面白い問題おしえて〜な 十六問目

1 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/05(月) 06:00:00 ] 面白い問題、教えてください 105 名前：104 mailto:sage [2010/03/03(水) 03:45:30 ] >103 の解釈が正しそうですね。 そうなると、ハノイの塔の解法と関連しそうな気がする。 106 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/03(水) 21:08:46 ] >>105 いや、>>101 のも初期条件としては有り、と考えなきゃいけないと思う。 「大きいカードの上に小さなカードしか来ない」が初期条件だったら、 問題にそう書かれると思うし、 単に書いてなかっただけとすると、単にハノイの塔のアルゴリズムで 解けてしまう。多分ここのサイトはハノイよりも高度なことを考えてると思うよ。 >>99 ＞「この操作直後〜なら」という判定が許されるのかね それも許されないと思う。 それが通るなら、結局「下のカードを忘れる」という問題の主旨の仮定が意味なくなる。 全ての条件を「この操作直後〜」で書きかえれば ある意味「下のカードを覚えてる」と同じことができるからね。 この条件で、>>93,>>96 を参考に >>97 をこう変更すればうまくいく。 ・[210]or[201]のとき‥‥1をLに。→この操作直後[100]になったらそこで終了。 ↓（これを２つの条件列に分解） ・手の中にカードが空で、かつ、[210]or[201]のとき‥‥1を手に取る。 ・手の中のカードが１で、かつ、[210]or[201]のとき‥‥終了宣言をしながら手の1を山Lに置く。 つまり、カードを山から手に取ったときに、 そのカードの下が何かによって置く場所を選んでいい、 というのを使えば、基本的には >>97 でよいことになる。 107 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/04(木) 02:47:15 ] >>106 それがOKなら、>>97も ・[210]or[201]のとき‥‥終了宣言をしながら1をLに移す と書き直せることになるから、本質的に変わらないと思う。 カードを手に取った状態を独立した状態として設置しても、 それを山に置いた（＝状態が遷移した）瞬間に全てを忘れて しまうという仮定を置く限り、結局終了判定はできない。 さらに、カードを手にした状態では「そのカードをどの山から取ったか」 という情報も失われている、と考えなければならないだろうから、 より制約が厳しくなる可能性もある。(4枚以上の場合には顕著に響いてくる。) 108 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/04(木) 02:58:01 ] あと、4枚以上の場合、自力で終了判定をするのは>>104の通り不可能そうだ。 (4枚でも、1手戻して[210]から1を左に持っていく場面を考えれば、 たとえ直前の状態を記憶していたとしても終了判定できない。) そこで、目的の状態が達せられたらチャイムが鳴るなどの 「自動終了判定機」のようなものの存在を仮定したらどうだろう。 可能になるんだろうか？ 4枚全部を左の山に積み上げるパターンは24通りで、 この24通りをもれなくグルグルと巡るループが構成できればいいと 考えたけど、それすらうまくいかない。 ちなみに、n枚の時の状態数は、見えない部分も区別して数えると、 (n+2)!/2 通り。 109 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/04(木) 08:10:09 ] 場が[200]で手に1の札を持っていたら これだけの事実から終了を宣言できる。 終了判定機など不要。 110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/04(木) 11:44:08 ] なんで？ 左の山が、上から２４３だったらどうするの？ 111 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/04(木) 17:37:56 ] >>106 >単に書いてなかっただけとすると、単にハノイの塔のアルゴリズムで >解けてしまう。 下になにがあるかわからないのでそんなに単純ではない。 >103 のルールだと、4 枚で可能であることは確認した。 112 名前：107 mailto:sage [2010/03/04(木) 22:02:28 ] ごめん。1の下から3が現れると困るから、 やっぱりそんな書き換えはできないね。 つーことで107は撤回するわ。 113 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/05(金) 03:51:55 ] 終了宣言をする必要はあるのか？ カード自身が勝手に判定して解散してしまえば十分。 114 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 09:30:46 ] なんという糞問… 115 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 10:07:28 ] 最初の状態で１枚だけ見えているとき・・・見えている１枚を左隣に。 以下、>>97の手順を繰り返し、[100]になったら自動的に終了する。 これでいいんじゃないか。 116 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 10:14:27 ] >>115 あっ、右の山と左の山は循環してるとして適当にスライドさせて考えて下さい。 117 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 11:48:18 ] >>115 それ、>>97 の３つめに既に含まれてるよ。 というか「最初の状態」かどうかというのはヤマネには認識できないから。 枚数一般化すると終了判定はできないかな。 やっぱり巡回群操作を見つける問題かなぁ。 118 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 13:37:16 ] >>117 今から始めるぞ、くらいのことは認識できるんじゃないかな？ １手目だけ別作業にすればいいかなと思ったんだけど。 それも認識できないという設定なのか？ 119 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 14:59:54 ] このスレの流れを見ていると、出題の仕方があまり良くなかったようだな。 120 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 18:30:12 ] xy - 平面の x ＞ 0 の部分に、面積を持つ二つの図形 A, B があるとする。 （簡単の為、区分的に滑らかな境界を持つ有界閉領域としても良い。） 任意の正の実数 a ＞ 0 に対し、 A と直線 x = a の交わりの長さと、 B と原点中心の半径 a の円周の交わりの長さが等しいとき、 A の面積と B の面積は等しい。 空間 version はまた後で。 121 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 22:55:33 ] >>120 で、問題は？ 122 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 00:22:18 ] >>121 ↑ 明確に問題の形で提示しないと、問題として捉えられないらしい 123 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 00:30:30 ] >>121 「である事を証明せよ」を略したんだよ。 そのくらい常識だろ。 124 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 00:35:00 ] 想像はつくが常識ということはないだろうな。 もしそれが常識ならば、試験問題がそのような形で出題されても 誰からも（常識的な）クレームはつかないということだからな。 それはさすがにないだろう。 125 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 10:33:47 ] >>124 数学ではこの形式の出題は常識だから たとえばマトモな数学科での試験ならクレーム付ける人はいない。 126 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 11:09:53 ] 高校受験ならクレームの嵐だろうな 127 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 11:17:27 ] 数学の常識と世間の常識は異なる 「コーヒーまたは紅茶をお選びください」 「『原動機付自転車は公道を時速50k/m以上で走ってはならない』は×」 「１＋１を３にも４にもします」 「わたしは人間だ、それ以上でも以下でもない」  128 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 11:17:34 ] 高校受験なんてどうでもいい 129 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 11:52:46 ] 常識かどうかなんてどうでもいいから解け 勝負はそれが面白いかだ 130 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 14:18:07 ] 解くかどうかとは別の問題として、 どうでもよくない。 131 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 14:19:18 ] >>125 オレの教科書では、そのような出題は見た事がないのだが どの教科書なら出てる？書名を上げてくれ。 132 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 14:20:57 ] 「常識」で一蹴しようとする理由を考えれば 具体例の準備はないことくらいわかりそうなものだがな 133 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 15:16:33 ] 誰も具体例を挙げない様なので手持ちの本を調べてみたが、 新しい本では見つからなかった。 