- 1 名前：不等式ヲタ mailto:sage [2010/10/24(日) 23:56:56 ]
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
過去スレのミラー置き場：cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
まとめWiki wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
- 207 名前：206 mailto:sage [2011/02/20(日) 03:54:59.36 ]
- >>194 (訂正)
π^10 = ････
= ･････
> 93555･(1 + 1/1155)
= 93555 + ８1
= 936３6
= 306^2,
∴ 306^(1/5) < π
- 208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 04:19:51.61 ]
- >>192
y=1/x^6 は下に凸だから
1/k^6 < ∫[k-0.5, k+0.5] 1/x^6 dx = (1/5){1/(k-0.5)^5 - 1/(k+0.5)^5},
これを使って
(1/945)π^6 = ζ(6)
= 1 + 1/2^6 + 1/3^6 + ････
< Σ[k=1,n] 1/k^6 + ∫[n+1/2,∞) 1/x^6 dx
= 1 + 1/2^6 + 1/3^6 + 1/4^6 + 1/5^6 + 1/6^6 + 1/(5*6.5^5) (n=6 とおく)
= 1 + (3^6 + 2^6 + 1)/(6^6) + 1/4^6 + 1/5^6 + 32/(5*13^5)
= 1 + 794/(6^6) + 1/4^6 + 1/5^6 + 32/(5*13^5)
< 1 + (35431020482 + 508289003 + 133244913 + 35886729)/(113^6)
= 1 + 36108441127/(113^6)
= 1 + 34122476865015/(945･113^6)
< 1 + 34122530050120/(945･113^6)
= (1/945)(355/113)^6,
∴ π < 355/133 ･･････ 密率（「隋書」）
祖沖之（429-500）
- 209 名前：208 mailto:sage [2011/02/20(日) 04:33:00.68 ]
- >>192
またまた訂正････
π < 355/1１3 ･･････ 密率
π < 22/7 ･･････ 約率
- 210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 07:58:37.53 ]
- 222/77 < π < 22/7
- 211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 08:02:12.86 ]
- 3555/1133 < π < 355/1１3
- 212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 11:38:15.55 ]
- 〔問題649〕
a,b,c>0 のとき a+b+c=s とおくと
a/√(s-b) + b/√(s-c) + c/√(s-a) < (5/4)√s,
casphy - 高校数学 - 不等式スレ 330, 375-376
→ 前スレ.649
- 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 23:44:56.31 ]
- >>195
正n角形とその内接円・外接円を使うのは、面倒な割に、精度がいまいち････
ζ函数の方が効率がいいし･･･
他にいい方法がないかと思う今日この頃･･･
- 214 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/26(土) 05:15:12.79 ]
- 今年の京大
1/2＜a[i]＜1のとき
Π(1-a[i])＞1-2Σ(a[i]/2^i)
(i=2,3,…n)
- 215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/27(日) 07:19:26.19 ]
- >>214
左辺を P[n] とおくと、
P[n] = P[n-1]･(1-a[n])
= P[n-1] - a[n]･P[n-1]
= ･････
= 1 - Σ[i=1,n] a[i]･P[i-1]
と
P[0] = 1,
P[i] < 1/(2^i) (i≧1)
から。
nyushi.yomiuri.co.jp/11/sokuho/kyoto/zenki/sugaku_ri/images/mon4_1.gif
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/253
東大入試作問者スレ１９
- 216 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/27(日) 10:20:07.83 ]
- 〔問題〕
0 < x < π のとき 次を示せ。
(1) 1/sin(x) - 1/x > x/6,
(2) {1/sin(x)}^2 - 1/x^2 > 1/3,
- 217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/28(月) 03:57:23.98 ]
- 今年の阪大で不等式の問題が出たが、難問だったらしい
- 218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/28(月) 06:32:54.58 ]
- >>217
+ +
∧＿∧ +
（0ﾟ・∀・） ﾜｸﾜｸ、ﾃｶﾃｶ…
（0ﾟ∪ ∪ +
と＿_）__） +
- 219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/28(月) 10:19:21.16 ]
- 阪大のってこれか
nyushi.nikkei.co.jp/honshi/11/ha1-21p.pdf
- 220 名前：Fランク受験生 mailto:age [2011/03/03(木) 00:49:07.67 ]
- 内容は簡単だと思うけど計算間違いをしているかも。。。
(1)
S(a)=(1/2)(a^2+1)^(n-1)
(2)
a=4 のときｘ＝１．７６になる
- 221 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/03(木) 23:48:54.04 ]
- >>217
全然難問じゃないじゃん。
大数で言うと C*** クラス。
