- 独学じゃないとできないよ
- 412 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/11(金) 19:01:44.39 ]
- >>411
現状その通りだと思うよ。
Gödelを見てもわかると思うが、この分野の人は、たとえば哲学めいたことをおやりになるようになったりして、数学をあまりやらなくなったりする。（論理学と分野を共有しているからみたいだが。）
- 413 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/11(金) 20:17:53.95 ]
- >>411
神戸大はダメ？
- 414 名前：あのこうちやんは始皇帝だった mailto:shikoutei@chine [2012/05/11(金) 20:24:09.87 ]
-
お前たちは、定職に就くのが先決だろがあああああああ！！！！！！！！！！！！１１
ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがあああああ！！！！！！！！！！！！！！！
- 415 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/11(金) 20:55:07.69 ]
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- 416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/11(金) 22:50:57.71 ]
- ゲンツェンとは、数学的帰納法の無矛盾性の証明を超限
帰納法を用いて証明した奴(guy)である。
・・・・何が悪いんだろうか?
そもそも、命題論理の無矛盾性だって、数学的帰納法で証明するの
だから、数学的帰納法は、それよりも強い体系を使うのは当然のように
感じるのですが、問題でもあるでしょうか?
- 417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/11(金) 22:51:04.55 ]
- >この分野の人は、たとえば哲学めいたことをおやりになるようになったりして、
>数学をあまりやらなくなったりする。
そんなこと無いと思うけど……
証明論とか記述集合論とかそういうのは数学じゃなくて哲学だ、とか言い出すなら別だが
- 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/11(金) 22:52:12.08 ]
- >406えらくて優しい人おながいします。
- 419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/11(金) 23:13:12.28 ]
- >>416
「数学的帰納法の無矛盾性」って言葉が意味不明なのが悪い。
- 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/11(金) 23:16:07.95 ]
- 竹内外史のその本持ってないから定理4ってのが良く分からんけど
一般的に言われるのは、
Gentzenは有限の立場で
「ε0までの超限帰納法が成り立つ」 ⇔ 「PA は無矛盾」
を示している、ということ。つまりPAの無矛盾性の強さは
ちょうどTI(ε0)だということ。
左辺の「」内はPAの命題としてコーディングできるので、これはPAの定理でもある。
- 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/12(土) 00:58:37.98 ]
- 無矛盾性の強さを順序数で測るという考えに基づいて
レスができると言うことは、その方面の専門家かな。
第一人者が新井敏康さんだったと思うけど。
集合論の無矛盾性証明の研究が、どの程度進んでいるのか、気になる。
- 422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/12(土) 01:37:04.59 ]
- >>420
＞「ε0までの超限帰納法が成り立つ」 ⇔ 「PA は無矛盾」
左から右はよく言われることだが、
その逆を Genzen が証明したというのは初耳。
参考文献を教えて欲しい。
- 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/12(土) 08:19:13.59 ]
- logsoku.com/thread/bubble4.2ch.net/cafe40/1157925509/
- 424 名前：406 mailto:sage [2012/05/12(土) 10:35:34.95 ]
- レスしてくださった方々本当にありがとうございます。
ちなみに
竹内外史著「数学基礎論の世界」（日本評論社）p.53の定理４は
「順序数の狭義に単調減少な数列
α0>α1>α2>．．．
は有限回で終わってしまう。」
です。
有限の立場について一番詳しいのは竹内外史のProof Theoryなのでしょうか？
ちょっとしりたくなっちゃったなあ。
>>421
＞無矛盾性の強さを順序数で測るという考えに基づいて
にも興味あるなあ。何か参考文献を教えていただけるとうれしいなあ。
- 425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/12(土) 17:40:26.93 ]
- >>410
普通に東大にいっとけ
- 426 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/12(土) 21:04:52.66 ]
- >>424
>>421ではないですが、
証明論的順序数のテキストとして
Proof Theory: The First Step into Impredicativity (Universitext)
Wolfram Pohlers
www.amazon.co.jp/dp/3540693181
が標準的です。
- 427 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/12(土) 22:21:31.68 ]
- >>410
数理論理学を専門とする教員がいると思われる国公立大学リスト（試作）
東北大
群馬大
筑波大
千葉大
東工大
首都大
静岡大
名古屋大
京都大
