- 1 名前：不等式ヲタ mailto:sage [2010/10/24(日) 23:56:56 ]
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
過去スレのミラー置き場：cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
まとめWiki wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
- 601 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:37:45.00 ]
- 訂正
BA'が(a+b)（b+c）/(2a+b+c)
AI/AA'=(a+b)/(a+b+BA')
- 602 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:39:19.07 ]
- 上を下に入れると
a+bがきれいにきえて
（2a+b+c）/２(a+b+c)
になるんで、上のほうの解答は大間違い
- 603 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 07:41:40.55 ]
- >>601
a=b=cのときBA'=(a+b)（b+c）/(2a+b+c)=a=BCになるんだが
- 604 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:53:35.71 ]
- 解答が自動化してるイカサマ師が何を言っても恥ずかしいだけ
- 605 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 07:59:55.86 ]
- ここまで飛ばし読みした俺様に、修正バージョンを書いてくれ
- 606 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 08:36:42.89 ]
- 適当にでっちあげた式にでっちあげた式を入れる遊びは楽しいかね
- 607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 17:25:11.12 ]
- ⊿ ○ ∇ 、＿＿＿,､´｀ﾞ；~､ ';冫 ☆
┏ ━ゝヽ''／ ≧ ＼━〆Ａ!ﾟ━━┓。
╋┓"〓┃ ＜ ゝ＼',冫｡' |:::: ＼ .／ |゛△│´'´,.ゝ'┃. ●┃ ┃┃
┃┃_.━┛ヤ━━━━━━|::::: (● (● |━━━━━━━━━ ━┛ ・ ・
∇ ┠─Σ- ヽ::::... .ワ.....ノ 冫 そ',´; ┨'ﾟ,。
.。冫▽ ＜ ⊂ ./⊃ 乙 ≧ ▽
。 ┃ Σ （⌒ゞ ,l, ､'' │ て く
┠─ム┼ ゝ,,ﾉ ﾉゝ. ､,, .┼ ｧ Ζ┨ ミｏ''｀
。､ﾟ`。､ i／ レ' o。了 ､'' × 个ｏ
○ ┃ `､,~´＋√ ▽ ',!ヽ.◇ ｏ┃
┗〆━┷ Ｚ,.' /┷━''ｏ ヾｏ┷+＼━┛,゛；
ヾ ⊿ '、´ ∇
荒れたスレに不等式ヲタが光臨！ 整理すると以下の如しだ！
【1991 IMO 問１】
△ABCの内心をI、二等分線をAA'BB'CC'とするとき、
1/4 < (AI・BI・CI)/(AA'・BB'・CC) ≦ 8/27
【証明】
>>592
角の二等分線の定理から、容易に
AI/AA' = (b+c)/(a+b+c)、BI/BB' = (c+a)/(a+b+c)、CI/CC' = (a+b)/(a+b+c)
>>573
示すべき不等式は
1/4 < (a+b)(b+c)(c+a)/(a+b+c)^3 ≦ 8/27
>>577
右: 4(a+b)(b+c)(c+a) - (a+b+c)^3 = aa(b+c-a) + bb(c+a-b) + cc(a+b-c) + 2abc > 0,
左: 相加相乗平均
8(a+b+c)^3 -27(a+b)(b+c)(c+a)
= 3(a+b)(a-b)^2 + 3(b+c)(b-c)^2 + 3(c+a)(c-a)^2 + 2(a^3+b^3+c^3-3abc) ≧ 0,
- 608 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 17:50:46.29 ]
- >>590、>>595-602 をあぼーんすればよろし
- 609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 18:59:22.02 ]
- なんで590、598、600は偉そうなの？ 馬鹿なのに
- 610 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 19:52:41.70 ]
- a>0 のとき (a-x)^n + (a+x)^n > 2a^n
って明らかですか？どう示せばいいでしょうか。
- 611 名前：610 [2011/08/31(水) 19:53:43.74 ]
- 間違えました。>じゃなくて≧でした。
(a-x)^n + (a+x)^n ≧ 2a^n です。
- 612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 20:13:46.88 ]
- n≧1かな？
凸不等式でおｋ
- 613 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 20:35:31.95 ]
- 変な質問ですが、「不等式評価」って言葉はありますか？
クラスの数学得意なやつが使ってたんですが、先生も初めて聞いたと言っていました。
- 614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 20:46:46.40 ]
- 不等式で評価する
って普通に使うね。
- 615 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 21:48:26.70 ]
- 進学校じゃないかぎり学校の先生は大抵教育学部出身だから、評価estimateとか言っても基本的には通じない。
数学に限ったことじゃないけど本当に「小中高の勉強」ができてた奴は教師になってない。
- 616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 21:51:24.37 ]
- >>615
> 数学に限ったことじゃないけど本当に「小中高の勉強」ができてた奴は教師になってない。
なんで？
- 617 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/01(木) 11:19:10.51 ]
- >>607
なんでa+ｂ＋ｃがでてくるんだよ。AB,ACは足したら2a+b+cだろうが
- 618 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 11:42:35.32 ]
- 何言ってだこいつ
- 619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 12:14:01.46 ]
- しーっ、目を合わせちゃいけません
- 620 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/01(木) 16:33:02.11 ]
- a+b+cってどこにあるの
- 621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 22:15:08.17 ]
- 上から評価、下から評価
とか言った使い方をよくする
- 622 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 22:41:35.38 ]
- >>525
〔補題〕
AB ≦ CA, CB のとき、
三角形ABCの内部の点Pに対して PA + PB + PC < CA + CB.
