数学基礎論・数理論理学　その10

1 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/29(土) 22:42:36.86 ] 数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、 19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。 現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、 多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。 （「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。） 応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、 英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。 （数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」 ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html 或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照） 従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。 他のスレで御質問なさるようにお願いします。 前スレ 数学基礎論・数理論理学　その9 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1317639944/ 342 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/12(土) 21:22:49.41 ] >>341 つまり、数学と物理学は分けることができない、と 343 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/12(土) 22:55:45.50 ] 猫は？ 344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/12(土) 22:58:56.97 ] なにかと忙しいらしい 54: 11/09(水)21:06 AAS 猫がカンボジア国籍取得。五輪に前進。 57: 11/12(土)09:51 AAS 猫 五輪確定？カンボジア3選手が選考レース辞退 来年のロンドン五輪男子マラソンを目指し、カンボジア国籍を取得した猫が出場する五輪選考レース「東南アジア競技大会」(16日、ｲﾝﾄﾞﾈｼｱ)を出走予定の同国代表3選手が辞退｡同レースに出走する同国選手は猫のみになった｡ 345 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/13(日) 05:08:28.07 ] >>342 数理物理学抜きの数学は考えられないな 346 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/13(日) 10:25:14.55 ] >>345 数理論理学抜きの数学も考えられんよ 347 名前：345 [2011/11/13(日) 11:21:31.05 ] >>346 全く同意する。 数理論理学は数学の重要な分野だと思う。 348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/13(日) 11:54:52.99 ] ベン図さえあれば論理学いらん 349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/13(日) 12:00:45.38 ] 全く同意する。 アダルトビデオは映像芸術の欠くべからざるジャンルだ。 350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/13(日) 12:06:48.71 ] >>342 数学と物理の一部は分けられない。 でも、数学と論理学は分けられる。 数学と物理を僧侶と牧師に例えるなら 基礎論はただの禿げてる人。 見かけは僧侶に近いが考えていることは違う 僧侶と牧師は見かけは違うしスタイルも違うが 考えている方向性は同じ 351 名前：官軍（一兵卒）(＾o＾) mailto:sage [2011/11/13(日) 12:42:52.49 ] (Ｐ⊃Ｑ)⊃(¬Ｑ⊃¬Ｐ) は tautology であり。 “(ＰならばＱである)ならば、(ＱでないならばＰではない)”が成立する。 しかし、[Ｐ⊃(ＱＶＲ)]⊃[(Ｐ⊃Ｑ)Ｖ(Ｐ⊃Ｒ)] は tautology であるのに “ＰならばＱかＲであるならば、ＰならばＱかまたはＰならばＲである”は 成立しない。 352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/13(日) 12:44:46.23 ] ことがら Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ が在り、これらについて次の２つの関係が成り立って いるものとする。 　　(ｲ) Ａであれば、Ｂか又はＣである。 　　(ﾛ) Ｄであれば、ＢでもＣでもない。 このとき、以下の主張 (1) 〜 (8) のうち正しいものを列挙せよ。尚、解法も述べよ。 　　(1) Ｄでなければ、Ａではない。 (2) Ｃであれば、Ｄではない。 (3) Ａでなければ、Ｄでないか又はＢではない。 (4) Ａでなければ、Ｄではない。 (5) Ｂでなければ、Ａでないか又はＤである。 (6) Ｂでなければ、Ａでないか又はＣである。 (7) Ｂであれば、Ｃではなく、Ｄでもない。　 (8) ［Ｂでなければ、Ｄではない］か又は［Ｄでなければ、Ｂではない］ 353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/13(日) 14:58:00.91 ] 結局、導出性条件(derivability conditions)の証明がわからず、第二不完全性定理もしっかり理解できなかった。 354 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/13(日) 15:32:57.93 ] >>350 ＞数学と物理の一部は分けられない。 一部とは具体的に何を指すか？ もし「理論物理学」を指すならあなたが間違っている。 理論物理学は、物理であって数学ではない。 なぜなら理論物理学も物理現象を扱うからである。 理論物理学は数学のように証明によって その真偽が決まるわけではない。 355 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/13(日) 15:37:15.51 ] >>350 ＞でも、数学と論理学は分けられる。 物理において数学が使われているように 数学において論理が使われているだけだ というのであれば、もちろん分けられる。 し・か・し、論理の数学的研究は、道具の使い方の研究ではない。 論理そのものの数学的構造を調べることにある。 したがって、数学の証明には全く役に立たないことは多々ある。 証明に役立たない論理の研究は無意味だというのは 物理に役立たない数学の研究は無意味だというのと 同程度に見識が狭い。 356 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/13(日) 15:43:41.36 ] >>350 >（数学と物理は） >見かけは違うしスタイルも違うが >考えている方向性は同じ と思ってるなら数学も物理も分かってない。 数学では、ユークリッド幾何も非ユークリッド幾何も意味がある。 しかし物理学では、ニュートン力学と相対論の両方が意味がある、 ということはない。意味があるのは物理現象と整合する理論だけだ。 ちなみに、ニュートン力学の速度の合成はユークリッド的 相対論の速度の合成はクラインの円盤の変換として 実現できるので非ユークリッド的である。 357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/13(日) 15:53:35.40 ] >>356 物理学でも、 ニュートン力学と相対論は、両方意味があるよ。 状況に応じて使い分けられている。 358 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/13(日) 15:56:21.05 ] >>350 >（基礎論は見かけは数学に近いが)考えていることは違う まず基礎論という言葉は論理学を指すものではないから 論理学という意味で言っているのならば、明確に間違っている。 さて、>>356で、「物理的世界」のように 「数学的世界」があるわけではないことを ユークリッド幾何と非ユークリッド幾何の 例で示した。 数理論理学の研究から、多種多様な数学の存在が示される。 もし、数学と物理は「唯一無二の世界」を探求する点で似ており、 論理学は「多種多様な可能世界」を想定する点で異なるというなら その人は、数学を誤解している。数学は「多種多様」なのであって 数理論理学はその事実を示しているに過ぎない。 359 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/13(日) 15:58:14.42 ] >>357 ニュートン力学は単に「方便」として用いられているにすぎない。 非ユークリッド幾何もごく小さい箇所では、ユークリッド的であると みなせるのと同様な意味で、だ。 しかし、そのことは、ニュートン力学が 物理的に「正しい」ことを意味しない。 360 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/13(日) 16:05:43.86 ] >>359 物理に正しいも間違いもないよ。 全てはモデルなんだから。 真実があるとしたら、それは神のみが知りうる。 それが物理学のとる立場だ。 大学生になったら、そういうことを意識してくださいね！ 361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/13(日) 16:35:17.23 ] >>359 ニュートン力学は、正しいよ。 通常の状態では、相対論と一致するとてもよい近似理論。 精度の高さと計算効率の良さから、今でも使われている。 というより、ほとんどニュートン力学だよ。 相対論が必要になるのは、かなり特殊な状況だ。 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/13(日) 16:52:36.52 ] >>361 GPSで使うぞい 363 名前：猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/11/13(日) 18:28:46.96 ] 通常の場合、（どんな）物理理論にも適応限界が存在すると考えるのが 自然ですね。ソレは取りも直さず物理理論の正当性は（数学的な厳密性 ではなくて）実験結果との整合性に依って担保されるからであり、また 実験から得られる数値データには必ず誤差が含まれるという事実にも注 意が必要ですね。でも数学に於ける主張には如何なる適応限界も存在し ません。ソレは『その命題が成立する条件が全て明確にされてる』から ですね。 猫 364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/13(日) 18:33:16.64 ] >>361 相対論は電磁気学の一部だろ。電磁気学は認めない立場とかそういう特殊な方？ 365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/13(日) 18:34:41.32 ] 特殊相対性理論の方な 366 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/13(日) 18:36:26.66 ] >>353 まずはΣ1完全性定理を ゲーデル数で算術化するところから考えよう。 