大阪府大
神戸大
九州大
- 428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/12(土) 22:26:20.23 ]
- >>409
- 429 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/12(土) 22:36:20.94 ]
- >>410
日本数学会のHPに入って、
会員および数学研究者用 → 分科会 → 数学基礎論および歴史 → 特別講演
とすると、日本の主要数理論理学者一覧が見らる。
- 430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/12(土) 22:42:41.69 ]
- >>422
分かっていて言っているような口振りなので余計な節介かも知れないが、
PAの無矛盾性からε_0までの帰納法は導けないことは知られている。
420は知ったかしてるだけ。
- 431 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 00:55:58.38 ]
- >>410
数理論理学と一口に言っても、中身は千差万別の分野に分かれているからね。
日本の大学ではどの大学を選んでも、その内一つ二つの分野しか学べないので、
数理論理学の中でどの分野を学びたいのかはっきりしていないと選びようがないと思うよ。
- 432 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2012/05/13(日) 01:37:11.52 ]
- 大したことではないのだが、これの証明がいまひとつうまくできないんだ。
f：X→Y を局所Noetherスキームの間の固有射であるとし、
X , Y の構造層 , の間には f*( )＝ が成り立つと仮定する。
このとき、任意の y∈Y に対し、 f^-1(y) は、空でなく、連結である。
- 433 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/13(日) 01:46:13.90 ]
- >>431
それはその通り。
もし詳細な分野が決まっていないならば、
とりあえず数理論理学の（どの分野でもいいから）専門家がいる大学で基礎を勉強して、
分野を決めてから大学院で適切な先生のところを受験すべき。
大学入試と比べて大学院入試は楽勝。
- 434 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 04:47:17.87 ]
- >>432
大したことないのにマルチすんな
- 435 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 06:07:20.13 ]
- >>433
基礎だけ勉強するなら専門家がいてもいなくても大差ないだろ。
一方で数理論理学の専門家がいても入門向け講義をやってなくて
微積や線型代数とか教養の講義持たされてる所もあるだろうし、
他方で数理論理学の専門家はいないのに入門講義がある所も多い。
最初から1対1の個人指導受けるつもりなら別だが、
そんな親切心と暇を持ち合わせた奇特な専門家はそうそういない。
- 436 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/13(日) 07:25:59.99 ]
- >>435
>他方で数理論理学の専門家はいないのに入門講義がある所も多い。
そういう講義は羊頭狗肉なことがあるので要注意。
>最初から1対1の個人指導受けるつもりなら別だが、
専門家のいる大学に入って４回生のセミナーでその人に付くのがベスト。
- 437 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 08:32:11.78 ]
- ＞専門家のいる大学に入って４回生のセミナーでその人に付くのがベスト。
多い大学でも数理論理学の専門家は数人だから、
毎年セミナーが開講される保証はないわけで（一人なら隔年以下の頻度）、
そんな不確実なことを目指して4年間学ぶ大学を選ぶのはどうかなと思う。
- 438 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 10:22:47.77 ]
- 410です。
皆さん丁寧な回答本当にありがとうございます。
大学によって専門分野が大分違うみたいなので、慎重に選ぶ必要がありますね。
今のところモデル理論を専門にしてる筑波大を検討しているのですが、モデル理論という分野をよくわかっていない上、他分野を知らない状態で安易に専攻をこの分野にして良いのかと悩んでます。
またもう一つ質問があります。
数理論理学は物理学との関係を持ちますか？
自分は元々物理学科志望だったので、物理を捨ててまで数理論理学を勉強して良いのかとかなり悩んでます。
一応質問させて頂きますが、学部は物理学科で院から数理論理学専攻ということは可能でしょうか？
また、量子論理学という分野がありますが、これは物理学の類には入るのでしょうか？
- 439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 10:24:57.40 ]
- >>429
ありがとうございます。やってみます。
- 440 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 11:49:11.62 ]
- 東大とか京大で独りで勉強するのも手だよ
- 441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 12:18:52.13 ]
- >>438
中身もよくわかってないのに先走りしすぎだ。
とりあえず物理か数学か専攻を決めた方がいい。
その中での分野選択は大学に入ってからでも遅くない。
いろいろ選択肢を残しておきたいなら東大か京大にでも行っとけ。
- 442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 12:19:31.91 ]
- 名古屋が楽しそう
- 443 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 12:51:01.97 ]
- 高校時代が数理論理学に興味持つって...