- 623 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 22:45:57.36 ]
- >>622
(略証)
Pを直線上で動かすとき、AP,BP,CP は下に凸(*)だから
f(P) = AP+BP+CP も下に凸。
直線CPと辺ABの交点をQ とすると、凸性から
f(P) < max{f(C), f(Q)}
ところで 題意より
f(Q) = (AQ+QB) + CQ = AB + CQ ≦ AB + max{CA,CB} ≦ CA + CB = f(C),
∴ f(P) < f(C),
* この直線をt軸とすると g(t) = √(a^2 + t^2) は
a≠0 のとき双曲線。
a＝0 のとき g(t)=|t| でＶ字形の折れ線。
- 624 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/02(金) 22:57:20.36 ]
- 0＜a、a≠1
((a^(2n+1)/(a-1))+(a(1-a^2n)/2n(1-a)^2)^2n)/a^n(2n+1)≧(2n)！
- 625 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 08:01:27.09 ]
- 1 ≦ a、b、c ≦ 2 に対して、(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+a) + (c+a)/(a+b) の最大値（上限）は？
- 626 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/04(日) 20:20:23.84 ]
- >>625
通分して
{(19/6) - (与式)}*(a+b)(b+c)(c+a)
= (19/6)(a+b)(b+c)(c+a) - (c+a)(a+b)^2 - (a+b)(b+c)^2 - (b+c)(c+a)^2
= (1/6){(aab+bbc+cca) + 7(abb+bcc+caa)} + (1/3)abc -(a^3 +b^3 +c^3)
= (4/3)[k(aab+bbc+cca)+(1-k)(abb+bcc+caa)] + (1/3)abc -(a^3 +b^3 +c^3) (k=1/8)
= (1/4){10[k(aab+bbc+cca)+(1-k)(abb+bcc+caa)] -4(a^3+b^3+c^3) -15abc}
+ (7/12){-2[k(aab+bbc+cca) + (1-k)(abb+bcc+caa)] +7abc}
= (1/4)F(k) + (7/12)G(k)
≧ 0,
- 627 名前：626 mailto:sage [2011/09/04(日) 20:25:44.92 ]
- >>625 (続き)
〔補題1〕
-1/5≦k≦6/5 のとき
F(k) = 10[k(aab+bbc+cca)+(1-k)(abb+bcc+caa)] -4(a^3+b^3+c^3) -15abc ≧ 0,
(略証)
(2a-b)(2b-a)(2a-c) + c.c. = 12(aab+bbc+cca) - 2(abb+bcc+caa) -4(a^3 +b^3 +c^3) -15abc ≧ 0,
(2a-b)(2b-a)(2b-c) + c.c. = -2(aab+bbc+cca) +12(abb+bcc+caa) -4(a^3 +b^3 +c^3) -15abc ≧ 0,
から。
〔補題2〕
-1≦k≦2 のとき
G(k) = -2[k(aab+bbc+cca) + (1-k)(abb+bcc+caa)] +7abc ≧ 0,
(略証)
(2a-b)(2b-c)(2c-a) = -4(aab+bbc+cca) +2(abb+bcc+caa) +7abc ≧ 0,
(2b-a)(2c-b)(2a-c) = 2(aab+bbc+cca) -4(abb+bcc+caa) +7abc ≧ 0,
から。
- 628 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/04(日) 23:58:47.65 ]
- 〔類題〕
1 ≦ a,b,c,d ≦ 2 に対して
4 ≦ (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + (c+d)/(d+a) + (d+a)/(a+b) < 11/2.
