- 1 名前：1 mailto:age [2010/03/06(土) 12:44:09 ]
- [２つの封筒問題]
２つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は１：２とする。
一方を選んで中を見ると10000円だった。
他方の袋に入っている金額は5000円か20000円なので
期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか？
この問題・類題に関する意見・質問のスレです。専用スレ立てました。
この問題を他のレスで質問したりすると、高頻度で荒れる原因になりますので
できるだけ、こちらに書くようお願いします。
こんな確率求めてみたい その1/8
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1266017889/
から派生しました。
- 2 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 12:45:35 ]
- ～Fin～
- 3 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 13:06:16 ]
- 代数学で解ける
- 4 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 13:14:48 ]
- じゃあ俺は幾何学で解くよ
- 5 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 13:24:32 ]
- m/hは速度の単位
例えば10m/hは「1時間に10m進む」という速度を表す
しかし「 」内が速度を表しているからと言ってmが速度の単位という事にはならない
mはあくまでも長さ・距離の単位
「期待値は12500円」これも同様
「 」内は期待値を表してるが、円が期待値の単位という事にはならない
円はあくまでも金額の単位
こんな当然の事もわからないのに何か主張をするでもなく
横から「円は期待値の単位だ」と口を出すだけの人間が大量発生して嫌気がさしたのと
>>579の真ん中辺りにどう答えるか悩んでたのと
2chダウンが重なって
次に見たときは流れが変わってたとさ
で、ここの>>1と確率スレの>>560は違う問題だと思うのだが
とりあえず
＞>>560の問題は確かに、未確認の袋の金額の期待値が確認済の金額の1.25倍
は怪しい
- 6 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 13:35:25 ]
- せっかくだから俺はこの赤い封筒を選ぶぜ
- 7 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 14:07:44 ]
- >>560を書いた者です。
>>5は受け答えしてくれてた>>573？
>>560の問題をもう1度書きます。
賞金の組は
{1250,2500},{2500,5000},{5000,10000},{10000,20000},{20000,40000},{40000,80000}
のいずれかで、どれが選ばれるかは等確率とします。どの組かを決め、袋X,Yにそれぞれ賞金をいれます。
どちらの袋に大きい金額が入れるのかも、等確率とします。A君はXを受け取り、B君はYを受け取ります。
(追加訂正)A君,B君には賞金の組は上のいずれかで、等確率で選ばれることは教えます。
[状況1]A君はまだ、X,Yの金額を知らない。
[状況2a]A君が、Xの金額のみを確認すると、10000円であった
[状況2b]B君が、Yの金額のみを確認すると、5000円であった
[状況3]さらに、A君がYの金額も確認すると5000円であった
状況1,2a,3におけるA君にとってのXの金額の期待値,Yの金額の期待値と
状況2bにおけるB君にとっての Xの金額の期待値,Yの金額の期待値を
Xの金額,Yの金額でそれぞれ表すことはできるか？
＞＞>>560の問題は確かに、未確認の袋の金額の期待値が確認済の金額の1.25倍
＞は怪しい
のなら
[状況２a]のA君にとってのYの金額の期待値はXの金額の1.25倍
[状況２b]のB君にとってのXの金額の期待値はYの金額の1.25倍
に対する反論(どこが間違っているのか)を具体的にお願いします。
期待値の単位の話は本題ではないので続けなくても良いですが
一応答えとくと、"物理量の次元(Wikipedia「次元」を参照)"みたいな意味合いで
(金額の単位=金額の期待値の単位)と言ったのであって、私は金額と金額の期待値が同じものだとは
思っていません。金額の値(量)10000の次元と、金額の期待値の値(量)12500の次元が
同じ次元であるので、このことを「金額の期待値の単位は、金額の単位と同じ」という
言い方で表現しただけで、特に深い意味はありません。
- 8 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 14:38:54 ]
- >>560での確認に意味があるのは
端であるかという部分においてのみ
それ以外では確認に差は生じない
が、この差が問題をややこしくしている
本来の端の無い問題ならば他方の期待値が1.25倍とした時に生じるおかしな事態はわかりやすい
端ではない事が保証されているのなら確認に意味は無く
常に他方の方が期待値が高くなるという問題が浮き彫りになる
端がある問題ではその点の指摘が難しく、俺には
＞反論(どこが間違っているのか)を具体的に
を複雑にならないように指摘するのは無理だし
複雑な指摘をした後に完璧に伝えきるまでやり取りを続ける気力も無い
しかし俺が具体的な指摘ができない事を根拠に同様の問題を孕んでいるはずの
＞[状況２a]のA君にとってのYの金額の期待値はXの金額の1.25倍
＞[状況２b]のB君にとってのXの金額の期待値はYの金額の1.25倍
が正しいとするのは俺を過大評価し過ぎだろう
元の問題ではどのようなパラドックスが発生していたかを理解できていたのなら
>>560でもそれが解決していないのはわかるはず
俺の指摘を待つのではなく、そのパラドックスが解決または発生していない事を自ら示してみては
＞期待値の単位の話は本題ではないので続けなくても良いですが
これ、毎回言ってるが続けたいのか続けたくないのかどっちなんだ
続けるなら変な断り入れる必要は無いし
続けないなら行動が伴ってない