昔の本では、高木貞治「代数学講義」共立などがあった。 今時の色つきチャートと違う昔の色無しチャートもそう書いてあった様に思う。 134 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 16:08:16 ] 非常識だから改訂されたんだろう 135 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 16:10:12 ] 以下を証明せよ １） ○○ならば△△である ２） 以下同様な命題 というのなら見たことはあるが、 これは１行目が問題だから例外だな。 136 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 16:37:39 ] 「これこれこの様な定理（公式）がある。この定理を使って、これこれの問題を解け。」 という形の問題ならある。 137 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 19:00:50 ] 命題のみが書かれていて、その命題で何をするべきかが どこにも書かれていない、というのは見たことないな。 138 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:02:46 ] 最近は何でも具体的に指示してやらないと出来ない坊やが増えている。 139 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:11:36 ] 自分の頭の中を自動で読み取ってもらえると思っているやつもな 140 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:39:25 ] >>120 とりあえず次からは常識・非常識みたいなしょうもない話題より面白い問題もとむ 141 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:58:09 ] 数学科にとって、命題は問題と同じです。 命題：○○という仮定のもとで××が成り立つ。 ↓ 問題：○○という仮定のもとで××が成り立つことを証明せよ。 142 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 02:03:18 ] おれんとこではそうでもないな。 常識は時と場所で異なるから、一致しているうちは便利な道具だが ひとたび異なればまったく信用できず使い物にならない。 143 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/08(月) 13:58:29 ] 論争はひとまずおいておいて、 面白そうだから誰か解いてみてくれないか。 144 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 23:18:27 ] じゃあ俺が考えた面白い問題をやってくれ。 ３人が、上のスタートから下のゴールに降りる３本の縦線であみだくじをしようとしている。 抽選の前に、他の人の線を見ずに、一人１本だけ、好きなところに横線を引ける。 （横線の選び方は斜めやジャンプなどは無しで、隣合った縦線に普通に１本だけ引くルールです） 最下部まで来たときに、一番右に来た人１人が優勝になっている。 (1) スタート地点では、幸か不幸か自分は一番左にいることが知らされた。 他の人が全くランダムに線を引くとすると、どこに線を引くのが有利か？ (2) 賞金は１万円らしい。 また、スタート地点決定権をオークションで決め、 一番多かった人が落札額を払って自分のスタート位置を決められるらしい。 このスタート地点決定権、いくらで落札するのがよいか？ 145 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/09(火) 00:52:23 ] >>144 円に弦を「ランダムに」引くとき、それが、内接正三角形の辺長より長い確率は？ という問題と同様、具体的に、「ランダムに線を引く手順」を明らかにしないと、 確率は計算できないのでは？ 146 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/09(火) 03:32:23 ] >>145 ＯＫ 相当ランダムってことで 147 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/09(火) 04:24:23 ] >>146 意味わかんねえ 148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/09(火) 04:50:42 ] 『「田」の字型の道路があり、左下の角から、右上の角に遠回りしないでランダムに移動する。』 で始まる問題があった場合、これでは、交差点でランダムにどちらかの道を選ぶような、移動方法 なのか、可能なコース６通りが全て同確率で、いずれかのコースがランダムに選ばれるのか、判らない。 この問題の場合だと、「ランダムに線を引く」の解釈だが 解釈１：最終的に作成されるあみだ図は８通りで、全て同確率で作られうると考える 解釈２：まず自分が引き、二番目の人は、自分より上、自分より下は、同確率、三番目の人は、可能な高さ３通りのうち、いずれも１／３づつ 解釈３：[0,1]の乱数を発生させ、それに対応する高さの位置に線を引く 解釈４：例えば自分は、「ずっと下に線を引く」という戦略が可能で、この場合、残り二人を自分より上に線を引くように強要できる 等 さて、どれを想定？　もしかしてこれ以外？ 149 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/09(火) 09:06:36 ] >>142 問題も解けない三流大学数学科のボケが 150 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/09(火) 09:08:44 ] 問題解いてから物言え 151 名前：144 mailto:sage [2010/03/09(火) 21:51:42 ] >>148 オッケー。ほぼ解釈３です。 できるだけ一般的なあみだ戦略の解がみつかるといいなと思って。 ランダムの定義のところを厳密にいってみよう。 ・スタートの高さは y=1、ゴールは y=0。 ・他の二者が[左の縦線〜中央の縦線]、[中央の縦線〜右の縦線]のどちらを結ぶかは、 　どちらも 1/2 の確率で選ばれる。 ・他の二者がどの高さ y に線を引くかは、0<y<1 の一様分布から選ばれる。 これでいいかな。 解釈４は、解釈３のもとで「y=0 の高さに引く」とすることで一応可能。 同じ高さに横線が引かれちゃったらどうするか？ はとりあえず無視できるということで。まぁ確率ゼロだしね。 参加者と縦線を増やしていくとどうなるか考えるのもまた一興。 (2) の解はたぶんどんどん「一番右」の取り合いになっていくと思う。 152 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/09(火) 23:19:04 ] あみだくじにランダムに2本の線を追加するとき 各スタート地点から右下へ到達できる確率を求めよと言う意味か 153 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/13(土) 23:57:56 ] N個（N＞０）の異なる１以外の整数を作る それぞれを昇順に並び替え小さいほうから ｎ1,n2,n3・・・として n0=１とする。 n0円玉、ｎ１円玉、ｎ２円玉・・・ｎN円玉の N＋１個の硬貨を使って買い物をする。 この時硬貨はそれぞれ無限個づつ使えるとする。 X円の商品を買うときY通りの支払い方があった。 またX＾３＋ｎN＾３＝Y　だった。 X、ｎN、Yに当てはまる数があるかないか あるならば何か例を挙げよ 無いなら証明せよ 154 名前：１５３ [2010/03/14(日) 00:01:00 ] ↑ 訂正 １行目　整数→自然数 　 155 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 01:46:09 ] 本家で >>92 の解答出たね。 「違う動きの解が存在する！」の方が分かりやすかった。 左山のみ→左山トップだけ右山に→ 左山を中央に移しながら、その中で右山に繋がるものが見つかればそれだけ右に積んで繋げる→ 左山が終わったら右山を全部中央に積んでいく（繋がってるものは全て逆順になる）→ さらに中央を全部左に移動（これで繋がってるものは左山で正順になる）→繰り返し これでどんどん繋がって行くわけだ。 156 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 22:21:37 ] 入れ子算 なべやに行くと７つのなべが売っていました。 この鍋は入れ子といって一番大きな鍋に２番目に大きい鍋２番目に３番目というマトリョーシカっぽいやつ これらの鍋の値段は２５０円ずつちがっていて７つ全部９８００円で買いました一番小さい鍋の値段はいくら？ 157 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 00:21:53 ] 小学生相手なら面白いかもしれんが・・・ 158 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 00:28:20 ] Σ[i=0--6]{x+250i} = 6x+250Σ[i=0--6]i = 7x+250*7(7+1)/2 = 7x+7000 = 9800 x = 400 円でFA？ 159 名前：鍋奉行 mailto:sage [2010/03/20(土) 23:14:27 ] >>156 　４番目の鍋の値段は 9800円/7 = 1400円 だから････ >>158 　Σ[i=0→6]i = 6(6+1)/2 = 21, 　x = 650円 160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/25(日) 10:05:16 ] １片の長さがa (a>0) の正四面体ABCDと、 点Ｐを中心とし、半径の長さが r (r>0) の 球Ｑ（内部をふくむ）がある。 点Ｐは、１秒ごとに、隣の辺に移動し、移動方向の確率は、それぞれ同様に確からしいものとする。 初期状態では、点Ｐは点Ａと一致している。 自然数tにおいて,初期状態からt秒後までに球Ｑの動いた軌跡の期待値を、 a,t,rを用いて表せ。 （よくある問題のアレンジ） 難しめにするために、a と　r との関係は、はぶいてみた。 