367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/13(日) 18:46:39.06 ] >>364 電磁気学は、相対論の前に出来ていると思いますよ？ 相対論なしでも電磁気学はなりたつと思います。 もちろん相対論とも矛盾しないですが。 368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/13(日) 19:11:30.37 ] 数学わからない人は、マクスウェルの方程式と 特殊相対性理論の関係もわからないんですねえ。 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/13(日) 20:09:28.34 ] 例えば磁場は相対論効果によるものだし、特殊相対論の原題は 「動いている物体の電気力学」で、電磁気学のうち取り扱いがいい加減だった 相対運動をする場合の理論なんだよ。 実は伸び縮みするとか結構どうでもいい話。 ウケがいいからクローズアップされるだけで。 370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/13(日) 21:38:20.80 ] 前の話を蒸し返すけど、物理なんかの測定から理論を抽出するところは逆数学じゃないの？ 逆数学にそういった応用例とかないのかしらん？ 371 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/13(日) 21:57:42.68 ] そもそも逆数学じゃないそれ。 そーゆーのは「抽象」っていう。 372 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/13(日) 22:01:47.42 ] ガウス？ 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/13(日) 22:07:48.80 ] 逆数学とやらは知らんが、そんなガチガチにやっても絶対流行らん。 374 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/13(日) 22:12:27.72 ] ここでまともに逆数学なんて語られていないから 参考にしないほうが良いよ。 375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/13(日) 22:35:30.31 ] >>366 形式化されていない��1完全性定理なら証明できました。が、形式化されたそれを証明する方法がよくわかりません。 ところで、私は前原先生の本をベースに勉強しています。 以下のページでは、前原先生の証明を土台にして第二不完全性定理を証明しているみたいなんですが、これって正しいですか？ miuse.mie-u.ac.jp/bitstream/10076/6295/1/AN100450900050008.PDF 376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/13(日) 22:38:53.70 ] >>375の追記 とくに定理12以降の部分についてです。これなら私にも理解できそうなんですが、 他の文献と比べて記述があっさりしている気がして本当に正しいのか不安に思ってしまいました。 377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/14(月) 00:39:36.38 ] 第二不完全性条件に関して質問をしている者です。 自分なりに考えてみたのですが、以下の証明って正しいでしょうか。 表現定理より、再帰的述語ならばPAで数値別に表現可能である。 r is recursive ⇒ PA|-R また、 PA|-R ⇒ PA|-Pr(【R】) は証明できる。 したがって、 r is recursive ⇒ PA|-Pr(【R】) また、証明できる論理式に対して仮定を増やしても、その論理式は証明できるので、 PA|-R→Pr(【R】) は証明できる。 ゆえに、 r is recursive ⇒ PA|-R→Pr(【R】) 378 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/14(月) 01:18:05.53 ] >>377 間違えがある。 rが再帰的、つまり表現可能とは、 r⇒PA|-R ¬r⇒PA|-¬R の2つが満たされること。 rが再帰的⇒PA|-Rにならない。 そしてそのPDFは証明の誤りや脱字や 定義の足らない部分が多数含まれている、 読まないほうが良い。 379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/14(月) 05:08:59.80 ] ことがら Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ が在り、これらについて次の２つの関係が成り立って いるものとする。 　　(ｲ) Ａであれば、Ｂか又はＣである。 　　(ﾛ) Ｄであれば、ＢでもＣでもない。 このとき、以下の主張 (1) 〜 (8) のうち正しいものを列挙せよ。尚、解法も述べよ。 (1) Ｄでなければ、Ａではない。 (2) Ｃであれば、Ｄではない。 (3) Ａでなければ、Ｄでないか又はＢではない。 (4) Ａでなければ、Ｄではない。 (5) Ｂでなければ、Ａでないか又はＤである。 (6) Ｂでなければ、Ａでないか又はＣである。 (7) Ｂであれば、Ｃではなく、Ｄでもない。　 (8) ［Ｂでなければ、Ｄではない］か又は［Ｄでなければ、Ｂではない］ 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/14(月) 05:10:34.13 ] 論理法則とはそも何ぞや？ 