面白い問題おしえて〜な 十九問目

1 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/03(木) 00:12:57.26 ] 過去ログ www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/ まとめwiki www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/ 1 cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/ 2 natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/ 3 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/ 4 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/ 5 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/ 6 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/ 7 science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/ 8 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/ 9 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/ 10 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/ 11 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/ 12 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/ 13 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/ 14 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/ 15 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/ 16 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/ 17 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/ 18 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/ 477 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/05(土) 14:46:08.17 ] ああああ、重要な問題に気付いてしまった。 3を逆から読んでも3だというなら、 (1-1) という式は逆から読むと )1-1( になるじゃないか。 括弧は例外として逆向きにする、というのはちょっと苦しいか・・・。 とりあえず、左括弧と右括弧は逆から読むと入れ替わるということでお願いします。 478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/05(土) 14:50:21.81 ] さすがに括弧()が)(に変化するなら 式に現れる最後の閉じ括弧)が逆から読むと 式の先頭に来てしまう。つまり括弧の対応は必ず崩れるので使えない 括弧が使えないと除算は常に最優先となってしまうので どう頑張っても式全体の分母は1にしかならない つまり有理数は作れなくなってしまう 479 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/05(土) 15:07:42.29 ] エラー出まくりで返事遅れてすいませぬ。 >>476 なるほど、それでいけますね。 ↓想定していた解答。 表したい有理数をa/bとする。 ただしa,bは整数、a+b≧0となるように表しておく。 a>bなら (1-(a+b)-(a-b+1))÷((a-b+1)-(a+b)-1) a<bなら ((b-a+1)-(a+b)-1)÷(1-(a+b)-(b-a+1)) で、a+b,a-b+1,b-a+1を1-1-…-1に置き換える。 480 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/05(土) 15:10:56.69 ] >>479 なんかいろいろ間違ってるけど適当に脳内補正お願いします。 481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/05(土) 15:23:10.74 ] >>479 一応ちゃんと訂正しときます。 表したい有理数をa/bとする。 ただしa,bは整数、a+b<0となるように表しておく。 a<bなら (1-(a+b)-(a-b+1))÷((a-b+1)-(a+b)-1) a>bなら ((b-a+1)-(a+b)-1)÷(1-(a+b)-(b-a+1)) で、a+b,a-b+1,b-a+1を1-1-…-1に置き換える。 482 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/07(月) 14:16:21.18 ] m個の玉を無作為にn個の箱に入れるとき箱が1つだけ空になる確率を求めよ ただし、mとnをm≧n≧1を満たす整数とする 483 名前：あんでぃ mailto:sage [2012/05/07(月) 15:17:09.13 ] (　　 /＼＿＿／ヽ 　 ／／~　　~＼:＼ 　｜ (●)　(●) :｜ 　｜　ノ(＿)ヽ ::｜ 　｜　`-=ニ=-′::｜ 　 ＼　 `＝′ ::／ 　 ／｀ー――-´＼はぁ？…) 484 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/08(火) 00:49:25.23 ] >>482 エレガントな解答か解放があれば息してよし 485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/08(火) 01:46:10.90 ] >>484を解放せよ 486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/08(火) 13:44:03.90 ] a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = e^2 + 1 を満たす素数a、b、c、d、eの組をすべて求めよ 487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/08(火) 20:30:00.10 ] e=5. 