161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/25(日) 10:20:36 ] xy座標平面において、0<=x<=10かつ 0<=y<=10の領域にある格子点を考える。 （１）これらの格子点から相異なる２点A、Bを選んだとき、線分ABの長さの取りうる値の範囲を求めよ。 （２）これらの格子点から相異なる３点A、B、Cを選んだとき、 　　三角形ABCの面積の取りうる値の範囲を求めよ。 （３）これらの格子点から相異なる４点A、B、C、Dをを選んだとき、 　　四角形ABCDの面積の取りうる値の範囲を求めよ。 （４−１）これらの格子点から相異なるｎ点P_1. P_2・・・P_nを選んだとき、 　　P_1. P_2・・・P_n の点を結んで、n角形を描くことができるという。 　　このときのnの取りうる値の範囲を求めよ。 （４−２）　（４−１）で求めたｎの範囲において、ｎ角形の面積の取りうる値の範囲を、 　　nを用いてあらわせ。 ＝＝＝ むずかしい？ 162 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/29(木) 00:32:41 ] 「取りうる値の範囲」って問題には書いたけど、 「取りうる値をすべて求めよ」にすると、難しくなる。 163 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/01(土) 12:23:47 ] くだらねぇ問題はここへ書け ver.3.14(63桁略)7816 が沈んで消えたので転載 954 １３２人目の素数さん [sage] 2010/04/23(金) 14:29:44 ID: Be: 「数学・まだこんなことがわからない−素数の謎から森理論ｍで−」吉永良正（講談社ブルーバックス） に載ってた問題です。 「(2^n + 1)/n^2 が整数となるような１より大きい整数ｎを全て決定せよ」 （答えは、「n=3」のみ。） この証明方法を教えて欲しいです。 『フェルマーの小定理』の小定理を知っていないとまず解けない問題だそうです。 元々は、１９９０年の数学オリンピック北京大会で出題された問題ですが、日本勢で正解した人はいなかったそうです。 本では、これというのも日本の学校では初等整数論さえまともに教えてないから云々といった感じで続いていて 問題の解法には一切触れられていませんでした。 164 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/01(土) 12:24:48 ] （続き） 995 954 [sage] 2010/04/28(水) 15:52:01 ID: Be: もう忘れられかけているので自己解答します。結局ググル先生に教えてもらいました。 テニオハがなっていませんが普通に理解できると思います。 適切な指導者がいて特訓すれば数学オリンピックなんて大した事ないのかもと思えてきました。 (天才は指導者がいなくても自力で成長できるんだろうけど・・・) n＞1 で n^2|2^n+1 が成り立つと仮定する。 (１)．　n|2^n+1よりnは奇数。nの最小素因数をpとする。p|2^n+1、すなわち2^n≡-1(mod p)。 2^i≡-1(mod p)となる最小の数をiとする。2^(p-1)≡1(mod p)より、i<(p-1)。 ｎ=ki+r (0≦r＜i)とおくと、2^n≡(-1)^k・2^r≡-1(mod p)。kは偶数だとすると、2^r≡-1(mod p) となりiの選び方と矛盾するのでkは奇数。よって2^r≡1(mod p)。 2^(i-r)≡2^r・2^(i-r)≡2^i≡-1(mod p)かつiの最小性により、r=0。 i|n,i<(p-1)によりi=1。よって2≡-1(mod p)すなわちp|3、よってp=3。 (２)．　n=3^k・d, (d,3)=1とする。まずk≧2 と仮定する。n^2|2^n+1より、3^(k+2)|1-(1-3)^n。 よって、3^(k+2)|3^(k+1)・d- Σ[h=2,k+1]{C<n,h>・(-1)^h・3^h}。 h!に含まれる3の指数はh/2(=h/3+h/9+h/27+…)未満かつh≧2なので、3^(k+2)|C<n,h>・3^h。 これは、3|d となるので矛盾する。よってk=1、すなわちn=3d。 (３)．　d＞1と仮定した上でdの最小素因数をqとする(q≧5)。 q|2^n+1すなわち2^n≡-1(mod q)。 2^j≡-1(mod q)となる最小の数をjとする。2^(q-1)≡1(mod q)より、i<(q-1)。 ((1)と同様なので中略)、ｊ|n。 またqはdの最小素因数であり,j<q-1,nは奇数。 よってｊ=1またはj=3、すなわちq|3またはq|9。どちらもq=3となりq≧5に矛盾する、よってd=1。 以上により、n＞1 の場合の候補は3のみ。 n=3の時に成り立つのは明らか。[証明終了] 165 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/01(土) 12:26:20 ] ↑自分で書き込んでおいてなんだけど、結構気に入っている解法です。 もっと簡単またはエレガントな解法はあるでしょうか？ 166 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/04(火) 00:56:26 ] >>164 (1) の補足 　2^(p-1)≡1 (mod p)　　　　　(← フェルマーの小定理) 　n = ki + r, (0≦r<i)　　　　　　　(← nをiで割った) 　i|n とpの定義より i=1 または i≧p, 　i<p-1 より i=1, (2) の補足 　2^n + 1 = (3-1)^2 + 1 　　　　　= Σ(h=1,n) C(n,h)･(-1)^(n-k)･3^h　　　　(←二項定理) 　　　　　= 3^(k+1)･d - Σ(h=2,k+1) C(n,h)･(-3)^h + N･3^(k+2),　　　　(n:奇数) 　h≧2 のとき C(n,h) = n(n-1)･･･(n-h+1)/h! = (3^k)d･(n-1)･････(n-h+1)/h!, 　h! の素因数分解における3の冪指数は h/2 未満。　　　　(←補題) 　∴ C(n,h)･3^h 中の3の冪指数は k-(h/2)+h = k+(h/2) ≧ k+1 より大きい。 　∴ 3^(k+2) | C(n,h)･3^h 　題意より 3^(k+2) | 3^(2k) | (2^n + 1), 　∴　3^(k+2) | 3^(k+1)･d 　∴ 3 | d　　　(dの定義に矛盾) 〔補題〕 h! の素因数分解におけるpの冪指数I(h,p)は h/(p-1) 未満。 　I(h,p) = Σ(e=1,h) [h/(p^e)] ≦ Σ(e=1,h) h/(p^e) = {h/(p-1)}{1 - 1/(p^h)} < h/(p-1), (終) 〔参考書〕 秋山 仁＋ﾋﾟｰﾀｰ･ﾌﾗﾝｸﾙ 共著「完全攻略　数学オリンピック」日本評論社 (1991/11/20) 　ISBN　4-535-78185-0　　　p.68〜70 (ﾐｽﾌﾟﾘﾝﾄ有り) www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/imo.pdf 　第1回(1959) 〜 第40回(1999)の問題 167 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/04(火) 01:51:56 ] (1)の「nの最小素因数をpとする」を「nの素因数の1つをpとする」に書き換えれば 簡単になるのでは。 168 名前：１３２人目の素数さん [2010/05/04(火) 20:30:48 ] hoge 169 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/04(火) 20:46:34 ] >>165 〔補題〕　gcd(q^a -1, q^b -1) = q^gcd(a,b) - 1,　　　……… (☆) を利用する手もある。 (ヒント)　ユークリッドの互除法で… 〔参考書〕 　秋山 仁＋ﾋﾟｰﾀｰ･ﾌﾗﾝｸﾙ (共著) 「数学オリンピック全問題 1984〜1990」日本評論社 (1990/09/10) 　ISBN 4535781869 p.118〜119 >>167 i|n, i<p-1 から i=1 を出ませぬ〜〜 170 名前：165 mailto:sage [2010/05/05(水) 16:01:51 ] >>166 補足してくれてありがとう >>168 自分なりに解いてみました。面白いです。 ただ補題の結果(＋導出過程)を事前に知っていないと思いつくのはかなり難しいかも これは有名な定理？何か名前が付いているのでしょうか？ 〔補題〕　(q^a-1,　q^b-1)＝q^(a,b)-1 f(x)=x^a-1,　g(x)=x^b-1　と置き、最大公約多項式　(f(x), g(x))　を　h(x) と置く。 代数式f(x)=0 と g(x)=0 の解集合は其々位数 a,b の巡回群を形成する。(中略{真面目に書くと長い・・・})　h(x)=x^(a,b)-1。 ユークリッドの互除法により、α(x)・f(x)＋β(x)・g(x)＝h(x)　(α(x),β(x)は適当な多項式)、 即ち α(x)・f(x)/h(x)＋β(x)・g(x)/h(x)＝1 と表せる事から、x に q を代入すると、(f(q)/h(q), g(q)/h(q))＝1 つまり互いに素である。 よって、(q^a-1,　q^b-1)　＝　(f(q),　g(q))　＝　(f(q)/h(q)・h(q),　g(q)/h(q)・h(q))　＝　h(q) ＝ q^(a,b)-1。[補題の証明終了] 〔本題〕 n＞1 で n^2|2^n+1 が成り立つと仮定する。 nが奇数なのは明らか。 a,bが共に奇数の場合は、補題の証明途中で x に -q を代入することにより、関係式 (q^a+1,　q^b+1)　＝ q^(a,b)+1 が得られる。 ここで q=2, a=3, b=n と置けば、(9,　2^n+1)　＝ 2^(9,n)+1。 (9,n)=1　の場合は、(3,n)＝1。これは >165 の(１)の結果と矛盾するのでありえない。 (9,n)=3　の場合は、n＝3d、但し(3,d)＝1。以降は >165 の(３)と同じ。 (9,n)=9　の場合は、9≧(9,　2^n+1)＝2^9+1＝513＞9 となるのでありえない。 よって、n＝3 の場合のみ成り立つ。[証明終了] >165 の(２)での二項定理の部分(たぶん一番の山場)が省けました。 171 名前：165 mailto:sage [2010/05/05(水) 19:36:04 ] > f(x)=x^a-1,　g(x)=x^b-1　と置き、最大公約多項式　(f(x), g(x))　を　h(x) と置く。 > 代数式f(x)=0 と g(x)=0 の解集合は其々位数 a,b の巡回群を形成する。(中略{真面目に書くと長い・・・})　h(x)=x^(a,b)-1。 ↑あとで見直してみたら、この部分の証明は小難しく考える必要は無かったですねｗ f(x)=x^a-1,　g(x)=x^b-1,　h(x)=x^(a,b)-1　と置く。 ユークリッドの互除法により、sa ＋tb＝(a,b) と書ける。ただしs,tは適当な整数係数 連立式 f(x)=0,g(x)=0 の任意の解ζについて、ζ^(a,b) ＝ ζ^(sa ＋tb) ＝ 1^s ・ 1^t ＝ 1。 すなわち h(x)=0 の解である。 またh(x)=0 の任意の解ξについては、ξ^a ＝ ξ^{(a,b)・a/(a,b)} ＝ 1^{a/(a,b)} ＝ 1、 ξ^b ＝ ξ^{(a,b)・b/(a,b)} ＝ 1^{b/(a,b)} ＝ 1。すなわち 連立式 f(x)=0,g(x)=0 の解である。 以上の結果と各多項式の(複素数)一次式分解を考慮すれば、(f(x), g(x))=h(x) は明らか。 [証明終了] 172 名前：165 mailto:sage [2010/05/05(水) 21:25:58 ] >170 の訂正・・・あぁぁ・・・ [間違い] > ここで q=2, a=3, b=n と置けば、(9,　2^n+1)　＝ 2^(9,n)+1。 > (9,n)=1　の場合は、(3,n)＝1。これは >165 の(１)の結果と矛盾するのでありえない。 > (9,n)=3　の場合は、n＝3d、但し(3,d)＝1。以降は >165 の(３)と同じ。 > (9,n)=9　の場合は、9≧(9,　2^n+1)＝2^9+1＝513＞9 となるのでありえない。 [訂正] ここで q=2, a=3, b=n と置けば、(9,　2^n+1)　＝ 2^(3,n)+1。 (3,n)=1　の場合は、>165 の(１)の結果と矛盾するのでありえない。 (3,n)=3　の場合は、n＝3d、但し(3,d)＝1 と置ける。以降は >165 の(３)と同じ。 173 名前：165 mailto:sage [2010/05/05(水) 22:00:19 ] しつこくてすみません。 > (3,n)=3　の場合は、n＝3d、但し(3,d)＝1 と置ける。以降は >165 の(３)と同じ。 [再訂正] (3,n)=3　の場合は、n＝3^k・d、但しk≧1, (3,d)＝1 〜〜〜 んー、結局 >165 の(1), (2), (3) が全部必要になってしまう・・・。 174 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/09(日) 20:22:35 ] 平成教育委員会で出た 「円の中に3つの同じ長さの線（直線でなくてもいい）を引いて10個の領域に分けろ」 って問題が答えが何でもアリすぎて別の意味で面白かったsage 175 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/09(日) 21:45:34 ] 覚えがないなー ８の字をもっとつなげた曲線１個で何個でも分けれるんじゃないの？ 176 名前：１３２人目の素数さん [2010/05/14(金) 14:01:46 ] このスレのurlに0が多いのが一番面白い 177 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/14(金) 21:16:02 ] x(1)、x(2)、…、x(n)を自然数として、n変数関数f(x(1), x(2), …, x(n))=Σ[k=1,n]x(k)が f＜ 1を満たす範囲で最大値を取るとき、x(k)は平方数にならない。 ○か×か 178 名前：１３２人目の素数さん [2010/05/15(土) 06:07:17 ] Σ[k=1,n]x(k)が f＜ 1 179 名前：１３２人目の素数さん [2010/05/15(土) 10:46:55 ] 職場の同僚が、ガソリン価格が、値上がり中に満タンにするのと、値下がり中に満タンにするの とでは、値上がりに、中に満タンにするほうが得だと言う。 そいつが、自信有りげに言うんで色々ググッたけどわからなかったんで、微積得意な人がいたら 本当かウソか、わかりやすく教えてもらえないだろうか？ スレチだったらスマン。 180 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/15(土) 12:29:05 ] >>163 以前考えたアイデア。 誰かのと重複してるかも。 ------------------------------------------------------------------------------- 【n＝3^m の場合の nCi・3^i (i≧2) が 3^(m+2) で割り切れることの証明】 ( i !の 3のべき数) ＜ (i/3)＋(i/3^2)＋．．．＝ i/2 より ( nCi の 3のべき数) ＞ m−i/2 よって i≧2 のとき ( nCi・3^i の 3のべき数) ＞ m−i/2＋i＝m＋i/2≧m+1より ( nCi・3^i の 3のべき数) ≧m＋2 ------------------------------------------------------------------------------- 【n＝k・3^m の場合】 n は奇数で 3 の倍数の必要があり、 n＝(2k+1)・3^m （2k+1not≡0 (mod 3)） とかけます。(not≡ は合同でないの意味です) このとき、p＝3^m として (2^n＋1)/n^2＝{ ( 2^p)^(2k+1)＋1}/{ (2k+1)^2・p^2 } ( 2^p)^(2k+1)＋1＝(2^p+1) { (2^p)^(2k)−(2^p)^(2k-1)＋．．．−2^p＋1} ここで (2^p)^(2k)≡−(2^p)^(2k-1)≡．．．≡−2^p≡1 (mod 3) より (2^p)^(2k)−(2^p)^(2k-1)＋．．．−2^p＋1≡2k+1≡not≡0 (mod 3) よって、 (2^n＋1)/n^2 が整数 ⇒ { 2^(3^m)＋1} /(3^m)^2 が整数 181 名前：１３２人目の素数さん [2010/05/15(土) 13:44:28 ] >>179 値上がり中→最高値→値下がり中→最安値→値上がり中→最高値→の繰り返しだとして 一番いいのは最安値のときだけどその時点で最安値かはわからない まだ下がるかもしれないし上がるかもしれない だから値上げに転じた時点でガソリン満タンにするのがいい 182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/15(土) 15:47:07 ] >>181 どうもありがとう　m(_ _)m 183 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/20(木) 02:40:03 ] ３つの実数x,y,z ( x+y+z > 0 , y < 0 )を　(ｘ，ｙ，ｚ)　→　(ｘ＋ｙ，−ｙ，ｚ＋ｙ) とする変換を考えます。変換後、負の数のどれか（存在するとき）をｙとして残りをｘ、ｚと して同じ変換を繰り返します。このとき変換のときにどのように負の数を選んでも 必ず有限回の変換後に３つの数すべてが非負実数になることを証明せよ。 184 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/20(木) 23:47:57 ] >>183 IMOに似た問題が無かったっけか 185 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/21(金) 00:54:10 ] Art of Problem Solving ? International Competitions IMO www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=1&cid=16&sid=7988762b3885fc8ef8aa05e690a4ebfc どれのことだろう？ 186 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/21(金) 08:45:41 ] 時計の時針・分針・秒針の全てが同じ長さ・同じ重さだったとする。 時計が一番つらい時間は何時何分何秒か？ 187 名前：１３２人目の素数さん [2010/05/21(金) 09:09:24 ] つらい時間ｗｗｗｗ ３時１５分１５秒あたりなんだろうがおもしろい問題だｗｗ 188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/21(金) 12:30:24 ] >>186 便乗 ３つの針がどれも重なっていないのに 針の区別が付かない時刻はあるか？ 針は連続に動くものとする。 189 名前：１３２人目の素数さん [2010/05/21(金) 15:43:29 ] ある日蛙が深さ30フィートの井戸の中に落ちてしまいました 蛙は昼の間3フィート井戸の壁をのぼる事ができ、夜の間2フィート下がってしまいます 蛙が井戸を抜け出すのに何日かかるでしょう？ 190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/21(金) 17:40:44 ] >>188 いっぱいあるくない？ 2つの針の角の二等分線上に残りの針が来るとき 191 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/21(金) 23:39:30 ] 186 だが、無意識に投稿した時間がかなり辛そうで自分で笑ってしまったｗ あと４秒遅れてたら… 時計の死亡時刻ってだいたいこの辺に集中してるでしょ >>187 ３時１５分１５秒はふくらはぎが筋肉痛になる時間 192 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/22(土) 00:23:11 ] >>185 86年の3番が似ている 193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/22(土) 01:21:31 ] >>190 なんでそれで区別が付かないの？ たとえば3時0分７．5秒ちょっとの時は 短針と長針の間に秒針が来るけど ３の針はその位置関係から区別が付くと思うんだが。 