- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/24(土) 09:46:09.53 ]
- 数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）
従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その11
uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325513069/
- 237 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/21(土) 18:01:42.55 ]
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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- 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/21(土) 21:21:25.94 ]
- テンプレが、多いのはつまらないことを書き込むなと
諭されているのでしょうか・・・・
>>215
に関しては、結局以下が同値であることを証明すれば
良いのですよね。
1.論理式ψが古典論理で証明可能で、
直観主義論理で証明不可能。
2.論理式ψが古典論理で証明可能で、
直観主義論理に論理式ψを公理
として加えた論理で、排中律が
証明可能。
どちらにしても、>>225の仰るとおり、完全性定理と
古典論理を直観主義論理に埋め込む方法をもう少し
ちゃんと勉強すべきなんでしょう・・・。
- 239 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/21(土) 22:25:38.42 ]
- 命題論理の公理の独立性を示すのと同じようなやり方でやるのかな？
- 240 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/21(土) 22:53:38.04 ]
- >>238
1.論理式ψが古典論理で証明可能で、
直観主義論理で証明不可能。
2.論理式ψが古典論理で証明可能で、
直観主義論理に論理式ψを公理
として加えた論理で、排中律が
証明可能。
この２条件は同値ではありません。
反例：ψ = (p→q)∨(q→p)
(p→q)∨(q→p)を直観主義論理に公理として加えたら
直観主義論理と古典論理の間に位置する「中間論理」になります。
中間論理は他にもたくさんあります（非可算無限個あります）。
たとえば鹿島亮の数理論理学には中間論理や
「論理式（たとえば(p→q)∨(q→p)）が直観主義論理で証明不可能なこと」
をクリプケモデルを構成して示すことが載っているので、
その辺りを勉強するとよいのでは。
- 241 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/21(土) 23:18:11.46 ]
-
1億人から選ばれた1人（A)が、1億人全員から口座に1円づつ振り込まれるとする
毎月1人選ばれるとすると1年間に12人が1億円の資産を持つことができる
10年で120人 20年で240人 30年で360人が1億円を手にできる
宝くじより確実
1億人全員が1億円持つことは可能か
- 242 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/21(土) 23:22:08.94 ]
- ナイキが有名になってから、ストライキやインキの表記を馬鹿にする人が減ったが、
クリプキ・クリプケどっちが標準的なんだろう？
- 243 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/21(土) 23:22:35.40 ]
-
全員がものすごく長寿ならほぼ可能。
- 244 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/21(土) 23:27:11.61 ]
- 直観主義論理は可能世界モデルに対して完全性定理が成り立つから
世界番号付きのタブロー法とかで証明可能か簡単に分かるよ。
- 245 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/21(土) 23:57:36.12 ]
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- 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/22(日) 06:50:01.43 ]
- >>240
>>244
ありがとう。要は認識論理の勉強をすればいいのですね。
- 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/22(日) 07:01:19.18 ]
- >>241
そもそも、一番初めに全員の総資産が、(1億)^2円なければ、
1億人全員が1億円持つことは不可能じゃ？
・・・そういうことじゃないの？
- 248 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/22(日) 08:32:13.06 ]
- 別に認識論理とかは必要ないと思うけど
www.amazon.com/Introduction-Non-Classical-Logic-Introductions-Philosophy/dp/0521670268
この本に非古典論理のタブロー法のやり方が色々載ってる
- 249 名前：240 [2012/04/22(日) 09:53:10.60 ]
- >>246
どういたしまして。
しかしあなたは、私(240)も244も認識論理なんていう単語を
まったく発していないのに、なぜこんなことを言うのですか？
- 250 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/22(日) 10:04:43.28 ]
- >>242
ググった結果、
クリプキモデル 約 11,200 件
クリプケモデル 約 427 件
でクリプキモデルの勝ち。
- 251 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/22(日) 10:59:59.82 ]
