面白い問題おしえて〜な 十六問目

1 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/05(月) 06:00:00 ] 面白い問題、教えてください 101 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/03(水) 02:02:46 ] >>100 初期配置が左の山に上から 1,3,2 だったらどうする？ 102 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/03(水) 02:08:47 ] 問題の意図からすると、場が[100]となっていたなら、終了と見なすべき。 ただし、これを意味のある問題とするためには、初期状態で[100]だった場合だけは例外とし、手を入れられる事としておくことが、この問題には要求されるべきである。 この例外扱いを避ける為、97さんは、あのような終了の仕方を設定したのだろう。と思う。 つまり、本当は、最優先事項に「[100]のとき・・・終了」、第２項「[210]or[201]のとき‥‥1をLに」．．． としたかったが、上記例外を考慮して、97のように修正したのだと思う。 103 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/03(水) 02:15:23 ] >>101 そういうことか。 常に数字が小さい札が上にくると解釈していたけれどそうでもないのかな。 104 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/03(水) 02:36:31 ] >>92 >4枚以上は見当もつかないな。可能なのか？ 5 枚だとだめということはすぐにわかる。 終了状態から 2 手戻して、1, 2, 3 が見えている状態を作る。 3 の下にある 2 枚を交換した場合と区別が付かない。 105 名前：104 mailto:sage [2010/03/03(水) 03:45:30 ] >103 の解釈が正しそうですね。 そうなると、ハノイの塔の解法と関連しそうな気がする。 106 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/03(水) 21:08:46 ] >>105 いや、>>101 のも初期条件としては有り、と考えなきゃいけないと思う。 「大きいカードの上に小さなカードしか来ない」が初期条件だったら、 問題にそう書かれると思うし、 単に書いてなかっただけとすると、単にハノイの塔のアルゴリズムで 解けてしまう。多分ここのサイトはハノイよりも高度なことを考えてると思うよ。 >>99 ＞「この操作直後〜なら」という判定が許されるのかね それも許されないと思う。 それが通るなら、結局「下のカードを忘れる」という問題の主旨の仮定が意味なくなる。 全ての条件を「この操作直後〜」で書きかえれば ある意味「下のカードを覚えてる」と同じことができるからね。 この条件で、>>93,>>96 を参考に >>97 をこう変更すればうまくいく。 ・[210]or[201]のとき‥‥1をLに。→この操作直後[100]になったらそこで終了。 ↓（これを２つの条件列に分解） ・手の中にカードが空で、かつ、[210]or[201]のとき‥‥1を手に取る。 ・手の中のカードが１で、かつ、[210]or[201]のとき‥‥終了宣言をしながら手の1を山Lに置く。 つまり、カードを山から手に取ったときに、 そのカードの下が何かによって置く場所を選んでいい、 というのを使えば、基本的には >>97 でよいことになる。 107 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/04(木) 02:47:15 ] >>106 それがOKなら、>>97も ・[210]or[201]のとき‥‥終了宣言をしながら1をLに移す と書き直せることになるから、本質的に変わらないと思う。 カードを手に取った状態を独立した状態として設置しても、 それを山に置いた（＝状態が遷移した）瞬間に全てを忘れて しまうという仮定を置く限り、結局終了判定はできない。 さらに、カードを手にした状態では「そのカードをどの山から取ったか」 という情報も失われている、と考えなければならないだろうから、 より制約が厳しくなる可能性もある。(4枚以上の場合には顕著に響いてくる。) 108 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/04(木) 02:58:01 ] あと、4枚以上の場合、自力で終了判定をするのは>>104の通り不可能そうだ。 (4枚でも、1手戻して[210]から1を左に持っていく場面を考えれば、 たとえ直前の状態を記憶していたとしても終了判定できない。) そこで、目的の状態が達せられたらチャイムが鳴るなどの 「自動終了判定機」のようなものの存在を仮定したらどうだろう。 可能になるんだろうか？ 4枚全部を左の山に積み上げるパターンは24通りで、 この24通りをもれなくグルグルと巡るループが構成できればいいと 考えたけど、それすらうまくいかない。 ちなみに、n枚の時の状態数は、見えない部分も区別して数えると、 (n+2)!/2 通り。 109 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/04(木) 08:10:09 ] 場が[200]で手に1の札を持っていたら これだけの事実から終了を宣言できる。 終了判定機など不要。 110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/04(木) 11:44:08 ] なんで？ 左の山が、上から２４３だったらどうするの？ 111 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/04(木) 17:37:56 ] >>106 >単に書いてなかっただけとすると、単にハノイの塔のアルゴリズムで >解けてしまう。 下になにがあるかわからないのでそんなに単純ではない。 >103 のルールだと、4 枚で可能であることは確認した。 112 名前：107 mailto:sage [2010/03/04(木) 22:02:28 ] ごめん。