- 329 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/29(日) 16:54:19.06 ]
- >>323
まず無矛盾なら、
1.仮定¬Aは、証明可能。
2.仮定Aは、証明可能。
3.1でも２でもない場合。
の３通りのいずれかで、
これはΔ^0_1文までしか使わない理論なら決定可能。
不完全性定理の発生する理論はこれより階層が上。
もし我々のメタ理論がオブジェクトの理論と同等と仮定するなら、
例えばΣ^0_1文の否定がΠ^0_1文になるけど、
一般にΠ^0_1文の（モデル論的）完全性は成り立たない。
Π^0_1文の完全性を成り立たせるためには、
・２階の文を表現できないように、算術の表現能力を制限する。
・理論の公理系の再帰性を捨てる。
の２つの回避方法があって、
前者の例がプレスバーガ算術、後者の例が真の算術（Σ^0_ω）。
我々のメタ理論がオブジェクト理論よりどれだけ無矛盾性が強いとしても、
帰納的には決定できない、ただし強制法が使える。
もちろんこのときのメタ理論には推移モデルの存在が仮定されていたりするので、
第2不完全性定理の影響は受けない。