- 竹内外史先生はお元気ですか。
結構大きいことをおっしゃる人でしたが。
- 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/22(日) 11:00:53.59 ]
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- 253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/22(日) 12:04:05.92 ]
- >>251
N≠NPは解ける！って言っていたのになあ。
- 254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/22(日) 12:48:56.97 ]
- そんな問題は存在しないから誰にも解けないよ
- 255 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/22(日) 12:54:11.24 ]
- NP のことを Non-Polynomial だと思っている人がいる件について。
- 256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/22(日) 12:55:19.44 ]
- つ P≠NP
- 257 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/22(日) 12:55:38.94 ]
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- 258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/22(日) 13:42:19.95 ]
- >>249
いえ、単純に構成的プログラミングと認識論理関係の本が図書館に
あったので内容と参考文献を勉強すればいいんだろうなと思ったの
で・・・
- 259 名前：240 [2012/04/22(日) 14:46:16.28 ]
- >>258
そうでしたか。
まずは数理論理学の入門文献を読まれるのがいいのではないでしょうか。
その「構成的プログラミングと認識論理関係の本」の参考文献に
適当な本が紹介されていればそれでもいいし、
例えば 鴨 浩靖 先生（奈良女子大）の個人ページの下の書評ページにも
たくさん紹介されています。
- 260 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/22(日) 15:06:27.59 ]
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- 261 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/22(日) 16:08:23.34 ]
- >>241
>>241
その場合、寿命はないものと解釈していいよね？
寿命あったら貰えず死ぬ人がほとんど
寿命がなかったら、仕事をしたり年金によりずっと収入があるから
無限回数できるだろうから
それなら可能じゃないかな
それとも手持ちの金額が決まってる？
一度選ばれた人がまた選ばれるかどうかも知りたい
もしそうなら、たとえば一億持ってても選ばれず破産してしまう人いて一円支払えなくなるかもしれないからね
- 262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/24(火) 07:01:30.46 ]
- ?ttp://arxiv.org/pdf/1204.4045v1
- 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2012/04/24(火) 20:56:38.69 ]
- ろくに知りもしないで集合論以外の基礎論は数学ではないとかいう香具師は、
ろくに基礎論を知りもしないで基礎論は数学ではないという香具師と変わらん
少しくらい真面目に勉強してみてからそういうこと言えばいいのにな
- 264 名前：Ｐ⊃Ｑ≡〜〜(〜Ｐ∧Ｑ) [2012/04/24(火) 22:36:59.13 ]
- >>263
ありがとうございます
とても参考になりました
- 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/24(火) 22:41:44.05 ]
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- 266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/24(火) 23:54:47.74 ]
- 一昨日の夜10時位、横浜の公園で
オッサン好きのオレは、早速、デブの後を追いかけてる50才位のオッサンを見つけた
追いかけてみたら、そのオッサン、生意気にも「付いて来るな！あっちに行け！」と言いやがったｗ
その後、成り行きを注目してたら、オッサンもデブに｢来るな！｣と怒鳴られてた
で、便所の茂みを見ると、デブが俺に｢おいで、おいで｣をしてるｗ
ったく･･･、冗談じゃねぇよ｡
しょうがねぇなぁ･･･､世の中ってヤツはｗ
- 267 名前：(Ａ∨Ｂ)∧ＡＢ∧Ｋ mailto:だぶ [2012/04/25(水) 01:20:19.21 ]
- >>266
杏子さん、ありがとうございます
それは素晴らしいですね
論理学は面白いです
- 268 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/25(水) 06:20:48.91 ]
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- 269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/25(水) 08:44:32.96 ]
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- 270 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/25(水) 10:10:29.82 ]
- 数学基礎論入門 前原昭二/著
を読んでいていきなりわからなくなってしまったんですが質問させてください