ネット世代は凄いねぇ。
- 444 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2012/05/13(日) 13:20:05.00 ]
- 糞論あげ
- 445 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/13(日) 16:13:16.03 ]
- __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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- 446 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/13(日) 17:13:54.08 ]
- >>438
「量子論理学という分野」が本当にありますか？
どこで聞いたのですか？
「量子論理」ではなく「量子論理学」という言葉を使っている文献がありますか？
量子論理という論理体系はあります。
私見ですが、数理論理学から見ればそれは単なる非古典論理のひとつに過ぎません。
数理論理学においては量子論理はひとつの研究対象だけれども
ひとつの分野と言えるほど重要なものではないと思いますが。
- 447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 17:53:17.51 ]
- 物理をやりつつ趣味で論理学やる方が良いと思うけど。
逆は厳しい。
- 448 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/13(日) 17:56:01.72 ]
- 俺は数学とは無縁なんだが、無限について考えたことがある。
ガレリオは自然数と二乗数の数は同じかということについて考えたそうだが、俺はこう思う。
A 1,2,3,4,5,6,7...
B 1,4,9,16,25,36,49...
二つは対になっているが、...が無限に続くなら同じかという問題
確かにある自然数R≧3を定めるとRに近づく速度はBの方が常に速くて、Rが有限ならば常にBの方が少なくなるのに
無限になると同じになるように見えるという不思議な現象についてだが、俺はこう思う。
そもそも、∞というのは数ではなくて概念であって、∞個というのは存在しない。
ただ、...が永遠に続くというだけであって、∞個というのは存在しないのだから（個数は常に有限）
AとBの数は不定というのが正しいんじゃないだろうか
もし上限を自然数R≧3と定めればRが有限であるならば常にBの方が少ないが、∞という個数は存在しないので
無限に続くならAとBの個数は不定である。ガレリオには悪いけど二乗数は整数よりも少なくはないとかそういう問題じゃないと思う
俺は数学には全くの素人だが、このスレに書き込んでいいのかも分からないが書いてみた
- 449 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/13(日) 17:56:15.55 ]
- __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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- 450 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/13(日) 18:12:08.20 ]
- >>447
数学をやりつつ趣味で論理学やることも良し。
この場合は、趣味が高じて論理学のプロになることも可能。
- 451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 19:08:03.16 ]
- >>410,>>438
学部段階で身に付けるべき数理論理学に必要な基礎内容は、
その他の数学とほぼ共通しているので、
君の力で入れる一番レベルの高い数学科に行くのがいい。
履修内容が一律に決まっている高校までと違って、
大学では学生のレベルによって内容がまるで違うから、
できるだけ上のレベルの数学科に行く方が、
専門家の有無なんかよりも後々ずっと有益になる。
- 452 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 20:15:56.58 ]
- >>450
それじゃ北田均氏になっちゃうｗｗｗ
- 453 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 20:44:19.41 ]
- >>441や>>451が妥当な助言だな。
大学に入学する段階でそんな細かな専門分野を決めるのは健全ではない。
数学か物理か程度の大まかな分類だけ決めて
その中での分野は色々勉強してみてから決めるべき。
- 454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 23:08:29.74 ]
- 私も数学とは無関係な人間だったが、ひとつ質問。
元々は、ただのプログラマだったが、いつの間にか
数理論理学や集合論をかじるようになっていた。
ここ最近(2006年ぐらい)から、囲碁や将棋のプログラムにおいて
モンテカルロ法(より負けない終局が多い所に打つのが最善手)と
と言う考えが注目されています(実際問題として、この考えに
基いたプログラムは単純な割に異常に強い)。
これは、突き詰めると一般化された将棋において、先手or後手に
より負けない終局が多い方に最善手(必ず負けない手)が存在する
と考える事も出来ると思います。
一般化された将棋において、先手or後手のどちらに最善手が
存在するかと言う判定問題はEXPTIME完全ですが、先手or後手に
より負けない終局が多い方に最善手が存在するのならば、
それは、複雑性クラスPPに属すると思うのです。
PP=PSPACE=EXPTIME
と言う事を、想定している専門家はいるのでしょうか?