で、表現はともかく、速度に時間をかけると距離が出る、m/h×h=mのような事が
期待値と確率と事象で常に成立するとは限らない事が伝わればそれでいい
- 9 名前：7 mailto:sage [2010/03/06(土) 15:46:46 ]
- >>8
レスどうも。私に対して返信する時はできれば名前
つけてくれると助かります。
期待値と単位の話は、金額の値(量)10000の次元と金額の期待値の値(量)12500の次元が
同じ次元であることが伝わっていれば、こっちもそれでいい。
金額の期待値の値(量)12500につく円を"金額の期待値の単位"と呼ぶのが相応しいかどうか
意見が食い違うのならそれもしょうがないし、交通事故みたいなもんだと割り切って諦める。
＞そのパラドックスが解決または発生していない事を自ら示してみては
(私の立場では)発生してもいないパラドックスを、私が存在しないことを示すというのは
とても難しい。パラドックスが発生していると思う人が、どこがパラドックスなのか
とか、私の推論のどこがインチキなのか指摘してくれないと、私にはわからない。
私は
元の問題のパラドックスが、>>7(>>560)にも残っているのではなく
元の問題のパラドックスだと思われているものの一部はただの考え違い
であることということを納得させるために、単純にした有限の問題>>7を出した。
例えば、前の問題で"(A君とB君の金額合計)＝(C君D君の金額合計)はおかしい"
という意見があったけれど、>>7の問題でも
(互いに袋を交換した時のA,Bの得る金額の合計)=(交換しない時のA,Bの得る金額の合計)
は当然成り立つ。これは当たり前の話なのに
"どうして成り立つのか？、成り立つなんておかしい！"
と言われても、"そもそも成立だとおかしいと思うのが、考え違いなのでは？"
と思っているので、パラドックスがないことを示せと言われても、これ以上
何をするべきかわからない。
- 10 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 16:30:40 ]
- 有限の問題の方が複雑なんだが
そして俺は有限の問題にはそこまで興味が沸いてないし
全く同一の問題ではないと思っている
＞元の問題のパラドックスだと思われているものの一部はただの考え違い
＞であることということを納得させるため
というのなら元の問題のままやって欲しい
ところで>>9は、>>9の立場ではただの勘違いであるパラドックスもどきが
どのようなものかについても把握していないのか？
把握しているのなら、それが発生していない事を示すのは可能だと思うのだが
それとは別に把握していないとなると話が大きく後退するな
- 11 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 19:06:16 ]
- 転載
649 名前： １３２人目の素数さん [sage] 投稿日： 2010/03/06(土) 18:59:25
>>645
＞ >>560では、互いに相手の期待値は自分の金額の1.25倍になっていることや
＞ (中略)
＞ と主張してた人は、この結果をどう思うのか？
べつにどうも思わないんじゃないかな？
＞ "互いに相手の方が得に見えるのはおかしい"
＞ "得に見える選択をしても、損に見える選択をしても、それぞれの合計金額が等しくなるのは変"
これは、「封筒をあけたときの金額がいかなる金額のときにでも 」がつくときの話だと思うよ。
>>560の問題では、あけて出てきた金額によっては期待値が1.25倍にならなくなることがある。
さらに、２組のペアでっやる得に見える選択だけをするとか、損に見える選択だけをする実験は
できなくなる。
- 12 名前：7 mailto:sage [2010/03/06(土) 22:33:51 ]
- >>10
パラドックスだとよく言われてる箇所は自覚はある。有限の>>7の問題なら
・双方にとって、相手の方が得に見えるというのはおかしい
という意見。この派生の(他の細かな点も全部この派生だと考えている)
・(双方交換した時の合計金額)＝(双方交換しなかった時の合計金額)はおかしい
とか。おかしいとは思わない私にとっては、ただの勘違いじゃないか？としか言えない。
私がまだ気づいてない不思議な点や、私または他の人の勘違いによって
>>7には別のパラドックスもあると言われる可能性は否定できないので
>>7にどんなパラドックス(もどき)があるか全部把握してるとは言えない。
納得してくれるかどうかはわからないが
互いに相手の方がよく見えるというのは日常の感覚としてよくあることだし
[2a]のA君にとってのYの金額の期待値はXの金額の1.25倍になる計算は
論理的に妥当でない箇所は(私には)見あたらない。
金額の期待値的に得な方を選択する場合,損する方を選択する場合で
最終的な損得に差がなくっても不思議ではないと思う。例えば
n回ゲームをする(>>7の場合なら最初に確認したのが10000円だった回数がn回になるまでやる)
として、X,YのうちXの金額の方が大きい回の回数の期待値はn/2回
X,YのうちYの金額の方が大きい回の回数の期待値はn/2回になるのだから
A君であってもB君であっても、必ずXを選ぶ戦略をとる場合は
n/2回は多い方を選び、n/2回は少ない方を選ぶと期待されるので
必ずXを選ぶ戦略は金額の方が大きい回の回数の期待値という観点からは
有利でも不利でもないこと言える。
関係あるかどうかは知らないが、聖ペテルスブルグのパラドクスでも
賞金金額の期待値は発散してしまうので妥当な参加費は計算できないが
コインが初めて裏になるまでに投げた回数の期待値(収束する)は求まるので
そこから参加費を計算すれば1つの目安になる、という話を思い出した。
- 13 名前：7 mailto:sage [2010/03/06(土) 22:43:07 ]
- 関係あるかどうかは知らないが、次の会話例(コピペだが)も思い出した。
生徒「1=-√(-1)*√(-1)=-√((-1)*(-1))=-1の何処が間違いですか」
教師「√(a*b)=√a*√bは一般には成り立たないから」
生徒「どうして成り立たないのですか」
教師「君がその反例を以って証明してくれたじゃないか」
生徒「……」
>>10
有限の問題を扱わずに、無限の場合の問題を扱うことはできないよ。
無限の方が考えやすいというなら、無限の性質でテキトーに誤魔化してる部分が
あるんじゃないかな？無限による誤魔化しがないか(適切な場面で無限の性質を用いてるか)
