２つの封筒問題スレ 2

1 名前：1 mailto:age [2010/04/23(金) 17:09:11 ] [問題] ２つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。 入っている金額の比は１：２とする。 選んで中を見ると10000円だった。 他方の袋の金額の期待値は？ この問題・類題に関する意見・質問のスレです。 この問題を他のレスで質問したりすると、高頻度で荒れる原因になりますので できるだけ、こちらに書くようお願いします。 派生元 こんな確率求めてみたい その1/8 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1266017889/ 前スレ ２つの封筒問題スレ science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1267847049 638 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/07/31(土) 16:14:56 ] 何が分からないのか聞いてくれ、教えてあげるから。 639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/07/31(土) 16:16:10 ] 確かに 足して２で割るというところにものすごい違和感があるのは事実。 joushikijinzの解答は、論理は納得できるものの結論が納得できない。 fried_turnipの解答は、結論は納得できるものの論理が納得できない。 640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/07/31(土) 16:24:32 ] >>639 今、ざーっとjoushikijinzの解答見たけど正しいように見えるな。 結論のどこが納得いかないの？ 641 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/07/31(土) 18:12:13 ] >>8と似た様な問題で 封筒に入った金額によらず、交換したほうが得だというのはありえない。 封筒に入った金が (x, 2x) である確率密度関数を p(x) とする (x > 0で)。いつでも交換したほうが得なら joushikijinzの説明から、任意の x > 0 にたいし、p(x) ＞ p(x/2)/2 が常に成り立つ。 S(t) :=∫[t, 2t] p(x) dx を定義して、S(t0) > 0 なる t0 を選ぶと S(2t0) =∫[2t0, 4t0] p(x) dx = ∫[t0, 2t0] p(2x) 2 dx > ∫[t0, 2t0] p(x) dx = S(t0) 同様にやっていくと 0 < S(t0) < S(2t0) < S(4t0) < S(8t0) < ... 。 1 = ∫[0, ∞] p(x) dx >= ∫[t0, ∞] p(x) dx = S(t0) + S(2t0) + S(4t0) + .... → ∞ で矛盾。 既出？ 642 名前：637 mailto:sage [2010/07/31(土) 18:12:41 ] >>638 相乗平均を使うべき理由 643 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/07/31(土) 19:19:51 ] >>642 たまたま。としか答えようがない。 問題の条件変えて、封筒のペアを 2^2^n と 2^2^(n+1) とかにしたら相乗平均でも = にならない。 644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/07/31(土) 20:44:34 ] >>637 このスレ読まずに書くけど、どこもパラドックスじゃないよ。ごく普通の話。 まず最初に１万円ゲット。 次に、５千円払えばそれを３倍の１万５千円にするチャンスに挑戦できる。 挑戦すべきか？ チャンスの大きさによりけり。（確率1/3以上なら平均的に得） 645 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/07/31(土) 23:09:44 ] >>643 >封筒のペアを 2^2^n と 2^2^(n+1) とかにしたら相乗平均でも = にならない。 頭悪いにもほどがある。 交換したら倍か半分になるというのが前提なんだよ、ぼけ。 >>644 はいはい子供は帰った帰った。 646 名前：前スレ240 [2010/07/31(土) 23:57:02 ] 誰もひつようとしていないかもしれんが、貼らせてもらう。 問題(>>1の問題は短すぎる。通常は以下のように語られる。) １、２つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。入っている金額の比は１：２とする。 ２、一方を選ぶ。このとき金額が高いほうを選ぶか、低いほうを選ぶか、それぞれの確率は1/2であるとする。 ３、選んだ封筒の中を見ると10000円だった。 ４、このとき他方の袋に入っている金額は5000円か20000円である。 ５、それぞれの確率は1/2である。 ６、よって他方の袋の金額の期待値は12500円となり、選んだ封筒の金額の1.25倍。 ７、初めに選んだ金額がいかなる場合においても、他方の封筒が2倍、1/2倍である確率はそれぞれ1/2である。 ８、初めに選んだ封筒の金額がいかなる場合にいおても他方を選べば1.25倍になる。 Ｐ、よって封筒の金額を見なくても、交換した封筒の期待値は選んだ封筒の金額の1.25倍になる。本当？ Ｑ、一人が一方の封筒、別の一人が他方の封筒選んだ。彼らは中身も見ずに互いに交換することによって期待値が1.25倍になる。本当？ Ｒ、中身を見ずに、やっぱりこっちにする。やっぱりこっちにする。と交換するだけで期待値が1.25倍、1.25倍と増える。本当？ 答え Ａ、１は正しいが５は誤り。それぞれの確率は「初めにどのような確率分布でお金を入れたのか？」に依存する。