このスレに書き込んでいいのかも分からないが書いてみた。
- 455 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/14(月) 00:18:09.08 ]
- >より負けない終局が多い方に最善手が存在するのならば
間違ってない？
- 456 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/14(月) 00:26:52.25 ]
- >>455
経験的にそういう考えがはやっている(特に囲碁で)だけで、
間違ってるかどうかは分からないんです。
で、もしも、その推測が一般に正しいとすれば、
PP=EXPTIMEになっちゃうんじゃないかと・・・
- 457 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/14(月) 01:20:45.81 ]
- 北田均氏についてｋｗｓｋ
- 458 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/14(月) 04:31:04.72 ]
- >>421
集合論の無矛盾性の強さは巨大基数と呼ばれるもので測る。
- 459 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/14(月) 06:38:12.69 ]
- 北田均氏は、ゲーデルの不完全性定理について、英文のトンデモ論文を
発表し、Zentralblatt Math で reviewer にたたかれて、また反論し、
またバカにされているが、本人は理解できない。
日本語の本は、もっとトンデモであるが、本人に誰も変だといってないん
だろう。
もともと本業のほうも、証明がしっかりしない人ではある(谷島さんにくっつ
いていた間はよかったが）。
- 460 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/14(月) 07:01:45.71 ]
- >>459
そのトンデモ論文のトンデモっぷりを解説してくれないかい？
- 461 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/14(月) 08:30:09.25 ]
- 将棋でモンテカルロ法のプログラムが強いという話はあまり聞かないけどね。
- 462 名前：406 mailto:sage [2012/05/14(月) 12:35:00.60 ]
- >>426さん具体的なテキストの情報ありがとうございます。
また、>>430,458さんもありがとうございます。
さて>>406での竹内外史著「数学基礎論の世界」（日本評論社）のp.53の引用ですが、同じページの
すぐ上に、まさに
「ゲンツェンは、さらにこの定理を用いて、自然数論の無矛盾性の証明を有限の立場で遂行したのである。」
（上記引用文のこの定理とは、>>424の定理４のことです。）
とありました。こちらを引用すべきでした。すいませんでした。
さて本題ですが、上記引用文の内容は本当でしょうか？第2不完全性と矛盾しないのでしょうか？
>>420の
＞Gentzenは有限の立場で
＞「ε0までの超限帰納法が成り立つ」 ⇔ 「PA は無矛盾」
＞を示している、ということ。
の指摘ですが、（⇔か⇒だけかは、おいといて）これはまさに>>406の引用文における’ある高名な数学者’
の主張なのではないでしょうか。
竹内外史の言っていることだけに無視できません。もう少し皆さんの意見をお伺いできないでしょうか。
- 463 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/14(月) 18:36:35.96 ]
- 竹内外史の言っていることじゃなくて、
竹内外史がとんでも発言として引用していることでしょ…
- 464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/14(月) 21:17:58.47 ]
- 北田均著「ゲーデル不完全性定理への道」
p.154
Feferman によれば
ω_1 < ω＾(ω＾(ω＾2))
である。
とある。
ω_1 は Church-Kleene の順序数とあり、non-recursive ordinal の最小
という意識はある。右辺は ε_0 より小さいので、話にもならないが、この
順序数の表記を全く理解せず、もちろん Feferman の論文の滅茶滅茶な誤解
と自身の妄想を膨らませた、トンデモ本の典型。本当にこの人、東大で基礎論
の授業してるの？
- 465 名前：406 mailto:sage [2012/05/14(月) 21:23:12.62 ]
- >>463
いいえ違います。>>462の
＞「ゲンツェンは、さらにこの定理を用いて、自然数論の無矛盾性の証明を有限の立場で遂行したのである。」
は竹内外史自身の言葉です。当該書か、>>406を読んでいただければわかると思います。
- 466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/14(月) 21:31:22.60 ]
- 順序数解析の人は大抵そうだけど、
竹内外史の場合は特に、「有限の立場」という言葉を
他人と違う意味で使うので。
まあ昔は有限の立場内で証明したと言い張らないと
相手にされないような状況があったんだろうとは思うけどね。
- 467 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/14(月) 23:05:36.07 ]
- 有限の立場について、一般的な意味と竹内外史の考える意味を是非教えて頂きたい