381 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/14(月) 08:52:14.54 ] >>380 そういうのは数理論理学ではなくて論理学がやることだね 382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/14(月) 09:15:32.61 ] >>384 数理論理学（＝記号論理学）と論理学とはどう違うのさ？　ヽ(^。^)ノ 383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/14(月) 10:16:00.81 ] 記号を使うかどうか 384 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/14(月) 10:21:26.09 ] 「記号論理学」には「(アリストテレス流の)伝統的論理学」は含まれない。 385 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/14(月) 14:53:23.90 ] >>380 ：１３２人目の素数さん：2011/11/14(月) 05:10:34.13 　　＞ ＞論理法則とはそも何ぞや？ 　　　論理法則＝トートロジー 386 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/14(月) 18:44:59.32 ] ゲーデルオリの証明で不完全性定理アプローチしとんか モデル論使えば一発なんやけどな 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/14(月) 19:42:18.19 ] ゲー・デルオリって誰 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/14(月) 19:43:51.28 ] ゲロ出る俺 389 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/14(月) 20:28:44.06 ] ゲーデルオリジナルの略にきまっちょるがな 390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/14(月) 21:55:34.44 ] 超素人なんだけど、ゲーデルの不完全性定理と対角線論法の関係を教えてくれ 何と何が対応しているんだ？ 対角線論法じたいは、数学ガールで分かった。しかし不完全性定理はあの本でもイミフだった。 391 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/14(月) 22:14:05.98 ] 第1不完全性定理はPAの中の論理式で、 ¬を付けても付けなくても証明不可能なものが存在すると主張する定理。 この論理式はゲーデル文と言われ、対角線論法はゲーデル文をつくる際に必要。 対角化定理(不動点定理)自体は数学のあらゆる場所に登場する。 チューリング機械の停止判定問題が否定的に解ける件などもこれが原因。 392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/14(月) 23:01:20.98 ] >>389 ヴェルタース・オリジナルみたいなもん？ 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/15(火) 00:22:52.63 ] >390 「不完全性定理と対角線論法の関係」という話だと、もうちょっと突っ込んだ考えが必要。 Webだとこれが良くまとまっていると思う。 (pdf)自己言及の論理と計算 ttp://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~hassei/selfref2006.pdf 394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/15(火) 01:46:48.53 ] >>378 >間違えがある。 >rが再帰的、つまり表現可能とは、 >r⇒PA|-R >¬r⇒PA|-¬R >の2つが満たされること。 >rが再帰的⇒PA|-Rにならない。 仰る通りです。私が間違ってました。 >そしてそのPDFは証明の誤りや脱字や >定義の足らない部分が多数含まれている、 >読まないほうが良い。 たしかに、題からしてすごい間違いを犯してますね。 ただ、私の気になる第二不完全性定理の箇所に関しては、私には誤りが見つかりませんでした。そして、非常に分かりやすい証明でした。 具体的にどこが誤っているか教えていただけませんか？ よろしくお願いします。 395 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/15(火) 07:24:03.09 ] >>392 知りません/// >>393 良くかけてるとおもう >>394 誤りがあるか否かが問題ではない 誤りがると信じるか否かが問題である 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/15(火) 14:45:36.71 ] 言及されてる論文も貼っとく。 www.springerlink.com/content/h881p406u0378850/fulltext.pdf 397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/15(火) 21:28:16.27 ] >>390 www.age.ne.jp/x/eurms/GDL.html#00 398 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/15(火) 22:03:40.15 ] >>338 >逆に２から１は一般に出ない。 具体的な反例は？ 399 名前：394 mailto:sage [2011/11/15(火) 22:57:44.24 ] >>395 そうですか、残念です。 もう少し考えてみます。 