194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/23(日) 03:03:36 ] １周の角度を 1、時針分針秒針を h, m, s とすると それが「時計として正しい」とは、 12h-m が整数 60m-s が整数 が成り立っていることに同値。時計の公理、とでも名付けよう。 これから、「入れ替わりの時刻も正しい」は、式をいじると、 それぞれ以下の数が整数になることと同値となる。 (1) m⇔s : 43188h (2) h⇔s : 518399h (3) h⇔m : 43188h (4) s→m m→h h→s : 414672h (5) s→h h→m m→s : 576h 時計の定理１ (1)と(3)は見分けが付かないので、 時針のみ確定できること、または、秒針のみ確定できること、はどちらもあり得ない。 時計の定理２ これらのどの入れ替わりかも見分けが付かないのは 9283932178928064h が整数の時。 １日に 18567864357856128 回だけ起こる。 195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/23(日) 03:29:16 ] >>188 にさらに便乗。 入れ替えてもばれない時刻に、 時計は、こっそり入れ替えてもばれない針同士を交換できるとする。 時計が「0時0分0秒を再度再現する」という 普段 12 時間かかってやっている仕事をサボろうとしたら、 最短で何分で達成できるか？ 196 名前：194 mailto:sage [2010/05/23(日) 04:00:17 ] (3) を間違った。 (1) m⇔s : 43188h (2) h⇔s : 518399h (3) h⇔m : 143h (4) s→m m→h h→s : 414672h (5) s→h h→m m→s : 576h 時計の定理１ これらのどの入れ替わりかも見分けが付かないのは 1327602301586713100h が整数の時。 １日に 2655204603173426200 回だけ起こる。 200倍くらい増えた。 197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/23(日) 11:35:14 ] >>196 ＞ ３つの針がどれも重なっていないのに  198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/23(日) 12:06:50 ] >>196 ＞ これらのどの入れ替わりかも見分けが付かないのは 1327602301586713100h が整数の時。  どうしてそういう理屈になるん？ とりあえず、 hが 1/1327602301586713100 のとき  mの位置は 60/1327602301586713100 s は 3600/1327602301586713100 だけど この位置ではどの針が交換可能なんだろう？ オレがなにかかん違いしてる？ 199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/23(日) 22:17:29 ] >>196 hの針の位置が決まれば m, s の針の位置が自動で決まるので、m <=> s はありえない。 複素数浸かって、z = e^iθ を時針の位置にして、 (z, z^12, z^(12*60)) = (z1^12, z1, z1^(12*60)) (z, z^12, z^(12*60)) = (z2^12, z2^(12*60), z2) (z, z^12, z^(12*60)) = (z3^(12*60), z3, z3^12) (z, z^12, z^(12*60)) = (z4^(12*60), z4^12, z4) を計算すればいいんじゃないだろうか、計算していないけど。 200 名前：194 mailto:sage [2010/05/24(月) 23:03:16 ] なんか全般的に間違ったな。 正しい時計であるために ・12h-m が整数 A ・720h-s が整数 B ここまではいいとして、 重なる条件： m=s:12h-A = 720h-B がなりたつとき → 708h = 2*2*3*59h が整数の時 h=m:12h-h = 11h が整数の時 h=s:720h-h = 719h が整数の時 交換できる条件： m⇔s: h で m, s が一意に決まるので m=s の時以外はない。 s⇔h: 12s-m = 12(720h-B)-(12h-A) が整数 → 2*2*3*59h が整数 720s-h = 720h-(12h-A) が整数 → 8628h = 2*2*3*719h が整数 よって 2h、3h が整数のときのみ。 しかしそのときは必ず m=s となる h⇔m: 12m-h = 12(12h-A)-h が整数 → 11*13h が整数 720m-s = 720(12h-A)-(720h-B) が整数 → 2^4*3^2*5*11h が整数 よって 11h が整数の時。しかしそのとき必ず h=m となる。 s→m m→h h→s: 12m-s = 12(12h-A)-(720h-B) が整数 → 2^6*3^2h が整数 720m-h = 720(12h-A)-h が整数 → 53*163h が整数 よって h が整数の時。しかしそのとき必ず m=s=h となる。 s→h h→m m→s: 12s-h = 12(720h-B)-h が整数 → 53*163h が整数 720s-m = 720(720h-B)-(12h-A) が整数 →2^2*3*13*3323 が整数 よって h が整数の時。しかしそのとき必ず m=s=h となる。 よって、重なるとダメとすると解なし？ 201 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/25(火) 02:38:26 ] なるほど、時計の針の長さがちがうのは見易さのためであって 長さを違える必要はないのか 202 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/25(火) 11:27:51 ] （面白い問題かどうかわかりませんが、他に適してるスレが見当たらないので質問させてください） 塾講師してるんですが、 生徒が４人の一斉授業で、 ４人は横一列に並んでます。 で、４人をできるだけ同確率で指名しつつ、 生徒としては、アットランダムに指名されてるように感じる、 そんな方法ってないでしょうか？ なお、時計を使うのはなしで。 （ありなら、現在秒を４で割ったあまりで、指名できますけど、 あんま時計みるわけにいかないので） あと、連続で同じ人をあて「すぎる」のも避けたいです。 たまに「連続であてる」のなら、むしろそのほうがアットランダム（てかフェイント）で、 望ましいかもしれませんが。 「僕には、円周率の各桁を４で割ったあまり」しか思いつきません。 （でもいちいち円周率みてらんない） フィボナッチ数列の各項を４で割ったあまり・・・てのはどうなんでしょう？ （思いつきですが） 203 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/25(火) 13:53:23 ] >>202 生徒の面前で4面体さいころを振る 204 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/25(火) 16:26:19 ] 普通のサイコロでいい。鉛筆でもいい。 1〜4が出るまで振るだけ。 205 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/25(火) 16:47:49 ] 振り直しはだれる。一発で決まる方がいい。 206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/25(火) 20:18:08 ] 板書した文字数%4で。 207 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/25(火) 23:01:42 ] 分かってるか怪しそうな顔の奴に当てる 208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/25(火) 23:07:11 ] 四面体サイコロでなくても紙で四角い筒を作ればいい 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/26(水) 00:59:42 ] なにもふり直しをするひつようはない。 生徒に０〜３の番号をつけ mod（先ほど当てた生徒＋サイコロの目，４）とすれば十分だ 210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/26(水) 10:03:06 ] >>186 掛け時計で文字盤の12を上にして一点でぶら下がってる状態だとして、 「一番つらい」の意味が力のモーメントが最大になるということだとすると |sinθ+sin(12θ)+sin(720θ)|を最大にするθの値を求める必要があるな 211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/26(水) 13:58:45 ] www.csicop.org/news/show/the_death_of_our_beloved_colleague_martin_gardner 212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/27(木) 13:53:20 ] パズルの国のアリス www.nikkei-science.com/page/magazine/alice/ 最新号に４月にやった問題の発展問題が載ってる 213 名前：>>202 mailto:sage [2010/05/30(日) 21:20:49 ] >>209 お、それいいっすね。 まあサイコロをふったり板書した文字の数数えるのは時間かかるので、 （脳内で一瞬で決めたいので） てきとーな数字思い浮かべて、 mod 4か？とか思ったけど、 数理心理学（っていうの？）的に、かたよりがあるかなーーーとおもってて。。。 でも、３けたとか４けたの数字を４でわるのは少し時間かかるし・・・って思ってた・・・。 で、mod（先ほど当てた生徒＋「１から１００までからランダムで連想」，４） だったら、まあ現実的ですかねえ？ ＝＝＝ mod（先ほど当てた生徒＋「１から３２までからランダムで連想」，４） だと、人間の心理的に、偏りでる？ あ、でも、連想する数に偏りでても、「先ほど当てた生徒＋」があるからいいのかな？？？あれ？