- 222 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/04(金) 02:52:40.02 ]
- ↑ 解いてから言え
- 223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/04(金) 08:37:16.00 ]
- 新参はまず過去レスを読んでこのスレの空気を知ってほしいね。
- 224 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/04(金) 08:47:21.33 ]
- 数人の自演ｽﾚだからなぁ
- 225 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/04(金) 09:37:23.59 ]
-
／￣￣＼
／ _ノ ＼
| （ ●）（●） ＜おっとそこまでだ
. | （__人__）＿＿＿_
| ｀ ⌒／ ─' 'ー＼
. | ／（ ○） （○）＼
. ヽ ／ ⌒（n_人__）⌒ ＼
ヽ |、 （ ヨ |
/ `ー─－ 厂 ／ ←>>224
| ､ ＿ __,,／ ＼
- 226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/04(金) 10:49:02.96 ]
- その後224の行方を知る者は誰もいなかった。
- 227 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/05(土) 12:42:07.49 ]
- >>226
kotonoha.cc/no/54040
- 228 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/07(月) 21:32:08.20 ]
- もう工房の入試問題スレになっちまったな・・・orz
- 229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/07(月) 21:46:33.46 ]
- ageんな
- 230 名前：猫は廃人 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/03/08(火) 13:50:17.70 ]
- 猫
- 231 名前：猫はボケ老人 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/03/08(火) 19:29:40.79 ]
- 猫
- 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/08(火) 19:36:06.98 ]
- 猫は小便垂れ流し
- 233 名前：猫はボケ老人 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/03/08(火) 19:40:50.01 ]
- 目的を達成スル為であれば小便でも何でも垂れ流しますワ。
猫
- 234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/14(月) 01:35:56.47 ]
- 「不等式」大関清太
www.kyoritsu-pub.co.jp/series/kandokoro.html#zokkan
∧＿∧
( ;´∀｀) ＜ こ、こりゃたまらんっ！
人 Y /
( ヽ し
（＿）＿）
- 235 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/17(木) 15:37:44.25 ]
- a,b,c,dをabcd=1を満たす正の実数とするとき,
(a-1)(3a-7)+(b-1)(3b-7)+(c-1)(3c-7)+(d-1)(3d-7)≧0
を証明せよ。
- 236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/19(土) 01:36:36.10 ]
- >>235
(左辺) = f(log(a)) + f(log(b)) + f(log(c)) + f(log(d)),
ここで
f(x) = (e^x - 1)(3e^x - 7) = 3(e^x - 5/3)^2 - 4/3 ≧ -4/3,
とおいた。
f "(x) = 12{e^x - (5/6)}e^x > 0, (x≧0)
ゆえ、
x≧0 では f は下に凸。
f '(0) = -4,
k = -0.64298265 = log(0.5257220384) < x < 0 では f(x) > -4x,
そこで
F(x) = f(x), x < k, 0 < x
= -4x, k ≦ x ≦ 0
とおく。(函数凸包、function convex hull)
F(x) は x ≧ k で下に凸（広義）である。
(1) a,b,c,d ≧ e^k のとき、凸不等式より
(左辺) ≧ F(log(a)) + F(log(b)) + F(log(c)) + F(log(d))
≧ 4F(log(abcd)/4) = 4F(0) = 4f(0) = 0,
(2) a,b,c,d の中に e^k より小さいものが1つだけある(a)とき、凸不等式より
f(log(b)) + f(log(c)) + f(log(d)) ≧ F(log(b)) + F(log(c)) + F(log(d))
≧ 3F(log(bcd)/3) = 3F(-log(a)/3) = 3f(-log(a)/3)
(左辺) ≧ f(log(a)) + 3f(-log(a)/3) ≧ f(k) + 3f(-k/3) = 0.21780074,
(3) a,b,c,d の中に e^k より小さいものが2つ以上ある(a,b)とき
f(log(a)) ≧ f(log(b)) ≧ 2.5719306, f(log(c))≧-4/3, f(log(d))≧-4/3,
により成立。
- 237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/22(火) 06:15:56.83 ]
- 今月は不等式が一杯載っている
Problem 365.
www.math.ust.hk/excalibur/v15_n4.pdf
- 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/22(火) 06:18:57.91 ]
- C950、M1862、C944など
www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.html
- 239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/25(金) 23:48:58.94 ]
- >>237
Problem 365.