488 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/08(火) 21:40:26.35 ] >>487 それ以外にないのかね？ 489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/08(火) 22:33:24.98 ] x^y = y^(x^3) をみたす自然数x、yの組をすべて求めよ 490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/08(火) 22:35:00.63 ] 2^x + 3^y + 5^z = n! （x、y、zは整数、nは自然数） をみたす整数x、y、z、nの組をすべて求めよ 491 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/08(火) 23:50:01.87 ] >>489 (x, y) = (1, 1) 492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/08(火) 23:50:41.97 ] 実質2^2+2^2+3^2+3^2=5^2+1しかないな 493 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/09(水) 00:00:32.95 ] それ以外にないことは、どうやって証明できるん？ 494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/09(水) 00:04:21.05 ] しかもどれほどエレガントに？？ 495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/09(水) 00:08:20.92 ] そーだそーだ！ 解を一つ書いて解けたつもりなのか？ 小学生かよ！ 496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/09(水) 01:09:57.42 ] なんか面白いからこのまま小学生呼ばわりさせてみよう 497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/09(水) 01:20:00.30 ] 0,0. 1,1. 4,256. 498 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/09(水) 01:30:00.08 ] 1,1,0,3. 2,0,0,3. 4,1,1,4. 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/09(水) 01:30:05.45 ] まあmod 12で調べていけば素数の二乗は1,4(2のみ),9(3のみ) 左辺4つ足しあわせて右辺に可能性があるのは、全て試すと 4+4+9+9 ≡ 2 mod 12のタイプしか残らない 500 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/09(水) 05:05:00.20 ] >>482 誰も答えないから、解答www 1からnまでの目があるサイコロをm回投げた場合に nが出ない目の集合をA(n)とおくと、、全ての目が出る場合の数は n^m-Σ[i=1,n]A(i)+Σ[i=1,n]Σ[j=1,n∧i≠j]A(i)∩A(j)-．．． =Σ[i=0,n-1](-1)^i*C[n,i]*(n-i)^m) となることを用いると、求める確率の場合の数は空箱を1つ選択してから 1からn-1までの目があるサイコロm回投げて全ての目が出る場合の数 Σ[i=0,n-2](-1)^i*C[n-1,i]*(n-i-1)^m に等しいから、求める確率は Σ[i=0,n-2](-1)^i*C[n-1,i]*(n-i-1)^m/n^(m-1) 501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/09(水) 17:45:05.63 ] >>489 うひょっ！どうやって解くのですか 502 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/09(水) 22:11:25.99 ] >>501 k = x^3/y とおくと、y = k^{1/(3k-1)} という式が出てくる。 y = 1 と y ≧ 2 で場合分け。 503 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/10(木) 08:12:31.50 ] 自然数 n、整数 x、y、z のとき、n！= 2^x + 3^y + 5^z をみたす x、y、z、n をすべて求めよ 504 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/10(木) 09:28:18.83 ] lim[n→∞] {(n!)^(1/n)}/n を求めよ 505 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/10(木) 09:36:26.22 ] >>504 1/e 506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/10(木) 09:38:11.88 ] >>503 mod 3 で考える。 507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/11(金) 21:37:28.35 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 508 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/11(金) 21:58:50.63 ] >>507のタイーホまだ？ 509 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/12(土) 14:17:01.53 ] >>503 mod 3, mod 5, mod 8で考えると、 n≧5、x≧3、y≧1、z≧1には解が存在しないことがすぐわかる （x,y,zの偶奇の組合せがどれも不可） さらにいろいろ場合分けして検討すると、 結局n≧5は全てダメだということがわかるので、 あとは有限な範囲の探索のみ。 