の確認も、>>7の重要な役割の一つ。無限の問題では、無限であることが原因で感覚的に
おかしいと思うかもしれないことはあるとは思うよ。
端(特異点)がある場合もない場合も、他方の金額が自分の金額の1.25倍となる(問題を考える)のなら
1.25倍になる原因は特異点の有無と無関係と考えるのが私にとっては自然。
関係あるというのなら、なんで関係あるのか説明を求める。
>>11は>>10とは別人だよね…？
取り敢えず>>7(>>560)はパラドックスはないということを納得してくれてる
と受け取ってよいのかな？つまり
どちらかが10000円を確認がした時は互いに相手の方が良く見える
(見えるだけで、実際に良いかどうかはわからない)には納得する？
ご指摘の通り>>7では、もしA君B君のどちらも10000円を確認しなかった場合は
相手の期待値が1.25倍にはならない。>>7では取り得る賞金の組は
{10000*(2^n),20000*(2^n)}(nは-3以上2以下の整数)
であったけどnの取り得る値を[-100以上99以下の整数]とか[10以下の整数]
はたまた[整数(全体)]とかにした場合もパラドックスはないと納得してくれる
なら、議論はほとんど終わったも同じ。
- 14 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 00:11:15 ]
- 矛盾を生んでしまう原因
■視点の混同
封筒を選ぶ人に注目するか
場の２つの封筒に注目するか
これらは別物
■確率分布の混同
その封筒が高額の方である確率は1/2でいいのかを考えよう
■定義域の無自覚
金額問題なので整数値にこだわると
金額の値が奇数のときは少額封筒と判明してしまうなど
本来の問題とは別物になってしまう
実際は正の有理数もしくは正の実数（負のみでも良い）
金額の比の値が負の場合は０以外の実数となる
- 15 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 02:24:17 ]
- ２封筒問題の名物、1.5倍の珍説君はどこにいったの？
- 16 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 02:58:21 ]
- >>13
有限の場合は確認に意味が生じる
>>7の例では1250円だったら確実に交換した方がよいし
80000円だったら確実に交換しない方がよい
毎回例外を考慮しつつ論じるのは
例外が発生しないケースで論じるのに比べて面倒な事になるのは当然だろう
＞無限の方が考えやすいというなら、無限の性質でテキトーに誤魔化してる部分が
これは酷いな
考えやすいを誤魔化しやすいと受け取るか
それは相手を誤魔化してまで主張を曲げたくない人間だと思ってるって事だよな
正直そのような先入観を持った>>13とまともに議論できるとは思えない
無限で考えても>>13がその例
＞に対する反論(どこが間違っているのか)を具体的
にすればよいだけではないか
また>>7はパラドックスは無いと言っているがそれは
「↓の文章は正しい」には何もパラドックスは無いと言っているようなものだ
「↑の文書は間違っている」とあるが？と言っても
「↓の文章は正しい」の正しさのみを主張しそれゆえパラドックスは無いとしてるように感じられる
やはりパラドックスを把握てもらわないと話が進まないようだ
元は無限の場合の問題であったのに有限を持ち出し
無限で考えていて、無限方に興味がある俺にそれは誤魔化すためだと言い
1.25倍になるから1.25倍でパラドックスは無いと主張する
1倍になるから1倍でパラドックスは無いと反論する事もできるが
正直やってられん、降りるわ
あとは勝利宣言でもなんでも好きなだけやってくれ
- 17 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 09:54:54 ]
- >>13
＞ はたまた[整数(全体)]とかにした場合もパラドックスはないと納得してくれる
ここには同意できないな。
「パラドクスがあるかないか」にではなくて
範囲を無批判に無限に拡張しているところに
- 18 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 10:05:33 ]
- ＞ 範囲を無批判に無限に拡張しているところに
ここの気持ち悪さはこの問題に似ている。
↓
パンの耳が好きな男が考えた
もっと大きなパンがあれば、たくさんの耳が食べられる。
２０cm四方のパンなら80cmのパンの耳。
１m四方のパンなら４mのパンの耳。
１0km四方のパンなら40kmのパンの耳。
無限大のパンなら、無限大のパンの耳。
いやしかし、無限大のパンには耳はあるのだろうか？
もしあったとしても男はパンの耳にたどり着けるのだろうか？
大きなパンを望んだ男は
大好きなパンの耳をたべられなくなってしまった。
- 19 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 10:34:49 ]
- >>18
1辺を20cm→1mにしなくても
20cmの正方形を縦横50等分にして一辺4mmにすると
耳は20*50*50*4/100=2mに増える
一辺1nmまで切り刻むと
耳は3200000kmになる
もちろん切り刻まなくてもペアノ曲線のパンにすればおｋ
- 20 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 11:03:22 ]
- それ耳じゃない。
パンを切っても切り口が増えるだけで耳は増えないよ
- 21 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 11:08:03 ]
- もし焼く前に形を整えたとしても
ペアノ曲線やシェルピンスキーガスケットの形状のパンでは
焼き上がりが不均一でうまく耳はできないだろう
- 22 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 11:19:36 ]
- 耳は切り刻んでも耳だろう。
パンを切るのではなく、耳を切り刻むか
耳にペアノ曲線を描けば、耳の長さが
無限であると示せる
- 23 名前：7 mailto:sage [2010/03/07(日) 11:44:33 ]
- >>16
パラドックスとは広義では、正しそうな前提と正しそうな推論から
間違ってそうな結論が出ることという意味で、>>16もそのような意味で
用いてると思うのだが、私は>>7は前提(問題文)に矛盾はなく