- 468 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/14(月) 23:47:04.39 ]
- 便乗して質問です。
以前、整列順序<ω_1CK, ＜>は算術の述語を用いてω上に定義することができないと
このスレにあった気がするのですが、
Σ1文では上手くいかないというのは分かるのですが、
もっと量化の複雑な式を用いて定義することはできるのではないでしょうか？
上の質問と関連するのですが、第一不完全性は、
公理（のゲーデル数）の集合がΣ1ではなくて
Σnだったときにも一般に成立するんでしょうか？
- 469 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/15(火) 00:09:38.33 ]
- 誰かA⇔ Bと論理的に等価でかつ、論理積と論理否定だけを使った適当な命題論理式わかる人いますか？
困ってます・・
- 470 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/15(火) 00:33:50.34 ]
- not(A∧notB)∧not(B∧notA)
- 471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/15(火) 01:04:37.11 ]
- ありがとうございます
- 472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/15(火) 02:15:15.68 ]
- >>464
それは誰かのブログでも繰り返し指摘されていましたが、それだけ？
たしかに酷い間違いですが、それだけで本が一冊まるごとトンデモになるほどのものではないですよね。
- 473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/15(火) 05:28:46.32 ]
- >>468
話題のこの人の論文はいかが？
arxiv.org/abs/math.GM/0307090
- 474 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/15(火) 07:45:40.24 ]
- >>468
Church-Kleene の順序数 ω_1CK には同値な定義がいくつもあって、
「算術の述語を用いてω上に定義することができない最小の整列順序」というのも
そうした定義の中の一つ。
この定義だとそれは自明なのだけど、貴方の意図している定義は？
- 475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/15(火) 08:16:44.18 ]
- >>473
いや私はω1CKは存在しないのではないかとか
そういうことを考えている訳じゃないのです。
あと0から始めて帰納的に定義される順序数は
recursiveだ、とみたいなことがその論文に書いてありますが
私はそういう言葉の使い方をしていません。
>>474
普通は<ω, ＜>が再帰的に定義できないような
（つまりΣ1述語で表現できないような）最初の順序という風に定義すると思います。
- 476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/15(火) 15:05:20.80 ]
- >>459
その論文が載ったIJPAMって雑誌はザルのような査読しかしないんだろうか？
- 477 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/15(火) 15:56:11.44 ]
- >>475
どの定義が普通だとか講釈できる位なのだから、
再帰理論にはさぞお詳しいのでしょう。
答えを知っているのに知らない振りして質問するのは何故？
- 478 名前：406 mailto:sage [2012/05/15(火) 20:46:07.73 ]
- >>466
＞竹内外史の場合は特に、「有限の立場」という言葉を
＞他人と違う意味で使うので。
ああ、そういうオチでしたか。それじゃあ、竹内外史の言う「有限の立場」というのは、超限帰納法と
同じかそれ以上のものだと言う事ですか。そうですか。ううむ。
なんか、抜け道みたいなのがあるのかなあ、と期待してしまったんだけどなあ。
- 479 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/15(火) 20:51:27.34 ]
- 別に何通りもの定義を洗いざらい調べたというのでは無くて
単に「算術の述語を用いて定義することができない」
という風に定義した文献を見たことが無いというだけです
Σ1述語で定義できないというのと算術の任意の述語で
定義できないというのではかなり隔たりがあると思います
前者との同値は明らかであることが多いですが
後者の定義は仮に同値だとしても私には証明できませんし
かといって反例も思いつかないのでここで質問させていただいています
- 480 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/15(火) 21:33:06.94 ]
- 算術＝Δ^0_ω＝Δ^1_0
ではないのですか？
- 481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/16(水) 03:19:02.84 ]
- ３ダースの次は北田均か。叩く対象の「プロ研究者度」がどんどん上がってるな。
- 482 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/16(水) 08:04:06.56 ]
- >>481
すると次はプロ中のプロのあの人か、P=NP?問題を解いたと自称する....