1の下から3が現れると困るから、 やっぱりそんな書き換えはできないね。 つーことで107は撤回するわ。 113 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/05(金) 03:51:55 ] 終了宣言をする必要はあるのか？ カード自身が勝手に判定して解散してしまえば十分。 114 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 09:30:46 ] なんという糞問… 115 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 10:07:28 ] 最初の状態で１枚だけ見えているとき・・・見えている１枚を左隣に。 以下、>>97の手順を繰り返し、[100]になったら自動的に終了する。 これでいいんじゃないか。 116 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 10:14:27 ] >>115 あっ、右の山と左の山は循環してるとして適当にスライドさせて考えて下さい。 117 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 11:48:18 ] >>115 それ、>>97 の３つめに既に含まれてるよ。 というか「最初の状態」かどうかというのはヤマネには認識できないから。 枚数一般化すると終了判定はできないかな。 やっぱり巡回群操作を見つける問題かなぁ。 118 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 13:37:16 ] >>117 今から始めるぞ、くらいのことは認識できるんじゃないかな？ １手目だけ別作業にすればいいかなと思ったんだけど。 それも認識できないという設定なのか？ 119 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 14:59:54 ] このスレの流れを見ていると、出題の仕方があまり良くなかったようだな。 120 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 18:30:12 ] xy - 平面の x ＞ 0 の部分に、面積を持つ二つの図形 A, B があるとする。 （簡単の為、区分的に滑らかな境界を持つ有界閉領域としても良い。） 任意の正の実数 a ＞ 0 に対し、 A と直線 x = a の交わりの長さと、 B と原点中心の半径 a の円周の交わりの長さが等しいとき、 A の面積と B の面積は等しい。 空間 version はまた後で。 121 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/06(土) 22:55:33 ] >>120 で、問題は？ 122 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 00:22:18 ] >>121 ↑ 明確に問題の形で提示しないと、問題として捉えられないらしい 123 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 00:30:30 ] >>121 「である事を証明せよ」を略したんだよ。 そのくらい常識だろ。 124 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 00:35:00 ] 想像はつくが常識ということはないだろうな。 もしそれが常識ならば、試験問題がそのような形で出題されても 誰からも（常識的な）クレームはつかないということだからな。 それはさすがにないだろう。 125 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 10:33:47 ] >>124 数学ではこの形式の出題は常識だから たとえばマトモな数学科での試験ならクレーム付ける人はいない。 126 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 11:09:53 ] 高校受験ならクレームの嵐だろうな 127 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 11:17:27 ] 数学の常識と世間の常識は異なる 「コーヒーまたは紅茶をお選びください」 「『原動機付自転車は公道を時速50k/m以上で走ってはならない』は×」 「１＋１を３にも４にもします」 「わたしは人間だ、それ以上でも以下でもない」  128 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 11:17:34 ] 高校受験なんてどうでもいい 129 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 11:52:46 ] 常識かどうかなんてどうでもいいから解け 勝負はそれが面白いかだ 130 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 14:18:07 ] 解くかどうかとは別の問題として、 どうでもよくない。 131 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 14:19:18 ] >>125 オレの教科書では、そのような出題は見た事がないのだが どの教科書なら出てる？書名を上げてくれ。 132 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 14:20:57 ] 「常識」で一蹴しようとする理由を考えれば 具体例の準備はないことくらいわかりそうなものだがな 133 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 15:16:33 ] 誰も具体例を挙げない様なので手持ちの本を調べてみたが、 新しい本では見つからなかった。 昔の本では、高木貞治「代数学講義」共立などがあった。 今時の色つきチャートと違う昔の色無しチャートもそう書いてあった様に思う。 