510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/12(土) 19:08:07.97 ] n=3のとき、2^x+3^y+5^z=6で不適 n≧3のとき n! mod 3 = 2^x+5^z mod 3 = 0 n=4のとき、2^x+3^y+5^z=24 x=4,y=1,z=1で題意を満たす n≧4のとき n! mod 8 = 2^x+3^y+5^z mod 8 = 0 n≧5のとき n! mod 5 = 2^x+3^y mod 5 = 0 a,b,cを整数として、2^x+5^z=3a 2^x+3^y+5^z=8b 2^x+3^y=5c 3^y=8b-3a 5^z=8b-5c bは15の倍数で、dを整数として 2^x+3^y+5^z=120d 511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/12(土) 19:09:02.04 ] >>510 先頭に以下を追加 x≠0, y≠0, z≠0のとき 512 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 00:29:17.03 ] なんか勝手に条件追加してるし、結局何言ってるかわからんしｗ 513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 00:43:11.33 ] プログラムを組むと確かに、n≧5の場合に解は存在しなかった。 2^x+5^z=3a 3^y+5^z=2b 2^x+3^y=5c から 2^x=(3a-2b+5c)/2, 3^y=(-3a+2b+5c)/2, 5^z=(3a+2b-5c)/2で意味不明w 514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 01:07:33.14 ] n≧5の場合に解は存在しないことを 高校生にも分かるように証明お願いします 515 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 04:48:55.84 ] >>514 Andrew John Wilesにでも会ってこい 516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 04:49:39.32 ] あ、すまんフェルマーの最終定理の話じゃなかったのか 515は忘れてくれ 517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 05:04:45.31 ] それもまた好々 518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 14:44:19.74 ] >>513 追加 (3a-2b+5c)/2>=2, (-3a+2b+5c)/2>=3, (3a+2b-5c)/2>=5 を満たす整数a,b,cの組み合わせは7個、その全てでx=log[2]((3a-2b+5c)/2)が整数に ならずに不適。 519 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 14:55:42.37 ] >>518　はx>0,y>0,z>0の場合 520 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 19:56:21.99 ] >>514 kは非負整数とする mod 8において、3^2≡1，5^2≡1より 　3^(2k)≡1，3^(2k+1)≡3 　5^(2k)≡1，5^(2k+1)≡5 mod 3において、2^2≡1，5^2≡1より 　2^(2k)≡1，2^(2k+1)≡2 　5^(2k)≡1，5^(2k+1)≡2 mod 5において、2^4≡1，3^4≡1より 　2^(4k)≡1，2^(4k+1)≡2，2^(4k+2)≡4，2^(4k+3)≡3 　3^(4k)≡1，3^(4k+1)≡3，3^(4k+2)≡4，3^(4k+3)≡2 n≧5とすると n!≡0 (mod 8)，n!≡0 (mod 3)，n!≡0 (mod 5) x,y,zがいずれも負の整数とならないことの証明はここでは省略して 以下いずれも非負整数とする (i) x≧3のとき 2^x≡0 (mod 8)より、3^y+5^z≡0 (mod 8) この条件を満たすのはyもzも奇数の場合のみ yが奇数で0ではないので3^y≡0 (mod 3)、zは奇数なので5^z≡2 (mod 3)より、 2^x≡1 (mod 3)となり、xは偶数 zが奇数で0ではないので5^z≡0 (mod 5)より、2^x+3^y≡0 (mod 5) しかし、xが偶数、yが奇数だと、この条件を満たすことができない よって、このとき与式を満たすx,y,zの組は存在しない （続く） 521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 19:57:37.88 ] （続き） (ii) x=2のとき 2^x≡4 (mod 8)より、3^y+5^z≡4 (mod 8) この条件を満たすのはyが奇数、zが偶数の場合のみ 2^x≡1 (mod 3)、yが奇数で0ではないので3^y≡0 (mod 3)より 5^z≡2 (mod 3)となるが、これはzが偶数であることと矛盾 よって、このとき与式を満たすx,y,zの組は存在しない (iii) x=1のとき 2^x≡2 (mod 8)より、3^y+5^z≡6 (mod 8) この条件を満たすのはyが偶数、zが奇数の場合のみ 2^x≡2 (mod 5)、zが奇数で0ではないので5^z≡0 (mod 5)より 3^y≡3 (mod 5)となるが、これはyが偶数であることと矛盾 よって、このとき与式を満たすx,y,zの組は存在しない (iv) x=0のとき 2^x+3^y+5^zは奇数、n!は偶数なので矛盾 よって、このとき与式を満たすx,y,zの組は存在しない 522 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 20:16:51.43 ] 結局答えは (n,x,y,z)=(3,2,0,0),(3,1,1,0),(4,4,1,1) の３通りのみ 523 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 20:26:04.23 ] >>518 ＞　(3a-2b+5c)/2>=2, (-3a+2b+5c)/2>=3, (3a+2b-5c)/2>=5 ＞　を満たす整数a,b,cの組み合わせ (a,b,c)が１組でも見つかれば、 (ka,kb,kc)（kは自然数）も不等式を満たすはずなので、 ７個だけというのは意味不明 524 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 20:48:06.39 ] >>523 3つ不等式を満たす整数の点は、3平面がなす四面体の内部の点であり (a,b,c)=(454, 543, 334),(454,542,334),(453,546,335), (453,544,334),(453,547,335),(453,545,334),(453,543,333) 525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 21:07:49.59 ] 四面体ではなく無限に続く三角柱だから、>>518と>>524は間違だった。 