400 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/15(火) 22:58:52.36 ] 演繹定理から逆も成り立つ＾＾； 401 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/15(火) 23:01:53.16 ] >>363 数学についてはもちろんおっしゃるとおりですが，物理理論にとって実験結果 との整合は実は単なる結果であって，その理論の単純さや美しさこそが正当性 の根拠なのではないでしょうか（たとえば特殊相対論）． そろそろ２１世紀の科学哲学が必要なのでは？ 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/15(火) 23:07:07.64 ] 実験との整合性は物理理論の目的 特殊相対性理論では、マイケルソン・モーリーの実験の意味を考えるのが、 アインシュタインの研究の動機。 403 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/15(火) 23:17:36.97 ] >>402 知ってのとおり天動説だって観測との整合性はあった． アインシュタインはマイケルソンモーリーの実験を知らなかったという 説もある（それは十分あり得ることだろう）． このあたりはこの板のみなさんにはいうまでもないだろうが． 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/15(火) 23:21:18.86 ] 俺が彼氏にフェラチオしてるときはもっと激しくジュパジュパ音を出してあげてるよ 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/15(火) 23:22:45.71 ] 理論が美しい、とか誰が判定するんだ？ 406 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/15(火) 23:27:08.83 ] >>405 単純さなら，相当程度客観的に評価できるんでないかい． 407 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/15(火) 23:37:59.91 ] >>399 本当に間違っているか不明。 余り信じないほうが良い。 ゲーデルの証明は複雑で、粗探しは大変そう。 そのPDF書いた人もself-containedじゃないと ことわりを入れてるのでなおさら難しい...。 不完全性定理は有限の立場、つまり2項述語∊を使ってよいなら、 集合論を経由してかなりシンプルに証明できる。 408 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/15(火) 23:38:50.87 ] 訂正： 不完全性定理は有限の立場、 ↓ 不完全性定理は有限の立場を出て、 409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/15(火) 23:43:22.09 ] >>400 演繹定理って、 Γ,A|-B ⇒ Γ|-A→B のことだよね？ Γ|-A ⇒ Γ|-B とは、違うのでは？ 410 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/15(火) 23:54:38.09 ] >>409 |-A⇔|-B を仮定。 |-A⇒|-B について考えると、 |-A より {B}|-A 演繹定理を使って |-B→A-------(1) 逆に|-B⇒|-A について考えると、 |-A→B-------(2) (1),(2)から |-A←→B　　　　　　　　　　□ 411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/15(火) 23:58:26.37 ] >>407 真摯なコメントありがとうございます。 >不完全性定理は有限の立場、つまり2項述語��を使ってよいなら、 >集合論を経由してかなりシンプルに証明できる。 様相論理を使う証明のことですか？ もう導出性条件の有限な証明を理解するのは諦めようかな、、、。 412 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/16(水) 00:06:41.74 ] >>410 まちがっとるやろ． それは，|-Aかつ|-Bから|-A←→Bを出しとるんや． 413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/16(水) 00:07:10.52 ] >>410 >|-A より {B}|-A ここは、 |-A⇒|-B より、 {B}|-A⇒|-B としか、言えないのでは？なので、以下も >演繹定理を使って >|-B→A-------(1) |-B→A⇒|-B としか言えないと思いますが。 414 名前：410 mailto:sage [2011/11/16(水) 07:10:46.56 ] >>412-413 完全に間違っていた 415 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/16(水) 07:50:18.61 ] >>411 公理的集合論を使った証明ですね。 補題：集合論は集合モデルの存在を証明できない、 を使ってPAの第2不完全性を証明。 第1はRE集合での証明がシンプルで見通しが良い。 詳細な論理式についての議論を省ける。 ただし集合が胡散臭いなら無理...。 416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/16(水) 19:33:17.57 ] 確かに今じゃ数理論理学は、哲学方面のほうが盛んだよな。 クリプキの定理とか数学史を塗り替えるものだし。 417 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/16(水) 20:22:30.89 ] 394さんの質問にお答えします。 まず関係というからには「何に関する何項関係か」を明示する必要があります。 　例：「nは素数である」は数nに関する１項関係である。n+3<m は数n,mに関する２項関係である。 