面白い問題おしえて〜な 十六問目

1 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/05(月) 06:00:00 ] 面白い問題、教えてください 2 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/05(月) 06:01:00 ] 過去ログ www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/ まとめwiki www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/ 1 cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/ 2 natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/ 3 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/ 4 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/ 5 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/ 6 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/ 7 science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/ 8 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/ 9 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/ 10 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/ 11 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/ 12 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/ 13 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/ 14 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/ 15 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/ 3 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/06(火) 11:46:18 ] 長方形の中に縦横の線分をいくつか書き加えて、いくつかの小さな長方形に分割する。 ただしその際、どの２線分も互いに交差しない（┼字路を作らない）ようにする。 例： ┌──┬┬┐ ├┬─┤││ │├─┴┴┤ └┴───┘ ダメな例： ┌──┬┬┐ ├┬─┼┤│←交差している（┼のところ） │├─┴┴┤ └┴───┘ このとき、書き加える線分の数sと、分割された小さな長方形の数Lの関係を求めなさい。 4 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 12:26:56 ] 十字を作らないで、小さな長方形に分割するという事は、中に引く全ての線分の端はT字になる 1本の線分を引く毎に4つの直角、つまり一つの長方形が生まれるので、s+1=L こんなんじゃ証明にならないか 5 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 22:59:21 ] きちんと帰納法としての体裁を整えて、おかしいところがなければ十分証明として通用するんじゃない？ 6 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 23:24:00 ] 数学的帰納法なんか使うより>>4のほうがいいよ。 7 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/06(火) 23:53:26 ] 中の二つの線分の端点が同一点になることは無く、端点一つにつきT字路が一つあるから 中の線分がs個あるなら2s個の端点があり、2s個のＴ字路がある 長方形の頂点になりうるのは元のでかい長方形の頂点4つと2s個のT字路のみ 前者は長方形の角を一つ、後者は長方形の角を二つ提供するから(4+2s*2)/4=s+1個の長方形がある 4と大して変わらんな 8 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/07(水) 07:37:02 ] >>7 大雑把には大して変わらないかもしれないけど、 「1本の線分を引く毎に4つの直角、つまり一つの長方形が生まれる」と言ってしまうと たとえば４畳半の部屋の真ん中が掘りゴタツになってるような図の場合、 最終的に直角が20個できるとしても、１本線を引く毎に４つずつ増えるわけではないので、 Ｔ字路の数で議論した方が適切かと。 9 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/09(金) 08:47:34 ] 正の定数 a1, ..., an に対し, a1/a2 + a2/a3 + … + an/a1 ≧ (a1 + a2)/(a2 + a3) + (a2 + a3)/(a3 + a4) + (an + a1)/(a1 + a2) が成り立つことを示せ。（数セミより） 10 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/09(金) 08:49:25 ] （↑の訂正） 正の定数 a1, ..., an に対し, a1/a2 + a2/a3 + … + an/a1 ≧ (a1 + a2)/(a2 + a3) + (a2 + a3)/(a3 + a4) +…＋ (an + a1)/(a1 + a2) が成り立つことを示せ。