- 20 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/02/24(金) 12:08:27.66 ]
- 補題
K を可換体とする。
L/K をGalois拡大（過去スレpart4の848）とする。
E を L/K の中間体（過去スレpart4の854）とする。
T を Aut(L/K)（過去スレpart4の847）の有限部分集合とする。
任意の σ ∈ Aut(L/K) と任意の x ∈ E に対して σ(x) = τ(x) となる τ ∈ T があるとする。
このとき [E ： K] ≦ |T| である。
ここで |T| は T の要素の個数である。
証明
任意の x ∈ E に対して x の K 上の最小多項式（過去スレpart4の554）を f(X) とする。
f(X) の L における根の集合を S とする。
x ∈ S であるから任意の τ ∈ T に対して τ(x) ∈ S である。
逆に任意の y ∈ S に対して過去スレpart4の613より
K-同型（過去スレpart4の514）ρ：K(x) → K(y) で ρ(x) = y となるものが存在する。
過去スレpart4の887より σ ∈ Aut(L/K) で ρ の拡張であるものが存在する。
仮定より σ(x) = τ(x) となる τ ∈ T がある。
σ(x) = ρ(x) であるから y = τ(x)
よって、S = {τ(x)；τ ∈ T} である。
よって、|S| ≦ |T| である。
よって、f(X) の次数は |T| 以下である。
E/K は分離代数的（過去スレpart4の843）だから過去スレpart1の434より [E ： K] ≦ |T| である。
証明終
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