[第２章.325-326 , 514-519]
上限（～17/4）を出すのは大変でござるよ、ﾆﾝﾆﾝ。 ( ﾟ∀ﾟ)
- 629 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/05(月) 01:06:11.79 ]
- ついでに....
>>102
[第２章.643-645]
>>350-356
[第２章.780 , 786-818]
- 630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/05(月) 01:54:00.74 ]
- >>628
題意より (a-c)/(b+c) ≦ 1/2, 4-b-c≧0.
加比の理 より、
(a+b)/(b+c) = 1 + (a-c)/(b+c) ≦ 1 + [a-c +(4-b-c)/2]/[(b+c) +(4-b-c)] = 1 + [2 +a -(1/2)b -(3/2)c]/4.
循環的に加える。
(左辺) ≦ 4 + [8-(a+b+c+d)]/4 ≦ 5.
[第２章.522,526]
- 631 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/05(月) 03:01:55.82 ]
- >622
(略証)
点Pを通りCPに垂直な直線Lと 辺CA, 辺CB の交点を A', B' とする。
CP < CA', CP < CB'
直線L上でPを動かしたとき、AP+BP は単一の極小をもつ。
∴ AP+BP < AA' + A'B または AP+BP < AB' + B'B のいずれかが成立。
〔 LがBCと交わらない場合は △AA'B ⊃ △APB ∴ AP+BP < AA' + A'B〕
∴ AP+BP+CP < CA + A'B < CA + max{AB,CB} = CA + CB, または
AP+BP+CP < AB' + CB < max{AB,CA} + CB = CA + CB,
[参考文献3] p.18-19, 例題10.(Visschersの問題)
- 632 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/05(月) 21:11:27.93 ]
- >>625
(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+a) + (c+a)/(a+b) < 3 + 3/10,
なら簡単だが.....
題意より (a-c)/(b+c) < 1/2,
加比の理より
(a+b)/(b+c) = 1 + (a-c)/(b+c) < 1 + {(a-c)+(a-1)/2}/(a+b+c-1),
循環的にたす。
(与式） < 3 + {(a+b+c-3)/2}/(a+b+c-1) < 3 + 3/10,
>>628 >>630
(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + (c+d)/(d+a) + (d+a)/(a+b) < 4 + 2/3
なら簡単だが.....
題意より (a-c)/(b+c) < 1/2,
加比の理より
(a+b)/(b+c) = 1 + (a-c)/(b+c) < 1 + {(a-c)+(d+a-2)/2}/(a+b+c+d-2),
循環的にたす。
(与式) < 4 + (a+b+c+d-4)/(a+b+c+d-2) < 4 + 2/3,
- 633 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/05(月) 21:16:15.35 ]
- 難し杉…
- 634 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/06(火) 19:50:20.37 ]
- 分かり松…
- 635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/07(水) 23:02:48.81 ]
- それっ桐…
- 636 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/08(木) 10:20:53.57 ]
- ネタ切れ梅
- 637 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/08(木) 10:24:34.78 ]
- 次のネタ投函を待つ竹さ…
- 638 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/09(金) 02:47:11.86 ]
- 粟てず、ゆっ栗…
- 639 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/09(金) 14:58:55.66 ]
- For a>1,b>1,c>1,Prove that for positive integer n
(a-1)(b-1)(c-1)n^3+[(a-1)(b-1)+(b-1)(c-1)+(c-1)(a-1)]n^2
+(a+b+c-3)n+1≦(abc)^n.
- 640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/10(土) 07:21:21.34 ]
- >>639
LHS = {(a-1)n+1}{(b-1)n+1}{(c-1)n+1},
(i) For n=1, equality holds.
(ii) For n>1 and t≧-1, by AM-GM,
f(t) = t^n -n(t-1) -1 = t^n -nt +(n-1)
= (t^n + 1 + …… + 1) - nt
= (t-1){t^(n-1) + t^(n-2) + …… + t -(n-1)}
= (t-1)g(t)
≧ 0. (*)
Equality holds only if t=1.
*)
For -1≦t<1, g(t) < 0.
For t>1, g(t) > 0.
