命題 (G_i)、i ∈ I を有限群の族とする。 G = ΠG_i を (G_i)、i ∈ I の直積とする。 各 i に対して忠実（過去スレpart5の843）な (G_i)-集合（過去スレpart5の77）S_i が存在する。 例えば S_i として G_i を取り G_i の正則表現をとればよい（>>11）。 S = ΣS_i を族 (S_i)、i ∈ I の直和集合とする。 >>13より S は忠実な G-集合（過去スレpart5の77）となる。 k を任意の可換体とする。 >>9より S を不定元の集合とする k 上の有理関数体 k(S)（>>8）が存在する。 L = k(S) とおく。 >>10より G は Aut(L/k) の部分群と見なされる。 K = {x ∈ L；各σ ∈ G に対して σ(x) = x } とおく。 このとき L/K はGalois拡大（過去スレpart4の848）である。
証明 L は G-集合と見なされる。 x を L の任意の元とする。 過去スレpart5の848より x の軌道（過去スレpart5の92）O(x) = {σ(x)； σ ∈ G} が 有限集合であることを示せば良い。 各 i ∈ I に対して G_i は G の部分群と見なされる。 I の有限部分集合 J があり x ∈ k(∪{S_j；j ∈ J}) となる。 σ = (σ_i) を G = ΠG_i の任意の元とする。 J = {j_1、．．．、j_n} のとき σ(x) = σ_(j_1)．．．σ_(j_n)(x) となる。 よって、|O(x)| ≦ Π[i ∈ J] |G_j| である。 ここで |O(x)| と各 |G_j| はそれぞれ O(x) と G_j の集合としての濃度を表す（過去スレpart1の180）。 各 G_j は有限群であるから |O(x)| は有限である。 証明終