それが分からないので「確率は分からない」が正解。もちろん６以下も誤り。 Ｂ、しかしそれでは話がつまらないので、５が正しいとしよう。つまり、１において５が正しくなるような確率分布でお金を入れたものとしよう。その場合には６は正しい。 Ｃ、しかしながら、７を正しいとすることは不可能である。つまり、７が正しくなるような確率分布は存在しない。８以降は誤った仮定の下での考察であり無意味である。 647 名前：前スレ240 mailto:sage [2010/07/31(土) 23:59:10 ] ageてしまってた。すまん。 648 名前：前スレ240 mailto:sage [2010/08/01(日) 00:03:51 ] 連投すまん。Ａの「１は正しいが」を削除。 649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/01(日) 00:34:48 ] >>joushikijinz この勢いで２つの封筒問題スレ２を消化しようとも次スレがあるさ 疲れて一人で踊れなくなるまで踊ればよい ちゃんと止めは刺してあげるから心配しないように 650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/01(日) 01:00:23 ] 高説垂れてた御仁も 逃げ道をのこしたいせいか コテつけなくなったよねｗ 651 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/01(日) 08:11:58 ] 話に合わせて並べ替える。 （１）>Ｂ、しかしそれでは話がつまらないので、５が正しいとしよう。 （２）>５、それぞれの確率は1/2である。 （３）>１において５が正しくなるような確率分布でお金を入れたものとしよう。その場合には６は正しい。 （４）>６、よって他方の袋の金額の期待値は12500円となり、選んだ封筒の金額の1.25倍。 （５）>Ｃ、しかしながら、７を正しいとすることは不可能である。つまり、７が正しくなるような確率分布は存在しない。 （６）>７、初めに選んだ金額がいかなる場合においても、他方の封筒が2倍、1/2倍である確率はそれぞれ1/2である。 （７）>８以降は誤った仮定の下での考察であり無意味である。 （８）>８、初めに選んだ封筒の金額がいかなる場合にいおても他方を選べば1.25倍になる。 で、質問 （１）〜（４）を認めながら、何故（５）の「７を正しいとすることは不可能である。つまり、７が正しくなるような確率分布は存在しない。」につながるんだ？ 652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/01(日) 08:27:01 ] >>651 8以降の議論がわからんので誰か教えろの湾曲表現でしょ。察してやれ。 653 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/01(日) 11:07:26 ] 湾曲表現 654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/01(日) 11:18:12 ] >>651 「初めに選んだ金額がいかなる場合においても」 これがポイントでしょ。 655 名前：すると mailto:sage [2010/08/01(日) 11:26:11 ] 初めに選んだ金額によっては、他方の封筒が2倍、1/2倍にならないことがある。 ってか？ 656 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/01(日) 13:29:01 ] >>651 簡単のため封筒に入っている低い方の金額を1,2,4,8,16......とする。 ７が成立するためにはこの封筒の全てから等確率で選ばれる必要がある。 （たとえば1024円を引いてもう一方が512と2048がそれぞれ1/2と考えるためにはその必要がある） しかし可算無限個から一つの要素を等確率に選ぶことはできない。 故に７は成立しない。 657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/01(日) 13:34:34 ] >しかし可算無限個から一つの要素を等確率に選ぶことはできない。 なんで？ 658 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/01(日) 13:51:39 ] >>656 離散集合で考えるんなら、1円引いた時点で0.5円引きようがないんだから 議論するまでもないんじゃない？ 659 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/01(日) 14:03:12 ] >>658 それは違うよ。問題の趣旨から０．５円でも０．００１円でもいくらでも考えられる。 660 名前：655 mailto:sage [2010/08/01(日) 14:05:18 ] くどいけど 初めに選んだ金額によっては、他方の封筒が2倍、1/2倍にならないことがあるの？ はやく教えて。 661 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/01(日) 14:13:40 ] >>659 そうなら656の書き方は紛らわしいし、可算無限じゃなくて連続体で考えたほうがいいんじゃないの？ 662 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/01(日) 14:20:57 ] >>660 そっちじゃなくて、二倍になるか二分の一になるかが、等確率でじゃないってところ。 663 名前：１３２人目の素数さん [2010/08/01(日) 14:28:37 ] >>661 有理数は可算無限ということも知らないの？ｗ 664 名前：１３２人目の素数さん [2010/08/01(日) 15:04:06 ] 無理数でも級数展開すれば加算無限だろ。10進法では表現できないけど、級数表現は ∞進法だからね。自然数を級数表現すればいいだけ。 