そしてたとえば「数 n,m に関する２項関係が論理式Aによって表現される」という場合には、 A中に n,m に対応する自由変数記号 x,y があって、x,y に「数n,mを表す項」を代入した論理式のことを 論じる必要があります。 そこで件の悲惨なPDFですが、たとえば89ページの下から4〜3行目の 　定理11より、関係 Bew(「r」) は論理式 bew(『r』) によって表現される。 という部分に次の質問をすれば簡単に終わりかと思います。 関係 Bew(「r」) は何に関する何項関係ですか？ 論理式 bew(『r』) 中の対応する自由変数記号はどれですか？ （注意：83〜84ページにあるように『r』は定数を表す項であって自由変数記号を含みません） 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/16(水) 22:19:31.52 ] >>417 解説ありがとうございます。 納得しました。たしかに、皆様の仰る通り、このpdfは間違いがけっこうありました。たとえば、 他にも、pp91の(15.6)から(15.7)にかけての箇所も誤りですよね？ 417さんのおかげで、より深い理解が得られました。ありがとうございます。 419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/16(水) 22:31:12.25 ] >>417 追記 もし、第二不完全性定理の証明について解説しているネット上の資料をご存知でしたら、教えていただけませんか？ 言語は英語でも構いません。それと、証明の方法は、様相論理等によるものではなく、第一不完全性定理の証明を形式化してする証明によるものでお願い致します。 、、、なんかものすごい厚かましいですね、すみません。 420 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/17(木) 00:13:52.72 ] ttp://www.scribd.com/doc/51607996/An-Introduction-to-Godel-s-Theorems ttp://phil.gu.se/logic/uppsatser/blanck_logd.pdf 余談だが可証性述語を様相演算子に置き換えることで、 第2不完全性定理は証明できない。 そもそもの3つの可導性条件を満たすことを示すのが この証明の最大の難所なわけで、これは第1不完全性定理の 算術化を避けては通れない。 しかしこの算術化を厳密に行うテキストはほとんど皆無で、 大抵は3つの条件を事実として認めるか、アウトラインを述べるにとどまる。 かつてNatarajan Shankarは定理自動証明機械を用いて完全な証明を試みたが、 そのプログラム中にはエラーが発見された...。 またBoolosははじめから様相論理で算術を展開したが、 これは強い体系のため、第2不完全性定理よりも弱い定理になることが指摘されてしまう...。 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/17(木) 04:41:25.90 ] 次の問題にこたえよ。　解答のみならず、解法も記せ。 【問題】ことがら Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ があり、これらについて 次の２つの 　　　　関係が成り立っているものとする。 　　　　　（ｲi Ａであれば、Ｂか又はＣである 　　　　　（ﾛ）Ｄであれば、ＢでもＣでもない 　　　　　　　　　 　　　　　このとき、以下の主張（１）〜（７）のうち正しいものを列挙せよ。 　　　　　　（１）Ｄでなければ、Ａではない 　　　　　　（２）Ｃでなければ、Ｄではない 　　　　　　（３）Ａでなければ、Ｄでないか又はＢではない 　　　　　　（４）Ａでなければ、Ｄではない 　　　　　　（５）Ｂでなければ、Ａでないか又はＤである 　　　　　　（６）Ｂでなければ、Ａでないか又はＣである 　　　　　　（７）Ｂであれば、Ｃではなく、Ｄでもない 、 422 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/17(木) 11:19:21.45 ] スレチ 論理学スレか質問スレでやれ 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/17(木) 15:35:49.54 ] いちいちコピペに反応するな 424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/17(木) 16:31:46.49 ] >>420 参考資料と解説ありがとうございます。資料は後ほどじっくり読んでみたいと思います。 やはりderivability conditions の証明は相当に難しいのですね。 すみません、まだ疑問があります。以下の推論はどこがおかしいでしょうか。以下を認めるとD1からD3がでてきてしまうのですが。 D1より PA|- A ならば PA|-Pr(【A】) また、 PA,A|- A ゆえに、 PA,A|- Pr(【A】) 演繹定理より、 PA|- A→ Pr(【A】) 425 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/17(木) 18:39:44.83 ] >>424 ＞PA|- A ならば PA|-Pr(【A】) ＞また、 ＞PA,A|- A ＞ゆえに、 ＞PA,A|- Pr(【A】) ここがおかしい。 PA,A|-A のとき、 A|-A かつ PA|-/-A があり得る。 426 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/17(木) 19:38:25.07 ] >>425 >PA,A|-A のとき、 >A|-A かつ PA|-/-A があり得る。 すみません、、まだよく分からないのですが、 PA|-/-Aのときは、Prの定義より、PA,Aから Pr(【A】)は証明できないということでしょうか。 