134 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 16:08:16 ] 非常識だから改訂されたんだろう 135 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 16:10:12 ] 以下を証明せよ １） ○○ならば△△である ２） 以下同様な命題 というのなら見たことはあるが、 これは１行目が問題だから例外だな。 136 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 16:37:39 ] 「これこれこの様な定理（公式）がある。この定理を使って、これこれの問題を解け。」 という形の問題ならある。 137 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/07(日) 19:00:50 ] 命題のみが書かれていて、その命題で何をするべきかが どこにも書かれていない、というのは見たことないな。 138 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:02:46 ] 最近は何でも具体的に指示してやらないと出来ない坊やが増えている。 139 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:11:36 ] 自分の頭の中を自動で読み取ってもらえると思っているやつもな 140 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:39:25 ] >>120 とりあえず次からは常識・非常識みたいなしょうもない話題より面白い問題もとむ 141 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 01:58:09 ] 数学科にとって、命題は問題と同じです。 命題：○○という仮定のもとで××が成り立つ。 ↓ 問題：○○という仮定のもとで××が成り立つことを証明せよ。 142 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 02:03:18 ] おれんとこではそうでもないな。 常識は時と場所で異なるから、一致しているうちは便利な道具だが ひとたび異なればまったく信用できず使い物にならない。 143 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/08(月) 13:58:29 ] 論争はひとまずおいておいて、 面白そうだから誰か解いてみてくれないか。 144 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/08(月) 23:18:27 ] じゃあ俺が考えた面白い問題をやってくれ。 ３人が、上のスタートから下のゴールに降りる３本の縦線であみだくじをしようとしている。 抽選の前に、他の人の線を見ずに、一人１本だけ、好きなところに横線を引ける。 （横線の選び方は斜めやジャンプなどは無しで、隣合った縦線に普通に１本だけ引くルールです） 最下部まで来たときに、一番右に来た人１人が優勝になっている。 (1) スタート地点では、幸か不幸か自分は一番左にいることが知らされた。 他の人が全くランダムに線を引くとすると、どこに線を引くのが有利か？ (2) 賞金は１万円らしい。 また、スタート地点決定権をオークションで決め、 一番多かった人が落札額を払って自分のスタート位置を決められるらしい。 このスタート地点決定権、いくらで落札するのがよいか？ 145 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/09(火) 00:52:23 ] >>144 円に弦を「ランダムに」引くとき、それが、内接正三角形の辺長より長い確率は？ という問題と同様、具体的に、「ランダムに線を引く手順」を明らかにしないと、 確率は計算できないのでは？ 146 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/09(火) 03:32:23 ] >>145 ＯＫ 相当ランダムってことで 147 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/09(火) 04:24:23 ] >>146 意味わかんねえ 148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/09(火) 04:50:42 ] 『「田」の字型の道路があり、左下の角から、右上の角に遠回りしないでランダムに移動する。』 で始まる問題があった場合、これでは、交差点でランダムにどちらかの道を選ぶような、移動方法 なのか、可能なコース６通りが全て同確率で、いずれかのコースがランダムに選ばれるのか、判らない。 この問題の場合だと、「ランダムに線を引く」の解釈だが 解釈１：最終的に作成されるあみだ図は８通りで、全て同確率で作られうると考える 解釈２：まず自分が引き、二番目の人は、自分より上、自分より下は、同確率、三番目の人は、可能な高さ３通りのうち、いずれも１／３づつ 解釈３：[0,1]の乱数を発生させ、それに対応する高さの位置に線を引く 解釈４：例えば自分は、「ずっと下に線を引く」という戦略が可能で、この場合、残り二人を自分より上に線を引くように強要できる 等 さて、どれを想定？　もしかしてこれ以外？ 149 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/09(火) 09:06:36 ] >>142 問題も解けない三流大学数学科のボケが 150 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/09(火) 09:08:44 ] 問題解いてから物言え 151 名前：144 mailto:sage [2010/03/09(火) 21:51:42 ] >>148 オッケー。ほぼ解釈３です。 できるだけ一般的なあみだ戦略の解がみつかるといいなと思って。 ランダムの定義のところを厳密にいってみよう。 ・スタートの高さは y=1、ゴールは y=0。 ・他の二者が[左の縦線〜中央の縦線]、[中央の縦線〜右の縦線]のどちらを結ぶかは、 　どちらも 1/2 の確率で選ばれる。 ・他の二者がどの高さ y に線を引くかは、0<y<1 の一様分布から選ばれる。 これでいいかな。 解釈４は、解釈３のもとで「y=0 の高さに引く」とすることで一応可能。 同じ高さに横線が引かれちゃったらどうするか？ はとりあえず無視できるということで。まぁ確率ゼロだしね。 参加者と縦線を増やしていくとどうなるか考えるのもまた一興。 (2) の解はたぶんどんどん「一番右」の取り合いになっていくと思う。 152 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/09(火) 23:19:04 ] あみだくじにランダムに2本の線を追加するとき 各スタート地点から右下へ到達できる確率を求めよと言う意味か 153 名前：１３２人目の素数さん [2010/03/13(土) 23:57:56 ] N個（N＞０）の異なる１以外の整数を作る それぞれを昇順に並び替え小さいほうから ｎ1,n2,n3・・・として n0=１とする。 n0円玉、ｎ１円玉、ｎ２円玉・・・ｎN円玉の N＋１個の硬貨を使って買い物をする。 この時硬貨はそれぞれ無限個づつ使えるとする。 X円の商品を買うときY通りの支払い方があった。 またX＾３＋ｎN＾３＝Y　だった。 X、ｎN、Yに当てはまる数があるかないか あるならば何か例を挙げよ 無いなら証明せよ 154 名前：１５３ [2010/03/14(日) 00:01:00 ] ↑ 訂正 １行目　整数→自然数 　 155 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/17(水) 01:46:09 ] 本家で >>92 の解答出たね。 「違う動きの解が存在する！」の方が分かりやすかった。 左山のみ→左山トップだけ右山に→ 左山を中央に移しながら、その中で右山に繋がるものが見つかればそれだけ右に積んで繋げる→ 左山が終わったら右山を全部中央に積んでいく（繋がってるものは全て逆順になる）→ さらに中央を全部左に移動（これで繋がってるものは左山で正順になる）→繰り返し これでどんどん繋がって行くわけだ。 156 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/18(木) 22:21:37 ] 入れ子算 なべやに行くと７つのなべが売っていました。 この鍋は入れ子といって一番大きな鍋に２番目に大きい鍋２番目に３番目というマトリョーシカっぽいやつ これらの鍋の値段は２５０円ずつちがっていて７つ全部９８００円で買いました一番小さい鍋の値段はいくら？ 157 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 00:21:53 ] 小学生相手なら面白いかもしれんが・・・ 158 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/19(金) 00:28:20 ] Σ[i=0--6]{x+250i} = 6x+250Σ[i=0--6]i = 7x+250*7(7+1)/2 = 7x+7000 = 9800 x = 400 円でFA？ 159 名前：鍋奉行 mailto:sage [2010/03/20(土) 23:14:27 ] >>156 　４番目の鍋の値段は 9800円/7 = 1400円 だから････ >>158 　Σ[i=0→6]i = 6(6+1)/2 = 21, 　x = 650円 160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/25(日) 10:05:16 ] １片の長さがa (a>0) の正四面体ABCDと、 点Ｐを中心とし、半径の長さが r (r>0) の 球Ｑ（内部をふくむ）がある。 点Ｐは、１秒ごとに、隣の辺に移動し、移動方向の確率は、それぞれ同様に確からしいものとする。 初期状態では、点Ｐは点Ａと一致している。 自然数tにおいて,初期状態からt秒後までに球Ｑの動いた軌跡の期待値を、 a,t,rを用いて表せ。 （よくある問題のアレンジ） 難しめにするために、a と　r との関係は、はぶいてみた。 161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/25(日) 10:20:36 ] xy座標平面において、0<=x<=10かつ 0<=y<=10の領域にある格子点を考える。 （１）これらの格子点から相異なる２点A、Bを選んだとき、線分ABの長さの取りうる値の範囲を求めよ。 （２）これらの格子点から相異なる３点A、B、Cを選んだとき、 　　三角形ABCの面積の取りうる値の範囲を求めよ。 （３）これらの格子点から相異なる４点A、B、C、Dをを選んだとき、 　　四角形ABCDの面積の取りうる値の範囲を求めよ。 （４−１）これらの格子点から相異なるｎ点P_1. P_2・・・P_nを選んだとき、 　　P_1. P_2・・・P_n の点を結んで、n角形を描くことができるという。 　　このときのnの取りうる値の範囲を求めよ。 （４−２）　（４−１）で求めたｎの範囲において、ｎ角形の面積の取りうる値の範囲を、 　　nを用いてあらわせ。 ＝＝＝ むずかしい？ 162 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/04/29(木) 00:32:41 ] 「取りうる値の範囲」って問題には書いたけど、 「取りうる値をすべて求めよ」にすると、難しくなる。 163 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/01(土) 12:23:47 ] くだらねぇ問題はここへ書け ver.3.14(63桁略)7816 が沈んで消えたので転載 954 １３２人目の素数さん [sage] 2010/04/23(金) 14:29:44 ID: Be: 「数学・まだこんなことがわからない−素数の謎から森理論ｍで−」吉永良正（講談社ブルーバックス） に載ってた問題です。 「(2^n + 1)/n^2 が整数となるような１より大きい整数ｎを全て決定せよ」 （答えは、「n=3」のみ。） この証明方法を教えて欲しいです。 