少なくとも[2a]のA君にとってのYの期待値はXの1.25倍である計算も
妥当で、結論(互いに相手の方が良く見える)も間違っていないと思っているので
パラドックスはないと言った。パラドックスがないことを示せと言われても
私は前提・推論・結論の正しさを主張するしかない。
>>7の例では、[2a]以降ではA君の確認した金額は10000円と確定してるので
例外(特異点)もなにも関係ないと私は主張してる。>>16は
>>7の[2a]でもパラドックスが残る(発生する)としながら
毎回例外を考慮しなければならないと主張しているように見えるが
もしそうなら>>7の[2a]でも特異点の有無が関係あること
>>7の[2a]でも特異点を考慮しなければならないことを示して欲しい。
[1]でのXの期待値については、私が前に示したやり方では特異点の有無が
関係してることは、こちらも認める。
勝利宣言するほどのものではないが、説明できるのにする気がない
という態度を続けるなら、降りてくれた方がこちらも助かる。
- 24 名前：s5179 [2010/03/07(日) 12:03:24 ]
- ２つの封筒問題でこんな問題はどうだろう
数学者が死ぬと神様が現れる
二つの封筒を差し出し
この封筒の中には１：２の比になるような数字が書かれていて
大きい方の数字を選べば天国行き、小さい方の数字を選べば地獄行きと言う
数学者が１つ封筒をぶと２００と書いてあった
神様は他方の封筒を選択してもよいと言う
①他方の封筒の期待値はいくつか
②このとき数学者はどうすればよいか
③すべての数学者は死ぬとこの神様が現れ同じような事を言う
数学者の取りうる戦術によって地獄に行く確率は変化するか
- 25 名前：7 mailto:sage [2010/03/07(日) 12:07:39 ]
- >>17
確かに、範囲を無限に広げる時には慎重にやらなきゃいかんし
どうにかして期待値1.25倍を保持させたまま無限に拡張した時
にそれなりの気持ち悪さは残る。元の問題とは違うことをやろう
としてるので、拡張するときに変な条件が必要かもしれない。
それは認める。
>>7の取り得る賞金の組を
"{10000*(2^n),20000*(2^n)}(nは-3以上2以下の整数)"から
"任意の整数M,N(但し、Mは-3以下,Nは2以上)として
{10000*(2^n),20000*(2^n)}(nはM以上N以下の整数)"
に換えるだけなら、パラドクスはないと納得できるはず。
>>7の問題もまだ全部かたづいていない。
確率スレで前に書いた(>>566>>567>>645)けれど
[2a]での
A君にとってのXの金額の期待値はYの金額のs倍(s:定数)
A君にとってのYの金額の期待値はYの金額のt倍(t:定数)
とはいえない
[2a]に別の条件を仮定するなら、Xの金額の期待値はYの金額の1.25倍と
いえるかもしれないが、それはもはや[2a]でのXの金額の期待値ではない
[1]での
A君にとってのXの金額の期待値はXの金額のu倍(u:定数)
A君にとってのXの金額の期待値はYの金額のv倍(v:定数)
とはいえない
というのが私の意見なのだが、これについてはどう思う？
- 26 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 12:10:48 ]
- >>24
根本的に問題が違う、話にならない
それだと＋200と‐100の数の違いの意味がないだろ
- 27 名前：7 mailto:sage [2010/03/07(日) 12:20:58 ]
- >>24
最初に受け取る封筒が２つの袋のうちの大きい方か
小さいほうなのかが同様に確からしいとするなら
②数学者はどんな決め方をしても地獄に行く確率は同じ
③それぞれがどんな戦術を取ろうが地獄に行く確率1/2。
地獄に行く数学者の人数の期待値は(死んだ数学者の半数)人
①一方の封筒に２００が入っていた時の他方に100が入っている確率と
400が入っている確率の比がわからないので答えられない。
- 28 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 12:35:39 ]
- >>22
本気で言ってるのならもういいや。
- 29 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/07(日) 12:43:27 ]
- >>27
おお、自分が考える解と全く同じだわ
①の期待値が分からないとするのがポイントだよね
200とすると100が入っている確率が2/3、400が入っている確率が1/3になる
よって他の封筒問題でも一方を引いたとしても他方の期待値は分からないとするのがいいと思うんだけど
- 30 名前：ｓ5179 mailto:sage [2010/03/07(日) 12:55:34 ]
- あ、ごめん最初に受け取る封筒が大きいか小さいかは関係ないと思う
受け取ってから数学者が一方を選ぶので
前提条件として『神様の書く数字に偏りは無い』を入れた方がいいかな？
でないと神様の書く数字の確率分布みたいな話が出て来るから
それとも『神様は無限大の数字を書ける』をいれる方がいい？
でないと書く数字が有限か無限かで答えが変るみたいな話になるから
- 31 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/07(日) 13:12:10 ]
- >>24の問題を考えたのは他所でお父さんがこどもに小遣いをくれる問題を解いたから
この問題は現実世界の話らしいのでお父さんの経済力や
こどもへあげようと思う金額【２つの封筒の中身が（X円、２X円）ならば3/2X円】が影響してくる
だから死後の世界にしたんだけど
それでも数学者達は封筒を選ぶ時に
『封筒に書く数字に偏りはありますか？』
『書く数字は有限ですか無限ですか？』
といった質問を神様にするのだろうか？
- 32 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 14:50:02 ]
- こいつバカじゃないの
- 33 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 14:54:05 ]
- >>22
線密度が一定でないパンの耳を長さで比較することはできない
- 34 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 14:57:32 ]