（数セミより） 11 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/09(金) 12:37:06 ] >>10 [不等式スレ３.356, 338, 951(上), 953] 過去ログ倉庫 cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/ 　→ SkyDrive → 公開 → 不等式スレ → 第3章 → コメント 12 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/09(金) 12:47:33 ] >>10 (訂正) [不等式スレ３.3２6, 338, 951(上), 953] 13 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/09(金) 13:03:23 ] 正則行列X,Yが次の関係式を満たすとする。 X Y^2 = Y^3 X …(1) Y X^2 = X^3 Y …(2) このときX,Yはともに単位行列であることを示せ。 14 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/09(金) 15:02:12 ] >>13 X*Y^2*X^{-1}=Y^3 より、X^2とX^3が相似。これから 【１】Y^2,Y^3のジョルダン標準形が一致すること 【２】Yの固有値はすべて絶対値が1であること がわかる。さらに XY^{2n}X^{-1}=Y^{3n} と 【1】【2】、ジョルダン標準形のべきの公式、を合わせると Yは対角化可能(ジョルダン標準形が対角型)であることがわかる 対角行列を(1)にぶちこんで両辺比較し、Yは単位行列になる (2)で Y=E とおいて X も単位行列 15 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 21:49:27 ] これ既出？ 数列a_nをa_1=1 , a_(n+1)=1/(1+a_n)で定める。 a_nの一般項を求め、極限を調べよ。 16 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/18(日) 12:03:30 ] A,Bの2人はそれぞれa個およびb個の球を持っている。 A,Bがそれぞれx個およびy個の球を持っているとき、 x/(x+y)の確率でBがAに球を1個渡し、 y/(x+y)の確率でAがBに球を1個渡す。 これを繰り返し、球が無くなったほうが負けというゲームをする。 Aが勝つ確率を求めよ。 17 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/18(日) 21:58:31 ] >>15 一般項は 　a_n = (F_n)/F_(n+1) = F_(n+2)/F_(n+1) - 1, ここに F_n はフィボナッチ数で、 　F_n = {φ^n - (-1/φ)^n}/ √5,　　　(ビネの公式) 　φ = (1+√5)/2 = 1.618034･････　　　(黄金比) 　a_n → 1/φ = (√5 -1)/2,　　　　　　(n→∞) 18 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/24(土) 13:54:38 ] 地球の表面(球面とする)上の位置(点)の温度は 位置と時刻によって唯一つに定まり、位置と時刻に関して連続であるとする また、球面上の任意の点に対して、球の中心に関して対称な点として対蹠点 というものが唯一つに定まる さて、対蹠点と温度が等しい位置、というものが どんな時刻にも地球上に無数に存在することを示せ 19 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/24(土) 18:28:12 ] 中間値の定理で、どの大円にも「対蹠点と温度が等しい位置」が存在することが言える。 あとは大円を上手く動かせば、地球上に無数にあることが言える。多分。 20 名前：161655 [2009/10/24(土) 22:55:25 ] 双曲面 z = \sqrt{1 + ax^2 + by^2} (a, b > 0) 上の点 (x, y, z) を通る双曲面の法線がある。この法線の双曲面に切り取られる部分の長さの最小値を求めよ。 21 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/24(土) 23:08:20 ] 漸化式を解け。 a[n]＞0 a[1]=3/2 √(2a[n+1]/a[n])=a[n+1]-a[n] 22 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/26(月) 21:29:36 ] s=ｋ＋１とする。 k=１のとき確かに成り立つ。 ｋ＝αのとき成り立つと過程 そのような図にもう一本線をひく。(ひけないこともあるかもしれませんが引ける場合を前提としているので問題ないかな) そうすると長方形がひとつ増える よってｋ＝α＋１で成り立つ。 23 名前：火狐 [2009/10/27(火) 11:10:47 ] さいころを全ての目が出るまで投げなければならない最小の回数を $X$ とす。$\mathbb{E} X$ を求めよ。 24 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/27(火) 11:39:38 ] ＞１６ ポリヤの壷スキームwww 25 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/28(水) 02:01:40 ] >>19 大円じゃなくても、平行な平面でスライスした断面の円でいいんじゃね 26 名前：25 mailto:sage [2009/10/28(水) 02:03:18 ] 対蹠点か。