p.20の問「定理2.2-2.8を用いて、公理II.1と公理II.2が空な仮定のもとで証明できることを示せ。」とありますが、
定理2.5「いかなる仮定のもとでも公理は証明できる。」から、空の仮定のもとでも公理は証明できる。
よって、公理II.1と公理II.2は証明できる。
ではいけないんでしょうか。
もしかして、この問においては定理2.2-2.8以外のことは(公理でさえ)知らないこととして証明しなければならない、という意味なんでしょうか？
- 271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/25(水) 13:34:19.93 ]
- 定理2.2-2.8を"公理・推論規則"だと思って、公理II.1と公理II.2を"定理"として導け
という意味かと。
要は、公理・推論規則の設定の仕方は一通りではない、という話。
- 272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/25(水) 18:24:51.82 ]
- 公理II.1と公理II.2、および推論規則1が
「→」の直観的な働きを過不足なく規定していることを認識させたいのだろうな、著者としては
- 273 名前：ウンコちゃん ◆TE6vHyq7MA mailto:age [2012/04/25(水) 21:24:50.30 ]
- 241 １３２人目の素数さん 2012/04/21(土) 23:18:11.46
1億人から選ばれた1人（A)が、1億人全員から口座に1円づつ振り込まれるとする
毎月1人選ばれるとすると1年間に12人が1億円の資産を持つことができる
10年で120人 20年で240人 30年で360人が1億円を手にできる
宝くじより確実
1億人全員が1億円持つことは可能か
- 274 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/25(水) 21:41:30.96 ]
- >>271-272
なるほど…あれだけの問でそこまで考えられるんですね
ありがとうございます
- 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/25(水) 22:42:39.28 ]
- いやその後の展開がわかってるからそう言う風に分かるのさ
いわば後出しじゃんけんみたいなもの
分配法則だって小学校でならうけど本質的な意味が分かるのは
大学で代数ならってからでしょ、それと同じ。
- 276 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/26(木) 00:07:10.67 ]
- タイヘン参考になりました
- 277 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/26(木) 01:47:52.37 ]
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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- 278 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/27(金) 00:01:18.95 ]
- >>275
そうでしたか
やはり分かる人に聞くのは大事ですね
問の答は、公理II.1については
仮定A,Bのもとで、Aは証明できる。(定理2.6)
よって、仮定Aのもとで、B→Aは証明できる。(定理2.7)
ゆえに、空な仮定のもとで、A→(B→A)は証明できる。(定理2.7)
で良いんでしょうか。
また、公理II.2についてはどう証明してやれば良いんでしょうか。
よろしければ教えてください。
- 279 名前：〜(Ａ⊃Ａ)⊃Ｄ∨Ｐ [2012/04/27(金) 05:18:22.84 ]
- ありがとうございます！
- 280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/27(金) 06:34:38.10 ]
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- 281 名前：１３２人目の素数さん mailto:アsoko [2012/04/27(金) 16:11:57.50 ]
- アナルアナル あっ そこはやめて おねがい ねこにして いぬでもいいの
うしろはアナル あっ そこはやめて おねがい ねこにして いぬでもいいの
まえは ヴぁぎな あっと そこはやめて おねがい ねこにして いぬでもいい
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- 282 名前：(Ａ⊃Ｂ)⊃ＣＩＡ [2012/04/28(土) 00:51:17.18 ]
- >>281
ありがとうございます
おはやうございます！
- 283 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/28(土) 13:13:51.20 ]
- 京都の事故
44 名前：名無しさん＠１２周年[] 投稿日：2012/04/12(木) 20:06:17.25 ID:LKXz/REk0
かつてはてんかん患者の自動車免許取得は法的に制限されていたが、
2002年6月の道路交通法改正によって、発作が起きても意識障害を伴わない又は、
発作が就寝中に限るなどの患者は、公安委員会の検査や、医師の診断書を提出するなどの条件付で取得に道が開かれた。
日本てんかん協会の運動で、てんかんでも免許取得が可能になった。
その結果、案の定、２００２年以降、てんかん患者のひきおこした重大な事故が急増
2011/04 栃木・鹿沼 6人死亡 （持病を隠蔽、過去に事故2件）
2011/04 島根・松江 1人死亡 （持病を隠蔽、薬飲まず）
2011/05 広島・福山 4人重軽傷 （過去に事故2件）
2011/07 愛知・岩倉 2人死亡 （通院歴なしで不起訴）
2011/10 鹿児島・姶良 1人死亡4人重軽傷 （過去に物損事故、薬飲まず）
2012/02 栃木・宇都宮 6人重軽傷 （昨年7月に事故、運転しないと誓約書）
すると2002年の法改正で可能になった、てんかん患者の自動車免許取得を既得権益とする
共産党が支援している日本てんかん協会は
「てんかん患者の権利を守れ」と法務大臣に要望書を提出
uni.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1334225953/