- 641 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/10(土) 20:15:07.41 ]
- >>611
nが偶数 または a>0 のとき
(左辺) - (右辺) = 2Σ_(k=1,[n/2]) Ｃ(n,2k) a^(n-2k) x^(2k) ≧ 0,
等号成立は x=0 のとき。
>>612
nが奇数（>1）かつ |x| >a のとき ……
- 642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/10(土) 21:00:30.45 ]
- >>611
nについての帰納法による。
・n=1 のとき 等号成立。
・n>1 のとき
f_n(a,x) = (a-x)^n + (a+x)^n - 2a^n
= a･f_(n-1)(a,x) + x{(a+x)^(n-1) - (a-x)^(n-1)}
≧ a･f_(n-1)(a,x),
∵
x>0 のとき a+x > |a-x|,
x<0 のとき a-x > |a+x|,
x{(a+x)^(n-1) - (a-x)^(n-1)} ≧ 0,
よって
f_n(a,x) ≧ a･f_(n-1)(a,x) ≧ …… ≧ a^(n-1)･f_1(a,x) = 0,
- 643 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/11(日) 00:59:16.87 ]
- >>625 >>628
文字の数をn個に拡張すると……
(a,b,c,……) の並びが (1,1,2) と (1,1,2,2) の組み合わせのとき、
n=4m : n + n/16,
n=4m+1 : n + (n-9)/16 + 1/2,
n=4m+2 : n + (n-6)/16 + 1/3,
n=4m+3 : n + (n-3)/16 + 1/6,
∴ 最大値はこれ以上だが....
- 644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/11(日) 11:36:09.72 ]
- 〔問題〕
正の実数 x,y,z が三角形（最大角θ）の３辺の長さとなるとき
S = (x^2+y^2+z^2)/(xy+yz+zx),
のとりうる値の範囲を求めよ。（じゅー)
www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/679-
- 645 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/11(日) 14:40:04.06 ]
- >>644 のあらすじ
正弦定理より
S = {sin(A)^2 + sin(B)^2 + (sinθ)^2}/{sin(A)sin(B) + [sin(A)+sin(B)]sinθ},
A+B+θ = 180ﾟ（θ≧60ﾟ） より
S = 2{2+cosθcos(A-B) -(cosθ)^2}/{4(1+cosθ)sin(θ/2) +cos(A-B) +cosθ}
これは |A-B| について単調増加。
∴ 2(2-cosθ)/{1+4sin(θ/2)} ≦ S < 2,
左側の等号は A=B=(180ﾟ-θ)/2,
右側の不等号は {A,B}→{0ﾟ, 180ﾟ-θ}
- 646 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/14(水) 00:12:23.53 ]
- For a,b,c>0 with a+b+c=3, Prove that
a/1+(b+c)^2+b/1+(a+c)^2+c/1+(a+b)^2≦3(a^2+b^2+c^2)/(a^2+b^2+c^2+12abc)
- 647 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/14(水) 01:02:37.37 ]
- >>646
a/{1+(b+c)^2} のつもりだよな？（残り２つも）
- 648 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/16(金) 22:27:40.55 ]
- 【うんち問題】
a > b > 0 のとき、a + 1/{(a-b)b} ≧ 3
【本題】
正の数 x、y、z と正の有理数 a、b、c に対して、
(x^a・y^b・z^c)/{(x+y+z)^(a+b+c)} ≦ (a^a・b^b・c^c)/{(a+b+c)^(a+b+c)}
＿＿＿
彡 ／ ≧ ＼ 彡 ﾋﾞｭｩ……
彡 |::: ＼ .／ | 彡
|:::: (● (●| もう秋ですなぁ…
ヽ::::......ワ...ノ 過去スレに a+b+c=1の場合があったような希ガス
人つゝ 人,, ﾃﾍｯ！
Ｙノ人 ノ ノノゞ⌒～ゞ
. ノ /ミ|＼、 ノノ （ 彡
`⌒ .Ｕ~Ｕ`ヾ 丿
⌒～⌒
- 649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/17(土) 00:45:14.80 ]
- >>646
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと
LHS = a/{(s/3)^2 +(s-a)^2} + b/{(s/3)^2 +(s-b)^2} + c/{(s/3)^2 +(s-c)^2}
= 9(100s^5 -270s^3･t +378s^2･t +81tu)/(100s^6 -180s^4･t +324s^3･u +810s^2･t^2 -1458stu +729u^2),
RHS = 9(a^2+b^2+c^2)/{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+36abc}
= 9(s^2 -2t)/(s^3 -2st+36u),
は使いたくないし...
>>648 【うんち】
(a-b)b = (a/2)^2 - (a/2 - b)^2 ≦ (a/2)^2,
相加･相乗平均より
(左辺) ≧ a + (2/a)^2
= a/2 + a/2 + (2/a)^2
= 3 + (1+a)(1 - 2/a)^2
≧ 3,
- 650 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/17(土) 14:08:46.56 ]
- ＞＞【本題】
正の数 x、y、z と正の有理数 a、b、c に対して、
(x^a・y^b・z^c)/{(x+y+z)^(a+b+c)} ≦ (a^a・b^b・c^c)/{(a+b+c)^(a+b+c)}
Just use weighted AM-GM inequality. Done!