負でない実数 a,b,c が ab+bc+ca = 1 を満たすとき、
1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) - 1/(a+b+c) ≧ 2,
を示せ。
- 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/26(土) 01:40:10.75 ]
- >>239
俺もこれが面白いと思った
まだ解けぬ～
- 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/27(日) 23:30:24.83 ]
- >>239-240
附帯条件から考えて、a→cotα, b→cotβ, c→cotγ と置いてみる･･･
α+β+γ = π より,
(左辺) = 1/(cotα+cotβ) + 1/(cotβ+cotγ) + 1/(cotγ+cotα) - 1/(cotα+cotβ+cotγ)
= (sinα･sinβ)/sin(α+β) + (sinβ･sinγ)/sin(β+γ) + (sinγ･sinα)/sin(γ+α) - (sinα･sinβ･sinγ)/(1-cosα･cosβ･cosγ)
= (sinα･sinβ)/sinγ + (sinβ･sinγ)/sinα + (sinγ･sinα)/sinβ -2(sinα･sinβ･sinγ)/[(sinα)^2 + (sinβ)^2 + (cosγ)^2]
= (sinα･sinβ･sinγ){(1/sinα)^2 + (1/sinβ)^2 + (1/sinγ)^2 - 2/[(sinα)^2 + (sinβ)^2 + (cosγ)^2]}
= 2⊿･{(1/a')^2 + (1/b')^2 + (1/c')^2 -2/[(a')^2 + (b')^2 + (c')^2]}
= ････
ここに、 a'=2R･sinα, b'=2R･sinβ, c'=2R･sinγ, ⊿ = 2R^2･sinα･sinβ･sinγ,
まだ解けぬるぽ～
- 242 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/28(月) 07:26:05.27 ]
- 1/x+y+1/y+z+1/z+x-1/x+y+z
=1/x+y+z*(z/x+y+x/y+z+y/z+x)+2/x+y+z
>=1/x+y+z*(x+y+z)^2/2(xy+yz+zx)+2/x+y+z
=x+y+z/2+2/x+y+z>=2 Q.E.D.
- 243 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/28(月) 08:37:32.00 ]
- >>242
エスパー検定３級の俺には、どれが分母なのか読み取れねぇ・・・
- 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/28(月) 09:52:08.74 ]
- >242
2行目から3行目に何を使ったのか分からない
1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) - 1/(x+y+z)
= 1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) - 3/(x+y+z) + 2/(x+y+z)
1/(x+y+z)で括る
= {1/(x+y+z)}*{(x+y+z)/(x+y) + (x+y+z)/(y+z) + (x+y+z)/(z+x) - 3} + 2/(x+y+z)
= {1/(x+y+z)}*{1 + z/(x+y) + 1 + x/(y+z) + 1 + y/(z+x) - 3} + 2/(x+y+z)
= {1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} + 2/(x+y+z)
後は頼んだ>243
- 245 名前：243 mailto:sage [2011/03/28(月) 10:52:27.44 ]
- では、引き継いで頑張ってみます
3(x^2 + y^2 + z^2) - (x+y+z)^2 = (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 ≧ 0
∴(x^2 + y^2 + z^2) ≧ (1/3)*(x+y+z)^2
z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)
＝ z^2/(zx+yz) + x^2/(xy+zx) + y^2/(yz+xy)
≧ z^2/(xy+yz+zx) + x^2/(xy+yz+zx) + y^2/(xy+yz+zx)
＝ (x^2 + y^2 + z^2)
≧ (1/3)*(x+y+z)^2
>>242の４行目から
＝ {1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} + 2/(x+y+z)
≧ (x+y+z)/3 + 2/(x+y+z)
≧ 2√(2/3)
うむ、失敗したようじゃ…
- 246 名前：243 mailto:sage [2011/03/28(月) 10:56:30.96 ]
- >>245
>>242の４行目から → >>244の下から２行目から
だけど、もはやどうでもいい…
- 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/29(火) 02:54:50.22 ]
- >>241
鋭角△に限定しなければならぬ～
(a')^2 + (b')^2 ≧ (c')^2, etc.