だめだった。 27 名前：25 mailto:sage [2009/10/28(水) 02:07:30 ] ある1つの大円を取ったとき、その上で恒等ならすでにOK。 温度が異なる対蹠点があれば、それを直径として持つ全ての大円を考えればいいわけか。 28 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/28(水) 23:16:31 ] Borsuk-Ulam の同変点定理 29 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/28(水) 23:23:25 ] >>16 計算の結果 (�納k=0,a-1]C[k,a+b-1])/(2^(a+b-1))　　(C[n,r]は二項係数nCrを表す) になった 合ってる気がしないんだがどうだ？ 30 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/31(土) 22:53:45 ] >>20 二葉双曲線の一片 　1 + aX^2 + bY^2 - Z^2 = 0,　　　　　･･････ (1) (x,y,z) における接線:　1 + axX + byY - zZ = 0, (x,y,z) における法線:　(X-x)/(ax) = (Y-y)/(by) = (Z-z)/(-z) = k,　･･･ (2) (1)(2)の交点は 　X = x･(1+ka), 　Y = y･(1+kb), 　Z = z･(1-k), ここに 　k = 2{(ax)^2 + (by)^2 + z^2}/{z^2 -(a^3)x^2 - (b^3)y^2} 　　= 2{1 + a(1+a)x^2 + b(1+b)y^2}/{1 + a(1-a^2)x^2 + b(1-b^2)y^2}, 切り取られる部分の長さLは 計算の結果 　L = √{(X-x)^2 + (Y-y)^2 + (Z-z)^2} 　　= k √{(ax)^2 + (by)^2 + z^2} 　　= 2{(ax)^2 + (by)^2 + z^2}^(3/2) /{z^2 - (a^3)x^2 - (b^3)y^2} 　　= 2{1 + a(1+a)x^2 + b(1+b)y^2}^(3/2) / {1 + a(1-a^2)x^2 + b(1-b^2)y^2}, になった。 合ってる気がするんだがどうだ？ 31 名前：30 mailto:sage [2009/10/31(土) 23:44:03 ] >>20 (訂正) 二葉双曲面の一片 　L = ･･････ 　　= 2{(ax)^2 + (by)^2 + z^2}^(3/2) /｜z^2 - (a^3)x^2 - (b^3)y^2｜ 　　= 2{1 + a(1+a)x^2 + b(1+b)y^2}^(3/2) /｜1 + a(1-a^2)x^2 + b(1-b^2)y^2｜, やっぱり合ってる気がしない･･････orz 32 名前：31 mailto:sage [2009/11/01(日) 18:15:08 ] >>20 双曲面とその法線が (x,y,z)以外の交点をもつことから 　a≧1, b≧1, k<0, そこで 　R^2 = (ax)^2 + (by)^2 + z^2 = 1 + a(a+1)x^2 + b(b+1)y^2, とおくと -k = 2R^2 / {(a^3)x^2 + (b^3)y^2 - z^2} 　　= 2R^2 / {(a-1)a(a+1)x^2 + (b-1)b(b+1)y^2 - 1} 　　≧ 2R^2 / {(c-1)[1 + a(a+1)x^2 + b(b+1)y^2] - c} 　　= 2R^2 / {(c-1)R^2 - c}, ここに c = Max(a,b) とおいた。等号成立は xy=0,　　　　(*) 　L = (-k)R 　　= 2R^3 / {(c-1)R^2 -c} 　　= 3√{(3c)/(c-1)^3} (2r^3)/(3r^2 -1)　　(← r = R√{(c-1)/(3c)} ) 　　≧ 3√{(3c)/(c-1)^3},　　　　　　　　　(← 相加･相乗平均) (**) 等号成立は r = R√{(c-1)/(3c)} = 1 のとき。 *) a≧b>1 のときは xz平面、 1<a≦b のときは yz平面の双曲線を考えれば おk. **) 相加･相乗平均より 　(2r^3)/(3r^2 -1) = 1 + {(2r+1)(r-1)^2}/(3r^2 -1) ≧ 1, 33 名前：１３２人目の素数さん [2009/11/02(月) 05:27:08 ] 【問題】 3枚のコインがある。　この3枚のコインを机の上に並べ次の操作を繰り返し行う 『操作』：サイコロを振り、出た目が1,2なら左端のコイン、3,4なら真ん中のコイン、5,6なら右端のコイン を裏返す。 この時、3枚が「表表表」である状況から初めて、ｎ回の操作の結果「表表表」又は 「表裏表」となる確率を求めよ。 東大作問スレで誰も解いてくれないからこっちで出してみる 34 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/11/02(月) 09:45:01 ] 対称性を考えると下式が成り立ち、それぞれを最右式で表す Pn(表表表)=A[n] Pn(表表裏)=Pn(表裏表)=Pn(裏表表)=B[n] Pn(表裏裏)=Pn(裏裏表)=Pn(裏表裏)=C[n] Pn(裏裏裏)=D[n] 漸化式を作ると A[n+1]=B[n] B[n+1]=(1/3)*A[n]＋(2/3)*C[n] C[n+1]=(2/3)*B[n]＋(1/3)*D[n] D[n+1]=C[n] A[0]=1,B[0]=C[0]=D[0]=0 下の組み合わせに変形すると簡単に解け、それぞれ下のようになる A[n]+D[n]=(1/4){1-(1/3)^(n-1)} A[n]-D[n]=(1/4){(-1)^n+(1/3)^(n-1)} B[n]+C[n]=(1/4){1-(-1/3)^n} B[n]-C[n]=(1/4){-(-1)^n+(1/3)^n} 