427 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/17(木) 19:58:19.69 ] >>426 証明の前にわかっていること。 PA|-A が成り立つとき、PA|-Pr(【A】) を結論してよい。 証明の仮定。 PA,A|-A 例えばAがPAから独立とする。 するとPA|-/-A。 このとき、PA|-Pr(【A】)もしくはPA|-/-Pr(【A】)。 ここで、PA|-/-Pr(【A】)の場合を考える。 すると、A|-Pr(【A】)もしくはA|-/-Pr(【A】)。 さらに、A|-/-Pr(【A】)の場合を考えると、 PA,A|-/-Pr(【A】) 428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/17(木) 21:36:37.32 ] >>427 よくわかりました。丁寧な解説ありがとうございます。 429 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/17(木) 23:01:37.14 ] >>428 ほんとにわかった？ Pr述語が途中ですり替わっているだけでしょ？ 424はきちんと書けば、つぎのようになるでしょ。 D1より PA|- A ならば PA|-Pr( PA,【A】) また、 PA,A|- A ゆえに、 PA,A|- Pr( PA+A,【A】) 演繹定理より、 PA|- A→ Pr( PA+A,【A】) つまり、この最後が　Pr( PA,【A】)　でなければD3は出てこないでしょ？ Pr( PA+A,【A】)　はまあ自明だよね。 430 名前：官軍（一兵卒）(＾o＾) mailto:sage [2011/11/18(金) 02:03:43.06 ] >>424 ＞演繹定理より ﾜﾛﾀYO 431 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/18(金) 14:31:35.38 ] 電波テロ装置の戦争(始) エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している オウム信者が地方で現在も潜伏している それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ 発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た <電波憑依> スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科 <コードレス盗聴> 2004既に国民20%被害250〜700台数中国工作員3〜7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠> 今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部> キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索 432 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/18(金) 16:17:35.18 ] 魂は幾何学 誰か(アメリカ)気づいた ソウルコピー機器 テロ装置の再読願います 433 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/18(金) 22:31:02.80 ] 数学、特にその中核となる数論は、 古代の人、未来の人、遠い外国の人、もしかしたら 宇宙人とさえも交信可能な、コミュニケーション素材。 でも基礎論は今の限定された人々のあいだだけだな。 434 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/18(金) 22:33:47.42 ] 虎の威を借る狐 って言葉知ってるか？ｗ 435 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/22(火) 02:57:04.13 ] 通常の整数ではなく、代数的整数でも宇宙人と交信可能だというわけか。 代数的整数の定義は、必然的に選ばれたものだとでも？ 436 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/22(火) 19:12:38.48 ] RのQ-線形空間としての基底は存在するが、それを「具体的に構成して見ることは出来無い。」を証明するにはどんな枠組、手法が要るの？ 437 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/22(火) 20:30:32.85 ] 選択公理とパラレルになってる 438 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/23(水) 02:47:31.19 ] 選択公理の成り立たないモデルを作る必要がある罠 439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/23(水) 09:46:17.55 ] >>433 自然数も実数と同様に人の作ったウソである 440 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/23(水) 10:13:50.48 ] >>439 ウソという言葉に否定的なニュアンスを勝手に感じてはならないわけですね。 441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/23(水) 11:09:09.69 ] イヌやサルにとって自然数も実数もまったく必要がないものである． 442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/23(水) 12:34:43.78 ] イヌヤサルは物を数えるのに自然数は用いていないちう主張？

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