わかんなくなってきた 214 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/30(日) 23:03:08 ] トランプを十分に切る スートに生徒を対応させる 52回目の指名が近づくと確率がばれてゆくのが弱点 215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/31(月) 01:02:26 ] >>214 引いたカードを毎回戻せばいい。 216 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/31(月) 01:06:40 ] >>213 連想する数字が偶数ばかりだったら、当たる生徒に偏りが出るなどの欠点はあると思うが 思いつく数字に多少の偏りがあっても、数と生徒を直接対応させるよりは さっきの生徒＋のほうが偏りにくいと思う。 217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/31(月) 01:16:12 ] >>215 大数の法則で満足するならそれでもいいけれど… 可能な限り回数が違いすぎないことを保証したい場合はどうだろうと考えて このような結果に… 218 名前：>>213 mailto:sage [2010/05/31(月) 08:42:45 ] >>216 ＞連想する数字が偶数ばかりだったら、当たる生徒に偏りが出るなどの欠点はあると思うが そういえば自分、数字連想するときって、素数が多いようなきが。ということはほとんど奇数になってしまうわｗ 219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/31(月) 09:56:32 ] >>217 ＞ 可能な限り回数が違いすぎないことを保証したい場合 それならカードは４枚だろ 220 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/31(月) 09:57:59 ] >>218 奇数ばかりなのは、次に当たらない生徒を予想しやすくなるだけで 偏りはあまり生まれない。 221 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/02(水) 22:33:47 ] >>202 これ面白いなぁ 以前カジノの持ち込み不可の計算機類を持ちこまずに 身体と脳だけでルーレットやブラックジャックの類の必勝法を計算する方法を 考えていたことがあるけど、なんか似てる 222 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/03(木) 00:14:44 ] >>202 ４枚のエースを生徒に割り当てる。 この４枚と１枚のジョーカーの計５枚を持ち、 「一番下のカードを上に乗せる」を繰り返しながら授業をする。 問題の時は一番上に来たカードの主を回答者に指名する。 ジョーカーが出た時はそのさらに下のカードの主を回答者に指名する。 回答が終わると毎回、他のカードの順はそのままで 回答者のカードをジョーカーの上に移動させる。 こうすると「一番当たってない人」がジョーカーの下にくるようになって、 その人は他の人の２倍の確率で当たるようになって均等性が比較的早く自己回復し、 その上「当たりにくい人」の候補が３人になって「俺は次当たらないだろ」的予想もできなくなる。 223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/03(木) 01:49:21 ] 曲面の鏡だけを使って、 通常の時計の秒針・分針・時針と全く同じ動きを 影で再現する日時計はどうすれば作れるか？ 224 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/03(木) 02:00:24 ] >>210 つまり裏側に仕込んだギアかなにかを使って 相反する力の相殺をしてもいいというモデルかな？ それがＯＫだと、表の針と 180°の角をなして長さと密度が同じ「裏側の針」を仕込めば、 初期速度のみそれぞれ与えてあとは慣性の法則で時計は仕事をしなくてよくなるかな 225 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/03(木) 02:27:59 ] >>223 何の影で？ 226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/03(木) 02:28:39 ] >>223 問題の意図がよくわからん。 もうすこし条件等を詳しく。 227 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/03(木) 02:29:07 ] >>223 夜は影ができないから無理…だとただのとんちだな でも他に思いつかない。どうするんだろ 228 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/03(木) 02:40:02 ] >>223 巨大なスリットを使って…だめかな 229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/03(木) 08:30:44 ] >>224 う〜ん、なんとなくわかるが その場合「裏側の針」の力のモーメントが もともとの針の力のモーメントを打ち消すように働いてるんだよね 230 名前：223 mailto:sage [2010/06/03(木) 23:07:52 ] 自作自演的に答えをひとつ。 巨大な３階建ての鏡のビルを作る。 ３階の天井に小さな穴をひとつだけ空けて、 ３階の床に光ファイバーの入口を敷き詰める。 ２階でファイバーをくねらせて１階で時計を再現。 これはエレガントじゃないけどこれでとりあえずできるでしょ。 ただ太陽に視直径が存在して３階の光の点がそれほどくっきり出ないから秒針がぼやけるのが難点。 凹面鏡か何かで平行光線に補正するのが必要かも。 >>225 もちろん鏡の影 231 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/04(金) 11:22:34 ] 全部鏡面仕上げした部品で機械時計を作ってあとは適当に。 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/04(金) 15:33:32 ] 多胡輝も降参 233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/04(金) 16:18:50 ] 単純化のために春分秋分の日の日中だけに使える短針だけの時計で考える。 太陽は黄道を約12時間かけて半周するわけだよね。 その間光りの方向は半周しか変わらない しかしその間に針は一周しなくてはならない。 影は光りの向きの反対にしかできないのだから なんとかして光りの方向を一周させる必要があるてこと？ 秒針まで考えたら７２０周も？ 234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/04(金) 23:48:46 ] bit.ly/9EhDX9 のような "デバイス" を使えば、 ファイバー内の光の角度を 0 < x < arctan(1 - d/2√2h)-45°に制限できる。 h を大きくし d を小さくすることで任意の精度で 0 に近づけられる。 ファイバーの断面は正方形で、"デバイス" は正方形の１辺の厚みを持つ平たい形とする。 このデバイスを違う方向に２回通すことで、光は断面にほぼ垂直な成分のみとなる。 >>230 の「２階」から「鑑賞部屋」とは別部屋の１階にある、 このデバイスがたくさんある「デバイス部屋」に光を連れていき平行光線以外を消した後、 「鑑賞部屋」でプラネタリウムばりに時計を再現すればおｋ 235 名前：234 mailto:sage [2010/06/05(土) 00:08:45 ] 完成した bit.ly/dgsbcQ 236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/05(土) 09:43:57 ] 曲面の鏡「だけ」を使って、という問題じゃないのか？ 237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/06(日) 01:53:44 ] >>236 その前提内で解けてると思うが 光ファイバーもスリットも曲面の鏡のひとつだし 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/06(日) 08:40:08 ] 実際の時計のように針が連続で動く必要はないのか？ 239 名前：１３２人目の素数さん [2010/06/11(金) 04:22:29 ] age 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/17(木) 23:01:13 ] >>238 ・太陽は点で視直径 0 とする ・分針、時針との同時表示はとりあえずあきらめて秒針のみ ・秒針の表現も針の先の直系 0 の点だけでよい とりあえずこの制約でいくと、 太陽→天井の１点スリット→地面に置いた斜め平面鏡→天井にある曲面鏡→地面 という構成で別解はありそう。 スリットを通った光が当たる曲面鏡上の点の座標を 0<t<T として 地面座標系 (x,y) にて x=sin(43200t/T) y=cos(43200t/T) という位置に反射するように角度を構成すれば、連続も一応できる。 曲面鏡の連続性のために、 「曲面鏡は位置的に平面にあるけどその反射はさまざま」 のような配置はできないから、 z 方向にも波打たせて辻褄合わせないといけないけど。 43200個のコブがジグザグに並ぶ鏡面鏡が解になりそう。 241 名前：240 mailto:sage [2010/06/17(木) 23:05:53 ] ・秒針・分針・時針、同時表示したい なら、３点スリット使えばできそう。 ・針を長さのある線分で表現したい これを入れるには、スリットを線分にして、 角度と射影先の線分が映したい針に対応するようにすればいいけど、 曲面鏡の各点の角度と位置が微分可能な平面で３次元内の２次元曲面で構成できるかが ちょっと分からない。 242 名前：240 mailto:sage [2010/06/18(金) 00:53:17 ] とりあえず、 天井の点スリット→地面に曲面鏡→天井の裏面を鏡じゃなくして、 点スリットを中心とする半径 c の位置にある点で秒針の先を表現 で考える。 bit.ly/9IQGPP 座標系は３次元直交座標右手系で ・点スリットが原点、 ・地面方向が y 軸プラス、 ・西方向と天井の時計の 12 時が x 軸プラス、 ・北方向と天井の時計の 15 時が z 軸プラス。 