求められているものはA[n]+B[n]であり、それを計算すると(1/4){1+2*(1/3)^n+(-1/3)^n} 35 名前：32 mailto:sage [2009/11/02(月) 21:24:42 ] >>20 双曲面とその法線が (x,y,z)以外の交点をもつことから 　c=Max(a,b) >1, k<0, *) a≧b のときは xz平面、 a≦b のときは yz平面の双曲線を考えれば おk. 36 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/11/06(金) 23:30:30 ] >>34 遷移行列を 　| 　0, 　1, 　0, 　0 | 　| 1/3, 　0, 2/3, 　0 | = Ｔ 　| 　0, 2/3, 　0, 1/3 | 　| 　0, 　0, 　1, 　0 | とおくと、 　|Ｔ - λＩ| = | -λ, 　1, 　0, 　0 | 　| 1/3, -λ, 2/3, 　0 | 　| 　0, 2/3, -λ, 1/3 | 　| 　0, 　0, 　1, -λ | = (λ^2 - 1)(λ^2 - 1/9) = (λ+1)(λ +1/3)(λ -1/3)(λ-1), ∴　λ =　-1, -1/3, 1/3, 1, 37 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/11/06(金) 23:35:20 ] >>34 λ =　-1:　A[n] -3B[n] +3C[n] -D[n] = (-1)^n, λ =-1/3:　A[n]　-B[n]　-C[n] +D[n] = (-1/3)^n, λ = 1/3:　A[n]　+B[n]　-C[n] -D[n] = (1/3)^n, λ = 　1:　A[n] +3B[n] +3C[n] +D[n] = 1, よって 　A[n] + D[n] = (1/4){1 - (-1/3)^(n-1)}, 　A[n] - D[n] = (1/4){(-1)^n + (1/3)^(n-1)}, 　B[n] + C[n] = (1/4){1 - (-1/3)^n}, 　B[n] - C[n] = (1/4){-(-1)^n + (1/3)^n}, よって 　A[n] +3C[n] = (3^n){A[n] - C[n]} = (1/2){1+(-1)^n} ≡ g[n], 3B[n] + D[n] = (3^n){B[n] - D[n]} = (1/2){1-(-1)^n} ≡ u[n], よって 　A[n] = g[n]･(1/4){1+(1/3)^(n-1)}, 　B[n] = u[n]･(1/4){1+(1/3)^n}, 　C[n] = g[n]･(1/4){1-(1/3)^n}, 　D[n] = u[n]･(1/4){1-(1/3)^(n-1)}, 38 名前：34 mailto:sage [2009/11/07(土) 07:52:40 ] >>37の内容と異なる、>>34の下から５行目の　-(1/3)^(n-1)は、-(-1/3)^(n-1)　の入力ミスです。 申し訳ありません。なお、結論は、変更ありません。 中略が多かったので、補足しますが、 A[n+2]=B[n+1]=(1/3)*A[n]＋(2/3)*C[n]=(1/3)*A[n]＋(2/3)*D[n+1] D[n+2]=C[n+1]=(2/3)*B[n]＋(1/3)*D[n]=(2/3)*A[n+1]＋(1/3)*D[n] と変形し、P[n]=A[n]+D[n]、Q[n]=A[n]-D[n]を用いると、 P[n+2]=(2/3)*P[n+1]+(1/3)P[n] Q[n+2]=(-2/3)*Q[n+1]+(1/3)Q[n] となることを、>>34で「下の組み合わせに変形すると」と書きました。 この方法の方が簡明だと思われます。 それと、B[n]=A[n+1]、C[n]=D[n+1]なので、AとDが求まったなら、B,Cについての漸化式を解く必要はありません。 39 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/11/07(土) 18:41:11 ] 四角を正方形に並べて２つはみだした形のフィールドを作る （ここでは10×10 + 2） ↓↓↓↓↓ □ □□□□□□□□□□ □□□□□□□□□□ □□□□□□□□□□ □□□□□□□□□□ □□□□□□□□□□ □□□□□□□□□□ □□□□□□□□□□ □□□□□□□□□□ □□□□□□□□□□ □□□□□□□□□□□ このフィールドを 、四角2つをつなげた板 （"□□" もしくはそれを縦にしたもの）を使って 「もれなく」 「ダブらず」 「はみ出さず」に覆うことが不可能なことを示せ。 一般に正方形の辺がいくつでも不可能になるよ（奇数のときは自明）。 40 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/11/07(土) 19:04:05 ] >>39 □■ ■□に塗り分けてみればわかる。 41 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/11/07(土) 21:21:32 ] どこかで聞いた問題をひねりもなく出し続けてるアホがおるな 42 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/11/08(日) 23:19:36 ] 自分でひねった結果、凡作や駄作に成り下がるよりはマシと思ってのことだろう 43 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/11/14(土) 04:11:19 ] 半径３の円の内部に、半径１の円が二つあり、この三つの円はどの二つも接している。 三つの円に囲まれた狭い部分の面積を求めよ。 