その三日後にまたしても死亡事故発生
2012/04 京都・東山区 7人死亡9人重軽傷 （数日前に発作、姉と相談）
日本てんかん協会 （共産党の支援団体）
住所 東京都新宿区西早稲田2-2-8
＞＞権利を守れ
＞＞西早稲田2-2-8 差別利権で食ってる団体だな
- 284 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/28(土) 14:41:14.36 ]
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- 285 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/28(土) 19:54:39.00 ]
- またゲーデル本出てた。
www.amazon.co.jp/gp/product/4130639005/ref=pd_lpo_k2_dp_sr_3?pf_rd_p=466449256&pf_rd_s=lpo-top-stripe&pf_rd_t=201&pf_rd_i=4622075695&pf_rd_m=AN1VRQENFRJN5&pf_rd_r=1DCGWNG26HPKQ67C0E85
内容は岩波の不完全性定理の完全な解説。
ページ上半分が元論文で下半分が文章での解説。
初学者には分からん内容。
不完全性定理既習でゲーデルのオリジナル証明に興味ある奴必携。
後ろの方に計算理論とかが多少紹介されてるが
基本的には初学者向けの論理学の学習にはならない。
- 286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/28(土) 22:10:26.81 ]
- >>285
Amazonでは"gp/product/"や"dp/"の後の10桁の数字だけで本を指定できます。
ゲーデルに挑む: 証明不可能なことの証明
www.amazon.co.jp/dp/4130639005
- 287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/28(土) 23:09:47.76 ]
- 知らんかった！
- 288 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/28(土) 23:11:22.28 ]
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- 289 名前：STS446 [2012/04/29(日) 07:39:01.09 ]
- まず初めに謝罪します。
私は「考える人」であり「超越論的数学者」であり、
「山之内彰」であり、「超越論的数学天使」であり、
「おさーん」でありました。
様相論理の件で論破されてのも私でした。
それではなぜこのような悲劇に至ったのかをお話ししましょう。
まず私は数学の素人です、論理学もまだ不完全性定理まで進んでいません。
しかしそれでも計算機の本（とりわけ赤間先生や人工知能関連）を読んでいると、
すぐにわかったようなレスができるようになりました。
そこでメレオロジーやオントロジーや記述論理といった
形式化オタクの文化を学習していきました。
ですから私は何もしらない単なる素人でしかないのです。
- 290 名前：STS446 ◆xKQl9rTMwao4 [2012/04/29(日) 07:44:22.43 ]
- 申し訳ない！
しかし様々な本で知った知識をここで開放したかった、
それだけのことでした。
- 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 08:11:19.42 ]
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- 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 08:12:00.65 ]
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| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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- 293 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/29(日) 08:28:27.15 ]
- >>289 >>290
赤間世紀さんの本ってこういう需要に支えられているのですよね。
- 294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 08:37:08.26 ]
- 不完全性定理について、いつも思う事ですが、
任意の仮定Aについて
1.仮定Aは、反例のモデルが存在する。
2.仮定Aは、証明可能。
3.仮定Aは、その公理系と独立。
の何れかであるのでしょうか?
ならば、仮定Aについて、少なくとも反例のモデルが
存在しないことは、どのような無矛盾な公理系でも
証明可能なのでしょうか?
- 295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 08:48:56.11 ]
- ただ、もし上記が恒真なら、仮定Aが独立ならば、
仮定Aについて、少なくとも反例のモデルが存在しない。
仮定¬Aについて、少なくとも反例のモデルが存在しない。
が、証明できるので、どのような仮定Aも
1.仮定Aは、反例のモデルが存在する。
2.仮定Aは、証明可能。
3.仮定Aは、その公理系と独立。
に分類できる事になり、「不完全性定理」の「完全」の意味で
ある種の「完全」なんじゃないかと、私は思うのです。
- 296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 09:11:15.29 ]
- >>294
＞不完全性定理について、いつも思う事ですが、
＞
＞任意の仮定Aについて
＞
＞1.仮定Aは、反例のモデルが存在する。
＞2.仮定Aは、証明可能。
＞3.仮定Aは、その公理系と独立。
＞
＞の何れかであるのでしょうか?
3はいらない。3は1に含まれてる。
＞ならば、仮定Aについて、少なくとも反例のモデルが
＞存在しないことは、どのような無矛盾な公理系でも
＞証明可能なのでしょうか?