- 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/03(日) 15:07:21.35 ]
- >>238
M1852.
f∈ C^1([0,1]) で f(0) = f(1) = -1/6. のとき次を示せ。
∫[0,1] {f '(x)}^2 dx ≧ 2∫[0,1] f(x) dx + 1/4,
- 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/03(日) 15:38:26.07 ]
- >>248
部分積分により
(右辺) = 2[ (x - 1/2)f(x) ](x=0,1) -2∫[0,1] (x - 1/2)f '(x)dx + 1/4
= f(0) + f(1) + 1/4 -2∫[0,1] (x - 1/2)f '(x) dx
= -1/12 -2∫[0,1] (x - 1/2)f '(x) dx,
∫[0,1] (x - 1/2)^2 dx = [ (1/3)(x - 1/2)^3 ](x=0,1) = 1/12,
よって
(左辺) - (右辺) = ∫[0,1] {f '(x) + (x - 1/2)}^2 dx ≧ 0,
- 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/03(日) 15:43:12.09 ]
- >>249
x - 1/2 という発想はどこから？
- 251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/03(日) 18:18:19.82 ]
- >>238
C925.
f ∈ Ｃ^2([0,1]) で
∫[0,1] f(x)dx = 2∫[1/4,3/4] f(x)dx,
のとき、f "(x0) =0 を満たす点 x0 ∈ (0,1) が存在することを示せ。
C932.
f : [0,1] → Ｒ は連続関数
∫[0,1] {f(x)}^3 dx = 0,
のとき、次を示せ。
∫[0,1] {f(x)}^4 dx ≧ (27/4){∫[0,1] f(x)dx}^4,
C944.
f ∈ Ｃ^1([0,1])
∫[0,1] f(x) dx = 0,
A ≦ f '(x) ≦ B x∈[0,1]
のとき、次を示せ。
A ≦ 12∫[0,1] x･f(x)dx ≦ B,
- 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/03(日) 18:49:37.86 ]
- >>251
C925.
(左辺) - (右辺)
= ∫[0,1/4] f(x)dx - ∫[1/4,1/2] f(x)dx - ∫[1/2,3/4] f(x)dx + ∫[3/4,1] f(x)dx
= ∫[0,1/4] {f(x) -f(x+1/4) -f(x+1/2) +f(x+3/4)} dx
= ∫[0,1/4] g(x) dx
平均値の定理より
= (1/4)g(a) (0<a<1/4)
= (1/4){f(a) -f(a+1/4) -f(a+1/2) +f(a+3/4)}
= (1/16){f '(b) - f '(c)} (a<b<a+1/4, a+1/2<c<a+3/4)
= (1/16)(b-c)f "(x0), (b<x0<c)
- 253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/04(月) 01:51:35.18 ]
- >>239-240
しょうがねぇなぁ････
基本対称式を a+b+c = s, ab+bc+ca = t, abc = u とおくと
(左辺) = (s^2 +t)/(st-u) -1/s = (s^3 + u)/{s(st-u)},
(右辺) = 2/√t,
(s^3 + u)^2 - (4/t){s(st-u)}^2 = (s^3)F_1 + (s^2)(u/t)(st-4u) + u^2 ≧ 0,
ここに
F_1 = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = s^3 -4st +9u ≧ 0, (Schurの不等式)
やっと解けた。しかし、めんどくせぇなぁ･･･
- 254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/04(月) 03:44:39.82 ]
- d.hatena.ne.jp/wasabiz/20110403
なんかみつけたけん
- 255 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/04(月) 08:24:10.34 ]
- >>254
よくある間違い。
１＜２と１００≦１００で等号が成り立つから１より１００の方が小さいとやってしまう。
ａ＝ｂ－＞０とすれば下の式は２より小さくなるから駄目。
- 256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/04(月) 08:37:51.12 ]
- >>255
> １＜２と１００≦１００で等号が成り立つから１より１００の方が小さいとやってしまう。
言っている意味が分からないが、>>254が初歩的なミスをしていることは同意。
例えば、次のように説明すると分かりやすいかも？
>>254の主張を、グラフで視覚化してみよう！
y=x^2 と y=2x-1 において、x^2 ≧ 2x-1 が成り立つ。
等号成立条件は x=1のときで、このとき右辺は 2・1-1=1だから、x^2≧1
どう考えてもおかしいよね (・A・)ｲｸﾅｲ！
- 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/04(月) 09:04:09.55 ]
- a=b=c=1/3^(1/2)
1/(a+b)+1/(a+c)+1/(b+c)-1/(a+b+c)=7*3^(1/2)/6=2.0207259421
7/(3((a+b)(a+c)(b+c))^(1/3))=7*3^(1/2)/6=2.0207259421
a=b=0.1,c=4.95
1/(a+b)+1/(a+c)+1/(b+c)-1/(a+b+c)=5.2018648466