44 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/11/14(土) 16:21:24 ] 求めようとはしました 45 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/11/16(月) 19:17:41 ] 5π/6 -√3 46 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/11/17(火) 11:18:31 ] 全身の毛が真っ白な猫がいます。 顔も耳も、勿論胴体も手足も白です。 他にどこが白いでしょうか？ 47 名前：43 mailto:sage [2009/11/17(火) 14:38:35 ] >>45　あの問題に、答えだけで回答されたのでは、出題者の意図が伝わらなかったのだと思ってしまう。 「補助円を五つかき加えると中学レベル」位のコメントが欲しかった >>46　「面」が白いと言うことかな？ 48 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/11/17(火) 19:44:45 ] 「尾も白い」と言わせたいんじゃないか？ 49 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/11/18(水) 12:10:28 ] >>47 くだらない問題には答えだけで十分 50 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/11/18(水) 16:50:26 ] 積分を通してたどり着くとくだらない問題としか写らない 作図を通してたどり着くとおもしろい問題と写るようになる 51 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/11/19(木) 01:03:01 ] 作図でもつまらん 52 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/12/14(月) 21:01:27 ] 解決済みだが science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1260112724/180 正三角形の3辺上のすべての点を， 赤と青の２色に塗り分けるとする。 このとき，点をどのように塗り分けても， 赤の点のみ，または青の点のみを頂点とする 直角三角形を描くことはできるか。 53 名前：１３２人目の素数さん [2009/12/25(金) 22:23:22 ] nを正の整数とする。 P(x)は高々n次の多項式であって、各 i∈{0,1,,,,n} に対し、P(i)=2^i を満たすという。 P(n+1)の値をnで表せ。 54 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/12/25(金) 23:27:56 ] >>53 P(n＋1)＝2^(n＋1)−1となることを数学的帰納法で示す。 n＝1のときは、簡単な計算により成り立つ。 n＝1,2,…,k−1のとき成り立つとすると、n＝kのときは、 ・P(x)は高々k次の多項式で、i＝0,1,…,kに対しP(i)=2^i　…(*) これを満たすP(x)は ちょうどk次の多項式でなければならない。 なぜなら、P(x)がm次(m＜k)ならば、i＝0,1,…,mに対しP(i)=2^i だから、帰納法の仮定よりP(m＋1)＝2^(m＋1)−1でなければ ならないが、(*)よりP(m＋1)＝2^(m＋1) なので矛盾する。 よって、P(x)はちょうどk次の多項式である。一方で、 g(x)＝Σ[i＝0〜k] P(i)*f_i(x)/f_i(i) f_i(x)＝Π[j＝0〜k,j≠i](x−j) と定義したg(x)はちょうどk次の多項式であり、g(i)＝P(i) (i＝0,1,2,…,k)を 満たすので、多項式としてg(x)＝P(x) でなければならない。 P(i)＝2^iを代入してP(k＋1)を計算すると、 f_i(i)＝i!(k−i)!(-1)^(k−i) f_i(k＋1)＝(k＋1)!/(k＋1−i) に注意して P(k＋1)＝g(k＋1)＝(-1)^nΣ[i＝0〜k](-2)^i*(n＋1)_C_i＝2^(n＋1)−1　(二項定理より) となるので、n＝kのときも成立。 55 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/12/25(金) 23:32:07 ] おおう。訂正。 誤：P(k＋1)＝g(k＋1)＝(-1)^nΣ[i＝0〜k](-2)^i*(n＋1)_C_i＝2^(n＋1)−1　(二項定理より) 正：P(k＋1)＝g(k＋1)＝(-1)^kΣ[i＝0〜k](-2)^i*(k＋1)_C_i＝2^(k＋1)−1　(二項定理より) (n＝kとしてるから間違いではないけど、一応。) 56 名前：１３２人目の素数さん [2009/12/26(土) 03:03:49 ] a [ 1 ] = 1 , a [ n ] = √ S [ n ] を満たす数列 a [ n ] の一般項を求めよ 57 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/12/26(土) 22:00:00 ] Ｐ（ｎ＋１）＝２＾（ｎ＋１）−１。 ｎ＝０のとき成り立つ。 ｎ＝ｋのとき成り立つとする。 ｎ＝ｋ＋１のときＰ（ｘ）が条件を満たすとすると Ｐ（ｉ＋１）−Ｐ（ｉ）＝２＾ｉ（０≦ｉ≦ｋ）でＰ（ｘ＋１）−Ｐ（ｘ）は高々ｋ次の多項式なので Ｐ（ｋ＋２）−Ｐ（ｋ＋１）＝２＾（ｋ＋１）−１。 Ｐ（（ｋ＋１）＋１）＝２＾（（ｋ＋１）＋１）−１。 58 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/12/27(日) 02:41:55 ] さすがだな。 59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/12/29(火) 23:22:34 ] >>53 　P(x) = 1 + Σ[k=1,n] x(x-1)････(x-k+1)/k!, だから 　P(n+1) = 1 + Σ[k=1,n] (n+1)!