なぜそんなことが言えるというのか。
- 297 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/29(日) 09:13:31.22 ]
- >>294-295
全く意味がわからない。
- 298 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/29(日) 09:23:20.98 ]
- Ａがある公理系Ｔから独立なら、ＴとＡが成り立つモデルが存在するし、Ｔと¬Ａが成り立つ別のモデルが存在する。
- 299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 09:26:07.33 ]
- >>3はいらない。3は1に含まれてる
正確には、
1.仮定Aは、反例のモデルが存在する。
は、
1.仮定Aは、その公理系と矛盾する。
と書いた方がいい。
>>なぜそんなことが言えるというのか。
だから、疑問形なのです。
- 300 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 09:30:21.39 ]
- つまり、私は、どのような無矛盾な公理系でも、
任意の仮定Aが「少なくともその公理系と矛盾しない」ことは
常に証明できるのか？
と言う疑問です。
- 301 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/29(日) 09:33:01.53 ]
- >>300
「私は…証明できるのか？」
？？？
- 302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 09:36:53.76 ]
- >>301
つまり、私は、以下を疑問に思っています。
<以下略>
って意味です・・・orz
おそらく、根本的に色々理解してないのだと思いますが。
- 303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 09:39:57.18 ]
- 任意の仮定Aは、公理系が無矛盾であれば、
何れかに分類できるか?
1.仮定¬Aは、証明可能。
2.仮定Aは、証明可能。
3.仮定Aは、その公理系と独立。
そして、仮定Aがどこに分類される事は、
常に証明可能なのか？
と言う疑問です。
- 304 名前：STS446 ◆xKQl9rTMwao4 [2012/04/29(日) 10:13:51.41 ]
- >>293
そうだと思います。
結局普通に学習した方が早いんでしょうが...。
何というか理解よりもカッコイイタームに引きずられている自分が恥ずかしいです。
特に多いんですよねコンピュータサイエンスってこんな用語が...。
さすがに本場の数学系論理学にはついていけないし。
- 305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 10:16:54.70 ]
- >303
公理系と仮定Ａについての全ての関係
1.仮定¬Aは、公理系のみを用いて証明可能。
2.仮定Aは、公理系のみを用いて証明可能。
3.仮定Aと¬Aは、公理系のみでは証明不可能（独立）
4.仮定Aと¬Aは、公理系のみを用いて証明可能（矛盾）
において、4.は存在しないということ？
公理系が無矛盾であることを前件としているのだから、当たり前のような気がするけど。
- 306 名前：305 mailto:sage [2012/04/29(日) 10:21:56.29 ]
- このあたりは「形式論理学 その展望と限界」が分かり易いと思う。
他に良い本あるかね？
- 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 10:26:06.60 ]
- >>303
証明可能。
無矛盾ならその3通りしかありえんから。
- 308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 10:41:45.06 ]
- >>無矛盾ならその3通りしかありえんから。
私も、そう思うのです。
ここでの疑問は、
1.仮定¬Aは、証明可能。
2.仮定Aは、証明可能。
3.仮定Aは、その公理系と独立。
4.仮定Aは、上記の1-3の何れかであるかを決定できる証明が存在する。
5.仮定Aは、上記の1-3の何れかであるかを決定できる証明が存在する。
5になるような、仮定Aは存在するのか？
と言う疑問です。
- 309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 10:42:36.87 ]
- >>5.仮定Aは、上記の1-3の何れかであるかを決定できる証明が存在する。
5.仮定Aは、上記の1-3の何れかであるかを決定できる証明が存在しない。
の間違い。
- 310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 10:47:08.50 ]
- 今考えているのは第一不完全性定理ですよね？
その場合、４と５における
「上記の1-3の何れかであるかを決定できる証明」は、
別の公理系によるものなので（我々のメタ理論）、
１から３での証明とは別の世界のものになります。
- 311 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 10:57:18.64 ]
- >>１から３での証明とは別の世界のものになります。
そこなんですよね。よく分からないの。
つまり、
「その公理系と独立であることが証明できる無矛盾な公理系」は、
必ず存在する。
と言う命題は、真か?偽か?決定不能か?
と言う疑問なんだと思います。
- 312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 11:06:29.95 ]
- 全ての仮定A下記の何れかに属する。
1.仮定¬Aは、証明可能。
2.仮定Aは、証明可能。
3.仮定Aは、その公理系と独立。
仮定Aが独立である時、仮定Aが独立であることを
証明可能な無矛盾な公理系は常に存在する。
上記は、真か?偽か?決定不能か?