7/(3((a+b)(a+c)(b+c))^(1/3))=1.3555198072
2.0207259421>=2.0207259421>=2
5.2018648466>=1.3555198072>=2
- 258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/04(月) 10:01:03.59 ]
- >>253
等号成立は0,1,1のときしかないんだよね？
- 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/05(火) 01:02:06.67 ]
- >>244の最後からね
{1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} + 2/(x+y+z)
={1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} (xy+xz+yz)+ 2/(x+y+z)
=1/2*({1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} (z(x+y)+x(y+z)+y(x+z)))+ 2/(x+y+z)
>=1/2*({1/(x+y+z)}*(x+y+z)^2+ 2/(x+y+z)
=(x+y+z)/2+ 2/(x+y+z)>=2
- 260 名前：239 mailto:sage [2011/04/05(火) 01:47:07.55 ]
- >>259 >>244
お見事でござる。
コーシー不等式 z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x) ≧ (s^2)/(2t) がミソだった。
>>258
そうでつね。
- 261 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/05(火) 02:01:12.29 ]
- >>242
が言いたかったことが やっと分かった。
｛［（ ）］｝をたくさん使ってくれると ありがたいです。
- 262 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [2011/04/06(水) 12:00:00.55 ]
- >>248
>>250
∫＿［０，１］（（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）－ｇ（ｘ））＾２ｄｘ
＝∫＿［０，１］（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）＾２ｄｘ＋∫＿［０，１］２（ｄｇ／ｄｘ）（ｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ＋∫＿［０，１］ｇ（ｘ）＾２ｄｘ＋２（ｆ（０）ｇ（０）－ｆ（１）ｇ（１））。
（ｄｇ／ｄｘ）（ｘ）＝－１，（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）＝ｇ（ｘ）となるｆが存在するようにｇをとるとｇ（ｘ）＝－ｘ＋１／２。
- 263 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [2011/04/06(水) 12:59:59.72 ]
- >>251
Ａ＝∫＿［０，１］ｆ（ｘ）ｄｘ。
∫＿［０，１］（ｆ（ｘ）＾２＋３Ａｆ（ｘ）－（９／２）Ａ＾２）＾２ｄｘ
＝∫＿［０，１］ｆ（ｘ）＾４ｄｘ＋６Ａ∫＿［０，１］ｆ（ｘ）＾３ｄｘ－（２７／４）Ａ＾４。
１２∫＿［０，１］ｘｆ（ｘ）ｄｘ
＝∫＿［０，１］（１２ｘ－６）ｆ（ｘ）ｄｘ
＝［（６ｘ＾２－６ｘ）ｆ（ｘ）］＿０＾１－∫＿［０，１］（６ｘ＾２－６ｘ）（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）ｄｘ
＝∫＿［０，１］（６ｘ－６ｘ＾２）（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）ｄｘ
＝∫＿［０，１］（６ｘ－６ｘ＾２）ｄｘ（ｄｆ／ｄｘ）（ｓ） （０＜ｓ＜１）
＝（ｄｆ／ｄｘ）（ｓ）。
- 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/09(土) 09:02:08.28 ]
- a、b、c≧0のとき、(a^3 + b^3 + c^3)^4 ≧ (a^4 + b^4 + c^4)^3 を示せ
前にやったっけ？( ﾟ∀ﾟ)
- 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/09(土) 13:52:52.11 ]
- バンチで
- 266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/10(日) 09:44:59.54 ]
- 【数学検定】数検・児童数検総合スレッド Part.4
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284438189/
の４，４５
模範解答はａ＝ｂ≧ｃの場合が抜けている。
>>107
- 267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/10(日) 18:56:36.30 ]
- >>264 >>107
>>76 の方法でござるな････ >>111
a^4 = a^3･a ≦ a^3･(a^3 +b^3 +c^3)^(1/3),
巡回的にたすと
a^4 + b^4 + c^4 ≦ (a^3 +b^3 +c^3)^(4/3),
a^3 = a^4 /a ≧ a^4 /(a^4 +b^4 +c^4)^(1/4),
巡回的にたすと
a^3 + b^3 + c^3 ≧ (a^4 +b^4 +c^4)^(3/4),
あるいは Max{a,b,c}=M とおいて
a^4 + b^4 + c^4 ≦ M(a^3 +b^3 +c^3),
(a^4 +b^4 +c^4)^3 ≦ (M^3)(a^3 +b^3 +c^3)^3 ≦ (a^3 +b^3 +c^3)^4,
>>266