- 人格を否定する発言はしたくはないので控えるが
彼が何を言いたいのかはさっぱりわからない。
- 35 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 14:58:48 ]
- >>34 は >s5179向け
- 36 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 15:10:18 ]
- s5179って確率スレで初期から1倍って言い張ってた人じゃないの
- 37 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 15:27:53 ]
- この問題ってもう解決した？
電車でボーッと考えてて思い至った考えなんだけど、ちょっと書きなぐっても良いかな？
この問題を設定した時点で、封筒A,Bが持ちうる金額の確率分布は非自明なんじゃないかな
分布の設定方法は無数にあるだろうけど、一例として
Aが0円～n円の一様分布だとすると、Bの分布は密度5/4nのS1(0円～n/2円),密度1/4nのS2(n/2円～2n円)にわかれる
この分布を加味して期待値計算したら矛盾は無くなるんじゃないかな(まだ計算してないけど)
派生元スレ読んでないから既出だったらごめん。
- 38 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 16:06:38 ]
- あやまる必要はないが既出。
- 39 名前：ｓ5179 mailto:sage [2010/03/07(日) 18:00:42 ]
- >>37
そう、その分布の密度って考え方が分からないんだ
因みに今日は家族サービスしながら考えてたのは
AがXであったときBの期待値がXと仮定する
そうするとBがX/2の確率は2/3、２Xの確率は1/3になる
つまりX/2と２Xの比率は2:1
封筒に入っている数の比率が3:1の場合はX/3と３Xの比率は同じく3:1になる
ここからなにか導けそうなんだけど説明が上手くできない・・・
イメージとしては
封筒に入っている数の比率が２：１の場合
2,4,8,16,32・・・・・2のｎ乗・・・・・
3,6,12,24,48・・・・3(2のn乗)・・・・・
5,10,20,40,80・・・・5(２のｎ乗)・・・・・
取りうる値はつまり素数に２のｎ乗をかけた値になる
Aを開けたときにXという値が出るとするとBの値は小さい方に濃くて
大きい方に薄いように思うんだ
- 40 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/07(日) 18:45:16 ]
- >>39
出題にはとり得る値が自然数とは書いてないぞ
とセルフ突っ込み
自然数の場合は先に素数を引けば勝てるな・・・
- 41 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 19:26:34 ]
- >>39
分からないと言ってるわりには
答えの間近まで来てるな
元スレのさらに前スレから出てる答えだ
整数に限った問題ではないし
素数をかける必要はないが。
- 42 名前：s5179 [2010/03/07(日) 22:29:16 ]
- <<41マジで！！ 出来れば答えを教えてほしいな
<<24の問題は悪意が含まれているし、得られる値の意味が薄れてしまうので改変
ある数学者死ぬと神様が現れるた
二つの封筒を差し出し
この封筒の中には１：２の比になるような正の実数が天国で使える小切手に書かれていると言う
数学者が１つ封筒をぶと1０００＄と書いてあった
神様は生前数学者がすばらしい功績を残したので、他方の封筒を選択してもよいと言う
このとき数学者は封筒を交換した方がよいのか、またその理由は
- 43 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 22:38:26 ]
- >>42
なんで無駄に神なんか持ち出すんだよｗ>>24も。
神なら神能力でその都度確率分布を操作する存在と見られてもしかたないぞ
不要な小細工しすぎ。
- 44 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 22:41:51 ]
- すいません>>42だと神様が封筒をくれないかもしれないので訂正
ある数学者が死ぬと神様が現れた
二つの封筒を差し出し、この封筒の中には１：２の比になるような
正の実数が小切手に書かれていて天国で使える、一つ選びなさいと言う
数学者が１つ封筒をぶと1０００と書いてあった
神様は生前数学者がすばらしい功績を残したので、他方の封筒を選んでもよいと言う
このとき数学者は封筒を交換した方がよいのか、またその理由は
- 45 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/07(日) 22:47:32 ]
- >>43
ごめん、人間だとなんか傾向があるような気がしていやなんだ
- 46 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 23:01:50 ]
- 神だともっと駄目だろ。
変なとこにこだわって脱線するなぁ…
- 47 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 23:24:28 ]
- >>44
良いというのが期待値を意味するなら当然交換した方が良い
- 48 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/07(日) 23:36:24 ]
- >>47
交換した方が良い理由は？
あとこんな誤字脱字の多い問題に答えてくれてありがとう
>>14の人って正解知ってそうなんだけどなー
- 49 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 23:43:48 ]
- 結局、正解が示されても納得いかない人、それが答えだと気づけない人が
あの手この手で納得する手段を模索するスレってとこでしょ。
- 50 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/07(日) 23:47:46 ]
- みんな一言ずつコメントしていってくれたら幸せです
- 51 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 23:48:34 ]
