- 120 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2009/07/01(水) 11:22:57 ]
- 命題
X を局所コンパクト空間とする。
X 上の任意の複素Radon測度(過去スレ009の701) θ は
原子的(>>110)な複素Radon測度 ρ と拡散的(>>118)な複素Radon測度 σ の和
ρ + σ に一意的に書ける。
このとき、|θ| = |ρ| + |σ| となる。
証明
θ = ρ + σ と書けたとする。
>>111より、ρ = Σρ({x}) δ_x である。
ρ({x}) = θ({x}) であるから、ρ は θ により一意に決まる。
よって、σ = θ - ρ も θ により一意に決まる。
次に、ρ と σ の存在を証明する。
K を X の任意のコンパクト集合とする。
K の任意の有限部分集合 A に対して、
(Σ|θ({x})|, x ∈ A) ≦ |θ|(K) である。
よって、
(Σ|θ({x})|, x ∈ K) ≦ |θ|(K) である。
よって、ρ = Σθ({x})δ_x は原子的な複素Radon測度である。
σ = θ - ρ は明らかに拡散的である。
>>119より、ρ と σ は互いに無縁である。
よって、>>64より、|θ| = |ρ| + |σ| である。
証明終
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