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284438189/44-45
数検総合スレ４
www.suken.net/gakushu/sample/index.html → 1級 検定問題(2次)
www.suken.net/gakushu/sample/sample_img/1-5/1kyu_mondai_2ji.pdf
- 268 名前：１３２人目の素数さん [2011/04/12(火) 10:48:14.35 ]
- a, b, c を実数とするとき, (a^2+b^2+c^2)^2≧3(a^3b+b^3c+c^3a)を証明せよ。
- 269 名前：じゅー [2011/04/12(火) 21:29:19.35 ]
- >>268
ｷｬｽﾌｨ高校数学板 - 不等式 - 517,519,523
…………
ではｷｬｽﾌｨからもう一題。
a,b,cを三角形の三辺とするとき、
a^3+b^3+c^3+3abc
≧2(ab^2+bc^2+ca^2)
を示せ。
ｷｬｽﾌｨ高校数学板 - チャレンジ問題 - 60
- 270 名前：訂正 [2011/04/12(火) 21:34:07.11 ]
- 523→522
60→59
に訂正です。
- 271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/13(水) 21:45:47.80 ]
- >>269
|a-b|<cの両辺を２乗して変形し
a^2+b^2-c^2<2ab
ca^2+cb^2-c^3<2abc
同様に
ab^2+ac^2-a^3<2abc
bc^2+ba^2-b^3<2abc
足して
ca^2+cb^2+ab^2+ac^2+bc^2+ba^2<a^3+b^3+c^3+6abc
ab^2+ bc^2+ca^2+3abc<a^3+b^3+c^3+6abc
ab^2+ bc^2+ca^2<a^3+b^3+c^3+3abc
失敗した…
- 272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/14(木) 08:28:54.62 ]
- 失敗かよ！
- 273 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [2011/04/14(木) 18:00:00.06 ]
- ｐ＝（ｂ＋ｃ－ａ）／２。
ｑ＝（ａ＋ｃ－ｂ）／２。
ｒ＝（ａ＋ｂ－ｃ）／２。
ａ＝ｑ＋ｒ。
ｂ＝ｐ＋ｒ。
ｃ＝ｐ＋ｑ。
ａ＾３＋ｂ＾３＋ｃ＾３＋３ａｂｃ－２（ａｂ＾２＋ｂｃ＾２＋ａ＾２ｃ）
＝２（ｐｑ＾２＋ｐ＾２ｒ＋ｑｒ＾２－３ｐｑｒ）
≧０。
- 274 名前：じゅー mailto:sage [2011/04/14(木) 21:33:49.09 ]
- 正解!!
- 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/14(木) 21:55:29.13 ]
- ？
- 276 名前：２７１ mailto:sage [2011/04/14(木) 22:28:05.71 ]
- >>273
すげー！
このスレ見てたら、不等式に魅了されたよ
>>275
相加相乗
- 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/14(木) 23:26:13.93 ]
- >>273みたいなアクロバティックな変形は思いつかなかったので・・・
a^3-a^2c+abc-ab^2=a(a^2-ac-bc-b^2)=a(a-b)(a+b-c)>a(a-b)
b^3-b^2a+abc-bc^2=b(b^2-ba+ac-c^2)=b(b-c)(b+c-a)>b(b-c)
c^3-c^2b+abc-ca^2=c(c^2-cb+ab-a^2)=c(c-a)(c+a-b)>c(c-a)
全部足して
=a^3+b^3+c^3+3abc-2(ab^2+bc^2+ca^2)>a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)
=a^2-ab+b^2-bc+c^2-ca={(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}/2≧0
よって(左辺)-(右辺)≧0
むーん
- 278 名前：277 mailto:sage [2011/04/14(木) 23:31:35.12 ]
- 符号打ち間違えた
×a^3-a^2c+abc-ab^2=a(a^2-ac-bc-b^2)=・・・
○a^3-a^2c+abc-ab^2=a(a^2-ac+bc-b^2)=・・・
273はいったいどういう発想でその置換を思いついたのだろう
レベルの低いおいらにはわかんないや
- 279 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/15(金) 12:42:51.39 ]
- p,q,rはヘロンの公式に出てくる量だから、三角形という条件がある場合には、
全く新しい発想というわけではないと思う。
目的関数が、非対称なので、コーシー・シュワルツ形へ持って行くのかと思っていたが、
[3]√((p/q)(q/r)(r/p))形を通して、相加相乗形へ持って行ったのには、感心した。
- 280 名前：１３２人目の素数さん [2011/04/16(土) 00:58:02.78 ]
- p>0,x[i]≧0のとき
min{1,n^(p-1)}Σ[i=1→n](x[i])^p
≦(Σ[i=1→n]x[i])^p
≦max{1,n^(p-1)}Σ[i=1→n](x[i])^p
- 281 名前：１３２人目の素数さん [2011/04/17(日) 11:42:27.80 ]
- 流れてしまった春の学会で話そうとしていた内容をUPしておきました。
www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/ineq.pdf
- 282 名前：１３２人目の素数さん [2011/04/17(日) 14:12:27.19 ]
- @273
a=x+y, b=y+z, z=x+yとおけば十分,
Σ_cyc (x^2y-xyz)≧0 Q.E.D.