- 651 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/17(土) 15:06:06.78 ]
- >>648 >>650
L(X)=log(X) は上に凸なので、Jensen により
a･L(x/a) + b･L(y/b) + c･L(z/c) ≦ (a+b+c)･L((x+y+z)/(a+b+c)),
- 652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/17(土) 18:48:40.09 ]
- ということで、>>648を修正すると…
---------------------------------------------------
非負実数 x、y、z と正の数 a、b、c に対して、
(x+y+z)/(a+b+c) ≧ {(x/a)^a・(y/b)^b・(z/c)^c}^{1/(a+b+c)}
等号成立条件は、x/a = y/b = z/c のとき
---------------------------------------------------
これを使えば、次式も出てくるよね？ 間違ってないかな？
正の数 x、y、z が x+y+z=1 をみたすとき、
x^x・y^ｙ・z^z ≧ (x^y・y^z・z^x + x^z・y^x・z^y)/2
x^x・y^ｙ・z^z ≧ x^{(y+z)/2}・y^{(z+x)/2}・z^{(x+y)/2}
もっと面白いのできないかな？
|
＼ __ ／
＿ （ｍ） ＿ﾋﾟｺｰﾝ
|ミ|
／＿＿＿＼
.／ ≧ ＼
|:::: ＼ .／ |
|::::: (● (● | ＜ 相加ッ！ 相乗だったのか！ ﾊｧﾊｧ…
ヽ::::... .ワ.....ノ
- 653 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/18(日) 21:34:16.82 ]
- For x, y, z>0 with xyz=1.
Prove that
(x+3)/[(x+1)^2]+(y+3)/[(y+1)^2]+(z+3)/[(z+1)^2]
- 654 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/18(日) 21:35:58.39 ]
- For x, y, z>0 with xyz=1.
Find the maximum value of
(x+3)/[(x+1)^2]+(y+3)/[(y+1)^2]+(z+3)/[(z+1)^2]
- 655 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/18(日) 21:37:38.42 ]
- Sorry for multi posts,
For x, y, z>0 with xyz=1.
Find the minimum value of
(x+3)/[(x+1)^2]+(y+3)/[(y+1)^2]+(z+3)/[(z+1)^2]
- 656 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/19(月) 13:41:18.19 ]
- 不等式か！
ハーディーと誰かがコレクション集だしてたよね
おまえ等、買った？
- 657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/19(月) 14:37:40.12 ]
- >>656
コレクションですと！
ｋｗｓｋ！
- 658 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/19(月) 16:46:53.20 ]
- 今日も自演操業乙であります！
- 659 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/19(月) 21:32:54.72 ]
- >>417
www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/630
- 660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/19(月) 22:09:41.76 ]
- >>659
つまり >637 によれば
f(x) = (x-a)(x-b)(x-c) = x^3 -(a+b+c)x^2 +(ab+bc+ca) -abc,
とおくと
f(x)f(-x) = (-x^2 +a^2)(-x^2 +b^2)(-x^2 +c^2)
= -x^6 +(a^2+b^2+c^2)x^4 -{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2}x^2 +(abc)^2
= -(x^2){(ab+bc+ca) + x^2}^2 + {abc + (a+b+c)x^2}^2, (恒等式)
x^2 = -1 を代入して
(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) = (ab+bc+ca-1)^2 + (abc -a-b-c)^2,
- 661 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/20(火) 12:41:18.89 ]
- Just use,1+a^2=(1+ai)(1-ai) Done!
