- 64 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2009/06/29(月) 14:46:32 ]
- 命題
X を局所コンパクト空間とする。
ρ, σを X 上の複素Radon測度(過去スレ009の701)で互いに無縁(>>59)とする。
このとき、|ρ + σ| = |ρ| + |σ| である。
証明
>>56より、ρ = v|ρ| となる絶対値 1 の普遍的に可測な複素数値関数 v が存在する。
同様に、σ = w|σ| となる絶対値 1 の普遍的に可測な複素数値関数 w が存在する。
>>61より、X の共通点をもたない普遍的に可測な部分集合 R, S で
それぞれ ρ, σを支える(>>60)ものが存在する。
T = X - R とおく。
R は、局所σ零集合であるから T は σを支えている。
よって、
ρ = (χ_R)ρ = (χ_R)v|ρ|
σ = (χ_T)σ = (χ_T)w|σ|
よって、ρ + σ = ((χ_R)v + (χ_T)w)(|ρ| + |σ|)
過去スレ011の211より、|ρ + σ| = |(χ_R)v + (χ_T)w| (|ρ| + |σ|)
(χ_R)v + (χ_T)w は絶対値 1 の関数であるから、
この右辺は、|ρ| + |σ| である
証明終
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