665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/01(日) 15:19:10 ] もういいから黙っとけ。 666 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/01(日) 15:22:48 ] >>664 爆笑ｗｗｗ 667 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/01(日) 15:30:42 ] >>664 有理数全体は可算無限集合。 実数全体は非可算無限集合。 よって、無理数全体は非可算無限集合。 668 名前：１３２人目の素数さん [2010/08/01(日) 16:10:26 ] www7a.biglobe.ne.jp/~number/gif/Eqn3.gif 対角線論法の最大のウイークポイントは全ての無理数を1個づつ並べられるって 仮定。稠密なのに分離できるわけないのに、それ仕込んじゃってるから矛盾になる。 本来はa1とa2の間に無限のaがあるので、対角線だけ違うのを作れることができない。 アキレスとかめ、選択定理と同じ矛盾。 669 名前：１３２人目の素数さん [2010/08/01(日) 16:12:52 ] 連続なのに離散順序入れようとするからさ。 670 名前：１３２人目の素数さん [2010/08/01(日) 16:15:01 ] 加算無限＝離散順序集合 非加算無限＝連続順序集合 671 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/01(日) 16:21:13 ] >>668 ＞対角線論法の最大のウイークポイントは全ての無理数を1個づつ並べられるって仮定。 全ての無理数が1個ずつ並べられないなら、 無理数全体は非可算無限集合ということだな。 なーんだ、やっぱり無理数全体は非可算無限集合なんだな。 672 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/01(日) 16:31:41 ] 664 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2010/08/01(日) 15:04:06 無理数でも級数展開すれば加算無限だろ。10進法では表現できないけど、級数表現は ∞進法だからね。自然数を級数表現すればいいだけ。 爆笑ｗｗｗｗ 673 名前：１３２人目の素数さん [2010/08/01(日) 17:43:01 ] ∞X∞ー＞∞ができるんだから∞^n->∞もできるってバカでも直感できるだろ。 連続加算無限という概念が抜けている。 離散加算無限＝離散順序集合 離散非加算無限＝連続加算無限＝連続順序集合 674 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/01(日) 18:00:39 ] 関係がありそうでない話を延々とするな。かえれ。 675 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/01(日) 18:20:56 ] 664 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2010/08/01(日) 15:04:06 無理数でも級数展開すれば加算無限だろ。10進法では表現できないけど、級数表現は ∞進法だからね。自然数を級数表現すればいいだけ。 爆笑ｗｗｗｗ 676 名前：１３２人目の素数さん [2010/08/01(日) 19:21:17 ] つりばか 677 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/01(日) 19:30:53 ] 850ぐらいまでは様子見 しかし驚くべきはその暇さかげん、時間が有り余ってしょうがないんだろね リヤルの生活は充実していないと推測される 678 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/01(日) 20:18:00 ] とりあえず封筒の問題は解決ってことでいいのかな？ 679 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/01(日) 20:39:06 ] とっくの昔に解決していたが 680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/01(日) 22:39:28 ] ∞進法だからね。 681 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/01(日) 22:46:19 ] そうだね。 682 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/01(日) 22:57:33 ] >>679 解決してないと思いたがってる人用の隔離スレだってことを ちゃんと>>1に書いとかないといけないな 683 名前：s5179 mailto:sage [2010/08/01(日) 23:33:53 ] 様子見しようと思ったが、見てるだけもつまらないし joushikijinzもネタ切れで辛そうなので、 子供を寝かしつけながら考えた燃料をプレゼント 初めに確認した値に主眼を置いて>>1の問題を解いてみます。 