太陽光のスリット点からの出射角を θ、 曲面鏡の光が落ちる表面の位置ベクトルを F(θ) = (r(θ)sinθ,0,0)、 F(θ)の点での曲鏡の単位法線ベクトルを N(θ)、 秒針 (second Hand) の先端の位置ベクトルを H(θ) とする。 秒針を再現するために H(θ) = (csin43200θ,ccos43200θ,0) 。 曲面鏡のベクトル方向の単位ベクトルを F'(θ)、 「鏡から秒針先端」のベクトル方向の単位ベクトルを H'(θ) とすると、 F'(θ) = F(θ)/|F(θ)|、 H'(θ) = (H(θ)-F(θ))/|H(θ)-F(θ)|、 N(θ) = (∂F/∂x)×(∂F/∂y)。 光と鏡の入射角と反射角の一致の法則から、 ・F'(θ)・N(θ) = N(θ)・H'(θ)。 曲面鏡の微分可能性から、 ・∃R∀θ(dr(θ)/dθ < R) この２式を満たすr(θ)を求めればよい。 243 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/18(金) 16:55:01 ] その鏡って、その日用に設計されるもので翌日にはもう使えないんじゃね？ 先のほうに夜は陽が出てないから無理というのがあったけど 夜使えないどころか日付限定用てこと？ 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/19(土) 01:44:15 ] >>243 点スリットのさらに上に、 特定の１日だけその点スリットに光がくるように設計された円弧スリットを設ければ、 特定の１日だけ時計を表示することができる。 それを 365 日分作ってどれも同じ鑑賞部屋に照射するようにしておけばおｋ 245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/22(火) 20:20:24 ] とある国のお話。 この国には無限の住人がおり、1番から順に、それぞれ自然数で番号付けされています。 この国の住人は皆、正直者か嘘つきのどちらかであり、 正直者は正しいことだけを言い、嘘つきは間違ったことだけを言います。 ある時、この国の住人たち全員が一斉に、次のような発言をしました。 「私より大きい番号の住人の中に、少なくとも1人嘘つきがいる」 さて、この事態について言えることは何でしょうか？ 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/22(火) 20:44:00 ] むげにん 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/22(火) 22:53:51 ] >>245 出題者が 嘘吐きである。 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/24(木) 21:51:46 ] 嘘つきのパラドックスは自己言及が原因だと思いきや、 >>245の場合、どの住人も自分以外の住人にしか言及しておらず、 間接的な自己言及も発生していない。 では、このパラドックスを生じさせているものは何か？ 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/24(木) 23:23:18 ] パラドクスがおきているのか？ 俺にはわからん。 どこで起きているのか具体的に指摘してもらえないだろうか？ 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/24(木) 23:39:41 ] この世には少なくとも一人の嘘つきがいる 251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/25(金) 23:53:35 ] >>245を実現する 正直者・嘘つき の配置は存在しないことを証明する。 1番の人間が嘘つきか正直者かで場合分けする。 1番が嘘つきなら、2番以降は全て正直者。…(1) 特に2番は正直者。よって、3番以降の人間で 嘘つきが居ることになる。これは(1)に矛盾。 1番が正直者なら、2番以降の住人の中に嘘つきが 少なくとも1人居る。i番が嘘つきだとすると、 i+1番以降は全て正直者。…(2) 特にi+1番は正直者。よって、i+2番以降の中に 嘘つきが少なくとも1人は居る。これは(2)に矛盾。 よって、どちらも起こりえない。すなわち、>>245の状況を 実現する 正直者・嘘つき の配置は存在しない。 パラドックスでも何でも無い。 解が存在しない方程式を提示してるだけ。 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/26(土) 09:41:59 ] パラドクスではなかったが 解が存在しない式であった。 253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/26(土) 11:09:44 ] では数学的な形で書き直してみよう。 Nを1以上の自然数として、命題P(N)を次のように定義する。 「N+1以上の自然数nが存在して、P(n)は偽である」 P(1)が真だとしても偽だとしても、パラドックスが生じる。 これをパラドックスと言わないというのであれば、 パラドックスの定義が食い違ってる。 254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/26(土) 11:28:33 ] 一読して主張が明快な命題の場合にこそパラドックスの名が相応しい。 そうでなければ、単なる背理法により棄却される命題。 255 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/26(土) 11:33:13 ] >>253 ＞ P(1)が真だとしても偽だとしても、パラドックスが生じる。  すまんが 、P(1)が真だとして、 どこでパラドクスが生じるのかを 解説してもらえないだろうか？ できればP(1)が偽とした場合も。 どうもパラドクスの定義がくい違っているような気がしてならない。 256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/26(土) 11:35:16 ] >>254 ＞ 一読して主張が明快な命題の場合にこそパラドックスの名が相応しい。  パラドクスの定義の話ならば、 そんなことはない。 パラドクスはそうあってほしいという願いならば そのように（理解しやすい単純な形に））書き直してみてはどうだろうか？  257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/26(土) 12:21:33 ] >>255 >>251 258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/26(土) 12:26:08 ] >>256 > そのように（理解しやすい単純な形に））書き直してみてはどうだろうか？ それがあなたの当為 259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/26(土) 15:32:29 ] >>257の真意がわからない。 260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/26(土) 15:35:05 ] >>258 ＞＞ パラドクスはそうあってほしいという願いならば  そこの意味は 「>>254がそのように願っている、という仮定の下において  >>254書きなおしをに勧めている」 というものであって 願っているのは>>256ではないよ。 261 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/26(土) 16:27:32 ] 逃げ口上だけはお上手。 262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/26(土) 16:51:46 ] >>253 無限大超自然数 ω をひとつ固定する。 P(N) を N<ω と定義すれば、 「N+1以上の自然数nが存在して、P(n)は偽である」 はすべて正しい。 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/26(土) 17:27:25 ] wikiのパラドックスの項目。 ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9 岩波 数学辞典の内容も引用されているので、ここに書かれていることが パラドックスの標準的な定義だと思って差し支えないだろう。 そして、>>253は標準的な「パラドックス」とは定義もニュアンスも全然異なる。 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/27(日) 23:36:37 ] >>248 メタレベルが無限になって、自然数メタレベルではなくなるからでは？ 自己言及も、元はと言えば自分のメタレベルをＬとすると自分のメタレベルはＬ−１となって 自分のメタレベルが一意に定まらないことから来てるはず。 禁則を少し一般化して、「自己言及の文章は命題になるとは限らない」から 「メタレベルが自然数で表せない文章は命題になるとは限らない」に パラダイムシフトすると解消できるかと。 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/28(月) 00:09:46 ] >>264 あーでもそうすると「２は最小の偶数である」とかも命題じゃなくなって ちょっと困るな。 266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/06/28(月) 08:26:19 ] >>261 当然逃げるよ。  できるかどうかもわからないのに 自分の興味のないものに労力は使いたくない。 267 名前：名無しさん＠そうだ選挙に行こう [2010/07/10(土) 20:16:26 ] 一辺の長さ1の正方形に 一辺の長さがそれぞれ1/2, 1/3, 1/4,... となるような可算個の正方形たちを 互いに重ならないように敷き詰める方法は？ 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/07/10(土) 20:27:01 ] >>267 ない 269 名前：名無しさん＠そうだ選挙に行こう mailto:sage [2010/07/10(土) 21:23:49 ] ないな 270 名前：名無しさん＠そうだ選挙に行こう [2010/07/10(土) 21:46:58 ] 12x12,6,4,3 271 名前：ルンペン猫 ◆ghclfYsc82 mailto:age [2010/07/10(土) 21:49:02 ] >>269 >>270 質問いいかな？ 