『フェルマーの小定理』の小定理を知っていないとまず解けない問題だそうです。 元々は、１９９０年の数学オリンピック北京大会で出題された問題ですが、日本勢で正解した人はいなかったそうです。 本では、これというのも日本の学校では初等整数論さえまともに教えてないから云々といった感じで続いていて 問題の解法には一切触れられていませんでした。 164 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/01(土) 12:24:48 ] （続き） 995 954 [sage] 2010/04/28(水) 15:52:01 ID: Be: もう忘れられかけているので自己解答します。結局ググル先生に教えてもらいました。 テニオハがなっていませんが普通に理解できると思います。 適切な指導者がいて特訓すれば数学オリンピックなんて大した事ないのかもと思えてきました。 (天才は指導者がいなくても自力で成長できるんだろうけど・・・) n＞1 で n^2|2^n+1 が成り立つと仮定する。 (１)．　n|2^n+1よりnは奇数。nの最小素因数をpとする。p|2^n+1、すなわち2^n≡-1(mod p)。 2^i≡-1(mod p)となる最小の数をiとする。2^(p-1)≡1(mod p)より、i<(p-1)。 ｎ=ki+r (0≦r＜i)とおくと、2^n≡(-1)^k・2^r≡-1(mod p)。kは偶数だとすると、2^r≡-1(mod p) となりiの選び方と矛盾するのでkは奇数。よって2^r≡1(mod p)。 2^(i-r)≡2^r・2^(i-r)≡2^i≡-1(mod p)かつiの最小性により、r=0。 i|n,i<(p-1)によりi=1。よって2≡-1(mod p)すなわちp|3、よってp=3。 (２)．　n=3^k・d, (d,3)=1とする。まずk≧2 と仮定する。n^2|2^n+1より、3^(k+2)|1-(1-3)^n。 よって、3^(k+2)|3^(k+1)・d- Σ[h=2,k+1]{C<n,h>・(-1)^h・3^h}。 h!に含まれる3の指数はh/2(=h/3+h/9+h/27+…)未満かつh≧2なので、3^(k+2)|C<n,h>・3^h。 これは、3|d となるので矛盾する。よってk=1、すなわちn=3d。 (３)．　d＞1と仮定した上でdの最小素因数をqとする(q≧5)。 q|2^n+1すなわち2^n≡-1(mod q)。 2^j≡-1(mod q)となる最小の数をjとする。2^(q-1)≡1(mod q)より、i<(q-1)。 ((1)と同様なので中略)、ｊ|n。 またqはdの最小素因数であり,j<q-1,nは奇数。 よってｊ=1またはj=3、すなわちq|3またはq|9。どちらもq=3となりq≧5に矛盾する、よってd=1。 以上により、n＞1 の場合の候補は3のみ。 n=3の時に成り立つのは明らか。[証明終了] 165 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/01(土) 12:26:20 ] ↑自分で書き込んでおいてなんだけど、結構気に入っている解法です。 もっと簡単またはエレガントな解法はあるでしょうか？ 166 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/04(火) 00:56:26 ] >>164 (1) の補足 　2^(p-1)≡1 (mod p)　　　　　(← フェルマーの小定理) 　n = ki + r, (0≦r<i)　　　　　　　(← nをiで割った) 　i|n とpの定義より i=1 または i≧p, 　i<p-1 より i=1, (2) の補足 　2^n + 1 = (3-1)^2 + 1 　　　　　= Σ(h=1,n) C(n,h)･(-1)^(n-k)･3^h　　　　(←二項定理) 　　　　　= 3^(k+1)･d - Σ(h=2,k+1) C(n,h)･(-3)^h + N･3^(k+2),　　　　(n:奇数) 　h≧2 のとき C(n,h) = n(n-1)･･･(n-h+1)/h! = (3^k)d･(n-1)･････(n-h+1)/h!, 　h! の素因数分解における3の冪指数は h/2 未満。　　　　(←補題) 　∴ C(n,h)･3^h 中の3の冪指数は k-(h/2)+h = k+(h/2) ≧ k+1 より大きい。 　∴ 3^(k+2) | C(n,h)･3^h 　題意より 3^(k+2) | 3^(2k) | (2^n + 1), 　∴　3^(k+2) | 3^(k+1)･d 　∴ 3 | d　　　(dの定義に矛盾) 〔補題〕 h! の素因数分解におけるpの冪指数I(h,p)は h/(p-1) 未満。 　I(h,p) = Σ(e=1,h) [h/(p^e)] ≦ Σ(e=1,h) h/(p^e) = {h/(p-1)}{1 - 1/(p^h)} < h/(p-1), (終) 〔参考書〕 秋山 仁＋ﾋﾟｰﾀｰ･ﾌﾗﾝｸﾙ 共著「完全攻略　数学オリンピック」日本評論社 (1991/11/20) 　ISBN　4-535-78185-0　　　p.68〜70 (ﾐｽﾌﾟﾘﾝﾄ有り) www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/imo.pdf 　第1回(1959) 〜 第40回(1999)の問題 167 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/04(火) 01:51:56 ] (1)の「nの最小素因数をpとする」を「nの素因数の1つをpとする」に書き換えれば 簡単になるのでは。 168 名前：１３２人目の素数さん [2010/05/04(火) 20:30:48 ] hoge 169 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/04(火) 20:46:34 ] >>165 〔補題〕　gcd(q^a -1, q^b -1) = q^gcd(a,b) - 1,　　　……… (☆) を利用する手もある。 (ヒント)　ユークリッドの互除法で… 〔参考書〕 　秋山 仁＋ﾋﾟｰﾀｰ･ﾌﾗﾝｸﾙ (共著) 「数学オリンピック全問題 1984〜1990」日本評論社 (1990/09/10) 　ISBN 4535781869 p.118〜119 >>167 i|n, i<p-1 から i=1 を出ませぬ〜〜 170 名前：165 mailto:sage [2010/05/05(水) 16:01:51 ] >>166 補足してくれてありがとう >>168 自分なりに解いてみました。面白いです。 ただ補題の結果(＋導出過程)を事前に知っていないと思いつくのはかなり難しいかも これは有名な定理？何か名前が付いているのでしょうか？ 〔補題〕　(q^a-1,　q^b-1)＝q^(a,b)-1 f(x)=x^a-1,　g(x)=x^b-1　と置き、最大公約多項式　(f(x), g(x))　を　h(x) と置く。 代数式f(x)=0 と g(x)=0 の解集合は其々位数 a,b の巡回群を形成する。(中略{真面目に書くと長い・・・})　h(x)=x^(a,b)-1。 ユークリッドの互除法により、α(x)・f(x)＋β(x)・g(x)＝h(x)　(α(x),β(x)は適当な多項式)、 即ち α(x)・f(x)/h(x)＋β(x)・g(x)/h(x)＝1 と表せる事から、x に q を代入すると、(f(q)/h(q), g(q)/h(q))＝1 つまり互いに素である。 よって、(q^a-1,　q^b-1)　＝　(f(q),　g(q))　＝　(f(q)/h(q)・h(q),　g(q)/h(q)・h(q))　＝　h(q) ＝ q^(a,b)-1。[補題の証明終了] 〔本題〕 n＞1 で n^2|2^n+1 が成り立つと仮定する。 nが奇数なのは明らか。 a,bが共に奇数の場合は、補題の証明途中で x に -q を代入することにより、関係式 (q^a+1,　q^b+1)　＝ q^(a,b)+1 が得られる。 ここで q=2, a=3, b=n と置けば、(9,　2^n+1)　＝ 2^(9,n)+1。 (9,n)=1　の場合は、(3,n)＝1。これは >165 の(１)の結果と矛盾するのでありえない。 (9,n)=3　の場合は、n＝3d、但し(3,d)＝1。以降は >165 の(３)と同じ。 (9,n)=9　の場合は、9≧(9,　2^n+1)＝2^9+1＝513＞9 となるのでありえない。 よって、n＝3 の場合のみ成り立つ。[証明終了] >165 の(２)での二項定理の部分(たぶん一番の山場)が省けました。 171 名前：165 mailto:sage [2010/05/05(水) 19:36:04 ] > f(x)=x^a-1,　g(x)=x^b-1　と置き、最大公約多項式　(f(x), g(x))　を　h(x) と置く。 > 代数式f(x)=0 と g(x)=0 の解集合は其々位数 a,b の巡回群を形成する。(中略{真面目に書くと長い・・・})　h(x)=x^(a,b)-1。 ↑あとで見直してみたら、この部分の証明は小難しく考える必要は無かったですねｗ f(x)=x^a-1,　g(x)=x^b-1,　h(x)=x^(a,b)-1　と置く。 ユークリッドの互除法により、sa ＋tb＝(a,b) と書ける。ただしs,tは適当な整数係数 連立式 f(x)=0,g(x)=0 の任意の解ζについて、ζ^(a,b) ＝ ζ^(sa ＋tb) ＝ 1^s ・ 1^t ＝ 1。 すなわち h(x)=0 の解である。 またh(x)=0 の任意の解ξについては、ξ^a ＝ ξ^{(a,b)・a/(a,b)} ＝ 1^{a/(a,b)} ＝ 1、 ξ^b ＝ ξ^{(a,b)・b/(a,b)} ＝ 1^{b/(a,b)} ＝ 1。すなわち 連立式 f(x)=0,g(x)=0 の解である。 以上の結果と各多項式の(複素数)一次式分解を考慮すれば、(f(x), g(x))=h(x) は明らか。 [証明終了] 172 名前：165 mailto:sage [2010/05/05(水) 21:25:58 ] >170 の訂正・・・あぁぁ・・・ [間違い] > ここで q=2, a=3, b=n と置けば、(9,　2^n+1)　＝ 2^(9,n)+1。 > (9,n)=1　の場合は、(3,n)＝1。これは >165 の(１)の結果と矛盾するのでありえない。 > (9,n)=3　の場合は、n＝3d、但し(3,d)＝1。以降は >165 の(３)と同じ。 > (9,n)=9　の場合は、9≧(9,　2^n+1)＝2^9+1＝513＞9 となるのでありえない。 [訂正] ここで q=2, a=3, b=n と置けば、(9,　2^n+1)　＝ 2^(3,n)+1。 (3,n)=1　の場合は、>165 の(１)の結果と矛盾するのでありえない。 (3,n)=3　の場合は、n＝3d、但し(3,d)＝1 と置ける。以降は >165 の(３)と同じ。 173 名前：165 mailto:sage [2010/05/05(水) 22:00:19 ] しつこくてすみません。 > (3,n)=3　の場合は、n＝3d、但し(3,d)＝1 と置ける。以降は >165 の(３)と同じ。 [再訂正] (3,n)=3　の場合は、n＝3^k・d、但しk≧1, (3,d)＝1 〜〜〜 んー、結局 >165 の(1), (2), (3) が全部必要になってしまう・・・。 174 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/09(日) 20:22:35 ] 平成教育委員会で出た 「円の中に3つの同じ長さの線（直線でなくてもいい）を引いて10個の領域に分けろ」 って問題が答えが何でもアリすぎて別の意味で面白かったsage 175 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/09(日) 21:45:34 ] 覚えがないなー ８の字をもっとつなげた曲線１個で何個でも分けれるんじゃないの？ 176 名前：１３２人目の素数さん [2010/05/14(金) 14:01:46 ] このスレのurlに0が多いのが一番面白い 177 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/14(金) 21:16:02 ] x(1)、x(2)、…、x(n)を自然数として、n変数関数f(x(1), x(2), …, x(n))=Σ[k=1,n]x(k)が f＜ 1を満たす範囲で最大値を取るとき、x(k)は平方数にならない。 ○か×か 178 名前：１３２人目の素数さん [2010/05/15(土) 06:07:17 ] Σ[k=1,n]x(k)が f＜ 1 179 名前：１３２人目の素数さん [2010/05/15(土) 10:46:55 ] 職場の同僚が、ガソリン価格が、値上がり中に満タンにするのと、値下がり中に満タンにするの とでは、値上がりに、中に満タンにするほうが得だと言う。 そいつが、自信有りげに言うんで色々ググッたけどわからなかったんで、微積得意な人がいたら 本当かウソか、わかりやすく教えてもらえないだろうか？ スレチだったらスマン。 180 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/15(土) 12:29:05 ] >>163 以前考えたアイデア。 誰かのと重複してるかも。 ------------------------------------------------------------------------------- 【n＝3^m の場合の nCi・3^i (i≧2) が 3^(m+2) で割り切れることの証明】 ( i !の 3のべき数) ＜ (i/3)＋(i/3^2)＋．．．＝ i/2 より ( nCi の 3のべき数) ＞ m−i/2 よって i≧2 のとき ( nCi・3^i の 3のべき数) ＞ m−i/2＋i＝m＋i/2≧m+1より ( nCi・3^i の 3のべき数) ≧m＋2 ------------------------------------------------------------------------------- 【n＝k・3^m の場合】 n は奇数で 3 の倍数の必要があり、 n＝(2k+1)・3^m （2k+1not≡0 (mod 3)） とかけます。(not≡ は合同でないの意味です) このとき、p＝3^m として (2^n＋1)/n^2＝{ ( 2^p)^(2k+1)＋1}/{ (2k+1)^2・p^2 } ( 2^p)^(2k+1)＋1＝(2^p+1) { (2^p)^(2k)−(2^p)^(2k-1)＋．．．−2^p＋1} ここで (2^p)^(2k)≡−(2^p)^(2k-1)≡．．．≡−2^p≡1 (mod 3) より (2^p)^(2k)−(2^p)^(2k-1)＋．．．−2^p＋1≡2k+1≡not≡0 (mod 3) よって、 (2^n＋1)/n^2 が整数 ⇒ { 2^(3^m)＋1} /(3^m)^2 が整数 181 名前：１３２人目の素数さん [2010/05/15(土) 13:44:28 ] >>179 値上がり中→最高値→値下がり中→最安値→値上がり中→最高値→の繰り返しだとして 一番いいのは最安値のときだけどその時点で最安値かはわからない まだ下がるかもしれないし上がるかもしれない だから値上げに転じた時点でガソリン満タンにするのがいい 182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/15(土) 15:47:07 ] >>181 どうもありがとう　m(_ _)m 183 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/20(木) 02:40:03 ] ３つの実数x,y,z ( x+y+z > 0 , y < 0 )を　(ｘ，ｙ，ｚ)　→　(ｘ＋ｙ，−ｙ，ｚ＋ｙ) とする変換を考えます。変換後、負の数のどれか（存在するとき）をｙとして残りをｘ、ｚと して同じ変換を繰り返します。このとき変換のときにどのように負の数を選んでも 必ず有限回の変換後に３つの数すべてが非負実数になることを証明せよ。 184 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/20(木) 23:47:57 ] >>183 IMOに似た問題が無かったっけか 185 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/21(金) 00:54:10 ] Art of Problem Solving ? International Competitions IMO www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=1&cid=16&sid=7988762b3885fc8ef8aa05e690a4ebfc どれのことだろう？ 186 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/21(金) 08:45:41 ] 時計の時針・分針・秒針の全てが同じ長さ・同じ重さだったとする。 時計が一番つらい時間は何時何分何秒か？ 187 名前：１３２人目の素数さん [2010/05/21(金) 09:09:24 ] つらい時間ｗｗｗｗ ３時１５分１５秒あたりなんだろうがおもしろい問題だｗｗ 188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/21(金) 12:30:24 ] >>186 便乗 ３つの針がどれも重なっていないのに 針の区別が付かない時刻はあるか？ 針は連続に動くものとする。 189 名前：１３２人目の素数さん [2010/05/21(金) 15:43:29 ] ある日蛙が深さ30フィートの井戸の中に落ちてしまいました 蛙は昼の間3フィート井戸の壁をのぼる事ができ、夜の間2フィート下がってしまいます 蛙が井戸を抜け出すのに何日かかるでしょう？ 190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/21(金) 17:40:44 ] >>188 いっぱいあるくない？ 2つの針の角の二等分線上に残りの針が来るとき 191 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/21(金) 23:39:30 ] 186 だが、無意識に投稿した時間がかなり辛そうで自分で笑ってしまったｗ あと４秒遅れてたら… 時計の死亡時刻ってだいたいこの辺に集中してるでしょ >>187 ３時１５分１５秒はふくらはぎが筋肉痛になる時間 192 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/22(土) 00:23:11 ] >>185 86年の3番が似ている 193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/22(土) 01:21:31 ] >>190 なんでそれで区別が付かないの？ たとえば3時0分７．5秒ちょっとの時は 短針と長針の間に秒針が来るけど ３の針はその位置関係から区別が付くと思うんだが。 194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/23(日) 03:03:36 ] １周の角度を 1、時針分針秒針を h, m, s とすると それが「時計として正しい」とは、 12h-m が整数 60m-s が整数 が成り立っていることに同値。時計の公理、とでも名付けよう。 これから、「入れ替わりの時刻も正しい」は、式をいじると、 それぞれ以下の数が整数になることと同値となる。 (1) m⇔s : 43188h (2) h⇔s : 518399h (3) h⇔m : 43188h (4) s→m m→h h→s : 414672h (5) s→h h→m m→s : 576h 時計の定理１ (1)と(3)は見分けが付かないので、 時針のみ確定できること、または、秒針のみ確定できること、はどちらもあり得ない。 時計の定理２ これらのどの入れ替わりかも見分けが付かないのは 9283932178928064h が整数の時。 １日に 18567864357856128 回だけ起こる。 195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/23(日) 03:29:16 ] >>188 にさらに便乗。 入れ替えてもばれない時刻に、 時計は、こっそり入れ替えてもばれない針同士を交換できるとする。 時計が「0時0分0秒を再度再現する」という 普段 12 時間かかってやっている仕事をサボろうとしたら、 最短で何分で達成できるか？ 196 名前：194 mailto:sage [2010/05/23(日) 04:00:17 ] (3) を間違った。 (1) m⇔s : 43188h (2) h⇔s : 518399h (3) h⇔m : 143h (4) s→m m→h h→s : 414672h (5) s→h h→m m→s : 576h 時計の定理１ これらのどの入れ替わりかも見分けが付かないのは 1327602301586713100h が整数の時。 １日に 2655204603173426200 回だけ起こる。 200倍くらい増えた。 197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/23(日) 11:35:14 ] >>196 ＞ ３つの針がどれも重なっていないのに  198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/23(日) 12:06:50 ] >>196 ＞ これらのどの入れ替わりかも見分けが付かないのは 1327602301586713100h が整数の時。  どうしてそういう理屈になるん？ とりあえず、 hが 1/1327602301586713100 のとき  mの位置は 60/1327602301586713100 s は 3600/1327602301586713100 だけど この位置ではどの針が交換可能なんだろう？ オレがなにかかん違いしてる？ 199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/05/23(日) 22:17:29 ] >>196 hの針の位置が決まれば m, s の針の位置が自動で決まるので、m <=> s はありえない。 複素数浸かって、z = e^iθ を時針の位置にして、 (z, z^12, z^(12*60)) = (z1^12, z1, z1^(12*60)) (z, z^12, z^(12*60)) = (z2^12, z2^(12*60), z2) (z, z^12, z^(12*60)) = (z3^(12*60), z3, z3^12) (z, z^12, z^(12*60)) = (z4^(12*60), z4^12, z4) を計算すればいいんじゃないだろうか、計算していないけど。 200 名前：194 mailto:sage [2010/05/24(月) 23:03:16 ] なんか全般的に間違ったな。 正しい時計であるために ・12h-m が整数 A ・720h-s が整数 B ここまではいいとして、 重なる条件： m=s:12h-A = 720h-B がなりたつとき → 708h = 2*2*3*59h が整数の時 h=m:12h-h = 11h が整数の時 h=s:720h-h = 719h が整数の時 交換できる条件： m⇔s: h で m, s が一意に決まるので m=s の時以外はない。 s⇔h: 12s-m = 12(720h-B)-(12h-A) が整数 → 2*2*3*59h が整数 720s-h = 720h-(12h-A) が整数 → 8628h = 2*2*3*719h が整数 よって 2h、3h が整数のときのみ。 しかしそのときは必ず m=s となる h⇔m: 12m-h = 12(12h-A)-h が整数 → 11*13h が整数 720m-s = 720(12h-A)-(720h-B) が整数 → 2^4*3^2*5*11h が整数 よって 11h が整数の時。しかしそのとき必ず h=m となる。 s→m m→h h→s: 12m-s = 12(12h-A)-(720h-B) が整数 → 2^6*3^2h が整数 720m-h = 720(12h-A)-h が整数 → 53*163h が整数 よって h が整数の時。しかしそのとき必ず m=s=h となる。 s→h h→m m→s: 12s-h = 12(720h-B)-h が整数 → 53*163h が整数 720s-m = 720(720h-B)-(12h-A) が整数 →2^2*3*13*3323 が整数 よって h が整数の時。しかしそのとき必ず m=s=h となる。 よって、重なるとダメとすると解なし？

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