- 483 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/16(水) 10:32:59.06 ]
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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- 484 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/16(水) 11:40:34.80 ]
- >>476
IJPAM の査読がザルであることよりも、本人の頭がザルであること
が問題。
- 485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/17(木) 00:58:00.09 ]
- すみません、ちょっと質問です。
Stone空間とかStoneの表現定理を丁寧に説明している本って
ありますでしょうか？
位相空間とブール代数の関係を知りたくて『位相と論理』を
読んでみたのですが、いまいち判らないので別の本も読んで
みようかと考えています。
- 486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/17(木) 02:00:00.70 ]
- >>485
少し古いが、コッペルベルグ『現代のブール代数』共立出版。
品切れでなくてよかった。
あと、完全性定理の証明をあわせて読んでみると同じこととわかって有益。
- 487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/17(木) 03:59:20.67 ]
- 査読がそんなザルなら IJPAM に投稿しまくって論文数を稼がない手はないな
- 488 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/17(木) 21:27:20.22 ]
- >486
サンキューです。とりあえずジュンク堂で注文しました。
週末に読んでみます。
- 489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/17(木) 22:42:42.20 ]
- ストーンの定理のストーンってもっと尊敬されていて良いはずなのに
何故か誰も彼のことを語らないらしいね
- 490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/17(木) 22:54:45.62 ]
- >>479
大概の Recursion Theory の本には証明が載ってるよ。
Boundedness principle というものの帰結の一つで
算術的に限らず Σ^1_1 まで拡げられる。
- 491 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/17(木) 23:02:36.07 ]
- いわゆるゲンツェンの基本定理によって
対偶法・背理法といった間接証明で証明可能な命題は直接証明可能である
ということが導かれるのは何故でしょうか
- 492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/17(木) 23:09:03.13 ]
- >>489
スコートゥスの定理のスコートゥスも全然語られないな
- 493 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/18(金) 22:18:33.23 ]
- >>491
証明が存在するなら、部分論理式属性を持つ証明が
存在することを証明してるから。
証明図中に登場する全ての論理式が、帰結となる論理式または公理の
部分論理式になっているから、証明の中には証明する論理式と
公理以外は存在しない。
だから、直接証明可能。
- 494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/18(金) 23:28:03.14 ]
- >>493
すみません
仰ることは分かる気がするのですが
それを基本定理が示しているというのがピンときません
補間の存在の有無と仰ることがどう関連するのか
腑に落ちないというか…
仰ることが真の意味では全くわかっていないのかもしれません
- 495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/19(土) 00:23:45.28 ]
- >>494
web.sfc.keio.ac.jp/~mukai/modular/gentzen-NK.pdf
正確には、ゲンツェンの基本定理ではなく、その系から
導かれたはずです。
- 496 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/19(土) 01:19:31.09 ]
- ttp://web.sfc.keio.ac.jp/~mukai/modular/gentzen-NK.pdf
- 497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/19(土) 11:15:55.29 ]
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- 498 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/19(土) 13:17:20.64 ]
- 集合の質問ってここで良いのかな？
どなたかご存知でしたらお教え下さい。
A_B = {a∪b|a∈A, b∈B}
のような演算_は何か名前がついていたりしますでしょうか？
Webで検索してみたのですが、似たようなのは見付かりませんでした。
- 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/19(土) 15:43:16.74 ]
- 取り出す要素a,bによって演算A_Bの結果が変わるのけ？
- 500 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/19(土) 17:46:19.71 ]
- >>490
ありがとうございます。探してみようと思います。
- 501 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/19(土) 17:57:09.50 ]
- >>498
どういう脈略でそのような演算を考えたのですか？
- 502 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/19(土) 19:07:48.93 ]
- >>500
MoschovakisのDescriptiveSetTheoryという本（Webで無料公開中）に詳しく紹介されています。
- 503 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/19(土) 19:23:10.57 ]
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- 504 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 00:45:43.99 ]
- >>495
これを読んでもやはりその帰結が得られません
背理法は推論規則の一種だからということでしょうか
それなら定理である対偶にも適用可能というのがわかりません…
- 505 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 01:16:00.86 ]