526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/13(日) 23:59:26.40 ] ×無限に続く三角柱 ○3つの平面により区分けれた領域 527 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/18(金) 15:30:16.03 ] (・3・) 528 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/19(土) 11:11:34.19 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. 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Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 555 名前：１３２人目の素数さん [2012/05/29(火) 04:32:20.22 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 556 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/29(火) 04:50:24.77 ] ハイリ ハイリ フレ ハイリ ホー ハッハッハ ハイレ ハイレ フレー ホーホー 557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/29(火) 23:35:27.52 ] 低次元に落としてみれば？ 558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/30(水) 05:38:05.52 ] >>533 不可能であることが言えた( ＾o＾) 解答のイメージ： p∈R^2を1つ取る。 このpを通るジョルダン閉曲線が1つだけ存在する。 この閉曲線の内部から別の点pを1つ取る。 このpを通るジョルダン閉曲線が1つだけ存在する。 この閉曲線の内部から別の点pを1つ取る。 このpを通るジョルダン閉曲線が1つだけ存在する。 ……これを繰り返すことで、ジョルダン閉曲線が 内部にどんどん作られていき、「切り株の年輪」のような 模様が作られる。ジョルダン閉曲線を "十分多く作れば" 、 区間縮小法のような感じで、年輪は一点に収束する(本当は 一点とは限らないが、一点の方がイメージしやすいので)。 その点を再びpと書くと、この点を通るジョルダン閉曲線が 存在するはずだが、この閉曲線は他の閉曲線と交わって矛盾する。 年輪を帰納的に構成しようとしたが、可算無限回では終わらず、 超限帰納法が必要になりそうだった。自分のスキルでは超限帰納法が うまく使えないので、かわりにツォルンの補題を使うことにした。 従って、証明が冗長な感じになった( ＾o＾) (続く) 559 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/30(水) 05:40:20.56 ] (続き) 記法： A⊂R^2に対して、Aの内部をA^iと書くことにする。 R^2内のジョルダン閉曲線γに対して、 「γの内部またはγ上の点」全体の集合をF(γ)と表すことにする。 明らかに、F(γ)はコンパクトである。また、F(γ)^i≠φが成り立つ。 実際の解答： >>533が不可能であることを背理法で示す。 題意を満たすジョルダン閉曲線の族があったとして、その集合をΓと置く。 集合族Mを次のように定める。 M＝{ F(γ)｜γ∈Γ} Γの定義から、任意のF1, F2∈Mに対して、 ・F1＝F2 ・F1⊂F2, F1≠F2 ・F1⊃F2, F1≠F2 ・F1∩F2＝φ のいずれかが成り立つことが分かる。 このMに、次のようにして半順序≦を定義する(包含が逆向きになっているが、それでいい)。 F1≦F2 ⇔ F1⊃F2 (続く) 560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/30(水) 05:44:19.69 ] (続き) まず、上記の半順序集合(M,≦)には極大元が存在しないことを示す。 もし極大元が存在するならば、F1∈Mが極大元だとすると、 Mの定義から、F1＝F(γ1)なるγ1∈Γが取れる。 F(γ1)^i≠φだから、p∈F(γ1)^i を1つ取る。Γの定義から、このpを通る γ∈Γが存在する。再びΓの定義から、F(γ)⊂F(γ1)^iが成り立つことが分かる。 特にF(γ)≧F(γ1)かつF(γ)≠F(γ1)となる。すると、 F(γ)∈M, F(γ)≧F(γ1), F(γ)≠F(γ1) ということになるので、F1＝F(γ1)がMの極大元であることに矛盾する。 以上より、(M,≦)には極大元が存在しない。 よって特に、(M,≦)は帰納的でない。なぜなら、もし(M,≦)が帰納的ならば、 ツォルンの補題が使えて、(M,≦)には極大元が存在することになってしまうので。 (続く) 561 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/30(水) 05:52:10.07 ] (続き) さて、(M,≦)は帰納的でないのだから、ある空でない全順序部分集合A⊂Mが存在して、 (A,≦)は(M,≦)の中に上界を持たないことになる。このようなAを1つ取っておく。 Aは全順序部分集合だったから、任意のF1, F2∈Aに対して、 F1⊂F2 または F1⊃F2 が成り立つ。 特に、集合族Aは有限交叉性を持つ。… (*) 任意のF∈Aはコンパクトだから、これと(*)より、∩[F∈A] F ≠φ が成り立つことになる。そこで、p∈∩[F∈A] F …(**) を1つ取る。 Γの定義から、このpを通るγ1∈Γが存在する。 F1＝F(γ1)と置いておく。明らかに、p∈F1 かつ F1∈M である。 (A,≦)は(M,≦)の中に上界を持たなかったから、あるF∈Aが存在して、 F≦F1が成り立たない。すなわち、F⊃F1が成り立たない。