/{(n+1-k)!k!} 　　= Σ[k=0,n] Ｃ[n+1,k] 　　= (1+1)^(n+1) - 1 　　= 2^(n+1) - 1, 60 名前：１３２人目の素数さん [2010/01/03(日) 14:50:04 ] x^2+y^2=z^2ー＞x^2+y^2=z^n これってつねになりたつよ 61 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/01/09(土) 20:31:51 ] X をユークリッド空間 R^3 内の凸多面体とする。X の表面上の各点 P に対して、κ(P) を 2π - [P に集まる面の P に於ける頂角の和] とする。 P が X の頂点の場合以外以外は κ(P) = 0 と考える。X の頂点 P 全体にわたる κ(P) の和は 4π となることを証明せよ。 62 名前：neetubot [2010/01/10(日) 21:43:32 ] >>61 の「凸多面体では（頂点の数）×2π -（全ての面の内角の和）=4π」の証明 1. 四面体の場合、表面に4つある三角形の内角の和は4πであり、頂点の数は4つあるため 　（頂点の数）×2π -（全ての面の内角の和）=8π-4π=4π となる。 2. 凸多面体をn個の四面体に単体分割できるときに与式を満たすと仮定したとき、 　(n+1)個の四面体に単体分割できる凸多面体では、1つの三角形面に四面体が1つくっつく形となり、 　頂点が1つ増え 面の内角の和がπ減って3π増えるため、この場合も数学的帰納法で与式が成り立つ。 3. 多面体錐を含む凸多面体から その多面体錐を切り取った凸多面体の違いは、 　頂点が1つ少なくなり 面の内角の和が2π減る 違いであるため 与式を満たすことは変わらない。 4. 全ての凸多面体と同相な図形は1,2,3の手順を何回か繰り返せば作ることができるため、 　全ての凸多面体で（頂点の数）×2π -（全ての面の内角の和）=4π=κ(P)となる。 また、(n-1)次元球面と同相な凸多胞体では（頂点の数）×(n-1)π -（全ての2次元面の内角の和）=2(n-1)π となると思った。 63 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/01/10(日) 22:58:36 ] >>61 1)と2)で正解 凸でなくてもS^2 と同相でOK 多面体表面を三角形分割し、多面体の内部の一点を頂点とする三角錐に分割すれば 帰納法が進行 >(n-1)次元球面と同相な凸多胞体では（頂点の数）×(n-1)π -（全ての2次元面の内角の和）=2(n-1)π となると思った。 四次元超立方体の表面で不成立 64 名前：62 [2010/01/11(月) 00:55:12 ] >>63 フォローありがとうございます！ S^2 と同相など全くその通りと思います。 私の最後の一文は全然違いましたので、忘れて下さい。（S^1なんて円周だし） 多角形のときの外角の和360度と 多面体のときの>>61の場合は特別なんですね。 65 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/01/11(月) 02:20:53 ] ｎ次元では、単位n次元球の表面積 n*π^(n/2)/Γ(n/2+1) で与えられるのでは？ 66 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/01/11(月) 10:40:38 ] >>65 何が・・・・・で与えられる？ 67 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/01/11(月) 20:25:32 ] >>14 で、 >【1】【2】、ジョルダン標準形のべきの公式、を合わせると >Yは対角化可能(ジョルダン標準形が対角型)であることがわかる が良く解らないのだが・・・・・ 誰か教えてくれ 68 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/01/11(月) 22:34:02 ] >>66 ρ(n)=n*π^(n/2)/Γ(n/2+1)として、 ρ(n)＝Σ｛ρ(n)/2　−　（一般化内角）｝ が成立するだろう考えたものです。 「一般化内角」とは、勝手に作った言葉で、二次元では通常の内角、三次元では61の [P に集まる面の P に於ける頂角の和]に一致するもので、次のように定めます。 各頂点に、微小半径の多次元球を、頂点と中心が一致するように置いたとき、多次元球の球面が多胞体によって 切り取られた量を、それと相似な単位多次元化球の表面積で表したもの 門外漢のただの思いつきなので、あまりつっこまないでください 69 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/01/14(木) 09:51:33 ] 問題としての定式化は未だ不完全なので、例を挙げて述べる。 例えば f (x, y) = x - y (x ≧ 0, y ≧ 0) 　　　　　= x + y (x ≧ 0, y ≦ 0) 　　　　　= -x - y (x ≦ 0, y ≧ 0) 　　　　　= -x + y (x ≦ 0, y ≦ 0) と定義すると、R^2 の上の連続関数となる。 z = f (x, y) の R^3 内でのグラフ H は「多面体的」で、 頂点集合全体は離散的。（この場合は原点のみ。） H の頂点（この場合原点 O) で、>>61 の κ(O) は負となる。 一般に H が R^3 の「多面体的」閉部分集合で、その頂点集合が離散であるとする。 更に全ての頂点 P に対して、κ(P) が非正なら、 H 上の異なる二点 P, Q に対して、 H 上で P, Q を結ぶ最短線（測地線）が 只一つ存在する。