- >>48
１：２である任意の組である確率を同様に確からしいことを前提とする
上記より1000と2000である確率と500と1000である確率は等しい
封筒の洗濯は無作為であるので、1000である条件付き確率は各々の確率の1/2である
よって、1000であるとき、その組が1000と2000であった確率と500と1000であった確率は等しい
よって、1000であるとき、その組が1000と2000であった確率と500と1000であった確率は1/2である
よって他方の期待値は1250である
これは元の1000より大きいので、期待値の大きい方を良いとするならば取り替えた方が良い
- 52 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 23:50:33 ]
- >>51
一行目がさっそく日本語になってないのだが
助詞の使い方間違ってないか？
- 53 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 23:54:07 ]
- >>51
前提が正しいかどうかをまず検証することが必要
その答えは>>51が新たに用意した前提から導かれているだけ。
- 54 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 23:57:27 ]
- >>52
確かに酷いと思った
どの１：２である正実数の組である確率も同様に確からしいことを前提とする。
その確率をαとする。
開けた封筒が1000であった時、他方が500である確率も2000である確率も、
(α/2)/((α/2)+(α/2))＝1/2。
よって期待値は1250。期待値の大きい方を良いとするならば取り替えた方が良い。
- 55 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 23:59:47 ]
- >>53
数学の問題では特に条件が与えられていなければそれらは同様に確からしいと解釈される。
今回の場合、「どの組であるか」と「組のどちらを引くか」は同様に確からしい。
- 56 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:01:36 ]
- >>55
全く与えられていないのならば、ね。
- 57 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:02:15 ]
- >>56
どこかに与えられていたか？
- 58 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:04:52 ]
- 明確に与えられている
- 59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:05:32 ]
- 言ってみろ
- 60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:10:47 ]
- 金額１：２という条件によって
それぞれの組の存在確率が規程されるということに気付くか気付かないかだろうね
対数をとるなどの数学的操作を行えば
当面、金額設定における存在確率を考えずにすませる方法もあるが
その場合は対数をとるという余計な操作をした分
期待値の算出方法も変わってしまうが結果的には同じこと
- 61 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:12:11 ]
- >>60
もちろん金額１：２という条件によって規程される中での等確率しか論じていないよ。
見えないか？
- 62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:13:47 ]
- ＞規程される中での等確率
なるほど、それでは別の問題をあつかっていたのね。
神が途中で都合のいい確率操作でもしてくれるわけですか。
- 63 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:17:12 ]
- >>62
特に指定されていないので神が確率操作したならば等確率であるように確率操作したものとする。
君の言う都合のいいが何に都合のいいことを指しているかを明示しない限り後者に答えられない。
- 64 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:17:39 ]
- ほら、1倍って言ってる人は結論ありきだから確率分布もそれに沿って考えるんですよ
- 65 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:21:19 ]
- >>63
神が現実を曲げた世界ですな
明示されても気付けない人には仕方ないんじゃないかな。
気付くまで頑張ってみてください
一個人が数学的事実を理解できなくても
数学的事実の方は変わらないので
いろいろ不具合やおかしさを受け止めて頭を働かせる謙虚さがあれば
そのうち辿りつけるでしょう
- 66 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 00:23:10 ]
- >>52
でも>>51の言いたい事は分かった
( 500,1000 )( 1000,2000 )の封筒になる比率が１：１なら
1000が出たときに他方が500の確率が1/2、2000の確率が1/2になるってことだよね
これを交換しない派に呼び込むには
①封筒の中身が１：２になるような数字は大きくなるにつれ比率が下がる
（小さいペア：大きいペア=２：１に )
②( 500,1000 )( 1000,2000 )の封筒になる比率が１：１であっても1000が出たときに
500が1/2の確率、2000が1/2の確率になるとは限らない
①もしくは②が説明出来ればいいんだ、やっぱ議論した方が考えがすっきりするわ
- 67 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:25:16 ]
- >>65
ふむ、反論できなくなればそうやって「こいつらは気付かなくても自分は気付いてるんだ」と根拠の無い特権意識に逃げるしかないか。
- 68 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:27:21 ]