- 283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/17(日) 20:03:58.97 ]
- >>269
F_1 = (a+b+c)^3 - 4(a+b+c)(ab+bc+ca) + 9abc,
⊿ = (a-b)(b-c)(c-a),
とおくと、
F_1 ≧ ⊿,
- 284 名前：１３２人目の素数さん [2011/04/18(月) 12:55:14.00 ]
- (a^2+b^2+c^2)^2-3(a^3b+b^3c+c^3a)
=(1/2){(a^2-b^2-ab++2bc-ca)^2+(b^2-c^2-bc+2ca-ab)^2+(c^2-a^2-ca+2ab-bc)^2}
- 285 名前：じゅー [2011/04/18(月) 15:27:18.36 ]
- すげぇ
- 286 名前：１３２人目の素数さん [2011/04/18(月) 17:17:34.76 ]
- どうやって思いついたんだ??
- 287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/18(月) 21:12:59.72 ]
- 二 ｀丶、｀丶、_＼__＼〉ﾉﾉへ!
`‐-、 二. ｀ヽ、 ミ￣ ／⌒ｼ′）
二‐/,ｨ┐|=ミ=┘ ,r‐'_二ﾆ....イ
‐ニ| i＜ ｉ ,..-=ﾆ‐''＼ /彡}
二‐ヽ ┘ ｜ lヾ. } } / /リ
ﾆ ‐'"/ / |_{;)} ﾚ' /(（ エレガントな証明を見ると・・・・・
' / / '" ` `ﾞ / ｿ
/ , Ｆ'′/ なんていうか･･････その･･･
ヽ. ＼、 L`___l
＿＼ ヽ._>┘ 下品なんですが･･････フフ･････
／了＼＿ノ
◆（ 勃起･･････しちゃいましてね･････････
門｜
- 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/19(火) 01:17:01.91 ]
- >>286
p = a^2 -ab +bc,
q = b^2 -bc +ca,
r = c^2 -ca +ab,
とおくと、
p + q + r = a^2 + b^2 + c^2,
pq + qr + rp = a^3･b + b^3･c + c^3･a,
これらを↓に代入する。
(p+q+r)^2 -3(pq+qr+rp) = (1/2){(p-q)^2 + (q-r)^2 + (r-p)^2} ≧ 0,
- 289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/19(火) 03:02:58.17 ]
- >>288
> p = a^2 -ab +bc,
> q = b^2 -bc +ca,
> r = c^2 -ca +ab,
> とおくと、
どうやって思いついたんだ??
