- 25 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/02/24(金) 16:24:47.86 ]
- 命題
>>22と同じ状況を仮定する。
各 i ∈ I に対して G_i の固定体（過去スレpart4の863）を F_i とする。
即ち F_i = {x ∈ L；各 σ ∈ G_i に対して σ(x) = x }
各 i ∈ I に対して E_i = ∩{F_j； j ∈ I - {i}} とおく。
このとき [E_i ： K] ≦ |G_i| である。
証明
>>23から任意の σ’∈ Aut(L/K) と任意の x ∈ E_i に対して σ’(x) = σ(x) となる σ ∈ G がある。
σ = (σ_k) ∈ G = ΠG_k とする。
>>22の証明より I の有限部分集合 J = {j_1、．．．、j_n} で i ∈ J となるものがあり
σ(x) = σ_(j_1)．．．σ_(j_n)(x) となる。
仮定より各 j ∈ I - {i} に対して σ_j(x) = x である。
k ≠ j なら G_k と G_j の各元は可換であるから
σ’(x) = σ(x) = σ_(j_1)．．．σ_(j_n)(x) = σ_i(x)
よって、>>20より [E_i ： K] ≦ |G_i| である。
証明終
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