- >>66
①そうした確率分布にする根拠が無い。
②全事象の確率の和から個々の確率で割れば1/2になる。
- 69 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:28:01 ]
- 成程な。
条件整理できてなかった人が
議論の中のふとした部分から条件整理できるようになったりするのなら
無駄ではないわけだ
というより、そのための隔離スレだったな。
- 70 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:28:03 ]
- ミス
②全事象の確率の和で個々の確率を割れば1/2になる。
- 71 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:33:00 ]
- >>67
根拠の有無も
（事実や理解から）逃げているのがどっちなのかも
運が良ければ気付ける日が来るよ
現実とかみ合っていない原因を納得できてない>>67が
納得いくかいかないかだけの問題なわけだから。
あるいは神が現実を曲げた仮想ルールに基づいた確率論を構築するのも一興かもね。
反論っていう次元の内容じゃないしね…
- 72 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:33:54 ]
- >>68の答えから①の方が崩しやすいと感じる
なぜなら『そうした確率分布にする根拠が無い』の根拠が示されていないから
- 73 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:34:12 ]
- >>71
反論できければ反論なんて次元じゃないというしかありませんよね＾＾
- 74 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:36:07 ]
- ゴールはどこだろう
封筒の中の金額をA,Bとして
1)任意のAに対して、Bの期待値は(1/2) * (1/r + r) * Aで表せる。
2)任意のBに対して、Aの期待値は(1/2) * (1/r + r) * Bで表せる。
1),2)が同時に成り立つような(A,B)の密度関数f(x,y)が存在し得ないことの証明？
- 75 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:36:51 ]
- >>72
組に関する提示された制限は「１：２である」のみで他に根拠となる情報は見当たらないが。
- 76 名前：7 mailto:sage [2010/03/08(月) 00:51:23 ]
- 元の問題文(>>1)には
一方を選んで確認すると10000円だった時の
他方の袋の金額が5000円である確率と20000円の確率の比が書いてない。
書いてないので、1:1が自然だと思う人が居る
書かれてないが、金額比から2:1が自然だと思う人も居て
書かれてないが、金額比から1:2が自然だと思う人も居る
私は、書かれてないのだから特定の比が自然なんてことはないと思っている
でも、どれが正解か、どれが自然か、どの立場が優れているかというのは
>>1の問題文から論理的に出てくることではなく
感性とか慣習の問題だ。このことは確率の比だけに言えることではない。
立場の違う人同士では話が噛み合わないのも当然だ。
この問題がなかなか解決されず、どこかのスレで質問される度に
荒れるのは、誰も正解がわからないというより
色んな人が自分の解答こそ本当の正解だと主張するからである。
明確なことを何一つ書かないのも、ある意味賢いと思うけどね。
- 77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:55:10 ]
- >>76
＞他方の袋の金額が5000円である確率と20000円の確率の比が書いてない
それは書かれるべきものではなく計算すべきものだ。
- 78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:55:30 ]
- >>76
比が書かれていないけど、期待値がデカくなりそうなことは仄めかしてる
これを崩すために「どちらから見ても相手の期待値が＋になること」を仮定して
背理法により確率分布の矛盾を導けば良い。
- 79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:56:28 ]
- >>7
情緒的、曖昧過ぎる
それが良いとも悪いとも言わないが数学板ではその姿勢では無視されるだろう
- 80 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 00:58:39 ]
- どちらから見ても期待値が+になることは条件が違うから何も矛盾していないが
- 81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:04:46 ]
- ＞感性とか慣習の問題だ。
それは違うでしょ。問題解決のためのスキルの有無の違いとは言えるかもしれないが。
１：２というところからちゃんと
数が大きくなるほど密度が小さくなるようなイメージをつかんでいる人もいれば
１：２は分布に全く影響しないと思ってる人もいるわけで。
数学的感性、思考的慣習の違いとは言えるかもしれない。
＞荒れるのは、誰も正解がわからないというより
＞色んな人が自分の解答こそ本当の正解だと主張するからである。
正確には
違う意見に接したときに、違いを理解することを放棄しているから、ではないかな。
あるいは、自分にとって理解できないものは明確でないと切り捨ててしまうなど。
負の数や複素数などの概念にしたところで、
まずは直観的に納得がいかなくてもそういうものがあると受け入れてみることからはじめないと
先には進めないわけでね。数直線上のどこに現れるんだ？あらわそうとすると矛盾だとか
複素平面なんてものは詭弁だとか言ってる段階で止まってると理解は進むわけがない
負の数や複素数なら考える前に計算練習で慣れてしまうことができる分
受け入れるには単純でいいけど。
- 82 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 01:05:27 ]
- 思考実験として小さい値の封筒ペアAが取り得る値を
(1,2)(2,4)(3,6)(4:8)・・・・・・(99,198)(100,200)とする