- 662 名前：MaxValu mailto:sage [2011/09/21(水) 12:37:20.35 ]
- >>654
(x+3)/(x+1)^2 = 1/(x+1) + 2/(1+x)^2 ≦ 3/(1+x),
1/(x+1) + 1/(y+1) + 1/(z+1) = (3+2s+t)/(1+s+t+u)
= 2 - (-1+t+u)/(1+s+t+u)
< 2,
ここに、s=x+y+z≧3, t=xy+yz+zx≧3, u=xyz=1,
よって
(与式) < 6,
上限に近づくのは、(例) x→0, y→0 のとき。
- 663 名前：Aeon mailto:sage [2011/09/21(水) 13:44:34.02 ]
- >>662 の訂正
1/(x+1) + 1/(y+1) + 1/(z+1)
= (3+2s+t)/(1+s+t+u)
= 2 - (-1+t+２u)/(1+s+t+u)
< 2,
>>655
1/(x+1) + 1/(y+1) + 1/(z+1)
= (3+2s+t)/(1+s+t+u),
1/(x+1)^2 + 1/(y+1)^2 + 1/(z+1)^2
= {(3-6u) + (4-2u)s + 2s^2 + 2st + t^2}/(1+s+t+u)^2,
(与式) ={9(1-u) + (13-2u)s +(4+u)t +6s^2 +7st +3t^2}/(1+s+t+u)^2
= 3 + {3(2-5u-u^2) +(7-8u)s -(2+5u)t +3s^2 +st}/(1+s+t+u)^2
= 3 + (-12 -s -7t +3s^2 +st)/(1+s+t+u)^2 (← u=1)
= 3 + {(5s/3 +4 +t)(s-3) +(4/3)(s^2 -3t)}/(1+s+t+u)^2
≧ 3,
等号成立は s=t=3 すなわち x=y=z=1 のとき。
- 664 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/21(水) 19:33:44.04 ]
- For a,b,c>0, prove that
4(a^3+b^3+c^3-3abc)^3≧27(a^2b+b^2c+c^2a-3abc)^3
- 665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/22(木) 21:55:07.55 ]
- >>664
a^3 +b^3 +c^3 -3abc ≧ 3k･(aab +bbc +cca -3abc),
k = 1/{4^(1/3)} ～ 0.630
----------------------------------------------------
Let's put
m = min{a, b, c}
(a, b, c) = (m, m+x, m+x') or its rotation,
where x≧0, x'≧0.
Then,
a^3 + b^3 + c^3 -3abc = (a+b+c){(a-c)^2 -(a-c)(b-c) +(b-c)^2}
= (3m+x+x'){x^2 -xx' +(x')^2},
aab +bbc +cca -3abc = m{x^2 -xx' +(x')^2} + (x^2)x',
and
LHS - RHS ≧ (x+x'){x^2 -xx' +(x')^2} -3k(x^2)x'
= (x + kx')(x - x'/√k)^2
≧ 0.
Equality holds for (m, m+x, m+x') = (0, 1, √k)
- 666 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/22(木) 22:37:30.61 ]
- >>656
>>2の[1]のことか？
- 667 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/22(木) 23:58:15.43 ]
- 正の数a、b、c、dに対して
2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)^3 ≧ 27(abc + abd + acd + bcd)^2
( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！
- 668 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/23(金) 00:28:08.23 ]
- a[k]＞0 (1≦k≦n)
(x-a[1])(x-a[2])(x-a[3])…(x-a[n])=Σ[k=0,n] (-1)^(n-k)p[k]x^kとしたとき、
i＜j⇒(p[i]/binomial(n,i))^(1/i)≧(p[j]/binomial(n,j))^(1/j) (等号成立はa[1]=a[2]=a[3]=…=a[n]のとき)
らしいのですが、どうやって証明するのが一番きれいですか？
コーシーシュワルツのようなきれいな証明を知りたいです。
- 669 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/23(金) 00:54:07.39 ]
- >>668
S_k = p[k]/binomial(n,k) とおいて、(S_k)^2 ≧ S_(k-1)・S_(k+1) を示し、これを用いるのぢゃ
- 670 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/23(金) 08:23:21.67 ]
- >>667
[初代スレ.455、473-474]
>>668
Π[k=1,j-1] (S_k)^(2k) ≧ Π[k=1,j-1] {S_(k-1)･S_(k+1)}^k,
より
(S_{j-1})^j ≧ S_0･(S_j)^(j-1),
S_0 = 1,
[初代スレ.257, 263-271]
参考文献[1] Cambridge版 (1934) の 2.22節、公式51-55
E.F.Beckenbach - R.Bellman, "Inequalities", Ergebnisse叢書、Springer (1961) p.11
>>669
Q_k = (S_k)^2 - S_(k-1)・S_(k+1) = {1/(n･k･C[n,k]･C[n-1,k])}Σ{j=0,k-1} [k;j]/(j+1) ≧ 0,
ここに [k;j] は {a1･a2･････a(k-j-1)}^2 a(k-j)････a(k+j-1){a(k+j)-a(k+j-1)}^2 という型の積すべての和
ですね。
[初代スレ.480-481]