- 290 名前：286 [2011/04/19(火) 06:56:22.13 ]
- 確かに。
p+q+r=a^2+b^2+c^2
pq+qr+rp=a^3b+b^3c+c^3a
からp=a^2-ab+bc……を出すのは難しいと思う。
- 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/19(火) 23:03:28.82 ]
- 〔類題〕
a,b,c ≧ 0、3/4≦r≦8/3 のとき
(a^2 +b^2 +c^2)^2 ≧ 3{a^r･b^(4-r) + b^r･c^(4-r) + c^r･a^(4-r)},
なら簡単だが･････
- 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/19(火) 23:12:30.94 ]
- >>291 の訂正 ｽﾏｿ
４／３ ≦ r ≦ 8/3 のとき
- 293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/20(水) 00:16:10.72 ]
- >>291-292
相加･相乗平均で
{(3/4)r -1}a^4 +2(ab)^2 +{2 -(3/4)r}b^4 ≧ 3a^r･b^(4-r),
巡回的にたす。
- 294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/20(水) 00:20:00.49 ]
- 思いつくんじゃないのならできる。
- 295 名前：１３２人目の素数さん [2011/04/20(水) 01:31:20.75 ]
- >>289,290
それは, 秘密です. DX
- 296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/20(水) 02:06:55.71 ]
- 初代スレの頃には、ここで不等式を探してﾊｧﾊｧ…してたんだけど、移転したのかな？
Kalva homepage
web.archive.org/web/20080205091131/www.kalva.demon.co.uk/index.html
検索したら、次のサイトが出てきたけど、扱ってる問題が減ってない？
www.cs.cornell.edu/~asdas/imo/index.html
- 297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/23(土) 23:38:27.16 ]
- 〔問題549〕
任意の実数 x[1], x[2], ……, x[n] に対して 次を示せ。
∑[k=1,n] {x[k]/(1+∑[L=1,k] x[L]^2)} < √n,
（じゅー）
ｷｬｽﾌｨｰ 不等式 549, 574
- 298 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/24(日) 02:39:10.57 ]
- >>297
〔補題〕
負でない実数 y[1], y[2], ……, y[n] に対して
Σ[k=1,n] y[n]／(1+y[1]+y[2]+････+y[n])^2 < 1,
- 299 名前：１３２人目の素数さん [2011/04/25(月) 20:25:11.82 ]
- 平面上に4つの定点A,B,C,Dと動点Pがある
Dが△ABCの内部にあるとき
PA+PB+PC+PDが最小となるPはP=Dのときであることを示せ
- 300 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/26(火) 00:31:40.08 ]
- >>298 の訂正....
〔補題〕
負でない実数 y[1], y[2], ……, y[n] に対して
Σ[k=1,n] y[k]／(1+y[1]+y[2]+････+y[k])^2 < 1,
- 301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/26(火) 12:45:59.84 ]
- ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十九問
ttp://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/542
AB＝3、BC＝4、CA＝5 の三角形において
36°＜ C ＜ 37° を示せ。
- 302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/26(火) 22:58:09.11 ]
- >>301 左側
∠B = 90ﾟ だから
cos(C) = 4/5, sin(C) = 3/5,
cos(2C) = 7/25,
sin(4C)/sin(C) = 4cos(C)cos(2C) = 112/125 < 1,
sin(4C) < sin(C),
36ﾟ < 180ﾟ/5 < C
C ≒ 36.8699ﾟ
- 303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/27(水) 02:34:23.79 ]
- >>299
PA ≧ DA - PDcos(∠ADP), (PからADの延長線に垂線を下ろす)
PB ≧ DB - PDcos(∠BDP),
PC ≧ DC - PDcos(∠CDP),
∴ PA + PB + PC + PD ≧ (DA + DB + DC) + PD{1-cos(ADP) －cos(BDP) -cos(CDP)}
次に 1-cos(ADP) －cos(BDP) -cos(CDP) ≧ 0 を示せばよい。
- 304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/27(水) 09:45:05.17 ]
- >>302
正解です。
右側評価をお願いします。
- 305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/27(水) 10:02:46.60 ]
- izu-mix.com/math/exam/waseda/2007_2.html
- 306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/28(木) 02:09:28.16 ]
- >>301 >>304
∠B=90ﾟ ゆえ直角三角形で
tan(C) = 3/4,
tan(5C) = {(tan C)^5 -10(tan C)^3 +5(tan C)}/{1 -10(tan C)^2 +5(tan C)^4}
= 237/(4･19･41),
0 < 5C - 180ﾟ < tan(5C) = 237/(4･19･41) ≒ 4.3578625ﾟ,
180ﾟ < 5C < 184.3578625ﾟ
36ﾟ < C < 36.8715725ﾟ
東大入試作問者スレ１９-578
- 307 名前：１３２人目の素数さん [2011/04/28(木) 12:55:42.80 ]
- a_1,a_2,....a_nを正の数列とし、b_1, b_2....b_nを、その数列の任意の置換とする。
このとき、
a_1/b_1 + a_2/b_2 + ..... a_n/b_n ≧ n を示せ。
って有名だっけ？
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