そうすると大きい値のペアBは
(2,4)(4,8)(6,12)(8,16)・・・・・（198,396)(200,400)となる
ペアBが小さい値のペアだとするとペアCは
(4,8)(8,16)(12,24)(16,32)・・・・（396,792)(400,800)となる
１～１００までに２６２個
１００～２００までに１６３個
２００～４００までに１２５個
４００～８００までに５０個
数字が偏っているように思える
これは０から始まる直線に印を入れるとより顕著に見えると思う
- 83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:06:36 ]
- >>80
だな
これは>>14でいうところの
視点を混同してるケースに近いか。
２人いるときに、双方の情報を混同している場合
- 84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:07:19 ]
- ＞感性（中略）の問題だ。
それは違うでしょ。（中略）
数学的感性（中略）の違いとは言えるかもしれない。
- 85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:11:38 ]
- >>82
そこからもう少し整理すれば
正しいイメージにいきあたりそう
思考実験の段階なので
最初に考えたAのペアの金額が等間隔になっているが
整合性をとるためには
その等間隔というところも不自然だということが
直観的にもわかってくると思う
- 86 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:12:29 ]
- >>81
負の数や複素数を提唱した人は君のように何の根拠も無く
「俺のイメージがちゃんとしたイメージなんだ！」なんて言わないけどねｗ
- 87 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 01:15:10 ]
- >>82
などから大きな数字は小さな数字より２倍薄くなる公式を導きたいんだけど
誰か助けて下さい
- 88 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:15:34 ]
- >>82
「小さい値の封筒ペア」って何？
- 89 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:15:35 ]
- >>86
理解する気がない特定の（ｗ）人はそこ止まりなんだろう、いつも。
- 90 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:16:38 ]
- >>89
何も反論しないくせに「俺の言うこと理解してくれない」ｗ
- 91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:20:14 ]
- >>87
もし本当にそれが正しいなら定義をきちんと整備すれば自ずと導けるだろう
- 92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:21:08 ]
- >>67
そういうのは
「お前に反論することはできないが、お前には構っていたいんだ」
という意思表示だよ。
- 93 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:21:43 ]
- >>90
理解できてる人はいくらでもいるからね
あと、「俺の言うこと」ではなく数学的な考え方ね。
>>90みたいな理解を放棄して挑発しかしない態度の人には
数学的思考なんて無縁なことなのかもしれないな
- 94 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:22:33 ]
- >>92
論を唱えない人に反論を求められてもなー
頭大丈夫でっか？
- 95 名前：s5179 mailto:sage [2010/03/08(月) 01:22:33 ]
- >>85
あなた>>14の人ですね
ヒントはくれるけど答えは教えてくれないなんて
さては数学者だな
- 96 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:24:10 ]
- >>93
出ましたｗ
「根拠は無いけど俺の考えの方が数学的な考え」ｗ
- 97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:25:49 ]
- >>95
答えは出ているのでは？
答えを導く過程を納得できない人がいろいろこねくり回す場なんでしょ、ここ。
- 98 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:26:15 ]
- >>97
出ていると思ってるなら言ってみれば？
- 99 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:28:31 ]
- >>98
理解する気もないし
理解しようとする態度でもないでしょ。
- 100 名前：7 mailto:sage [2010/03/08(月) 01:30:18 ]
- 試しに>>1の問題文に
「金額の組は{5000,10000},{10000,20000}のどちらかで、
どちらになる確率も同様に確からしいとする」
とか
「金額の組は{5000,10000},{10000,20000}のどちらかで、
{5000,10000}になる確率2/3,{10000,20000}になる確率2/3とする」
とかさらに別の適当な条件をそれぞれ加えても、別の問題ができあがるだけで
>>1の問題文中の条件と矛盾したりはしないでしょ？
>>1の段階では、どれを採用すべきかは論理的には決められないよ。
もちろん、これこれを採用するのが自然だと思うという流儀
があること自体は批判はしないが、論理的根拠もなく
他の流儀を認めないというのは困る。
- 101 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:30:25 ]
- >>81
＞数が大きくなるほど密度が小さくなるようなイメージをつかんでいる人もいれば
実際に数が大きくなるほど密度が小さくなるの？
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