数セミ増刊「数学の問題 第１集」No.21 (1977.2)
- 671 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/23(金) 09:52:01.92 ]
- >>670
＿＿＿
.／ ≧ ＼ ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
|:::: ＼ .／ | 初代スレ懐かしい…
|::::: (● (● | あれから７年も経ったのか…
ヽ::::... .ワ....ノ n
￣￣ ＼ （ E）
フ /ヽ ヽ_／／
- 672 名前：仙石６０ mailto:暴力 [2011/09/23(金) 09:56:22.55 ]
- じゃかあしい、黙ってろ！
- 673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/23(金) 10:15:54.71 ]
- >>672
誰だね君は？
- 674 名前：仙石６０ mailto:阿呆 [2011/09/23(金) 10:18:00.02 ]
- 俺はいまや 毎日が日曜日。
職業に関係する知識とノウハウは誰にも負けん。
- 675 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/09/23(金) 13:50:55.86 ]
- ワシかていまや 毎日が日曜日。
馬鹿潰しに関係する知識とノウハウは誰にも負けん。
猫
- 676 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/23(金) 13:56:54.76 ]
- 毎日が充実してて何よりですワ
- 677 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/09/23(金) 15:53:56.74 ]
- そうですねん。飯も美味いし酒も美味いワ。
猫
- 678 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/23(金) 19:22:28.01 ]
- >>668-669
(S_k)^2 ≧ S_(k-1)･S_(k+1),
より
1/S_0 ≧ ･･････ ≧ (S_k)^(k-1)／(S_{k-1})^k ≧ (S_{k+1})^k／(S_k)^(k+1) ≧ ････,
S_0 = 1,
とすべきか....
- 679 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/24(土) 00:27:51.12 ]
- >>669>>670>>678
遅くなりましたがありがとうございます。
これは相加相乗平均の関係の拡張版と見なしていいですよね。
不等式の奥深さを改めて感じました。
n=6の場合についての問題が本に載っていたのですが、
皆目見当が付かず、答えが載っていなかったため数週間迷った挙句本屋に行っても
これについて解説している本が見つからなくて途方に暮れていました。
紹介していただいた参考文献[1]を是非読んでみたいと思います。
- 680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/24(土) 01:53:55.13 ]
- >>679
> n=6の場合についての問題が本に載っていたのですが、
その本の紹介きぼんぬ！ですぢゃ
- 681 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/25(日) 09:38:07.22 ]
- 使えんやっちゃな
- 682 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/25(日) 18:40:04.63 ]
- >>680
シュプリンガーの『数学発想ゼミナール』3巻（第7章の題は「不等式」です）p.357
「x^6-6x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+1=0の解は全て正であるという。
このときa,b,c,dを決定せよ。」
という問題です。
2次、3次方程式の解が全て実数かつ正であるための条件は
増減表などによって調べることが出来ました。
ここで上の命題を予想し、解が全て正である4次以上の方程式についても確かめたところ、正しそうだと分かりました。
相加-相乗平均の関係についての節の問題だったうえ、2項係数が出てきたため、
予想を導くこと自体はそれほど難しくありませんでした。
もし正しければa=15,b=-20,c=15,d=-6と定まり、x=1を6重解として持ちます。
しかし、証明がなかなか思いつかなかったので今回質問させていただきました。
- 683 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/25(日) 19:55:12.30 ]
- >>682
根をα,β,γ,δ,ε,ζ とする。根と係数の関係より
(α+β+γ+δ+ε+ζ)/6 = 1 = (αβγδεζ)^(1/6),
相加平均 = 相乗平均,
また、題意より 根>0 だから 等号条件より
α = β = γ = δ = ε = ζ = 1,
以下ry)
- 684 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/26(月) 07:09:34.82 ]
- 定理に辿りつけたのはご明察だが…
- 685 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/27(火) 00:12:09.52 ]
- >>682
根を A,B,C,D,E,F >0 とするとき
（A+B+C+D+E+F)^6 - (6^6)ABCDEF = Σ' {･･正の式･･･}(A-B)^2,
の形になることを示そう。
- 686 名前：685 mailto:sage [2011/09/27(火) 00:18:25.59 ]
- (略証)
まづ、
(A+B+C+D+E+F)^6 = (1/60)g + (1/2)h + (5/4)i + 5j1 + (5/6)j2 + 20k + 20L1 + 5L2 + 45m + 30n + 2o,
ここに
g = 60(A^6 + B^6 + … + F^6) = 60[6],
h = 12Σ (A^5)B = 12[5,1],
i = 12Σ (A^4)(B^2) = 12[4,2],
j1 = 6Σ（A^4)BC = 6[4,1,1],
j2 = 24Σ (AB)^3 = 24[3,3],
k = 3Σ (A^3)(B^2)C = 3[3,2,1],