- 313 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 11:08:24.33 ]
- >311
言い替えると、
「公理系が無矛盾ならば
公理系+仮定A
公理系+仮定¬A
のいずれか、あるいは両方が無矛盾である」
という命題を証明できるか
ということかね。
両方矛盾するのは公理系または仮定Ａが矛盾する場合しか無いから、
それ以外は成立するんじゃないの？
- 314 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 11:15:53.47 ]
- 可能ですよ。
集合論なんて正にそういう研究ばっかやってますよ。
- 315 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/29(日) 11:18:22.93 ]
- __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
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- 316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 11:19:16.78 ]
- >>313
どっちらかと言うと、
公理系が無矛盾であることを前提に、
公理系+仮定A
公理系+仮定¬A
の何れか、あるいは両方が無矛盾である事を
証明できる公理系が存在する。
上記は、真か?偽か?決定不能か?
が近いのだと思います。
- 317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 11:22:54.42 ]
- >316
公理系+仮定Aと公理系+仮定¬A自体も公理系になるから、
言っていることは同じことですな。
集合論の強制法あたりの勉強をすれば良いと思うけど、あれも難解だしなぁ。
- 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 11:31:06.37 ]
- 強制法・・・無茶だ・・・orz
- 319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 11:32:41.45 ]
- >313の間違い見つけた。
仮定Aが矛盾するときは仮定¬Aは恒真になるから、>313は公理系が矛盾する場合だけ
考えればいいね。
ということで命題は成立すると思う。
- 320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 11:41:16.04 ]
- そもそも証明可能や矛盾の定義が何かを考えれば
メタ理論が何かなんて関係ないし強制法もいらない。
- 321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 12:57:49.37 ]
- メタとオブジェクトの区別はついてるつもりだけど、
メタ定理の「証明」とかそもそもメタ言語の「定義」
とかってどう定義されるの？
何をもってメタ定理を証明したとか、メタ言語を定義したと
判断されるの？
- 322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 13:13:10.27 ]
- それはこのスレではるか以前に出た話題だけど、
通常の数学（解析学）なんかをやる場合と同じ
論理と集合による議論を前提をしている。
定義は定義、証明は証明であって、定義も何もない。
- 323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 13:44:18.79 ]
- >>295で私が言いたかったのは、
全ての仮定A下記の何れかに属する。
1.仮定¬Aは、証明可能。
2.仮定Aは、証明可能。
3.仮定Aは、その公理系と独立。
仮定Aが独立である時、仮定Aが独立であることを
証明可能な無矛盾な公理系は常に存在する。
上記が証明可能もしくは、独立であることが
証明できる無矛盾の公理系が存在するならば、
あらゆる無矛盾の公理系のあらゆる命題において、
「誤りではない」ことを必ず証明でき、ある種の
無矛盾な論理としての極大性があるのではないか?
と言う疑問です。
- 324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 13:47:01.31 ]
- >>あらゆる無矛盾の公理系のあらゆる命題において、
>>「誤りではない」ことを必ず証明でき、
あらゆる無矛盾の公理系のあらゆる命題において、
「誤りではない」か「誤りである」こと(独立
ならば、誤りではないとして)を必ず証明できる
と言う意味
- 325 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 15:03:16.66 ]
- >>322
じゃあ通常の数学における言葉の様式、習慣を受け入れてる人にとっての
定義や証明ということ？
メタ定理っていうのは通常の数学を受け入れてる
人にとって信頼できる文章で、受け入れてない人にとっては定か
ではないのかな。また通常の意味で、数学的に証明されたことは
疑いなく正しいと数学者は言うけどそれは何によって保証
されてるの？あるいは、あくまで一つの言葉の様式で経験的に
それによる結論が信頼できる言葉の様式とされてるだけ？
- 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 15:13:26.84 ]
- >>325
それは形式的証明にも同じことが言えるよね
- 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 15:16:10.24 ]
- 1 名無しさんにズームイン！ [] Date:2012/03/28(水) 08:28:15.02 ？ID:NWYs/2ZP Be:
やらなけゃいけない
電○の各局への圧力が半端ないんです
昨日、一昨日前田AKB卒業ネタやった情報番組全てが前田AKB卒業ネタ中の毎分で視聴率がダダ下がりしました。