猫 272 名前：名無しさん＠そうだ選挙に行こう [2010/07/10(土) 21:56:02 ] 12*12*12の立体を１x１x１のブロック組み合わせでフォルトフリーで分割する組み合わせは いくつ？角だけでつながっていてもいい。 273 名前：ルンペン猫 ◆ghclfYsc82 mailto:age [2010/07/10(土) 21:59:38 ] >>272 質問いいかな？ 猫 274 名前：名無しさん＠そうだ選挙に行こう mailto:sage [2010/07/10(土) 22:05:11 ] >>267 InkScape(ドローソフト)でお絵かきして1/2から1/13まで詰めてみた感じでは、 かなり適当でも可能とみた。 (1/2)^2 + (1/3)^2 + ・・・ = π^2/6 - 1 = 0.6449... だから結構スカスカっぽい 275 名前：269 証明はできないけど mailto:sage [2010/07/11(日) 02:27:11 ] >>271 何？ 276 名前：名無しさん＠そうだ選挙に行こう mailto:sage [2010/07/11(日) 07:30:53 ] >>267 damedao.web.fc2.com/img/1278800646.gif 277 名前：名無しさん＠そうだ選挙に行こう mailto:sage [2010/07/11(日) 08:01:17 ] >>276 正解 1*1の正方形には1/2*1/2の正方形を2個、1/4*1/4のを4個、 1/8*1/8のを8個、…と詰め込むことが出来るのを利用する方法ですな あと >(1/2)^2 + (1/3)^2 + ・・・ = π^2/6 - 1 = 0.6449... だから一辺の長さ5/6（面積0.6944....）の正方形にも 267の可算個の正方形達を詰め込める方法があるのかもしれません 278 名前：269 mailto:sage [2010/07/11(日) 08:45:47 ] あ、そうか…… 一辺が1の正方形も詰め込むこと相当の計算してた こんなタコミスしてたらそりゃ入るわけねーな… すまん 279 名前：名無しさん＠そうだ選挙に行こう mailto:sage [2010/07/11(日) 10:40:06 ] >>277 過去ログに同じ問題あるはずだよ。 5/6の正方形に詰め込んだ人もいた気がする。 280 名前：名無しさん＠そうだ選挙に行こう mailto:sage [2010/07/11(日) 13:33:06 ] >>277 >>276が正解なら 1/2 ｘ 4 1/3 ｘ 9 ・・・ でも正解ってことか？ 少なくとも問題文に上記の様なのは不可、とは書いてないし 281 名前：名無しさん＠そうだ選挙に行こう mailto:sage [2010/07/11(日) 16:20:13 ] >>280 どういう意味？ 282 名前：名無しさん＠そうだ選挙に行こう mailto:sage [2010/07/11(日) 16:24:00 ] >>281 そのまま。 4分割、9分割、・・・でおｋ 283 名前：名無しさん＠そうだ選挙に行こう mailto:sage [2010/07/11(日) 17:29:20 ] >>282 すまない全く意味が分からない 問題の意味を勘違いしてないか 284 名前：名無しさん＠そうだ選挙に行こう mailto:sage [2010/07/11(日) 17:46:08 ] >>283 >それぞれ1/2, 1/3, 1/4,... となるような可算個の正方形 で、同じ大きさの複数の正方形が入れられるなら、 >>276のように1/2 x 2じゃなく、1/2ｘ4でやれるだろう という事。 1/2、1/3、・・・の正方形のそれぞれの個数の範囲を指定してないから 1/2 x4 でも正解じゃないの？といいたいのだ。 285 名前：名無しさん＠そうだ選挙に行こう [2010/07/11(日) 18:08:21 ] パッキング問題だからプログラムだけ証明できればいい。 286 名前：267 mailto:sage [2010/07/11(日) 18:56:40 ] >>284 問題は一辺が1/2,1/3,1/4,...の正方形達を一つずつ重ならないように詰め込むこと >>277は1/2*1/2の正方形を2個、1/4*1/4のを4個、1/8*1/8のを8個、…と 敷き詰める方法を考えたあとに正方形達を小さい正方形に変えれば答えが得られることを 言っているのであって、 1/2*1/2の正方形を2個、1/4*1/4のを4個、1/8*1/8のを8個…と詰め込むこと自体や ましてや1/2*1/2個の正方形を4個詰め込むことを正解と言っている訳ではありません 287 名前：名無しさん＠そうだ選挙に行こう mailto:sage [2010/07/11(日) 19:08:04 ] >>286 最初一つずつかと思ったけど、>>277を見て 複数でも良いのかと思ったのだ。 ちゃんと一つずつって書かないと判らない。 288 名前：名無しさん＠そうだ選挙に行こう mailto:sage [2010/07/11(日) 23:03:53 ] >>267は面白い問題おしえて〜な 六問目の912に同じ問題がある また web2.incl.ne.jp/yaoki/aseihou2.htm により厳しい設定での解答がある 289 名前：名無しさん＠そうだ選挙に行こう mailto:sage [2010/07/11(日) 23:19:12 ] >>288 その愛知の方の解答はすごいですね あんなのどうやったら思いつくんでしょうか？ 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/07/11(日) 23:35:19 ] >>289 リンク先の「31〜∞」みたいな小さい正方形を一斉に詰め込む方法を考えたら あとは残りの大きい正方形を詰め込む方法を根性で探す 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/07/12(月) 08:15:59 ] >>277 > だから一辺の長さ5/6（面積0.6944....）の正方形にも > 267の可算個の正方形達を詰め込める方法があるのかもしれません 解答出たけど、昨日から考えてたのが出来たから damedao.web.fc2.com/img/1278889809.gif 1/24 までの正方形を図のように並べると、 0.23*0.3 の長方形を残せる 1/25 以下の正方形については、 1/n (2^k＜n≦2^(k+1)) の正方形を長方形内に図のように 横方向に 2^(k-2) 個並べるようにする 必要なサイズは 幅 = 1/(2^k+1) + 1/(2^k+2) + … + 1/(2^k+2^(k-2)) ＜ ∫[2^k, 2^k+2^(k-2)] dx/x = ln(5/4) = 0.223 高さ ＜ 1/25 + 1/29 + (1/8)*(1/4+1/5+1/6+1/7) + (1/16)*(1/4+1/5+1/6+1/7) + … = 1/25 + 1/29 + (1/4)*(1/4+1/5+1/6+1/7) = 0.264 だから長方形に納まる 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/07/12(月) 09:07:03 ] どれも敷き詰めになってない 293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/07/12(月) 14:37:29 ] ことばの使い方に終始したいなら別の板行った方がいいんじゃないかね 294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/07/12(月) 16:16:37 ] GREG MARTIN て方の論文 「COMPACTNESS THEOREMS FOR GEOMETRIC PACKINGS」 ttp://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.89.8537&rep=rep1&type=pdf では、 任意の正数εに対して (π^2/6 - 1) + ε の面積をもつ、ある長方形に ＞一辺の長さがそれぞれ1/2, 1/3, 1/4,... となるような可算個の正方形たちを ＞互いに重ならないように敷き詰める方法 が存在する事を証明しています。 私には英語以前に数式が理解できそうもありませんでした。 図も一切ありません。 295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/07/12(月) 22:13:09 ] >>292 つまり スカスカになる が正解、ってこと 296 名前：１３２人目の素数さん [2010/07/15(木) 23:51:59 ] I=[0,1]としf:I→Iとg:I→Iが連続関数でx∈I→f(g(x))=g(f(x))のとき f(x)=g(x)となるx∈Iがあることを証明せよ 297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/07/16(金) 00:28:47 ] f (x)＝g(x)なるx∈Iが存在しないとして矛盾を導く。 任意のxに対してf (x)≠g(x)ならば、中間値の定理から、 常にf (x)＜g(x)であるか、あるいは常にf (x)＞g(x)である。 常にf (x)＜g(x)としてよい。 f ：I → Iだから、f は不動点を必ず持つ。不動点の1つをx0と置く。 f (x0)＝x0 だから、f (g(x0))＝g(f (x0))＝g(x0)となる。よって、 g(x0)もまたf の不動点である。そこで、x1＝g(x0)と置く。 以下、同様の作業を繰り返して不動点xnを作ると、 (1) f (xn)＝xn (2) x_{n+1}＝g(xn) が成り立つ。f (x)＜g(x)よりxn＝f (xn)＜g(xn)＝x_{n+1}となるので、 xnは単調増加である。また、xn∈Iだから、xnは上に有界である。 よって、xnはあるx∈Iに収束する。(1),(2)でn→∞として、 f (x)＝x及びx＝g(x)を得るので、g(x)＝f (x)となり、矛盾する。 298 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/07/16(金) 05:17:22 ] 正解です

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