これと>>559から、 ・F1⊃F, F1≠F ・F1∩F＝φ のいずれかが成り立つ。(**)に注意して、p∈Fだから、これとp∈F1より、 後者は成り立たない。よって、前者が成り立つしかない。 F＝F(γ)なるγ∈Γを取っておく。このとき F(γ1)⊃F(γ), F(γ1)≠F(γ), p∈F(γ1), p∈F(γ), p∈Im(γ1) ということだから、Γの定義から矛盾する(γとγ1の図を描くと分かりやすい)。 以上より、>>533は不可能である。 ……ジョルダン閉曲線の性質を証明せずに、"Γの定義より" で 済ませている部分が多々あるので、厳密性に欠けるような( ＾o＾) 562 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/30(水) 08:21:24.51 ] ジョルダン閉曲線の内側の面積は0より大きい。 内側の面積が最小であるジョルダン閉曲線の内側には 別のジョルダン閉曲線は存在しえない。 故にジョルダン閉曲線で覆われていない領域が存在する。 563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/30(水) 14:56:14.23 ] >>562 ジョルダン閉曲線が交わる場合は、その限りじゃないんじゃない？ 564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/30(水) 18:09:02.46 ] ジョルダン閉曲線の族が与えられたとき、 それらのジョルダン閉曲線における、 内側の面積が「最小である」ジョルダン閉曲線 は必ずしも存在しない。下限はいつでも存在するが、 それは0である可能性があり、その場合、 >>562の論法は破綻する。 565 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/30(水) 18:33:58.68 ] >>563 ＞ 内側には 交わってるものは内側とは言わんだろ。  566 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/30(水) 22:03:05.45 ] >>565 「内側」と言っている時点で、内包するものだけに 限定してしまっていて、互いに交わる場合が考慮されていない、 と言いたいのだ。 567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/30(水) 22:06:21.20 ] なんか、アレフ１のR^2と、ジョルダン曲線とジョルダン曲線上の一周を[0,2π)とした位相の直積が一対一対応しないのが不思議。連続体仮説が崩れてる気が。 568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/30(水) 22:13:45.64 ] >>567 連続と限らなければ一対一対応が作れる。 569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/30(水) 22:48:25.54 ] www.astroarts.co.jp/shop/showcase/pzl_great/index-j.shtml こういう感じの5x5の真っ白なジグソーパズルがあるとする。 ピースの繋ぎ目は全てユニークで間違った並べ方をすると必ず噛み合わず、 また実際に合わせてみないと隣り合うか分からない。 ピースの照合一回を一手とすると、 最善手の最長手数はいくらか。 570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/30(水) 23:13:13.17 ] 縁は直線？ 571 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/30(水) 23:13:43.97 ] 面積に注目するのイイですね。 その方針でも証明できた( ＾o＾) 今度はツォルンの補題が必要なくなった。 でも>>558-561より長い証明になってしまった。 構成的に議論するから、当たり前か。 まあ、書かなくてもいいよね(＾o＾) 572 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/30(水) 23:13:57.88 ] 裏返しも区別がつかないの？ 573 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/30(水) 23:49:24.01 ] よくわからんときは問題を簡略化して考えてみようと思った ・表裏の区別はつく、というか裏返せない ・縁と縁でないものの区別はつく ・凹と凸の区別などはつかない ・ジグゾーパズルの大きさは２ｘ２ 574 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/30(水) 23:54:04.28 ] すると最善最悪は３回の照合で配置解明、＋４回の連結で完成か …これかなり難しそうだなあ、２ｘ２でこれか ３ｘ３…すでに投げ出したい 575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/31(木) 00:17:08.08 ] ３ｘ３は中央が固定。 その上下左右は最悪４＋３＋２回 角も最悪４＋３＋２回 ある場所にある向きで必ず入るとわかっているピースを差し込むのは 照合というのか？  照合でないとしたら、１手に数えないのか？ 576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/31(木) 00:32:53.20 ] とりあえず確定済みの連結作業については 照合回数に含めない方向で考えてみないか？ まあ>>569など不満があるなら反対してくれると期待 577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/05/31(木) 13:57:09.54 ] ３×３の場合 （１）各辺のピースを中央のピースに合わせる　最悪で（３＋２＋１＋０）＝６回 （２）角のピースを合わせる　最悪で（３＋２＋１＋０）＝６回 よって６＋６＝１２回 ４×４の場合 （１）各辺のピースに対して対応する中央のピースを見つける 最悪で（４×４−１）＋（４×３＋２×１−１）＋（４×２＋２×２−１）＋（４×１＋２×３−１）＋（２×４−１）＋（２×３−１）＋（２×２−１）＋（２×１−１）＝６４回 （２）角のピースを合わせる　最悪で（３＋２＋１＋０）＝６回 （３）２×２の場合に帰着　最悪で３回 よって６４＋６＋３＝７３回 これが最善手かどうかはわからんが

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