一方の封筒を確認した時10000円だった �@　10000円＜封筒に入れられる金額の最小値の2倍　の場合、交換すれば必ず得＝交換する �A　封筒に入れられる金額の最小値の2倍≦10000円≦封筒に入れられる金額の最大値の1/4　の場合、交換してもしなくても期待値は変らない＝めんどくさいので交換しない �B　封筒に入れられる金額の最大値の1/4＜10000円≦封筒に入れられる金額の最大値の1/2　の場合、交換すると期待値の平均が大きくなる＝得する＝交換する �C　封筒に入れられる金額の最大値の1/2＜10000円　の場合、交換すれば必ず損＝交換しない 金額上限無し確率分布一様はあり得ないんだけど、もしあったとしても�@と�Aのどちらかしか条件を満たせない 5000円超の金額を封筒に入れなければならない場合を除いて交換するメリットはない >>543の様に金額を用意したとして、初めに10000円を引いた場合、�A以外は条件を満たせない よって、封筒を交換するメリットは無い、めんどくさいので交換しない 説明が難しいけど2つの封筒問題は�Cで得をする問題のような気がする �Cを見極めて交換しない者が得をするみたいな・・・ �Bはおまけだ、得する額もショボイし 684 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/01(日) 23:42:44 ] たしかこの問題の原型というか参考になった問題が別にあるんだよな。 男が二人いて、相手より安いネクタイをしている方が相手のネクタイを貰えるという賭けをするべきかしないべきかという。 685 名前：s5179 mailto:sage [2010/08/01(日) 23:46:35 ] ああ、そうそう>>683はガンマ分布とかは苦手です ごめんね 686 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/02(月) 00:13:48 ] >>683 いや、�Aと�Bの複合こそが肝だろそれ >>543の問題みたいに上限が無くなると ＜joushikijinzの解答＞ 出題者がお金を<x,2x>の組み合わせで２封筒に入れた確率をy(x)とおく。 そうすると、出題者が<x/2,x>の組み合わせで２封筒に入れる確率はy(x/2)と書ける。 開けた封筒にa円入っていた場合 y(a) ＞y(a/2)/2 であれば、期待値的に封筒を交換した方が期待値的に得である。 言い換えれば、<a,2a>の組み合わせで２封筒に入れた確率y(a)が <a/2,a>の組み合わせで２封筒に入れた確率y(a/2)の半分よりも大きいならば 封筒を交換したほうが期待値的に得。 が成り立たない説明になってるよ、それ 687 名前：前スレ240 mailto:sage [2010/08/02(月) 03:53:21 ] >>683 �Aは正しく無い。たとえば、 「封筒には(1円,2円)、(10000円,20000円)、(50000円,100000円)の三種類の いずれかの組が適当な確率分布で入れられる場合」 �Aの条件は満たされていいる。そして、一方が10000円の場合には、必ず他方は20000円だ。 �Bも同様な考察で正しく無い事が分かる。 688 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/02(月) 06:22:14 ] >>687 その分布はガンマ分布【とか】に含まれます ほんと人の書き込み読まないよね >>543の様に金額を用意した場合（そのままの問題では10000円引けないけど）で反証してみて joushikijinz君 689 名前：s5179 mailto:sage [2010/08/02(月) 07:00:00 ] >>687 あとその間抜けな分布、10000円を初めに引いて交換しない人いるの？ その程度の問題を君はずっと解いてたの？ やっぱ盲目的に有限の問題を解いているんだね >>543の問題が苦手で苦手で逃げ出したかったら、君の出題した>>8を改訂して 10000円を初めに引けるようにした問題でもよいよ 690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/02(月) 07:21:51 ] >>635 ＞ 俺がアンカー打ったらその否定の否定が出来るんだよね  できないよ。 691 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/02(月) 07:24:45 ] >>645 ＞ 交換したら倍か半分になるというのが前提なんだよ、ぼけ。  だから、たまたまそれを前提に選んからだと言われただろう。 692 名前：前スレ240 mailto:sage [2010/08/02(月) 08:22:58 ] >>685 >>688 >>689 「苦手」って何？「成立する」とか「成立しない」とかまともな言葉で書いてくれ。 まともな文章を書かないから、読んでもらえないんだよ。 たとえ>>685を読んだとしても >>その分布はガンマ分布【とか】に含まれます そんなこと、どうやって読みとれるの？ >>683は>>687に対する反例を上げただけだ。 他にも反例となる確率分布はいくらでも作れる。 >>683においてどのような確立分布を考えているのかを明確にしてくれ。 前提条件を明確にしない主張をもとに数学的な議論をするのはアホだ。 >>2を良く読め。 >>688や>>689の後半は意味不明。 これまで私は>>543について何かを述べたことは無いし、興味もない。 私は>>683の4行目「初めに」から9行目「交換すれば必ず損＝交換しない 」 までの文章に対する反例を上げただけだ。 693 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/08/02(月) 08:24:19 ] >>689 ＞ あとその間抜けな分布、10000円を初めに引いて交換しない人いるの？  >>683は交換しないって言ってるよ。  ＞ �A　封筒に入れられる金額の最小値の2倍≦10000円≦封筒に入れられる ＞ 金額の最大値の1/4　の場合、交換してもしなくても期待値は変らない＝めんどくさいので交換しない  694 名前：前スレ240 mailto:sage [2010/08/02(月) 09:06:03 ] 細かいが訂正しておく。>>682の 「>>683は>>687に対する反例」はアンカーの前後が逆だ。 それと、どうでもいいことだが>>693は別人だ。 私はすべて「前スレ240」と名乗っている。 695 名前：前スレ240 mailto:sage [2010/08/02(月) 09:08:08 ] またミスった。>>682ではなく。>>692だった。すまん。

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