L1 = 6Σ (A^3)BCD = 6[3,1,1,1],
L2 = 18Σ (ABC)^2 = 18[2,2,2],
m = 4Σ (AB)^2･CD = 4[2,2,1,1],
n = 12Σ (A^2)BCDE = 12[2,1,1,1,1,1],
o = 360･ABCDEF,
である。
ここで、Muirhead により
g - h = 12Σ (A^5 - B^5)(A-B) = 12Σ {A^4 +A^3･B + (AB)^2 +AB^3 +B^4}(A-B)^2,
h - i = 12Σ AB(A^3 - B^3)(A-B) = 12Σ AB(A^2 +AB +B^2)(A-B)^2,
i - j1 = 12Σ C^4･(A-B)^2,
i - j2 = 12Σ (AB)^2･(A-B)^2,
j1 - k = 3Σ (A^2)BC･(A-B)^2,
j2 - k = 3Σ (B^3)C･(A-B)^2,
k - L1 = 3Σ (C^3)D･(A-B)^2,
k - L2 = 3Σ AB(C^2)･(A-B)^2,
L1 - m = 2Σ ABCD･(A-B)^2,
L2 - m = 2Σ (CD)^2･(A-B)^2,
m - n = 4Σ (C^2)DE･(A-B)^2,
n - o = 12Σ CDEF･(A-B)^2,
を使う。(終)
- 687 名前：685 mailto:sage [2011/09/27(火) 00:58:03.82 ]
- 補足
Σ' はあらゆる文字の入替えに亘る和。（ただし同じものは1回ずつ）
g = 60Σ' A^6,
- 688 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/27(火) 01:51:31.96 ]
- >>687
顔文字に見えた
- 689 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/28(水) 21:32:43.48 ]
- >>683
恥ずかしながら、上述の定理を予想していざ計算！
…という段階になってはじめてその解法に気付きました。
もっとも、遠回りの結果美しい不等式に出会えたので良かったのですが。
>>685-687
調べてみたところ、Muirhead's inequalityという名称があるのですね。
かなり複雑に見えますが、じっくり読ませていただきます。
- 690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/03(月) 22:24:05.40 ]
- x＞0
⇒e*x^(ex)≧1
- 691 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/07(金) 13:50:28.39 ]
- xln x≧-1/e (x>0)
- 692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 02:12:36.05 ]
- x>0
⇒ 1/x = e/(ex) ≦ e^(1/(ex)),
⇒ -log(x) ≦ 1/(ex),
⇒ x･log(x) ≧ -1/e,
- 693 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 12:12:24.28 ]
- f : R→R
∀x、 y∈R に対して f(x+y) ≦ yf(x) + f(f(x)) が成立するとき、
∀x<0 に対して f(x)=0 を示せ
- 694 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 12:13:03.15 ]
- いちおう不等式がらみということで… ( ﾟ∀ﾟ)
- 695 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/10(月) 00:08:46.16 ]
- >>689
aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwasen/egyptian/egyptian.html
messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&start=46
Yahoo!掲示板 - 科学 - 数学 - 出題(不等式)
planetmath.org/encyclopedia/MuirheadsInequality.html (英語)
示野信一:「対称式と不等式」数セミ、48巻、2号、通巻569 (2009/Feb) の p.26-29
G.H.Hardy、J.E.Littlewood & G.Polya: 「不等式」、ｼｭﾌﾟﾘﾝｶﾞｰ･ﾌｪｱﾗｰｸ東京 (2003/9) \5040 の 2.19節
- 696 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/10(月) 00:22:46.59 ]
- >>695 訂正
messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&start=46
- 697 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/11(火) 08:37:52.47 ]
- >>693
IMO 2011 Problem 3
- 698 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/19(水) 01:01:58.86 ]
- a,b,c>0→a^{b+c}+b^{c+a}+c^{a+b}≧1
- 699 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/19(水) 11:52:19.94 ]
- x, y, z ＞0 (xyz=1)⇒ x^4+y^4+z^4+33≧12(xy+yz+zx)
- 700 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/20(木) 11:41:10.61 ]
- >>699
わからん！
- 701 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/21(金) 22:08:38.80 ]
- 受験板より
f :R → Rは三回微分可能な関数で,全てのxについて次の条件①,②が成り立っている
①f(x)>0,f'(x)>0,f''(x)>0,f'''(x)>0
②f'''(x)≦f(x)
このとき全てのxについて2f(x)>f'(x)が成立することを示せ
|
 |