各局本音では毎分視聴率ダダ下がりするこのネタははやりたくなかったけど原子力村以上に電○からの圧力が凄いんです
ブーム捏造、枕営業、自社買い、サクラの動員そして
AKBの捏造ブームのために税金が大量に使われている証拠がこちら
やっと気付いた「AKBに電通が絡んでる」ではなく「AKBの正体が電通」な件 その127
hayabusa3.2ch.net/test/read.cgi/mor●ningcoffee/1335468718/
AKBの宣伝に税金を使い、その税金が民主党に流れている
テレビの捏造に騙されるな
- 328 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/29(日) 16:54:09.00 ]
- >>325
そんな軽率なことを言う数学者ばかりじゃないよ
- 329 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/29(日) 16:54:19.06 ]
- >>323
まず無矛盾なら、
1.仮定¬Aは、証明可能。
2.仮定Aは、証明可能。
3.1でも２でもない場合。
の３通りのいずれかで、
これはΔ^0_1文までしか使わない理論なら決定可能。
不完全性定理の発生する理論はこれより階層が上。
もし我々のメタ理論がオブジェクトの理論と同等と仮定するなら、
例えばΣ^0_1文の否定がΠ^0_1文になるけど、
一般にΠ^0_1文の（モデル論的）完全性は成り立たない。
Π^0_1文の完全性を成り立たせるためには、
・２階の文を表現できないように、算術の表現能力を制限する。
・理論の公理系の再帰性を捨てる。
の２つの回避方法があって、
前者の例がプレスバーガ算術、後者の例が真の算術（Σ^0_ω）。
我々のメタ理論がオブジェクト理論よりどれだけ無矛盾性が強いとしても、
帰納的には決定できない、ただし強制法が使える。
もちろんこのときのメタ理論には推移モデルの存在が仮定されていたりするので、
第2不完全性定理の影響は受けない。
- 330 名前：321 mailto:sage [2012/04/29(日) 18:24:42.19 ]
- >>326
文字列をオブジェクト言語とする
見方をしている下で、その文字列はそのオブジェクト
言語において定義されている証明であったりする。
こういう理解でいいのかな。
>>328
そうなのか。俺はごく一部の数学者の発言
しか知らないからなあ。大学の数学の先生とか。
数学的証明の確かさってのも普遍的ではなく、
言葉の様式に相対的なものなのか。
- 331 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/29(日) 19:33:08.89 ]
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| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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- 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 20:23:51.37 ]
- >>329
つまり、>>323は一般には「偽」である事が証明できる
と言う意味でしょうか?それとも、推移モデルの存在が
仮定されるのであれば、「真」と言う事でしょうか?
推移モデルの存在の仮定とは、>>329そのものとは
また違うのでしょうか?
- 333 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/29(日) 21:12:35.25 ]
- STS446さん。何があったの？びっくりしたし、がっかりした。
- 334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/29(日) 21:38:54.94 ]
- >>332
いえ、
1.仮定¬Aは、証明可能。
2.仮定Aは、証明可能。
3.仮定Aは、その公理系と独立。
ですが、これらの何れになるかは個別には一階述語論理で既に決定不能です。
ですから不完全性定理の成り立つ算術体系（クリエイティブ理論）も決定不能です。
決定不能とは真偽の判定自体ができないということですね、どのようなメタ理論においても。
ただし個別の論理式に対して様々な手法を用いて１〜３の何れかを言うことはできます。
一方で、これらの3つのパターンしか存在しないということ自体は定義から明らかでしょう、
どのようなメタ理論においても。
推移モデルの存在は別の話で、
強制法があたかも不完全性定理に反するように見えることに関する注意です。
あんまり関係ない話題で誤解を生んでしまったようでした...。
- 335 名前：STS446 ◆xKQl9rTMwao4 mailto:sage [2012/04/29(日) 21:54:18.28 ]
- >>333
logsoku.com/thread/science6.2ch.net/math/1265884076/551-556
これがかつての私です。
logsoku.com/thread/kamome.2ch.net/math/1289481237/
このスレの368も私です。
logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1319895756/
ここの766以降の考える人もそうですね...。
色々やってきました＾＾；
- 336 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/29(日) 22:08:15.39 ]
- もうみんなつまんない知ったかとか衒学趣味はやめて
素直に数学と論理をやろうぜ。
これからは好きなことをとことん突き詰める！
- 337 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/29(日) 22:22:52.12 ]
- >>336
いいこと言った！
論理学は好きだ
だが、自分は数学はわからん！
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