- >>495
別のものを読んだら
少しわかってきました
正規化定理が成り立つ場合、その体系においては部分論理式原理が成り立ち、
この部分論理式原理が成り立つということが即ち直接証明可能な証明図の存在、
構成を可能にするということなのですね
- 506 名前：498 mailto:sage [2012/05/20(日) 01:33:15.23 ]
- >499
演算結果は集合になるので、一意に決まります。
>501
導出原理を集合として扱いたいのですが、そのような場合には
このような演算があった方が便利なようです。
- 507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 02:05:21.20 ]
- >>495
この文献を紹介された意味は
NKにおいても部分論理式原理が成り立つことが言えるということでしょうか
- 508 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/20(日) 10:06:47.97 ]
- >>507
NKの場合、単純な意味での部分論理式原理は成り立たない。
例：排中律 p∨¬p の証明図中には部分論理式ではない ¬¬(p∨¬p) の登場が必要。
- 509 名前：508 [2012/05/20(日) 10:10:12.46 ]
- 訂正：
例：排中律 p∨¬p の証明図中には部分論理式ではない ¬(p∨¬p) の登場が必要。
- 510 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/20(日) 10:23:14.26 ]
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- 511 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/20(日) 10:31:44.25 ]
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- 512 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/20(日) 10:35:39.13 ]
- >>491
「ゲンツェンの基本定理によって対偶法・背理法といった間接証明で証明可能な命題は直接証明可能である」
というのは、定理の雰囲気を説明するための喩え話のようなものではないでしょうか。
聞き流す分には害はないけれども、喩え話だけを見て深く考えようというのは不適切で、
深く考えたいならば基本定理の主張を正確に数学的に理解する必要があると思います。
- 513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 13:36:27.02 ]
- 正確に理解しない数学なんてありえない。
喩え話は数学には必要ない。
数学的直感は必要。
- 514 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/20(日) 15:49:04.71 ]
- >>513
例え話は例えた奴の理解度と知性がよくわかるので有用。
- 515 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/20(日) 15:56:37.42 ]
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- 516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 16:35:51.81 ]
- >>506
＞ 演算結果は集合になるので、一意に決まります。
取り出す要素a,bは一意でないのに？
それに要素a,bが集合でない場合の演算∪はどう定義される？
- 517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 16:46:15.80 ]
- >>516
大分的外れなこと言ってるね。
取り出す要素が一意だったらおかしいでしょ。
a,bが集合でない場合なんて考えようがないし考える意味もない。
- 518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 16:48:25.56 ]
- 取り出す要素が一意でないのに
aUbは一意に決まるのですか？
- 519 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 16:53:18.12 ]
- U_[p] ： {p：p=aUb(a∈A,b∈B)}
498から想像するに、おそらく こんな感じの演算。
aUb(a∈A,b∈B) のa,bが一意に決まらないのに
aUbが一意に決まるわけがない。
- 520 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 16:56:22.30 ]
- それだと A_B は 普通に A∪B になるんじゃね？
- 521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 17:02:09.42 ]
- ならない
A={ {1,2} ,{1,3} } B={ ｛0,1} } のとき
A∪B={ {1,2} ,{1,3},｛0,1} }
∪_[a∪b| (a∈A , b∈B)] ＝ { 0,1,2,3 }
{ a∪b| a∈A , b∈B) } ＝ { {0,1,2} , {0,1,3} }
- 522 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 18:25:46.10 ]
- >>519
一意に決まったらそれこそおかしいでしょ。
a,bは集合A,B全体を動く変数なんだから。
- 523 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 18:32:01.48 ]
- >>522
よく嫁。
519はa,bは一意に決まらないからa∪bは一意に決まらないと言っているだけだ。
{a∪b}とa∪bは違うと言っている。
- 524 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/20(日) 18:43:05.89 ]
- >>508
二重否定除去を用いる時点で背理法が使われている筈だから、￢を用いた式を新たに使わなければならない以上
部分論理式原理は成立しない、従ってNKにおいては対偶・背理法を用いず云々の話は言えない
ということでしょうか
つまり部分論理式原理はLKでは言えるがNKでは言えないと
- 525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 18:55:57.27 ]
- >>523
依然として何を問題視しているのかが見えない。
どこに問題があると考えているの？
- 526 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/20(日) 19:06:42.86 ]
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- 527 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 19:12:15.00 ]
- 499と516が
{a+b : aは2の（正の）約数、bは3の（正の）約数}
= {1+1, 1+3 ,2+1, 2+3} = {2, 3, 4, 5}
みたいな書き方を知らないだけだと思うな