(Cartan-Hadamard の定理の PL-version) 70 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/01/14(木) 13:10:07 ] R^n の PL-2-submanifold, metric は induced とでも書けばよかった。 71 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/01/18(月) 22:19:00 ] lim [x → ∞] x*(e/2 - x*{e - (1 + 1/x)^x) を求めよ。 72 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/01/19(火) 12:35:08 ] >>71 またお前か 73 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/01/25(月) 21:26:55 ] お前じゃないよ　俺だよ俺 74 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/01/26(火) 22:55:28 ] >>71 (1 + 1/x)^x = exp(x･log(1 + 1/x)) 　　= exp(x･(1/x -1/(2x^2) +1/(3x^3) -1/(4x^4) + ････) 　　= exp(1 -1/(2x) + 1/(3x^2) -1/(4x^3) + ･････) 　　= e･exp(-1/(2x))exp(1/(3x^2))exp(-1/(4x^3))exp(･････) 　　= e{1 -1/(2x) + 1/(8x^2) -1/(48x^3) + ･････}{1 +1/(3x^2) +････}{1 -1/(4x^3) + ･････}(1 +････) 　　= e{1 -1/(2x) + 11/(24x^2) -21/(48x^3) + ･････} より 　与式 → (11/24)e　　[x→∞] 75 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/01/27(水) 00:29:57 ] 空気を読んで高校範囲で 76 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/01/27(水) 15:34:44 ] >>74 正解 余り面白くなかったか。 77 名前：１３２人目の素数さん [2010/02/11(木) 01:19:22 ] ｎ個の、円に同型な柔らかい紐輪の絡まり方はいくつあるか？ ※違う紐輪に区別はつかないとする。 78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/11(木) 10:39:08 ] >>77 closed pure braid の同値類と考えても無限に多くあるように思うが 79 名前：１３２人目の素数さん [2010/02/12(金) 23:29:44 ] 確率の問題 n種類の問題があり、1回の試行でこの中からランダムに1問が出題される。 k(≧n)回の試行で全種類の問題が出題される確率はいくらか。 80 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/13(土) 09:39:54 ] >>79 i種類の問題があった時に相当する確率を Pi と置きます。 P1 = (1/n)^k P2 = 1 - C[2,1]*P1 ・・・ P = Pn = 1 - Σ[i=1,n-1] C[n,i] Pi 漸化式での解答は微妙かも。。。 これって簡単な式になるの？ 81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/13(土) 15:11:50 ] P1=1では？ 82 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/14(日) 03:30:20 ] クーポンコレクターだな 83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/14(日) 05:28:22 ] >>79 ・ある１題が出題されない確率は 　(1 - 1/n)^k, ・異なる２題が出題されない確率は 　(1 - 2/n)^k, ・異なる３題が出題されない確率は 　(1 - 3/n)^k, 以下同様。 全n題が出題される確率は 　1 - C[n,1](1 - 1/n)^k + C[n,2](1 - 2/n)^k - C[n,3](1 - 3/n)^k + ････ 　= �納i=0,n] (-1)^i C[n,i](1 - i/n)^k 　= {1/(n^k)} �納i=0,n] (-1)^i C[n,n-i] (n-i)^k 　= {n!/(n^k)}s(k,n), ここに s(k,n) は相異なるk個の物をn組に分けるやり方の数。 　（第２種スターリング数とか云う･･････ ） mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheSecondKind.html 84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/18(木) 00:11:30 ] changi.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1265819838/524 85 名前：84 mailto:sage [2010/02/18(木) 00:12:41 ] まちがえた changi.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1265819838/24 86 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/18(木) 10:25:58 ] よし私も 素因数分解の天才であるAさんは、ダイズ職人のBさんに、互いに右腕を賭けるギャンブルを持ちかけた。 