- 528 名前：498 mailto:sage [2012/05/20(日) 19:13:38.69 ]
- >523
a∪bとしては一意に決まりませんが、{a∪b|a∈A, b∈B} としては一意に定まります。
正しく >521の演算の通りですね。
- 529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 19:23:19.24 ]
- たぶん特別な名前は付いてない
仮に付いててもメジャーじゃないから通用しない
- 530 名前：498 mailto:sage [2012/05/20(日) 20:00:09.17 ]
- >529
やっぱり無いですかね。それでは適当に定義することにしようかな。
- 531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/20(日) 20:37:09.49 ]
- ウェブサイト（erectuswalksamongst.us/Chap9.html）につき
そこでいう“Caucasian”は、
{Caucasians} ⊂ {Caucasoids}
である。また、そこでいう“Asian”は、「Mongoloid」の定義いかんでは
{Asians} ∩ {Mongoloids}C ≠ Φ
（{Mongoloids}C は {Mongoloids} の余集合を表わす）
という集合をつくる。簡単に分かることであるが、
{Caucasians} ∩ {Asians} ＝ Φ
である。 そして、次のような集合（集団） S が存在し得る：
S ⊂ {Asians} s.t. S ⊂ {Caucasoids}＼{Caucasians} ．
このような集団 S に属する人々としてどのような例がありますか？
- 532 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/20(日) 21:05:55.93 ]
- >>524
「対偶・背理法を用いず云々の話」は、誰かが言っているように喩え話なので、
これを論じ始めると各自の解釈に依存する泥沼になってしまうだけだと思う。
そのような非数学的議論を楽しむのも結構だが、それは次の数学的事実を
正確に理解してからの方がよいだろう。
[数学的事実]
NKで仮定無しに証明できるが、その部分式だけを使用した証明図では
証明できない論理式がある。
なお、この事実をもって「NKでは部分論理式原理が成立しない」
と言うかどうかは「部分論理式原理」の定義に依存する。
あなたは（あるいはあなたが読んでいる本は）「部分論理式原理」を
どう定義していますか？
- 533 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/20(日) 21:06:35.39 ]
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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- 534 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/20(日) 23:48:22.90 ]
- >>532
証明図中に登場する論理式について、仮定と結論の部分論理式以外のものは登場しない
ということでした
- 535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/21(月) 00:53:06.35 ]
- 家庭というのは前提のことです
- 536 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/21(月) 01:34:08.67 ]
- >>534
これはひとつの証明図に着目してそれが部分論理式原理をもつことの定義ですね。
そして「NKにおいて部分論理式原理が成り立つ」ということの定義はおそらく次ですね：
Γ |- φ を表す証明図（つまり、結論がφで仮定はすべてΓの要素であるような証明図）
が存在すれば、 Γ |- φ を表し部分論理式原理を持つ証明図が存在する。
そして、この定義の部分論理式原理がNKで成り立たないことは理解できますか？
ついでに言うと、定義を変えれば成り立つかもしれないというのは、
一例として、「部分論理式」の定義を少し変えて ¬(p∨¬p) が p∨¬p の部分論理式である、
と言えるようする、などです。
- 537 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/21(月) 02:04:43.46 ]
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- 538 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/21(月) 04:34:32.39 ]
- >>536
Aの部分論理式として
￢Aも、￢￢Aも認めないのであれば成り立たないですよね
で、￢￢Aを部分論理式として認めると、その帰結としては背理法・対偶を使わない正規形が存在しない、ということは言えませんよね
ということです
正規化定理⇒(修正された)部分論理式原理はいえても
部分論理式原理⇒正規形に間接証明を用いているものがない
は言えないと思う、ということなのですが…
- 539 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/21(月) 07:48:39.10 ]
- >>538
「背理法・対偶を使わない正規形」の正確な定義はありますか？
- 540 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/21(月) 07:57:14.62 ]
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- 541 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/21(月) 11:09:16.05 ]
- >>539
背理法を使う証明：命題(前提⇒結論)の否定から矛盾を導くことで命題を証明する証明
対偶を使う証明：結論の否定から前提の否定を導くことで命題を証明する証明
即ち前提⇒結論の部分論理式に￢をつけた論理式を部分論理式として認めるか否か
によって変わってくるということです
- 542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/21(月) 14:52:42.30 ]
- 背理法使わなかったら、完全性が成立しないんでないの？
- 543 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/21(月) 15:10:32.97 ]
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- 544 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/21(月) 15:17:43.85 ]
- >>541
「命題を証明する証明」の定義がわかりません。
「証明Pが命題Aを証明している」という概念の正確な定義は何ですか？
そもそも「命題」という言葉を「論理式」と同じ意味で使っていますか、
それとも違う意味で使っていますか？
- 545 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/21(月) 15:36:24.90 ]
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