そのルールは、0〜9の10種類の目を持つ10面ダイス（どの数が出る確率も同様に確からしいとする）を3回投げて、 3つの出目の数を組み合わせて3桁の数字を作り、その最大の素因数を比べて大きい方が勝ちというものである。 例えば出目が1,1,8の場合、811という数を作れば最大の素因数は811なのでかなり強力な数字だが、 118であれば最大の素因数が59でありそれほど強い数字ではないということになる。 今、Aさんは9,7,9という数字を出した。さて、このときBさんはかわいそうですか？ 87 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/18(木) 21:16:07 ] Cさんは楽しい。 88 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/18(木) 23:24:24 ] >>86 出目が8、1、1 のとき 811にするのか 118にするのかはどうやって決めるの？ 89 名前：86 mailto:sage [2010/02/19(金) 13:41:30 ] ギャグのつもりで書いたらレスがついてしまったのでとりあえず補足。 Q.出目が8、1、1 のとき 811にするのか118にするのかはどうやって決めるの？ A.個人の判断で811にするか118にするかを好きに決めて下さい。 　なので素因数分解機がない環境下では素因数分解の得意な人が有利です。 Q.0が出たらどうするの？ A.3桁の数字を作るようにして下さい（100はいいが010などはダメ） 　0が3回出た場合は3回とも振り直してください。 Q.この問題ってどこらへんが面白いの？ A.ひどい…… 90 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/20(土) 00:12:23 ] つまりBさんがかわいそうかどうかは Aさんが馬鹿かどうかで決まるんですね 91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/20(土) 19:30:53 ] パズルの国のアリス www.nikkei-science.com/page/magazine/alice/ ここの問題は全部面白かった 92 名前：１３２人目の素数さん [2010/02/28(日) 12:46:05 ] >>91 確かにおもしろい。 大抵はこのスレかどこかで見た問題だけど、 今回(2010年4月)のは初めて見た。 これって、終了判定だけは、操作直後で記憶が消去される前の タイミングにできるようにしておかないと無理だと思うんだが。 それが許されさえすれば、3枚はできた。 4枚以上は見当もつかないな。可能なのか？ 93 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/28(日) 14:07:50 ] >92 終了判定の解釈が鍵だと思うよ。 カードを手に持っている状態を独立した状態と解釈すればほとんど自明。 94 名前：91 mailto:sage [2010/02/28(日) 21:24:39 ] 91 のときにはなかった問題だな。3/15 に解答か。 これって --- 上から優先して条件に一致した動作をして下さい ・左山が開いていて中山か右山に３があれば→３を左におけ ・左山が３で中山か右山に２があれば→２を左におけ ・左山が２で中山か右山に１があれば→１を左に置きつつ終了判定しろ … --- みたいな感じでいいわけだよね 無限ループしないアルゴリズムを考えろってことか 95 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/28(日) 21:52:58 ] >>94 過去の履歴を使わないと終了判定できなくないか？ 96 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/02/28(日) 21:53:59 ] >>93 なるほど。「場が○△□のときは、○を△の上に置く」だけじゃなくて 「手が空で場が○△□のときは○を手に取る」 「手に△があって場が□×○なら□の上に置く」 とかも入れていい訳ね 97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/01(月) 01:40:11 ] 左の山・中央の山・右の山をそれぞれL,C,Rと呼び、 たとえば、見えている状態が L:空、C:1、R:3である状況を[013]のように表す。 また、山の左右はつながっているとみなし、Lの左隣はR、Rの右隣はLと捉える。 以下、手順。上から順に優先。 [210]or[201]のとき‥‥1をLに。→この操作直後[100]になったらそこで終了。 [312]or[321]のとき‥‥2をLに。 [1枚見えているとき] ‥見えている1枚を左隣に。 [2枚見えているとき] ‥空の山の左隣を空の山に。 [3枚見えているとき] ‥3の右隣を3の左隣に。 これで3枚はいけると思う。 もっと簡便なアルゴリズムはないかな？ 98 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/01(月) 02:12:30 ] おー、いけてるっぽいね。 終了判定の解釈なんぞ関係なかったわけだ。 99 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/02(火) 22:15:36 ] 「この操作直後〜なら」という判定が許されるのかね if文をネストして良いなら何でもできるぞ 100 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/03/03(水) 01:07:59 ] なんで終了判定とか言い出すのか理解できない。 左に1があって、他の山が空なら終了じゃん。 問題を誤解しているんだろうか。

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